Mathematik Fachabitur FOS/BOS 12 (Nichttechnik) Bayern Optimale Vorbereitung durch verständliche Zusammenfassungen und Basisübungen

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1 Rosner Mathematik Fachabitur FOS/BOS (Nichttechnik) Baern Optimale Vorbereitung durch verständliche Zusammenfassungen und Basisübungen Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Der Verfasser: Stefan Rosner Lehrer für Mathematik in der Oberstufe beratend: Sophie Sturm Lehrerin für Mathematik an der Beruflichen Oberschule Waldkirchen Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Coverbild (Joker): fotomaedchen - Fotolia.com * * * * *. Auflage 8 8 b MERUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. G, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis.. Funktionen Funktionen. Ganzrationale Funktionen (Polnome). Ganzrationale Funktionen (Polnome). Grades (Geraden). Grades (Parabeln). Grades (Geraden). Grades (Parabeln) Hauptform : = m + b Hauptform : = m + b Allg.: f ( ) = a + b + c Allg.: f ( ) = a + b + c Vorgehen zum Einzeichnen: Scheitelpunkt-Ansatz: Vorgehen zum Einzeichnen: Scheitelpunkt-Ansatz: hoch / runter hoch / runter -Achsen - = rechts + -Achsen - = f( ) = a ( s) + s mit S( s s) rechts + f( ) = a ( s) + s mit S( s s) abschnitt abschnitt a > : nach oben geöffnet bzw. Steigung aus Punkten: m = a > : nach oben geöffnet bzw. Steigung aus Punkten: m = Verlauf von II nach I Verlauf von II nach I Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: a < : nach unten geöffnet bzw. Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: a < : nach unten geöffnet bzw. m = tan( α ) Verlauf von III nach IV m = tan( ) Verlauf von III nach IV Parallele Geraden: Parallele Geraden: m = m (gleiche Steigung) m = m (gleiche Steigung) Senkrechte (orthogonale) Geraden: Senkrechte (orthogonale) Geraden: Steigungen sind negative ehrwerte Steigungen sind negative ehrwerte voneinander: m = bzw. m m = voneinander: m = bzw. m m = m m. Winkelhalbierende: = ( m= ). Winkelhalbierende: = ( m= ). Winkelhalbierende: = ( m= ). Winkelhalbierende: = ( m= ) g g f f Schnittpunkt mit -Achse: S ( c ) Schnittpunkt mit -Achse: S ( c ) Bei Bei Smmetrie Smmetrie zur zur -Achse: -Achse: f ( ) = a + c (nur gerade Hochzahlen) f ( ) = a + c (nur gerade Hochzahlen) h - h i i f: = + g: = + f: = + g: = + h: = (. Winkelhalbierende) h: = (. Winkelhalbierende) i: =, 5 j: =, 5 : =, 5 : =, 5 i 8 j j j f f h h i i g g : f( ) = : g ( ) = f g f : f( ) = g : g ( ) = ( ) ( ) h : h( ) = + h : h( ) = + i : i ( ) =,5 : i ( ) =,5 i 8

4 I. Grundlagen Analsis. Grades 4. Grades 4 Allg.: f ( ) = a + b + c + d Allg.: f( ) = a + b + c + d+ e a > : Verlauf von III nach I a > : Verlauf von II nach I a < : Verlauf von II nach IV a < : Verlauf von III nach IV Schnittpunkt mit -Achse: S ( d ) Schnittpunkt mit -Achse: S ( e ) Ansatz bei Smmetrie zum Ursprung: f = a + c ( ) (nur ungerade Hochzahlen) Ansatz bei Smmetrie zur -Achse: f = a + c + e 4 ( ) (nur gerade Hochzahlen) f f g g h - - h f : f( ) = + 9 g : g( ) = 4 4 h : h( ) = : f( ) = f 4 g : ( ) =,5 + 4 h : ( ) 4 g h = + Tipp (für alle ganzrationalen Funktionen) a > : Verlauf von... nach I ( endet oben ) a < : Verlauf von... nach IV ( endet unten ) Die Quadranten II I III IV 9

5 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis.. Der Der Nullstellenansatz Nullstellenansatz und und die die Vielfachheit Vielfachheit von von Nullstellen Nullstellen Beispiele Beispiele g g f f h h : f( ) =,5 ( + 5) ( + ) : g ( ) =,8 ( + ) ( ) : h ( ) = ( 4) : ( ),5 ( 5) ( ) : ( ),8 ( ) ( ) : ( ) ( 4) f g h f f = + + g g = + h h = Aufbau des Nullstellenansatzes (am Beispiel) Aufbau des Nullstellenansatzes (am Beispiel) g ( ) =,8 g ( ) =,8( + ( + ) ) ( ( ) ) Verlauf = // = + Verlauf = // = + von III ist einfache ist dreifache von III ist einfache ist dreifache nach IV Nullstelle Nullstelle nach IV Nullstelle Nullstelle Übersicht (für ganzrationale Funktionen) Übersicht (für ganzrationale Funktionen) Vielfachheit Linearfaktor im Vielfachheit Linearfaktor im Skizze Beschreibung Nullstelle Nullstellenansatz Skizze Beschreibung Nullstelle Nullstellenansatz Einfache Einfache Nullstelle: Nullstelle: f( ) =... ( )... f( ) =... ( )... Schaubild schneidet Schaubild schneidet -Achse -Achse (mit Vorzeichenwechsel VZW) (mit Vorzeichenwechsel VZW) Doppelte Doppelte Nullstelle: Nullstelle: f( ) =... ( )... f ( ) =... ( )... Schaubild berührt Schaubild berührt -Achse -Achse (ohne VZW) (ohne VZW) Dreifache Dreifache Nullstelle: Nullstelle: f( ) =... ( )... f ( ) =... ( )... Schaubild schneidet Schaubild und berührt schneidet -Achse und berührt -Achse (mit VZW) (mit VZW) Vierfache Vierfache Nullstelle: Nullstelle: f( ) =... ( )... f 4 4 ( ) =... ( )... Schaubild berührt Schaubild berührt -Achse (ohne VZW) -Achse (ohne VZW) ( breiter geformt als ( breiter geformt als doppelte Nullstelle) doppelte Nullstelle)

6 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis 4. Monotonie 4. Monotonie (Vereinfachte) Definition (Vereinfachte) Definition Gilt am -Wert: Gilt am -Wert: ( ) f ( ) > f > f ( ) < f ( ) < so nennt man die Funktion so nennt man hier die Funktion hier streng streng monoton streng monoton streng steigend monoton fallend monoton steigend fallend Männchen geht Männchen geht Männchen bergauf geht Männchen bergab geht bergauf bergab Beispiel Beispiel Einzunehmende Perspektive: Sie Einzunehmende sehen von der Seite Perspektive: auf das Männchen, welches Sie sehen ein von hügeliges der Seite Gelände auf das durchläuft. Männchen, Das welches Gelände ein sehen hügeliges Sie im Gelände Profil. durchläuft. Das Gelände sehen Sie im Profil. f ( ) > f ( ) > f f streng streng streng monoton streng monoton streng monoton streng steigend monoton fallend monoton steigend monoton steigend fallend steigend f ( ) < f ( ) > f ( ) < f ( ) > f f

7 I. Grundlagen Analsis 4.4 rümmung (Vereinfachte) Definition ( ) f > Gilt am -Wert: f ( ) < Beispiel Einzunehmende Perspektive: Sie sehen von oben (Vogelperspektive) auf den Fahrradfahrer, welcher eine kurvige Straße durchfährt und sich hierbei zunächst nach rechts, dann nach links lehnt. so nennt man das Schaubild hier links - gekrümmt rechts - gekrümmt f Fahrradfahrer lehnt sich nach links Fahrradfahrer lehnt sich nach rechts rechtsgekrümmt linksgekrümmt f ( ) < f ( ) > f f ( ) negativ rechtsgekrümmt ( f ( ) positiv linksgekrümmt) 47

8 I. Grundlagen Analsis I. Grundlagen Analsis 4.5 Etrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte) 4.5 Etrempunkte (Hochpunkte und Tiefpunkte) Vorgehen zur Ermittlung von Hoch- und Tiefpunkten (am Beispiel) Vorgehen zur Ermittlung von Hoch- und Tiefpunkten (am Beispiel) f( ) = + (Beispiel) 6 f( ) = + (Beispiel) f ( ) = 6 f f( ( ) ) = =. Schritt : f ( ) = f ( ) = f ( )= Stellen. Schritt mit waagrechter : f ( ) = Tangente f ( = )= (Steigung Stellen mit von waagrechter ) ermitteln. Tangente = ( ) ± ( ) 4 ( ) (Steigung von ) ermitteln. / = ( ) ± ( ) 4 ( ) / = ± + 8 ± = = ± + 8 ± = = ; =. Schritt : Einsetzen in f ( ) = ; = f (. Schritt : Einsetzen in f ) = ( ) = < H f ( ) < Hochpunkt ( ) Falls liegt f ) = ( ) = < H f ( ) < vor. f () = = > T Hochpunkt Fallsf ( ) > liegt Tiefpunkt vor. f () = = > T f ( ) > Tiefpunkt f ( ) = ( ) ( ) ( ) +. Schritt : Einsetzen in f( ) 6 f ( ) = = ( ) ( ) ( ) +. Schritt : Einsetzen in f( ) H( ) 6 -oordinaten der Hoch- bzw. = H( ) Tiefpunkte -oordinaten bestimmen. der Hoch- bzw. f () = + 6 Tiefpunkte bestimmen. f () = =,5 + T(,5 6) =,5 T(,5) Alternative zum. Schritt : Untersuchung auf Vorzeichenwechsel Hat Alternative f ( ) eine zum Nullstelle. Schritt mit Vorzeichenwechsel, : Untersuchung auf dann Vorzeichenwechsel hat das Schaubild von f( ) hier einen Hat fetrempunkt. ( ) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, dann hat das Schaubild von f( ) hier einen Etrempunkt. + nach Hochpunkt Bei einem Vorzeichenwechsel von liegt ein + nach vor. Hochpunkt Bei einem Vorzeichenwechsel von nach + liegt ein Tiefpunkt vor. z.b. bei nach + Tiefpunkt = : H z.b. bei = : f () = = < H f f() () = = = = 4 > < f VZW f () von = nach = + 4 > VZW somit von Tiefpunkt nach somit Tiefpunkt - - T T f

9 I. Grundlagen Analsis 4.6 Maimale Monotonieintervalle bestimmen Vorgehen (am Beispiel). Schritt : f ( ) = Stellen mit waagrechter Tangente (Steigung von ) ermitteln. (siehe Vorseite). Schritt : Einsetzen in f ( ) f ( ) < Hochpunkt Falls liegt vor. f ( ) > Tiefpunkt (siehe Vorseite) f = + 6 f ( ) = f ( ) = ( ) (Beispiel) / f ( )= = ± = ± + 8 ± = = = ; = ( ) ( ) 4 ( ) f ( ) = ( ) = < H f () = = > T H. Schritt : Skizze f T 4. Schritt : Antwort steigend nach fallend Hochpunkt von bei fallend nach steigend Tiefpunkt f ist streng monoton fallend im Intervall ; f [ ] ist streng monoton steigend ] ] [ [ in ; und in ; Alternative zum. und. Schritt : Untersuchung mit Vorzeichentabelle von f f ( ) 5 4 ր ց ր Ausnahme : Falls die Gleichung f ( ) = (. Schritt) keine Lösung hat, ist die Funktion überall entweder monoton ɺ steigend oder fallend.die Berechnung der Steigung an einer beliebigen Stelle (z.b. f ()) führt zur Entscheidung

10 II. Grundlagen Stochastik. Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Vierfeldertafel. Bedingte Wahrscheinlichkeit Formel (allg.) P(A B) A: Gesuchtes Ereignis P B(A) = P(B) B: Vorwissen bzw. Bedingung : und Formel (in Worten) P(entspricht Vorwissen und ist gesucht) P Vorwissen (gesucht) = P(möglich laut Vorwissen) Beispiel : Eine Münze wird -mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Mal Zahl geworfen wird, wobei bekannt ist, dass im zweiten Wurf Wappen geworfen wird. P Wappen im. Wurf P(Wappen im. Wurf und genau ein Mal Zahl) (genau ein Mal Zahl) = P(Wappen im. Wurf) P,5,5,5 = = = =,5 = 5 % P +P,5,5 +,5,5, 5 ( zw) ( zw) ( ww) w,5,5,5 w z,5 z,5,5 w z Beispiel : An einer Schule werden Schüler nach der Marke ihres Smartphones befragt: Marke Samsung Apple Son HTC sonst Anteil 45 % % 8% 6 % % Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Schüler, von welchem bekannt ist, dass er kein Smartphone von Samsung besitzt, ein Smartphone von HTC? P kein Samsung P(kein Samsung und HTC) P(HTC) (HTC) = = P(kein Samsung) P(kein Samsung),6,6 = =,9 =,9%,45,55 8

11 II. Grundlagen Stochastik Wichtige Hinweise Erkennen, dass eine Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit vorliegt Die Schwierigkeit bei Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit besteht oftmals darin, diese überhaupt als solche zu entlarven und nicht mit üblichen Baumaufgaben zu verwechseln. Hierbei muss das Merkmal solcher Aufgaben, nämlich die Eistenz von Vorwissen, erkannt werden. Es gibt mehrere grammatikalische Formulierungen, die den Aufgabenbearbeiter über vorhandenes Vorwissen informieren sollen. Beispiel (siehe Vorseite) gesuchtes Ereignis Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Mal Zahl geworfen wird, wobei bekannt ist, dass im zweiten Wurf Wappen geworfen wird. grammatikalische Formulierung Vorwissen (Bedingung) Weitere grammatikalische Formulierungen für die bedingte Wahrscheinlichkeit Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Mal Zahl geworfen wird, wenn man weiß, dass im zweiten Wurf Wappen geworfen wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Mal Zahl geworfen wird, falls im zweiten Wurf Wappen geworfen wird. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Mal Zahl geworfen wird, wenn im zweiten Wurf Wappen geworfen wird. Im zweiten Wurf wird Wappen geworfen. (Vorwissen in eigenem Satz.) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Mal Zahl geworfen wird. Achtung: eine bedingte Wahrscheinlichkeit bei Formulierungen mit und Formulierungen mit und deuten auf eine Aufgabenstellung ohne eine bedingte Wahrscheinlichkeit hin. Beispiel: Eine Münze wird -mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Mal Zahl und im zweiten Wurf Wappen geworfen wird. P( zw ) =,5,5 =, 5 8

12 II. Grundlagen Stochastik 5. Binomialverteilung 5. Bernoulli-Formel Zugrunde liegt ein mehrfach ausgeführtes Bernoulli-Eperiment, bei dem nur zwei mögliche Ergebnisse ( Treffer oder Niete ) eintreten können und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern (z.b. Ziehen mit Zurücklegen ) Beispiele: Münzwurf ( opf oder Zahl ); Mehrfach würfeln ( 6 oder keine 6 ); Bernoulliformel (allg.) n n : Anzahl der Versuche ( ettenlänge ) k n k P(X = k) = p ( p) k k : Anzahl der Treffer p : Wahrscheinlichkeit für einen Treffer Bernoulliformel (in Worten) Anz. Versuche Anz. Treffer P(X = Anz. Treffer) = Trefferwahrsch. Nietenwahrsch. Anz. Treffer Anz. Nieten Beispiel Ein Basketballspieler trifft (t) erfahrungsgemäß einen Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 %. Er wirft 8 Mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er insgesamt 5 Mal (und Mal nicht)? 8 5 P(X = 5) =, 75, 5 5 = 8 ( Tafelwerk: = 56) ,75,5,76 t,75,75,5,75,5 t... t,5 t (8 Stufen) (alle Pfade mit 5 Mal t und Mal t relevant) t t Erläuterungen n n! i Binomialkoeffizient (allg.): = (Werte siehe Tafelwerk) k k! ( n k)! i n! steht für die Fakultät einer Zahl: n! = n ( n )... (Werte siehe Tafelwerk) i P(X = 5) =, 75, 5 = 56, 75, 5 = 56,7, Es gibt also 56 mögliche Reihenfolgen für 5 Treffer unter 8 Schüssen ( tttttttt, tttttttt,...), von welchen jede eine Einzelwahrscheinlichkeit von ungefähr,7 aufweist.

13 II. Grundlagen Stochastik Beispiel Eine faire Münze wird 5 Mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau Mal Zahl? (Lösen von Hand) P(X = ) = = = = 6 5 5! 5! Nebenrechnung: = = = =! ( 5! )!! ( ) ( ) ( ) ( ) = Beispiel Ein Bauteil ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 5 % defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich in einem arton mit Bauteilen genau defekte Bauteile? 7 7 P(X = ) =,5,95 = 46,5,95,75 =,75% Beispiel 4 Jonas würfelt Mal. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er genau 7 Mal eine? P(X = 7) = = 775, b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er genau Mal eine oder eine? Wahrscheinlichkeit für oder : P(X = ) = = 84756,

14 II. Grundlagen Stochastik 6. Einseitiger Hpothesentest: Vorgehen am Beispiel Linksseitiger Hpothesentest Rechtsseitiger Hpothesentest. Schritt: Testart erkennen und Aufstellen der Nullhpothese. - Behauptung: Mindestwahrscheinlichkeit ist gegeben (Nullhpothese H : p...) - Vermutung: Wirkl. Wahrsch. ist geringer als p (Gegenhpothese H : p <...) Geringe Werte von X sprechen gegen die Behauptung (bzw. für die Vermutung). Ablehnungsbereich (links) - Behauptung: Höchstwahrscheinlichkeit ist gegeben (Nullhpothese H : p...) - Vermutung: Wirkl. Wahrsch. ist höher als p (Gegenhpothese H : p >...) Hohe Werte von X sprechen gegen die Behauptung (bzw. für die Vermutung). Annahmebereich Annahmebereich Ablehnungsbereich (rechts). Schritt : Ablesen des Stichprobenumfangs n (Anzahl der Durchführungen) und des Signifikanzniveaus α aus der Aufgabenstellung. (z.b. n= ; α = 5%; p =, 4). Schritt: Ermittlung des Ablehnungs- und Annahmebereiches. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer darf nicht höher als α sein: Treffer darf nicht höher als α sein: PX ( k) α PX ( k) α Tafelwerk: kum. BV; B( n; p ; i) k i= Tafelwerk: kum. BV; B( n; p ; i) k i= Ablehnungsb. ( 5%) P(X 6) =,7 A = { ;;...;7} P(X 7) =,45,5 P(X 8) =,94 A = { 8;9;...;} P(X 9) =,76 Annahmebereich P(X 4) =,846 P(X 5) =,754 Annahmeb. P(X 5) =,99 P(X 6) =,97 A = { ;;...;6},5 P(X 6) =,959 P(X 7) =,48 A = 7;8;...; P(X 7) =,9788 P(X 8) =, Ablehnungsb. ( 5%) { } 4. Schritt : Ermittlung der Entscheidungsregel. Der Vergleich mit dem konkreten Stichprobenergebnis (siehe Aufgabenstellung) führt zur Entscheidung. Bei dem Wert 7 oder weniger wird die Hpothese abgelehnt, ansonsten angenommen. Bei dem Wert 7 oder mehr wird die Hpothese abgelehnt, ansonsten angenommen. 7

15 II. Grundlagen Stochastik Beispiel Der Hersteller eines Medikaments behauptet, dass dieses bei mindestens 9 % der Patienten wirkt. Ein onkurrent vermutet, dass diese Wahrscheinlichkeit zu hoch ist und testet das Medikament bei 5 Personen. Es wirkt bei 4 Personen. ann die Behauptung des Herstellers bei einem Signifikanzniveau von 5 % abgelehnt werden?. Schritt Testart erkennen; Aufstellen der Nullhpothese Linksseitiger Hpothesentest liegt vor - Mindestwahrscheinlichkeit ist gegeben - Vermutung, dass wirkliche Wahrscheinlichkeit geringer ist (geringe Werte sprechen gegen Behauptung) (Gegenhpothese H : p <, 9) - Nullhpothese H : p,9. Schritt Stichprobenumfang n; Signifikanzniveau α n = 5; α = 5%. Schritt Definition Zufallsvariable; Ermittlung von Ablehnungs- und Annahmebereich X - Anzahl der Patienten, bei denen das Medikament wirkt; P(X k), 5 Tafelwerk: kum. BV; B(5;, 9; i) k i= P(X 9) =,94 Ablehnungsb. ( 5%) P(X 4) =,45 A = { ;;...;4},5 P(X 4) =,579 A = { 4;4;...;5} P(X 4) =, Annahmebereich 4. Schritt Entscheidungsregel; Entscheidung Entscheidungsregel: Falls das Medikament bei 4 oder weniger Personen wirkt, wird die Hpothese des Herstellers abgelehnt. Falls es bei 4 oder mehr Personen wirkt, wird die Hpothese angenommen. Entscheidung: Da es bei 4 Personen wirkt, sollte die Hpothese des Herstellers abgelehnt werden. 8

16 III. Basisübungen zur Analsis Aufgabe f f e Bei dem -Wert wird eine Tangente an das Schaubild angelegt.,5 Gegeben ist die Funktion mit ( ) = +. a) Skizzieren Sie diese in das oordinatensstem. b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente. 6 5 f Aufgabe Eine Tangente an das Schaubild besitzt die Steigung. Gegeben ist die Funktion f mit f( ) =. a) Skizzieren Sie diese in das oordinatensstem. b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente. 4 f Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f( ) =, a) Berechnen Sie die oordinaten des Schnittpunktes des Schaubildes mit der -Achse. b) Berechnen Sie die oordinaten der Etrempunkte. c) Berechnen Sie die oordinaten der Wendepunkte. d) Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente, welche eine positive Steigung besitzt. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f( ) =. a) Berechnen Sie die oordinaten der Schnittpunkte des Schaubildes mit der -Achse. b) Berechnen Sie die oordinaten des Schnittpunktes des Schaubildes mit der -Achse. c) Berechnen Sie die oordinaten der Etrempunkte. d) Berechnen Sie die oordinaten des Wendepunktes. Aufgabe 4 : Gegeben ist die Funktion f mit f( ) = e 4. Untersuchen Sie das zugehörige Schaubild auf Etrem- und Wendepunkte.

17 III. Basisübungen zur Analsis Aufgabe 5 : Gegeben ist die Funktion f mit f( ) = e ( ). a) Berechnen Sie den Schnittpunkt des Schaubildes mit der -Achse. b) Berechnen Sie den Schnittpunkt des Schaubildes mit der -Achse. c) Berechnen Sie die oordinaten des Etrempunktes. d) Geben Sie die maimalen Monotonieintervalle an. e) Berechnen Sie die oordinaten des Wendepunktes. f) Geben Sie die maimalen rümmungsintervalle an. g) Skizzieren Sie das Schaubild in ein oordinatensstem. Lösung auf S. 6. Aufgabe 6 : Skizzieren Sie jeweils das Schaubild der zugehörigen Ableitungsfunktion. f f

18 IV. Basisübungen zur Stochastik 5. Binomialverteilung Aufgabe 4: Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Bernoulliformel. a) Eine Maschine produziert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % fehlerfreie Schrauben. Bei einer Qualitätskontrolle werden Schrauben überprüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 8 fehlerfrei? b) Eine verbeulte Münze, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Wappen zeigt, wird Mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint 6 Mal Wappen? c) Ein Glücksrad hat 4 gleich große Felder mit den Farben gelb, grün, rot und blau. Das Glücksrad wird 5 Mal gedreht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint 8 Mal die Farbe blau? d) Ein Basketballspieler verwandelt einen Freiwurf mit einer Wahrscheinlichkeit von 8 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von Freiwürfen zwei nicht? Aufgabe 5: Andreas möchte eine -tätige Gebirgstour machen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Regentag beträgt in dieser Jahreszeit dort %. Berechnen Sie die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Bernoulliformel. a) Wahrscheinlichkeit für Regentage? b) Wahrscheinlichkeit für oder 4 Regentage? c) Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Regentag? d) Wahrscheinlichkeit für nicht 9 Regentage? 4

19 IV. Basisübungen zur Stochastik Aufgabe 6 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n= und p=,5. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten. a) P(X = 7) = b) P(X < 9) = c) P(X 5) = d) P(X 8) = e) P(X = oder X = )= f) P(X > 6) = = = g) P( X 8) = h) P(4 < X < 8) = = = Aufgabe 7 Ein Glücksrad hat 6 gleich große Felder. der Felder sind grün, sind rot und eines ist blau. Das Glücksrad wird Mal gedreht. Aufgabe Wahrscheinlichkeit für mehr als 7 Mal grün? Wahrscheinlichkeit für höchstens 8 Mal grün oder rot? Wahrscheinlichkeit für 5 oder 6 Mal blau? Wahrscheinlichkeit für mindestens 7 und höchstens 9 Mal rot? Wahrscheinlichkeit für mehr als 8 Mal rot oder blau? Lösung Aufgabe 8 Ein Medikament verursacht bei 5 % aller Patienten Nebenwirkungen. Bei einem Test nehmen Personen das Medikament ein. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten bei mindestens 6 Personen Nebenwirkungen auf? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten bei höchstens % aller Personen Nebenwirkungen ein? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten bei mehr als Personen Nebenwirkungen ein? 44

20 V. Analsis - Ausführliche Lösungen Aufgabe a). Aufgabentp 4 f Aufgabe a) 4 Ansatz: f () =, S ( ) = b) f f ( ) = f ( ) = ( ) =, t b) Berechnung der Tangentengleichung:. f ( ) = mt liefert -Wert des Berührpunktes f ( ) = f ( ) = mt = + = = (An dieser Stelle hat das Schaubild die gegebene Steigung.). -Wert des Berührpunktes berechnen f () = = B( ). Tangentengleichung berechnen = mt + b = + b = b Tangente: =. Schritt: f ( ) = = 6+ 8 = ( ) S. v. Nullpr. = + = 6 8 ( 6) ± ( 6) 48 / = 6 ± 6 6 ± = = 6 6+ = = ; = = 4. Schritt: f () = + 8 = 8 f () = + 8= 4 > < T H f = + = > (4) T. Schritt: 4 f () =,5 + 4 = T( ) 4 f () =,5 + 4 = H( ) 4 f (4) =, = T(4 ) c). Schritt: f ( ) = + 8 = ( ) ( ) 4 8 ± / = ± 48 = =,85; =,

21 V. Analsis - Ausführliche Lösungen. Schritt: f ( ) = 6 f (,85) 6,85 = 6,9 W f (,5) 6,5 = 6,9 W. Schritt: 4 f (,85) =, 5,85,85 + 4,85,79 W,85,78 ( ) (,5) 4, 5,5,5 4,5 f = +,79 W,5,78 ( ) d) Steigungen in den Wendepunkten: f = + < f (,85) =,85 6,85 + 8,85,8 > somit muss Wendetangente in W (,85, 79) berechnet werden: (,5),5 6,5 8,5, 8. Berührpunkt: W (,85, 79). Tangentensteigung berechnen = + = ( ) f (,85),85 6,85 8,85,8 m t. Tangentengleichung berechnen = mt + b, 79 =,8,85 + b,79 =,6 + b,6, 8 = b Tangente: =, 8,8 Aufgabe a) Ansatz: = = S. v. Nullpr. = = + / = = = N ( ); N ( ) / c) f( ) = f ( ) = f ( ) =. Schritt: f ( ) = = ( ) = S. v. Nullpr. = = + =. Schritt: f () = = < H f () = = 4 = > T. Schritt: f () = ( ) H ( ) f () = = 4 = T d). Schritt: f ( ) = = + = : =. Schritt: f ( ) = f () = W. Schritt: f () = = = W b) = = Ansatz: () S ( ) f 57

22 VI. Stochastik - Ausführliche Lösungen Aufgabe 5 a = = 8 ) P(X ),,7, 47 b) P(X = ) + P(X = 4) = + 4, 668+, =, ,,7,,7, 489 c ) P(X = ) =,, 7 = =,,7,85,9775 d) P(X = 9) 9 =,, 7 9, 8 =,99986 Aufgabe 7 p = = ; 6 P(X > 7) = P(X 7),9966 =,4 5 p = ; 6 P(X 8),555 p = ; 6 P(X = 5) + P(X = 6), +,,5 p = = ; 6 P(7 X 9) = P(X 9) P(X 6),999,88 =,79 4 p = = ; 6 P(X > 8) = P(X 8),896,4 Aufgabe 6 a) P(X = 7) =,79 b) P(X < 9) = P(X 8),57 c) P(X 5) = P(X 4),979,7 Aufgabe 8 a ) P(X 6) = P(X 5),,9889 b ) P(X, ) = P(X ),488 c ) P(X > ) = P(X ) 896,8 d) P(X 8),57 e) P(X = oder X = ),76 +,6 =,64 f) P(X > 6) = P(X 6),577,94 g) P( X 8) = P(X 8) P(X ),57,,55 h) P(4 < X < 8) = P(X 7) P(X 4),6,59,57 7