Mathematik im Berufskolleg II

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1 Bohner Ott Deusch Mathematik im Berufskolleg II Merkur M Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Die Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen urt Bohner Lehrauftrag Mathematik an der SW Wangen Studium der Mathematik und Phsik an der Universität onstanz Ronald Deusch Lehrauftrag Mathematik am BSZ Bietigheim-Bissingen Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Umschlag: Adrian Schulz Foto: Mall of Berlin Bild reis links: Christian Schwier fotolia.com Bild reis rechts: irill edrinski fotolia.com * * * * * * * * * * 6. Auflage b MERUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. G, 75 Rinteln info@merkur-verlag.de; lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 Trigonometrische Funktionen.. Gemeinsame Punkte Gegeben ist die Funktion f mit f () =,5 sin ( ); [ 0,5; ]. Bestimmen Sie die Nullstellen von f. Zeigen Sie: Je zwei aufeinanderfolgende Nullstellen haben einen Abstand von. Bedingung für die Nullstellen: f () = 0,5 sin ( ) = 0 :,5 sin ( ) = 0 = 0; ± ; ± ; ± ; : = 0; ± ; ± ; Nullstellen von f auf D: = 0; = = ; = p Man erkennt; Je zwei aufeinanderfolgende Nullstellen haben einen Abstand von p f p Gegeben ist die Funktion f mit f () = cos ( );. Bestimmen Sie die eakte Periode und damit drei Nullstellen von f. _ f hat die Periode p = = 8. f : f () = cos ( ) ist smmetrisch zur Geraden mit der Gleichung =. ( ist die halbe Periode, siehe Abb.) f hat die Nullstellen = und = 6. Weitere Nullstelle: = + 8 = 0 oder =. Hinweise: f ist nicht in -Richtung verschoben. cos ( ) = 0 für = ± ; ± ; ± _ 5 = ± ; ± 6; ± 0; : = f 6 8

4 I Funktionen ist das Schaubild von f mit f () = cos () + ; [0; ]. Berechnen Sie die oordinaten der Schnittpunkte von mit der Parallelen zur -Achse durch den Punkt P (0 ). Parallele zur -Achse durch P: = Die Parallele ist das Schaubild der Funktion g mit g () =. S = S P Gleichsetzen: f () = g () cos () + = Erste (Schnittstelle) mit WTR: Weitere von cos () = (auf ): Weitere auf [0; ]: Schnittpunkte: cos () = = = = + = 5 = + = 7 > S ( ) ; S ( 5 ) Die Graphen der Funktionen f und g mit f () = sin () und g () = sin () schneiden sich für [,5; 7] in drei Punkten. Bestimmen Sie diese Punkte. Veranschaulichung: Schaubilder von f und g 5 g 5 6 f Gleichsetzen: f () = g () Schnittstellen: Schnittpunkte: sin () = sin () sin () = 0 = 0; = ; = S ( 0 ) ; S ( ) ; S ( ) Hinweis: Die Schnittpunkte liegen auf einer Parallelen zur -Achse mit der Gleichung =.

5 Trigonometrische Funktionen Gegeben ist die Funktion f mit f () = sin ( ) + ;. Es gibt unendlich viele Stellen, an denen die Funktionswerte von f null sind. Bestimmen Sie diejenige eakt, die am nächsten bei null liegt. Erläutern Sie, wie sich die anderen Stellen aus dieser berechnen lassen. Die gemeinsamen Punkte von f und der -Achse sind Berührpunkte. Erläutern Sie diese Behauptung. Skizzieren Sie ihr Schaubild f. Nullstellen von f Bedingung: f () = 0 sin ( ) = Der WTR liefert für die Gleichung sin (z) = eine eakte : z = Einzige auf einer Periode". = sin(z) z p z = in z: in : Mit z = z = = = Nullstelle von f, die am nächsten bei null liegt: = Die weiteren Nullstellen erhält man durch Addition von Vielfachen einer Periode von f. _ Für die Periode von f gilt: p = Nullstellen auf : = + = = 7 + = = + = Das Schaubild f berührt die -Achse. Skizze von f Begründung: Es ist zu zeigen: f () 0 sin ( ) + 0 sin ( ) wahre Aussage für alle, da sin ( ). f : 6

6 I Funktionen Was man wissen sollte über trigonometrische Funktionen Definition: Die Funktion f mit f () = sin ();, heißt Sinusfunktion. = sin() Beachten Sie: sin (0) = 0 sin () Periode p = Nullstellen: sin () = 0 = 0; ± ; ± ; ± ;... p p 5 6 Definition: Die Funktion f mit f () = cos ();, heißt osinusfunktion. Beachten Sie: cos (0) = cos () Periode p = p = cos() 5 6 Nullstellen: cos () = 0 = ± ; ± 5 ; ± ;... Das Schaubild einer Funktion f mit f () = a sin (k) + b bzw. f () = a cos (k ) + b hat die Amplitude a (positiver Wert) _ und die Periode p = k ; k > 0 = cos(π) p a a = ; b = 0 Aus p = folgt k = π. Es entsteht aus der Sinus- (osinus-) kurve durch: Streckung in -Richtung mit Faktor a (a > 0) (Für a < 0: zusätzlich eine Spiegelung an der -Achse) Streckung in -Richtung mit Faktor k Verschiebung in -Richtung um b 5 = cos(π) = cos(π) = cos() Hinweis: Verschiebt man G: = sin () um c in -Richtung, so erhält man G*: = sin ( c).

7 Trigonometrische Funktionen 5 Aufgaben Berechnen Sie die Nullstellen von f auf D = [0; ]. a) f () = sin ( ) b) f () = cos (,5 ) c) f () = sin ( ) Bestimmen Sie die eakten Nullstellen der Funktion f auf D = [ ; 6,5]. a) f () = cos () + b) f () = sin () + c) f () = sin () + Beschreiben Sie die Eigenschaften der Funktion f und ihres Schaubildes (Periode, Ampli tude, Wertebereich, Smmetrie). Skizzieren Sie das Schaubild von f. Berechnen Sie zwei Nullstellen von f ohne Verwendung eines Hilfsmittels. a) f () = sin ( ) b) f () = cos ( ) c) f () = sin ( ) Gegeben ist die Funktion f mit f () = 0,5 sin () + 0,5; [ ; ]. a) Berechnen Sie zwei aufeinanderfolgende Nullstellen ungerundet. b) Das Schaubild von f schneidet die Parallele zur -Achse durch (0 0,5) in zwei Punkten. Bestimmen Sie die eakten oordinaten. c) Wie ändert sich der Funktionsterm, wenn man das Schaubild von f um nach links verschiebt? 5 ist das Schaubild der Funktion f mit f() = cos ( ) + ; [ ; 5]. Zeigen Sie, dass f in = eine Nullstelle hat. Bestimmen Sie die weiteren Nullstellen im Definitionsbereich. 6 Gegeben ist die Funktion f mit f () = sin ( ); [ 0,5;,5]. Zeigen Sie: Zwei aufeinanderfolgende Nullstellen haben einen Abstand von. 7 Bestimmen Sie mithilfe der Periode die eakten Nullstellen von f bzw. g im gezeichneten Bereich. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm an. f 0.5 g π π Eine trigonometrische Funktion f hat die Periode p = 6. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung. Der Wertebereich ist das Intervall [ 5; 5]. Bestimmen Sie einen möglichen Funktionsterm und geben Sie zwei Nullstellen von f an.

8 68 III Differenzialrechnung III Differenzialrechnung Ableitung von Funktionen Modellierung einer Situation In der Pause eines Openair-onzerts nimmt der ioskbesitzer Huber ein Getränk aus dem ühlschrank. Da es nicht verkauft wird, erwärmt es sich. Der Term T (t) = 7 9 e 0, t ; t 0 ( t in Minuten, T (t) in Grad Celsius ) beschreibt näherungsweise den Erwärmungsvorgang. Welche Temperatur hat das Getränk, wenn es die Umgebungstemperatur hat? Zu welcher Zeit steigt die Temperatur am schnellsten an? Wie groß ist dieser Anstieg? Bestimmen Sie für die ersten 5 Minuten die durchschnittliche Temperaturänderung. Für das Openair-onzert soll rechts neben einer Gebäudewand eine Bühne errichtet werden. Die Bühnenrückwand soll die Form eines Bogens haben (siehe Abbildung, nicht maßstabsgerecht). In einem oordinaten sstem wird der Bogen durch den im. Quadranten verlaufenden Teil der Funktion f mit f () = _ 5 5 8, ( LE m) Bühnenrückwand O 5 C Bühne beschrieben. Zur Sicherung der Bühnenkonstruktion wird ein Seil vom Punkt A (0 6,) an der Gebäuderückwand zum Punkt C (8 0) auf dem Boden gespannt. Der für den Aufbau zuständige Techniker behauptet, das Seil berührt die Bühnenrückwand in einem Punkt B und eine von O zu B führende Stabilisierungsstütze verläuft senkrecht zum Seil. Überprüfen Sie diese zwei Behauptungen. Qualifikationen & ompetenzen Gebäudewand A Stütze B Befestigungsseil Bearbeiten Sie diese Situation, nachdem Sie die rechts aufgeführten Qualifikationen und ompetenzen erworben haben. berechnen regeln anwenden Tangentengleichung bestimmen lichen und interpretieren Modellieren von realen Situationen

9 Ableitung von Funktionen 69. Änderungsrate Bei Wachstumsvorgängen ändert sich im Allgemeinen der Bestand in Abhängigkeit von der Zeit, z. B. die Bevölkerungszahl in Deutschland, der Durchmesser eines Baumes, die Gesamtkosten einer Produktion, die Geschwindigkeit eines Autos, der Zufluss in ein Gefäß usw. Bei einem Wachstumsvorgang kommt es jedoch nicht nur auf den Bestand an, sondern auch darauf, wie schnell sich der Bestand ändert. Diese Schnelligkeit versucht man mathematisch zu beschreiben. Während eines Dauerregens wird die Wassermenge (Volumen in Liter) in einer Regentonne in Abhängigkeit von der Zeit (in Minuten) gemessen. Zeit in in min 0 5 Volumen in l 5 9, 7,6 58 Berechnen Sie die Volumenänderung pro Minute. Übertragen Sie die Messdaten in ein oordinatensstem. Volumenänderung pro Minute _ auf dem Intervall [0; ] : 9, 5 60 = 0 =, 50 C _ auf dem Intervall [; ] : _ 7,6 9, _ = = 8, =, 0 B A =7,6 9, 0 = Zeitintervall [0; ] [; ] [; 5] 0 Dauer in min ( ) 0 Volumenänderung, 8, 0, 0 5 l Änderungsrate in min,, 0, Das Volumen ändert sich pro Minute auf dem Intervall [0; ] _ = _ _ bzw. [; ] um, l, d. h.: =,. Mit anderen Worten:, l ist die mittlere Änderungsrate des Volumens. min Auf dem Intervall [; 5] ist die mittlere Änderungsrate des Volumens 0, l min. _ Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Strecke AB bzw. BC. Festlegung Die (mittlere) Änderungsrate einer Funktion im Intervall [a; b] ist der _ Differenzen quotient. Mit dem Differenzenquotient kann z. B. beschrieben werden:

10 70 III Differenzialrechnung Bei der Produktion eines Artikels werden die Gesamtkosten in pro Tag, in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge (in Stück), festgelegt durch: () = ; 0 Von = 5 soll die Produktionsmenge um 0 Stück erhöht werden. Bestimmen Sie den mittleren ostenzuwachs. Bestimmen Sie den momentanen ostenzuwachs für = 5. in B () Mittlere Änderungsrate von auf [ 5; 5 ] = 70 0 _ = ( ) ( ) 00 A _ 00 = 5 5 (5) (5) 70 0 = 5 5 = in Stück 0 0 _ = Erhöht man die Produktion von 5 Stück auf 5 Stück, so erhöhen sich die osten durchschnittlich um /Stück. Sekante Bedeutung der (mittleren) Änderungsrate _ Die Änderungsrate ist die Steigung m der Sekante (AB), d. h. m =. Dies entspricht der mittleren ostenzunahme. Da sich die urve und die Strecke AB auf dem Intervall [5; 5] unterscheiden, ist nur ein Näherungswert und nicht die tatsächliche ostenzunahme (Grenzkosten) bei der Produktion von 5 Stück. Diesen Näherungswert kann man verbessern, indem man die Abstände verkleinert, d. h. den Punkt B näher an den Punkt A wandern lässt. Welche momentane ostenzunahme liegt nun tatsächlich nach 5 Stück vor? Dazu berechnet man die Änderungsraten für 0. Intervall [5; ] [5; 0] [5; 6] [5; 5,] [5; 5,0] = = = 5, 5 = 0, 5,0 5 = 0,0 0 = ( ) (5) 0 0 = =, 0 =, 0,0 0 = 0,0 _ = ( ) (5) 90 5 _ 5 = 8 =, 0,0 0, =, 0,0 =,0 _ Die momentane Änderungsrate (Grenzkosten) bei 5 Stück beträgt Stück. _ Hinweis: Mittlere Änderungsrate von im Intervall [5; ]: = ( ) (5) 5 Für = 5 0 erhält man die momentane Änderungsrate von an der Stelle = 5.

11 Ableitung von Funktionen 7 Gegeben ist die Funktion f mit f () = + ;. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall [; ]. b) Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate an der Stelle = bzw. an der Stelle =. _ f () f () _,5,5 a) Mittlere Änderungsrate auf [; ]: = = = Die Steigung der Sekante durch (,5) und (,5) ist. b) Mittlere Änderungsrate auf [ ; ]: Für = : Untersuchung für = 0 Tabelle f( ) f ( ) _ f ( ) f () _ Intervall [; ] [;,] [;,0] [;,00] [;,000] = 0, 0,0 0,00 0,000 _ f ( ) f (),95,995,9995, Die mittlere Änderungsrate stebt gegen. Die momentane Änderungsrate in = ist. Untersuchung für = : f ( ) f () _ und = 0 Tabelle Intervall [; ] [;,] [;,0] [;,00] = 0, 0,0 0,00 f ( ) f (),05,005,0005 Die mittlere Änderungsrate stebt gegen. Die momentane Änderungsrate in = ist. Sekante Grafische Interpretation: Die Tangente an der Stelle = hat = f() f() die Steigung. = Die Tangente an der Stelle = hat Graph von f die Steigung. 5 6 Tangente Hinweis: Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung der Tangente. Beachten Sie: _ Die mittlere Änderungsrate von f auf [ ; ]: f ( ) f ( ) strebt für gegen die momentane Änderungsrate von f an der Stelle. (Grenzwert der mittleren Änderungsrate).

12 7 III Differenzialrechnung Aufgaben Berechnen Sie die mittleren Änderungsraten von f mit f () = + auf den Intervallen: [0; ], [;,5] und [ ;,5]. Chemische Reaktionen können langsam oder schnell ablaufen. Bringt man z. B. Zink in Salzsäure, entsteht Wasserstoff. Die folgende Tabelle gibt die Menge des Wasserstoffs in Abhängigkeit von der Zeit an. Zeit in s Menge Wasserstoff in ml 0,5 5,5 0,5,5 Erstellen Sie hierzu ein Diagramm. Berechnen Sie die mittleren Änderungsraten auf den folgenden Intervallen [; ], [; 8] und [8; ]. Was lässt sich über die Wasserstoffproduktion aussagen? Ein Pudding kühlt nach seiner Zubereitung ab. Der Term T (t) = e 0, t ; t 0 00 ( t in Minuten, T (t) in Grad Celsius ) beschreibt den Abkühlvorgang Die Abbildung zeigt das Schaubild der Funktion T. a) Von welcher anfänglichen Temperatur geht man aus? b) Welche Temperatur hat der Pudding, wenn er abgekühlt ist? t c) Zu welcher Zeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Pudding abkühlt, am größten? d) Berechnen Sie für die ersten 0 Minuten die durchschnittliche Temperaturänderung. Gegeben ist die Funktion f mit f () =. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate von f auf dem Intervall I = [; 5]. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Sekante g durch P ( f ()) und Q ( 5 f (5)). Zeichnen Sie die Schaubilder von f und g in ein oordinatensstem. c) Ermitteln Sie die momentane Änderungsrate von f an der Stelle =. Interpretieren Sie geometrisch. h in cm Die Abbildung zeigt den Wasserstand h in 700 Cuhaven (in cm über Pegelstand) zur Zeit t Dabei entspricht t = 0 der Uhrzeit 00 0:00 Uhr Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung 00 die größte Änderungsrate der Höhe h t in h

13 9 III Differenzialrechnung.6 Senkrechtes Schneiden, Berühren Die urven und G schneiden sich senkrecht Gegeben sind die Funktionen f mit f () = 8 und g mit g () = + ;. ist das Schauild von f und G ist das Schaubild von g. Zeigen Sie: Die Schaubilder und G schneiden sich im Ursprung senkrecht. Beachten Sie: von f und G von g schneiden sich in S senkrecht (orthogonal), wenn die Tangenten an und G in S senkrecht aufeinander stehen. Bedingungen: f ( S ) = g ( S ) und f ( S ) g ( S ) = Schnittstelle S = 0 ist gegeben. Die Bedingungen werden durch Einsetzen Ableitungen: f () = 8 ; g () = + Mit f (0) = und g (0) = folgt: (0) g (0) = w. A. G Die urven und G berühren sich und G sind die Graphen von f mit f () = e e + und von g mit g () = + ;. Zeigen Sie, dass sich und G in = berühren. Geben Sie den Berührpunkt an. Gemeinsamer Punkt mit = : f () = g () = w. A. Gleiche Steigung in = : Mit f () = e ; g () = + : f () = g () = w. A. Berührstelle: = Berührpunkt: B ( ) 5 B Tangente G Beachten Sie: Der Berührpunkt B (u ) gemeinsamer Punkt von und G gleichen Steigung. f (u) = g (u) f (u) = g (u)

14 Ableitung von Funktionen 9 ist der Graph von f mit f () = + ;. G ist der Graph von g mit g () = + ;. Es gibt eine Stelle u, in der und G die gleiche Steigung haben. Gibt es in = u eine gemeinsame Tangente? Wenn ja, bestimmen Sie die Gleichung. Ableitungen: f () = ; g () = + Gleiche Steigung: f () = g () = + = Gemeinsamer Punkt: f () = g () = 6 A ( ) In A ( ) haben und G die gleiche Steigung; A ist ein Berührpunkt. Es gibt eine gemeinsame Tangente. Mit m = f () = ergibt sich aus = + b durch Punktprobe mit A ( ): = + b b = Gleichung der Tangente: = + 5 G Was man wissen sollte über die gegenseitige Lage von zwei urven ist das Schaubild von f, G ist das Schaubild von g. S G S G B G u u u Gemeinsamer Punkt S ( u f (u) ) S ( u f (u) ) B ( u f (u) ) Bedingung f (u) = g (u) f (u) = g (u) f (u) = g (u) Zusatz und G schneiden sich in S ( u f (u) ) senkrecht. und G berühren sich in B ( u f (u) ). Bedingung f (u) g (u) = f (u) = g (u)

15 9 III Differenzialrechnung Aufgaben und G sind die Schaubilder der Funktionen f mit f () = 0,5 + + und g mit g () = 0,5 ( + + );. Bestätigen Sie, dass sich und G in = 0 senkrecht schneiden. Gegeben sind die Funktionen f mit f () = sin () und g mit g () = cos ();. Die Schaubilder von f und g berühren sich in =. Bestätigen Sie diese Behauptung. Die Abb. zeigt die Schaubilder und G der beiden Funktionen f mit f () = 8 ( 6 + ) und g mit g () = ;. und G haben zwei gemeinsame Punkte. Zeigen Sie, dass nur einer dieser Punkte ein Berührpunkt ist. 5 Gegeben ist die Funktion f mit f() = sin( ) + ; [0; ]. Ihr Schaubild ist f. Zeigen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung = + + Tangente an f ist. 5 Zeigen Sie: Die Schaubilder von f mit f () = e ; und g mit g () = e haben eine gemeinsame Tangente. 6 Die Tangente an das Schaubild von f mit f () = sin ();, im Ursprung, ist Tangente an das Schaubild G von g mit g () = 0,5 + ;. Überprüfen Sie diese Behauptung. 7 Bestimmen Sie die oeffizienten a, b so, dass sich die Schaubilder von f und G von g an der Stelle = berühren. a) f () = 0,5 ( + ); g () = a + b b) f () = + ; g () = a e + b Abb. G 8 Die Abb. zeigt die Schaubilder der beiden Funktionen f mit f () = sin () und g mit g () = ( e + );. Ordnen Sie jeder Funktion die zugehörige urve zu. Begründen Sie. Machen Sie eine Aussage über die gegen seitige Lage der beiden urven. Begründen Sie rechnerisch. 9 Ein Motorboot rast längs der urve auf die aimauer zu. Wie groß ist der ollisionswinkel? Hinweis: Verwenden Sie die Steigungswinkel. Abb. H 5 H Abb. = aimauer = +

16 urvenuntersuchung 5 ist das Schaubild der Funktion f mit f () = Untersuchen Sie das rümmungsverhalten von ;. Um das rümmungsverhalten von zu untersuchen, bestimmt man den Wendepunkt. Ableitungen: f () = + ; f () = ; f () = 0 Notw. Bedingung für eine Wendestelle: f () = 0 = 0 Einzige (einfache) : = Nachweis: f () 0 = ist Wendestelle, die rümmung wechselt. Mit f (0) = < 0 gilt: Für < ist eine Rechtskurve, für > ist eine Linkskurve. Rechtskurve W Linkskurve Hinweis: In einer Wendestelle findet ein Übergang von Rechts- in Linkskrümmung oder umgekehrt statt. 5 ist das Schaubild der Funktion f mit f () = e + ;. Anton behauptet: ist eine Linkskurve. Nehmen Sie Stellung. Um das rümmungsverhalten von zu bestimmen, untersucht man auf Wendepunkte. Ableitungen: f () = e ; f () = e ; f () = 8 e Notw. Bed. für eine Wendestelle: f () = 0 e = 0 Wegen e > 0 hat die Gleichung keine. Es gibt keine Wendestellen. Da f () = e > 0, ist eine Linkskurve. Anton hat Recht. 8 6

17 6 III Differenzialrechnung Die osten eines Betriebes in GE für ME lassen sich durch eine Funktion mit () = ; 0 6 berechnen. Für welche Ausbringungsmenge wird der ostenzuwachs am geringsten? Der ostenzuwachs entspricht der momentanen Änderungsrate (Steigung) von und lässt sich mithilfe der ersten Ableitung bestimmen. ostenzuwachs (Differenzialkosten) () = W Bestimmung der Wendestelle Der ostenzuwachs ist am geringsten, wenn die Differenzialkostenkurve (Parabel) ihren tiefsten Punkt im Scheitel erreicht oder wenn der Graph von einen Tiefpunkt hat. Notwendige Bedingung: () = 0 6 = 0 = Mit () = 6 > 0 wird minimal in = Der Punkt mit der geringsten Steigung ist der Wendepunkt des Graphen von. Bis zum Wendepunkt W (bis = ) nimmt die Steigung ab, um nach W (für > ) wieder zu wachsen. Die Schwingung eines Federpendels lässt sich beschreiben durch das Elongations-Zeit-Gesetz: s (t) = s 0 sin ( t). Bestimmen Sie einen Term zur Berechnung der maimalen Geschwindigkeit. v (t) = s (t) = s 0 cos ( t) v wird maimal für cos ( t) =, dann ist v ma = s 0. oder v ist maimal (notwendige Bedingung), wenn v (t) = s (t) = 0, d. h. im Wendepunkt des Schaubildes von s.

18 urvenuntersuchung 7 Aufgaben Berechnen Sie die oordinaten der Wendepunkte des Schaubildes von f. a) f () = + b) f () = c) f () = d) f () = e) f () = 0,5 sin () + f) f () = + cos (); [ ; 7] Untersuchen Sie das rümmungsverhalten von f. a) f () = b) f () = + c) f () = sin ( ) + ; [ 0; ] Maria behauptet: von f mit f () = e + + ;, ist eine Linkskurve. Überprüfen Sie. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Wendepunkt (Wendetangente). a) f () = 8 b) f () = + 5 c) f () = cos(); 0 < < 5 Gegeben ist die Funktion f mit f () = 0,5 + ; mit dem Schaubild. Begründen Sie, dass sich die Wendetangenten auf der -Achse schneiden. Ermitteln Sie die oordinaten des Schnittpunktes S. Überprüfen Sie, ob die Wendetangenten von senkrecht aufeinander stehen. 6 Zeigen Sie: Jede Polnomfunktion. Grades hat genau eine Wendestelle. 7 ist der Graph der Funktion f mit f () = + + 5;. Untersuchen Sie, ob die Gerade mit = 6 Wendetangente an ist. 8 Der Graph der Funktion f mit f () = 5 ( ) ( + );, sei. Überprüfen Sie, ob im Wendepunkt eine waagrechte Tangente hat. 9 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f und die Schaubilder von f ' und f. Ordnen Sie zu. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Bestimmen Sie nach Augenmaß den Wendepunkt von. 0 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Übertragen Sie in Ihr Heft. Zeichnen Sie nach Augenmaß alle Wendepunkte ein und lesen Sie die oordinaten ab. Skizzieren Sie die Graphen von f und f in Ihr Achsenkreuz ein. Welche Bedeutung hat die Wendestelle von f für den Verlauf des Graphen von f? Gegeben ist die Funktion f mit f () = cos ( ) ; [ 0; 0 ]. Zeigen Sie: Die Nullstellen von f sind die Wendestellen von f.

19 Stammfunktion und unbestimmtes Integral 5 Stammfunktion der Funktion f mit f () = e k Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit f () = e ;. Die Aufleitung der Funktion f mit f () = e ; ist zunächst nicht bekannt. Wir können diese Funktion jedoch mit der ettenregel ableiten: ( e ) = e. Somit gilt für eine Stammfunktion F: F () = e + c Probe durch Ableiten von f': ( e + c ) = e = e F'() = e = f () Beachten Sie: f () = e k F () = k e k + c; k 0 Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit f () = e + 5 ;. Aufleitung ergibt die Stammfunktion F mit F () = e c Probe: ( e c ) = ( ) e + 5 = e + 5 Hinweis: f () = e k + b F () = k e k + b + c; k 0 F'() = e + 5 = f () Stammfunktion der Funktion f mit f () = sin (k ) bzw. f () = cos (k ) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. a) f () = sin ( ); b) f () = cos ( ); a) Aufleitung ergibt die Stammfunktion F mit F () = cos ( ) Probe ergibt: ( cos () ) ' = ( ) sin ( ) = sin ( ) b) Aufleitung ergibt die Stammfunktion F mit F () = sin ( ) Probe ergibt: F'() = cos ( ) = f ()

20 5 IV Integralrechnung Beachten Sie: f () = sin (k ) F () = cos (k ) + c; k 0 k f () = cos (k ) F () = sin (k ) + c; k 0 k Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f mit f () = e 5 sin ( );. Aufleitung ergibt die Stammfunktion F mit F () = 9 e + 5 Probe durch Ableiten von F: ( 9 e ) ' = 9 e = e und cos ( ) ( 5 cos () ) ' = 5 ( ) sin ( ) = 5 sin ( ) F'() = e 5 sin ( ) = f () Aufgaben F ist eine Stammfunktion von f. Bestimmen Sie F (). a) f () = e + b) f () = e c) f () = e d) f () = e 0, e) f () = 5 e 5 f) f () = e g) f () = sin (5 ) h) f () = cos ( ) i) f () = sin ( Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. a) f () = 5 e 0,5 + b) f () = e c) f () = e 5 d) f () = sin ( ) + e) f () = + cos () f) f () = + e e + g) f () = 5 cos ( ) + 5 h) f () =,5 cos ( ) i) f () = sin ( ) j) f () =,5 ( sin ( )) k) f () = ( cos ( ) e + ) l) f () = m) f () = + + ( e + ) Gegeben ist die Funktion f mit f () = 5 ;. Bestimmen Sie alle Stammfunktionen von f. Welche dieser Stammfunktionen gehört zu F? sin ( ) n) f () = sin ( ) ( + ) F ) 5 5

21 Stammfunktion und unbestimmtes Integral 55 Weitere Fragestellungen zu Stammfunktionen Gegeben ist die Funktion f durch f () = + + ;. Das Schaubild einer Stammfunktion F von f verläuft durch den Punkt P ( 7). Bestimmen Sie F (). Eine Stammfunktion F von f: Punktprobe mit P ( 7): Gesuchte Stammfunktion F mit F () = c; c 7 = ( ) + ( ) + ( ) + c c = 6 F () = Für die erste Ableitung der Funktion f gilt f () = + e. Das Schaubild von f schneidet die -Achse in =. Bestimmen Sie f (). Aufleiten ergibt: f () = 8 + e + c; c Punktprobe mit S ( 0): 0 = 8 + e + c = + 8 e + c c = e 0 Funktionsterm f () = 8 + e + e 0 Zeigen Sie, F mit F () = + e ;, ist eine Stammfunktion von f mit f () = 8 e ;. Ableitung von F: F () = 8 e = f () F ist also eine Stammfunktion von f. Für eine Funktion f gilt: f () = + b. Das Schaubild einer Stammfunktion F von f verläuft durch A (0 ) und B ( ). Bestimmen Sie F (). Aufleiten von f () ergibt: F () = + b + c Bedingungen für b und c: F (0) = c = c = eingesetzt: F () = + b + F ( ) = ( ) + b ( ) + = b = 0 F mit F () = + ist die gesuchte Stammfunktion von f.

22 56 IV Integralrechnung Aufgaben Geben Sie eine Stammfunktion F von f mit F(0) = an. a) f () = b) f () = + c) f () = e + Bestimmen Sie eine Stammfunktion, deren Schaubild die -Achse in schneidet. a) f () = e 0,5 + b) f () = + Welche Stammfunktion F von f erfüllt die gegebene Eigenschaft? a) f () = cos ( ); der Graph von F verläuft durch A ( 0). b) f () = 6 ; der Graph von F schneidet die -Achse in. c) f () = 0,5 e + + ; F ( ) = d) f () = ; F () = e) f () = 6 sin ( ) ; F hat eine Nullstelle in 0 =. Gegeben ist die Funktion f mit f () = 6 ( 6);. a) Weisen Sie nach: F mit F () = _ ( 8 ) ist eine Stammfunktion von f. b) Begründen Sie, dass F genau eine Etremstelle hat. 5 Das Schaubild einer Stammfunktion F von f mit f () = 8 + verläuft durch den Punkt A ( ). Bestimmen Sie F (). 6 Die erste Ableitung einer Funktion f lässt sich durch f () = + sin ( ) beschreiben. Das Schaubild der zugehörigen Funktion verläuft durch den Punkt P ( 0). Bestimmen Sie den Funktionsterm f (). 7 Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Stammfunktion F von f mit f () = ;. Bestimmen Sie F () Für die zweite Ableitung der Funktion f gilt f () =. Das Schaubild von f verläuft durch den Ursprung mit Steigung. Bestimmen Sie f (). 9 Die Funktion f ist gegeben durch f () = + b + ;, b. Das Schaubild einer Stammfunktion F von f verläuft durch die Punkte P ( 7) und Q ( Bestimmen Sie F (). ).

23 7 IV Integralrechnung Die Funktion f hat eine Nullstelle im Integrationsintervall ist das Schaubild der Funktion f mit f () = + +. Wie groß ist die Fläche, die von und der -Achse auf [ ; ] begrenzt wird? Nullstelle von f: f () = 0 ergibt = ; = f hat einfache Nullstellen auf dem Integrationsintervall [ ; ]. Das Integral f () d = 9 liefert nicht den Inhalt der Fläche. Der gesuchte Inhalt muss also in zwei Schritten berechnet werden: f () d = [ ] = 0, A = 0,; die zugehörige Fläche liegt oberhalb der -Achse. f () d =, < 0; A =,; die zugehörige Fläche liegt unterhalb der -Achse. A ges = A + A = 0, +, =,8 A A Der Graph von f mit f () = 0,5 e begrenzt mit der -Achse und den Geraden mit = und = 0 eine Fläche. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. Nullstelle von f: f () = 0 0,5 e = 0 = ln () Stammfunktion von f: F () = 0,5 e Da f auf [ ; 0], in = ln (), das Vor zeichen wechselt, muss der Inhalt in zwei Schritten berechnet werden: ln () f () d =, 0 f () d = 0,6 ln () A ges =, + 0,6 =,05. Der Inhalt der Gesamtfläche beträgt etwa,05. 0 Hinweis: ln () f () d = 0 f () d + f () d =, + ( 0,6) =,77 ln () 0 Das Integral f () d =,77 liefert nicht den gesuchten Inhalt, sondern den Wert der Flächenbilanz. Der Inhalt der Fläche oberhalb der -Achse ist,77 größer als der Inhalt der Fläche unterhalb der -Achse.

24 Flächeninhaltsberechnung mithilfe der Integralrechnung 75 ist das Schaubild der Funktion f mit f () = 8 ;. Wie groß ist die Fläche, die von und der -Achse auf [ ; 5] begrenzt wird? Nullstelle von f: f () = 0 / = 0; = f hat auf dem Integrationsintervall [ ; 5] eine Nullstelle ohne VZW ( = 0) und eine Nullstelle mit VZW ( = ). 5 Das Integral f () d =,5 liefert nicht den Inhalt der Fläche. 5 Flächeninhaltsberechnung: 5 f () d =,86 f () d =,6 Gesamtinhalt: A ges =,86 +,6 =, Nullstelle ohne VZW mit VZW Bemerkung: Bei der Flächeninhaltsberechnung darf man über eine doppelte Nullstelle (Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel) hinweg integrieren. 5 5 Hinweis: f () d = f () d + f () d =,86 +,6 =,50 (Wert der Flächenbilanz) Der Inhalt der Fläche unterhalb der -Achse ist um,5 größer als der Inhalt der Fläche oberhalb der -Achse. Berechnung des Inhalts der Fläche zwischen dem Graph von f und der -Achse auf [a; b] ) Berechnung der Nullstellen von f auf [a; b]: f () = 0 liefert,, ) Berechnung der Integrale f () d a f () d b f () d ) Addition der Beträge der Integralwerte ergibt den gesamten Flächeninhalt: A = A + A + A A A A Graph von f a b

25 76 IV Integralrechnung Gegeben ist die Funktion f mit f () = e 0,5 ; mit Schaubild., die oordinatenachsen und die Gerade mit = u, u > 0, schließen eine Fläche mit Inhalt A (u) ein. Für welchen Wert von u gilt: A (u) =? Zeigen Sie: A (u) wird nicht größer als. Veranschaulichung der Fläche: Rechte Integrationsgrenze: u Fläche zwischen und der -Achse auf [0; u]: u f () d = [ e 0,5 ] u 0 = e 0,5u + 0 Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von u: A (u) = e 0,5u + Bedingung: A (u) = e 0,5u + = e 0,5u = u = ln ( ),9 Die Fläche zwischen, den oordinatenachsen und der Geraden mit = ln ( ) hat den Inhalt. Für u gilt: A (u), da e 0,5u 0 Schreibweise: lim A (u) = u Die Fläche hat einen endlichen Inhalt A =. A (u) wird nicht größer als. = u 5 Aufgaben Bestimmen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche. : f () = : f () = e 0,5 + : f () = sin() Gegeben ist die Funktion f. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von f und der -Achse über dem Intervall [ a; b ]. f hat keine Nullstelle in [a; b]. a) f () = cos () + ; [ ; ] b) f () = + 5; [ ; 0] Gegeben ist die Funktion f mit. Skizzieren Sie das Schaubild von f. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f und damit den Inhalt der Fläche, die vom Graph von f und der -Achse eingeschlossen wird. a) f () = ( ) ( + ) b) f () = + c) f () = +