Übungen - Funktionen 2. Grades

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Klaudia Becke
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1 Übungen Funktionen. Grades Übungen - Funktionen. Grades 1. Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln y1(x) = 4 x und y(x) = (x 1).. Berechne die Schnittpunkte der Parabel 4y = x mit der Geraden y = x + q: a) q = 3 b) q = 1 c) q = -1 d) q = Bestimme die Gleichung y = a(x u) + v einer Parabel so, dass sie den Scheitelpunkt S( 4) hat und durch den Punkt Q geht: a) Q(3 3) b) Q(-1 7) c) Q(0 10) d) Q(-6-1) 4. Bestimme die Gleichung y = x + bx + c einer Parabel so, dass sie durch die Punkte P und Q geht. Berechne ferner die Koordinaten des Scheitelpunktes: a) P( -7), Q(-3 8) b) P(-1 6), Q(4 6) c) P(7 7), Q(-7-7) d) P(3 0), Q(5 0) 5. Bestimme die Funktionsgleichung der folgenden Parabeln: a) b) c) d) 1

Anwendungen Funktionen.Grades Aufgabe 6 Die Kölnarena Das Dach der Kölnarena, einer Veranstaltungshalle in Köln-Deutz, wird von einem Stahlbogen getragen, der die Form einer quadratischen Parabel hat.

2 Anwendungen Funktionen.Grades Aufgabe 6 Die Kölnarena Das Dach der Kölnarena, einer Veranstaltungshalle in Köln-Deutz, wird von einem Stahlbogen getragen, der die Form einer quadratischen Parabel hat. Der Bogen ist über dem ebenen Erdboden an der höchsten Stelle 73 m hoch und hat eine Spannweite von ca. 180 m. a) Bestimme eine Gleichung derjenigen Funktion f, die die Parabel beschreibt. Das Dach der Kölnarena ist leicht geneigt. Zur Vereinfachung nehmen wir zunächst an, dass es waagerecht verläuft. 73 Für den Parabelbogen sollst du im Folgenden mit f(x) = - x + 73 weiterrechnen b) Wie lang kann das Dach maximal sein, wenn die Halle (über dem Erdboden) 30 Meter hoch sein soll? c) Der Bauherr möchte, dass die Halle mit diesem Parabelbogen 160 m lang sein soll. Was würdest du entgegenhalten? d) Kann man bei gleicher Höhe (73 m) einen Parabelbogen so konstruieren, dass ein 140 m langes Dach in 40 m Höhe aufgehängt werden kann? Begründe rechnerisch! Begründe auch nicht-rechnerisch, d.h. inhaltlich bzw. anschaulich! e) Die Abspannseile sind in gleichen Abständen von 10 m auf dem Dach befestigt. Sie treffen im Winkel von 45 auf die Dachfläche. Wie lang sind die Seile bei den x-werten x = - 60 und x = - 50? f) Das Dach der Kölnarena ist tatsächlich leicht geneigt. Auf der tieferen Seite ist es in 30 m Höhe an den Parabelbogen angehängt und steigt dann alle 10 m um 30 cm an. Wie lang ist das Dach und wie hoch ist es auf der anderen Seite? Aufgabe 7 Ein Tunnelproblem Ein Tunnel hat die Form einer Parabel. Die Scheitelhöhe beträgt 4 m, die Spannweite 8 m. a) Kann ein Lastwagen mit einer Höhe von 3.5 m und einer Breite von.1 m passieren? b) Wie breit darf der Lastwagen höchstens sein? c) Kann der Lastwagen aus a) zugleich mit einem Pkw der Höhe 1.6 m und der Breite 1.8 m passieren, wenn zwischen ihnen ein Abstand von 0.3 m bleiben soll?

3 Übungen Funktionen. Grades Aufgabe 8 Die Müngstener Brücke Die Müngstener Brücke ist mit 107 m die höchste Eisenbahnbrücke in Deutschland. Sie überspannt das Tal der Wupper und verbindet die Städte Solingen und Remscheid miteinander. Zeige, dass die Brücke parabelförmig ist. Aufgabe 9 Weitere Bauten, die ev. parabelförmig sind? 3

4 Lösungen Nr. 1 P( ), Q( ) Nr. a) (- 1), (6 9) b) (± 3± ) c) ( 1) d) keine Nr. 3 a) y = -(x ) + 4 b) y = 3 1 (x ) + 4 c) y = 3 (x ) + 4 d) y = (x ) + 4 Nr. 4 a) y = x -x 7, S(1-8) b) y = x -3x +, S( ) c) y = x + x 49, S( ) d) y = x -8x + 15, S(4-1) Nr. 5 a) y = x 4x + 3 b) y = x 4 c) y = -x + 4x - 3 d) y = x x - 4 e) y = x + 3 f) y = 3x 6x + 6 Aufgabe 6 a) Legt man das Koordinatensystem so fest, dass die x-achse auf dem Erdboden und die y-achse durch den höchsten Punkt des Stahlbogens verläuft, so hat die Parabelgleichung die Form y = a x + b mit unbekannten Formvariablen a und b. Der höchste Punkt (0 / 73) führt sofort zu b = 73. Aus der Spannweite von 180 m ergeben sich die Punkte P (- 90 / 0) und P (90 / 0). Eingesetzt in die Gleichung führt dies auf 0 = a <=> - 73 = 8100 a <=> a = - 73 / ,009. Demnach wird der Parabelbogen beschrieben durch die Gleichung f(x) = - 73 / 8100 x b) y = 30: 30 = - 73 / 8100 x + 73 <=> 73 / 8100 x = 43 x 4771 <=> x ± 69,07 Das Dach bzw. die Halle kann maximal 138,14 m lang sein. c) Ist die Halle 160 m lang, so ist x = ± 80, woraus y = f(80) 15,3 folgt. Wenn die Halle 160 m lang sein soll, dann kann sie höchstens 15,3 m hoch sein. Dies kann für einige Zwecke (Sport, Konzerte mit Beleuchtung) zu niedrig sein. Auch mögen sich die Zuschauerplätze, die man in der Länge gewinnt, in der Höhe verlieren. d) Hier wird die Stauchung des Parabelbogens variiert. y = a x + 73 und P(70 / 40) sind gegeben. 40 = a <=> - 33 = 4900 a <=> a = - 33 / ,0067. Die Parabel wäre mit a - 0,0067 stärker gestaucht als die bestehende Parabel mit a - 0,009. Ein derart gestauchter Stahlbogen könnte eine geringere Tragfähigkeit besitzen, oder die Verankerung im Boden (kleinerer Winkel) fällt schwerer. 4

5 Übungen Funktionen. Grades Aufgabe 7 a b) Ja, der Lastwagen darf höchstens.8 m breit sein. c) Ja, beide passen druch. Aufgabe 8 f(x) = ax f(30) = 900a = a = f(45) = 05a = a = Aufgabe 9 analog Aufgabe 8 5

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