Serie 11 - Bonusaufgabe

Transkript

1 D-MAVT Lineare Algebra I HS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler Serie 11 - Bonusaufgabe Die Abgabe der Bonusaufgabe erfolgt am Freitag, den 7. Dezember in Ihrer Übungsstunde. Die Abgabe kann ausschliesslich in derjenigen Übungsgruppe erfolgen, in die Sie sich zu Beginn des Semesters eingeschrieben haben. Eine verspätete Abgabe ist nicht möglich. Diese Bonusaufgabe wird mit 0 oder 1 Punkt bewertet, wobei 1 Punkt vergeben wird, wenn die Bonusaufgabe sinnvoll und umfassend bearbeitet wurde. ( 2 1. Betrachten Sie die Vektoren a = und b = 4) die folgenden Mengen von Vektoren: {( ( ( ( ,,, 3)} {( ( ( 1 0 1,, 1) 1)} {( ( 1 4, 8)} {( ( 1 5, 6)} {( 1 1)} ( 5 8). Betrachten Sie zudem Beantworten Sie für jede dieser Mengen die folgenden Fragen: Ist es möglich, a und/oder b als Linearkombination von Vektoren aus dieser Menge darzustellen? Falls ja, geben Sie jeweils ein konkretes Beispiel für eine solche Linearkombination. Stellen Sie zusätzlich dieses Beispiel graphisch in einem 2 dimensionalen Koordinatensystem dar. Verwenden Sie für jede Menge jeweils ein eigenes Koordinatensystem. Begründen Sie jeweils Ihre Antworten. Analysieren Sie Ihre obigen Resultate unter den folgenden Gesichtspunkten: Was beobachten Sie? Wie viele Vektoren scheinen Sie mindestens zu benötigen, um sowohl für a als auch für b eine Linearkombination zu finden? Welche Eigenschaften muss diese Menge von Vektoren erfüllen? Begründen Sie Ihre Antworten. 1

2 2. Betrachten Sie die Polynome p (t) = 4t + 2 und q (t) = 8t + 5. Untersuchen Sie die folgenden Mengen: {2t + 1, 2, 0, 3t} {1, t, t + 1} {2t + 1, 8t + 4} {2t + 1, 6t + 5} {t + 1} Ist es möglich, p und/oder q als Linearkombination von Polynomen aus der jeweiligen Menge darzustellen? Können Sie mit Hilfe Ihrer Resultate aus der vorhergehenden Aufgabe diese Frage beantworten, ohne zu rechnen? Begründen Sie Ihre Antwort. Verifizieren Sie Ihre Überlegungen, indem Sie konkrete Beispiele für solche Linearkombinationen geben, falls möglich. 2

3 D-MAVT Lineare Algebra I HS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler Serie 11 Aufgabe 1 ist online zu lösen. Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Freitag, den 14. Dezember um 14:00 Uhr ab. Die schriftlichen Aufgaben können Sie am selben Tag in Ihrer Übungsstunde abgeben oder im entsprechenden Fach im HG J Betrachten Sie die Menge R 2 + := R + R + der Paare positiver, reeller Zahlen. Die Addition auf R 2 + sei folgendermassen definiert: ( ) x1 y1 x1 y + := 1 x 2 y 2 x 2 y 2 Im Folgenden betrachten wir drei verschiedene Definitionen der Multiplikation mit einem Skalar λ R: x1 λx1 1. Definition.: λ := x 2 λx 2 x1 e 2. Definition.: λ := λ x 1 x 2 e λ x 2 x1 x λ 3. Definition.: λ := 1 x 2 x λ 2 Welche der folgenden Behauptungen sind korrekt? R 2 + ist ein Vektorraum mit der oben definierten Addition und Multiplikation mit einem Skalar gemäss der... (a) (b) (c) 1. Definition. 2. Definition. 3. Definition. 3

4 2. Es seien a, b, c R 3 Spaltenvektoren. Das Spatprodukt dieser drei Vektoren ist dann definiert als S(a, b, c) := (a b) c. a) Beweisen Sie, dass S(a, b, c) = det(a, b, c) gilt. b) Beweisen Sie, dass S(a, b, c) das Volumen des von a, b und c aufgespannten Parallelepipeds (Spat) ist. c) Was sagt das Vorzeichen von S(a, b, c) aus? 3. Wir interpretieren den Graphen G aus Serie 10, Aufgabe 4 als elektrisches Netzwerk, wobei jede Kante einem Widerstand von R 0 = 1 Ω entspricht. Berechnen Sie den Widerstand R zwischen τ den Knoten 1 und 5 mit Hilfe der Formel R = R 15 0 τ, wobei τ die Anzahl der aufspannenden Bäume von G ist und τ 15 die Anzahl der aufspannenden Teilbäume, welche die Kante zwischen den Knoten 1 und 5 enthalten. Verwenden Sie dazu die Formel aus Serie 10, Aufgabe 4. Hinweis: Die Anzahl der aufspannenden Teilbäume, welche die Kante zwischen den Knoten 1 und 5 nicht enthalten, ist gleich der Anzahl der aufspannenden Teilbäume des Graphen, den man erhält, wenn man die Kante zwischen den Knoten 1 und 5 löscht. 4

5 4. a) Für die Vandermonde-Determinante gilt die Formel 1 x 1 x x n x 2 x x n 1 2 det = 1 x n x 2 n... x n 1 n Verifizieren Sie diese Formel für n = 3. 1 i<j n (x j x i ). b) Für die Fläche eines ebenen Dreiecks mit den Seiten a, b, c gilt bekanntlich die Flächenformel von Heron: F = s(s a)(s b)(s c), wobei s = 1 2 (a + b + c). Man kann zeigen, dass die Formel 0 a 2 b 2 1 F 2 = 1 16 det a 2 0 c 2 1 b 2 c denselben Wert für F ergibt. Für das Volumen V eines Tetraeders mit den Kantenlängen a, b, c, p, q, r gilt eine ähnliche Formel, nämlich 0 a 2 b 2 c 2 1 V 2 = det a 2 0 r 2 q 2 1 b 2 r 2 0 p 2 1 c 2 q 2 p Welchen Inhalt hat das Tetraeder mit den Kantenlängen a = 1, b = 2, c = 3, p = 4, q = 3 und r = 2? 5