GRUNDWISSEN MATHEMATIK 10. JAHRGANGSSTUFE (G8)

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1 GRUNDWISSN MTHMTIK 0. JHRGNGSSTU G8 I. KRIS UND KUGL KRISSKTOR UND OGNMß ür eie Kreissektor mit Radius r ud Mittelpuktswikel gilt: ogeläge: r lächeihalt: 60 r r r 60 Der Quotiet r hägt ur vo a ud heißt ogemaß des Wikels. ezeichet ma mit de Wikel im Gradmaß ud mit desele Wikel im ogemaß, so gelte olgede Umrechuge: ; eispiele:. estimme Radius ud lächeihalt eies Kreissektors mit ogeläge 8cm ud Mittelpuktswikel cm 60 r r cm,8cm 60 0 r 60 0 cm 60 8 cm 5,8cm. iige Wikel im Gradmaß ud im ogemaß : r VOLUMN UND ORLÄCHNINHLT DR KUGL ür eie Kugel mit Radius r gilt: Volume: V r r Oerlächeihalt: S r Gi das Volume ud de Oerlächeihalt des ageildete Körpers i hägigkeit vo r a. Der Körper setzt sich aus eiem Zlider mit Radius r ud Höhe r ud eier Halkugel vom Radius r zusamme: 5 V V V r r r r Zlider Halkugel Die Oerläche esteht aus eiem Kreis Grudläche, der Matelläche des Zliders ud der Oerläche der Halkugel: S M S r rr r 5r Kreis Zlider Halkugel r r r

2 II. TRIGONOMTRI SINUS UND KOSINUS M INHITSKRIS Sei P ei Pukt au dem iheitskreis ud der Wikel mit der positive -chse als erstem ud der Halgerade [OP als zweitem Schekel. Ma deiiert: si : ; cos : 0 < < 90 : si > 0 cos > 0 P si cos 90 < < 80 : si > 0 cos < 0 P si cos 80 < < 70 : si < 0 cos < 0 si cos 70 < < 60 : si < 0 cos > 0 cos si P P TRIGONOMTRISCH UNKTIONN Um die Sius- ud Kosiusuktio auch ür Wikel kleier als 0 Drehug im Uhrzeigersi ud größer als mehr als eie vollstädige Drehug im Gegeuhrzeigersi deiiere zu köe, legt ma est: si k : si ud cos k : cos ür k Z si k 60 : si ud cos k 60 : cos ür k Z Die olgede ildug zeigt die Graphe der uktioe si: si ud cos: cos. G si O - G cos De Graphe oder de ilduge am iheitskreis etimmt ma olgede Zusammehäge: si si ; si si cos cos ; cos cos estimme alle [ ], ür die gilt: si

3 m Graphe lässt sich erkee, dass es vier Lösuge git: O - Der Tascherecher lieert mit 0 die kleiste positive Lösug, also: ür die weitere Lösuge ergit sich siehe Graph: DI LLGMIN SINUSUNKTION mit a 0, 0 ud RI heißt allgemeie Die uktio c a si c a si Siusuktio. a heißt mplitude, heißt Periode. Ihr Graph etsteht aus dem Graphe der Siusuktio. Strecke i -Richtug mit dem aktor. si durch olgede Schritte:. Verschiee i -Richtug um c ach liks c > 0 zw. ach rechts c < 0.. Strecke zw. Stauche i -Richtug mit dem aktor a.. alls a < 0: Spiegel a der -chse. Zeiche de Graphe der uktio si im ereich [ ; ].. Schritt: Strecke i -Richtug mit O dem aktor -. Schritt: Verschiee i -Richtug um c ach rechts c < 0 O -. Schritt: Strecke i -Richtug mit dem aktor O - -

4 III. XPONNTILUNKTION UND LOGRITHMUS DI XPONNTILUNKTION Die uktio a mit 0, a > 0 ud a heißt poetialuktio. Ist > 0, so steigt ihr Graph ür a > ud ällt ür 0 < a <. s gilt stets:. Der Graph scheidet die -chse im Pukt 0 : 0 =. rhöht ma um, so wird der uktioswert a mal so groß: + = a O O eispiel : u der rdoerläche eträgt der Lutdruck circa 000hPa Hektopascal. Pro Kilometer Höhezuahme verrigert sich der Lutdruck um etwa %. Gi eie uktio der orm a a, die die ahme des Lutdrucks mit der Höhe eschreit. Daei sei die Höhe i km ud der Lutdruck i hpa. Oesichtlich ist = 000, da au der rdoerläche = 0 der Druck 000hPa herrscht. rhöht ma um, so ällt der Lutdruck au 88% seies vorige Wertes. lso ist a = 0,88. Die gesuchte uktio lautet: 000 0, O eispiel : estimme a ud so, dass der Graph der uktio a durch die Pukte ud 5 0,5 verläut. Gleichugssstem: I a II i II 0,5 a 5 5 a a,5 a II 0,5 a 0,5 a a,75 a, 5 Die uktio lautet 5, 5,, 5.

5 DR LOGRITHMUS Die Lösug der Gleichug a mit > 0, a > 0 ud a heißt Logarithmus vo zur asis a. Schreiweise: loga log a ist also diejeige Zahl, mit der ma a poteziere muss um zu erhalte. Zeherlogarithme Logarithme zur asis 0 werde ot mit lg ezeichet: log 0 lg log55, da 5 5 Rechegesetze ür Logarithme: s seie a,, c > 0 ud a. Da gilt:. loga c loga loga c. loga : c loga loga c. d loga d loga. lg loga lga eispiele: 5. log 8 log8 log88 log0 5, de 0. lg lg6 lg lg6 lg lg : lg8 lg lg 0, 90. log 7 5, 87. Löse die olgede Gleichug: log log + log log log log log log. Gesetz log 9 8 Deiitio des Logarithmus XPONNTILGLICHUNGN Gleichuge, i dee die Variale als poet autritt, heiße poetialgleichuge. eispiele:. Löse die olgede Gleichug: lg lg5 lg6 lg5 lg lg lg6 lg5 lg lg lg6 lg lg6 lg lg5 lg6 lg5

6 lg lg6 lg lg5 lg lg5 lglg 6,6 : lg lg6. Löse die olgede Gleichug: u u u 0u u Rücksustitutio Sustitutio u : IV. VIRLDRTL; DINGT WHRSCHINLICHKITN VIRLDRTL s seie ud zwei reigisse eies Zuallseperimets mit der rgeismege. s gelte olgede ezeichuge ud Schreiweise: Die Schittmege ethält alle lemete, die sowohl i als auch i ethalte sid. Die Vereiigugsmege ethält alle lemete, die i oder i oder i eide Mege ethalte sid. Die Komplemetärmege ethält alle lemete, die i aer icht i ethalte sid. = {,,,, 5, 6} ; = {,, 6} ; = {, 6} = {6} ; = {,,, 6} ; = {,, 5} Zwei reigisse ud zerlege die rgeismege i vier Teilmege:,, ud s.. Jedes rgeis gehört zu geau eier dieser vier Teilmege. Die zahle der lemete dieser vier Mege zw. die etsprechede Wahrscheilichkeite lasse sich i eier Viereldertael darstelle: P P P P P P P P P Vo 50 Persoe spreche 9 glisch, 7 razösisch ud 8 spreche eide Sprache. Wie viel Prozet der Persoe spreche keie der eide Sprache?

7 Viereldertael: ,%,6% 76,8% 58,6% 9,6%,% ,8% 5,% 00% 9,6% der Persoe spreche weder glisch och razösisch. Die Date eier Viereldertael lasse sich au zwei rte i eiem aumdiagramm darstelle:. Möglichkeit: P P P P P P P P. Möglichkeit: P P P P P P P P Mit de Date aus dem vorherige eispiel ergee sich olgede aumdiagramme: 76,8%,%,6% 6,8%,%,6% 5,% 9,6% oder: 6,8%,%,6% 76,8% 5,%,6%,% 9,6%

8 DINGT WHRSCHINLICHKITN s seie ud zwei reigisse eies Zuallseperimets mit P 0. Die edigte Wahrscheilichkeit P ist da die Wahrscheilichkeit ür das itrete vo, we ereits eigetrete ist. s gilt: P P P eim zugehörige aumdiagramm stehe die edigte Wahrscheilichkeite a de Zweige der zweite Stue: P P P P P P P P P P Mit de Date aus dem vorherige eispiel ergit sich das olgede aumdiagramm: 76,8%,%,%,% 56,8%,6% 58,6%,6%,% 9,6% De: P,% 0,,% P P 76,8%,6% P 56,8% 76,8%,6% P 58,6%,% 9,6% P,%,% Die Wahrscheilichkeit, dass eie Perso, vo der ma weiß, dass sie glisch spricht, auch razösisch spricht, eträgt hier also,%.

9 V. GNZRTIONL UNKTIONN POTNZUNKTIONN Die uktio a a > 0, ugerade: mit heißt Potezuktio -te Grades. a > 0, gerade: O O - 0,5 0,5 0,5-0,5 0,5 5 0,5 6 Die Graphe ür a < 0 etstehe aus de Graphe mit a > 0 durch Spiegelug a der -chse. - estimme a ud so, dass der Graph der uktio a durch,6 ud 5, verläut. Gleichugssstem: I,6 a II 5, a,6 a i II,6 II, 5,,75,5,5, 75 5,6 log, 5,75,6 0, a Die uktio lautet 0,. GNZRTIONL UNKTIONN Die uktio a a a... a a0 mit reelle Koeiziete ud atürliche poete heißt gazratioale uktio -te Grades. Der uktiosterm heißt Polom -te Grades. Das Verhalte eier gazratioale uktio wird ür etragsmäßig große -Werte durch de Summade mit dem höchste poete estimmt. 7 5, 0 ist ei Polom 7. Grades. 7 5, 0 ist eie gazratioale uktio 7. Grades. Der höchste poet ist ugerade, der zugehörige Koeiziet egativ. Der Graph verläut also vo liks oe ach rechts ute O -5-0

10 Ist eie gazratioale uktio -te Grades ud = a eie Nullstelle vo, also a = 0, so lässt sich schreie als: a g Daei ist g ei Polom vom Grad. g erhält ma durch die Polomdivisio : a. ie gazratioale uktio -te Grades esitzt also höchstes Nullstelle. Das Verhalte eies Graphe i der Nähe eier Nullstelle hägt vo der Vielachheit der Nullstelle a: Ist die Nullstelle vo ugerader Ordug, idet ei Vorzeichewechsel der uktioswerte statt, ei Nullstelle vo gerader Ordug icht. eispiele:. Die uktio esitzt eie eiache Nullstelle ei, eie doppelte Nullstelle ei 6 ud eie dreiache Nullstelle ei 9.. estimme alle Nullstelle der uktio 66 0 Durch sstematisches Proiere idet ma die Nullstelle =. Polomdivisio: : = Die weitere Nullstelle erhält ma, idem ma das erhaltee Polom gleich Null setzt: 60 0 : ; 5 Die uktio lässt sich also so schreie: 5. estimme de uktiosterm der ageildete gazratioale uktio vierte Grades. G Die uktio hat eiache Nullstelle ei = 0 ud = ud eie doppelte Nullstelle ei = : a s ist, : a, a, a 0, 0, O - - -, -

11 VI. IGNSCHTN VON UNKTIONSGRPHN VRSCHIUNG s seie ud g zwei uktioe mit g a. Der Graph vo g etsteht durch Verschiee des Graphe vo um a i - Richtug ud um i -Richtug O : 5 estimme de Term der uktio g, dere Graph gegeüer dem Graphe vo um ach liks ud ach oe verschoe ist. a - G G g g STRCKUNG s seie, g ud h drei uktioe mit g k ud h k ud es sei k 0. Der Graph vo g etsteht durch Streckug des Graphe vo i -Richtug mit dem aktor k. Der Graph vo h etsteht durch Streckug des Graphe vo i -Richtug mit dem aktor k. g h G g G G h G O O SPIGLUNG s seie, g ud h drei uktioe mit g ud h. Der Graph vo g etsteht durch Spiegelug des Graphe vo a der -chse. Der Graph vo h etsteht durch Spiegelug des Graphe vo a der -chse. g h G g G O - G O - G h

12 SYMMTRI s sei eie uktio mit der Deiitiosmege. Der Graph vo ist geau da achsesmmetrisch zur -chse, we ür alle gilt: Der Graph vo ist geau da puktsmmetrisch zum Ursprug, we ür alle gilt: eispiele:. : ] [ chsesmmetrie zur -chse. si : si si si Puktsmmetrie zum Ursprug. : Keie Smmetrie zum Koordiatesstem ie gazratioale uktio heißt gerade ugerade, we im uktiosterm ur -Poteze mit gerade ugerade poete autrete. Die Graphe vo gerade uktioe sid achsesmmetrisch zur -chse. Die Graphe vo ugerade uktioe sid puktsmmetrisch zum Ursprug. eispiele:. chsesmmetrie zur -chse Puktsmmetrie zum Ursprug Keie Smmetrie zum Koordiatesstem 0 8 8

13 VII. GRNZWRT IM UNNDLICHN Komme die uktioswerte eier uktio ür elieig groß werdede -Werte eiem Wert a elieig ahe, so heißt a Grezwert der uktio ür gege uedlich. tsprechedes gilt ür de Grezwert ür gege mius uedlich. Schreiweise: lim a zw. lim a Die Gerade = a ist waagrechte smptote vo G. lim a lim a a a Wachse die uktioswerte eier uktio ür wachsede üer alle Greze, so eistiert zwar kei Grezwert ür, jedoch verwedet ma die Schreiweise lim. tsprechedes gilt ür lim, lim ud lim. s eistiert kei Grezwert. Ma schreit: lim ud lim s eistiert kei Grezwert. esitzt eie uktio ür oder ür eie Grezwert, so heißt sie dort koverget. soste heißt die uktio dort diverget. eispiele: estimme, alls möglich, ür die olgede uktioe die Grezwerte ür. : 5. g : ud.. h : si

14 . ür äher sich ud dem Wert Null a. Daher gilt: 0 lim lim 0 5. g Der uktiosgraph verläut vo liks ute ach rechts oe. s eistiere keie Grezwerte ür. Ma schreit: lim g ; lim g. h si Die uktioswerte schwake zwische ud. s eistiere keie Grezwerte ür.