Demoseiten für

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1 Zhlefolge Große Eiführug Eiführede Beispiele Explizite ud rekursive Berechug Schubilder ud Eigeschfte Ergäzt durch viele Arte rekursiv defiierter Folge, uch spezieller Wchstumsfolge! Ergäzeder Eistz vo CAS-Recher mit Aleitug Dtei Nr. 00 Demoseite für Std: 9. Jur 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 00 Zhlefolge Eiführug Ihlt Ws hier so lles pssiert Vorschu Berechug vo Folge durch explizite Bildugsvorschrifte 5 Triigsufgbe 0 Berechug komplizierter Folge mit CAS-Recher. Berechug vo = +. Mit TI Nspire CAS. Mit CASIO ClssPd. Berechug vo Folge mit Bruchterme Berechug vo Folge durch rekursive Bildugsvorschrifte 6. Erste Beispiele 6. Rekursiv defiierte Folge mit kostter Summe + = + z 0. Rekursiv defiierte Folge mit kosttem Produkt = + z Triigsufgbe 5 Grudlge zu rithmetische ud geometrische Folge 5. Arithmetische Folge rekursiv berechet 5. Arithmetische Folge explizit berechet 6 5. Folge vom Typ + = + d+ c 0 Arithmetische Folge. Ordug 0 5. Geometrische Folge rekursiv berechet 5 Triigsufgbe Geometrische Folge explizit berechet 7 Demoseite für Triigsufgbe 6 Geometrische Folge ls Wchstumsfolge 6. Kotostd mit Ziseszis 6. Wchstum vo Bkteriestämme 7 (Wchstums-)Folge des Typs u+ = u q+ r 5 Lösuge der Triigsufgbe

3 00 Zhlefolge Eiführug Hiweise Die Abschitte bis 6 sid für bsolute Afäger gedcht. Im Abschitt 7 wird es spruchsvoll. Der i Abschitt 7 gete Folgetyp u+ = u q+ r führt zu verschiedertige Wchstumsfolge. Weil dieser Abschitt sehr speziell ist, wurde er i eie eigee Text mit der Nummer 000 usgelgert. Hier wurde scho ei weig rithmetische ud geometrische Folge gesproche. Diese hbe ber ihre eigee Texte, wo die zu ihe gehörede spezielle Frgstelluge triiert werde. Vorwort Die Texte über Folge wurde sehr erweitert ud überrbeitet. Dher sollte m sich uch i folgede Texte umsehe: 00 Eiführug Rekursive ud explizite Berechugsformel Grudlge zu rithmetische ud geometrische Folge (Dies wird i vorliegedem Text wiederholt! Geometrische Folge ls Wchstumsfolge (kurze Eiführug) 00 Arithmetische Folge. Ordug Dies wurde uch scho i 00 gesproche 009 Geometrische Folge ls Wchstumsfolge Prozetules (expoetielles) Wchstum ud Abhme (wie Ziseszisrechug, rdioktiver Zerfll). Hier wird och eiml besproche, ws kurz i 00 gezeigt worde ist. Wer es lso usführlicher brucht, lese hier ch! 000 Spezielle Wchstumsfolge Hier geht es um die rekursive Formel u = u q+ r. ud die explizite Berechug der Formel. Zu de Aweduge gehöre uch schwierigere fizmthemtische Vorgäge wie Rtespre, Retezhlug, Drlehesfizierug. Demoseite für Allgemei beschreibe diese Folge ds beschräkte Wchstum. Dzu gehört uch die beschräkte Abhme (Abkühlugsvorgäge u..) 0050 Arithmetische ud geometrische Reihe 0060 Geometrische Figure ls geometrische Folge Es komme uch Teilufgbe zu Reihe vor. 000 Aufgbesmmlug zu r./geom. Folge ud Reihe

4 00 Zhlefolge Eiführug Ws hier so lles pssiert Vorschu für dieses Heft Eie Liste vo Zhle wie 8;; 0; 6;... oder ; ; ; 5;... heißt eie Zhlefolge. Wichtig ist, dss m dbei die Reihefolge icht verädert. Im Gegestz zu eier Mege vo Zhle, die m i geschweifte Klmme schreibt { ; ; ; 5 ;...}. I ihr ist die Reihefolge beliebig, ud m schreibt gleiche Zhle ur eiml uf. Würde m diese Folge ; ; 0; ; ; 5... i eie Mege umwdel, würde sie so ussehe { 0; ; ; 5;...} oder so { ; ; 0 ; 5;...}. Als Mege sid sie gleich. M bezeichet Folge gere mit Buchstbe ud hägt die Nummer des Gliedes ls Idex : =, =, =, = 5, Ud bezeichet d ds llgemeie Glied er Folge gere mit.,,..., M verwedet uch die Fuktiosschreibweise ( ) ( ) ( ) Wie wird eie Folge i eier Aufgbe gegebe? Die erste Möglichkeit ist die ufzählede Schreibweise, die wir soebe kee gelert hbe: ; ; ; 5;... Die drei Pukte m Ede besge, dss es irgedwie weiter geht. I der Regel meit m ber, dss ei erkebres Bildugsgesetz weiter gewdt werde soll. Hier k m erkee, dss jede folgede Zhl um kleier ist ls der Vorgäger. Ds 5. Glied der Folge sollte lso 5 = 7 sei. Doch m wisse, dss es uedlich viele verschiedee Folge gibt, die lle mit deselbe Glieder begie ud d später uterschiedlich sid! Die zweite Möglichkeit ist eie explizite Bildugsvorschrift (Berechugsformel). Die Vorschrift N =,,,... eie Zhlewert. M k leicht chreche, dss = liefert für jedes { } m hiermit geu die Folge =, =, =, = 5, 5 = 7 usw. erhält. I der Schreibweise ( ) = erket m eher, dss es sich bei eier Folge um eie Fuktio hdelt, dere Defiitiosbereich hier die Mege der türliche Zhle ist. Die dritte Möglichkeit ist die rekursive Bildugsvorschrift. I userem Beispiel ist der Nchfolger stets um kleier ls der Vorgäger. M k de Vorgäger ud de Nchfolger + ee, oder ls Vorgäger ud ls Nchfolger verwede. D lutet die Formel so: + = Demoseite für oder =. Dies llei reicht ber icht. M muss och gebe, wie ds erste Glied der Folge heiße soll, lso hier =. Mit = erzeugt diese Formel eie dere Folge! I diesem Heft werde gz viele Folge rekursiv erzeugt. Druter sid fizmthemtische Aweduge ud dere Wchstumsfolge. Rtespre, Drlehe usw. gehöre uch zu rekursive Folge ud werde im. Teil des Textes (000) besproche. Bei viele Aufgbe stelle die CAS-Recher eie große Hilfe dr. Dher wird sehr oft ls Ergäzug eie Aleitug zum Eistz dieser Recher gegebe.

5 00 Zhlefolge Eiführug 5 Berechug vo Folge durch explizite Bildugsvorschrifte Beispiel Die Fuktio f( x) = x mit x R ist eie liere Fuktio. Ihr Schubild ist eie Gerde. Beschräkt m sich uf de Defiitiosbereich = = {,,,...} D N, d erhält m ebe ur die dzu gehörede Werte, die ls Zhlepre drgestellt zu eizele Pukte dieser Gerde werde. M et die Fuktio d eie Folge ud schreibt dere Fuktiosterm / Folgeterm z. B. so =. Die Verwedug vo sttt x soll optisch sofort klr mche, dss m ur türliche Zhle eisetzt, Die Folge sieht d so us: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Beispiel f oder = = f oder = = f oder = = 5 f oder = = 8 f 5 oder = 5 = usw. Wir hbe jetzt füf Werte der Zhlefolge -; ; 5; 8; ; berechet. Ds Schubild dieser Folge besteht us de (füf) blue Pukte. Mehr psse icht i die Abbildug. Die Fuktio f( x) Ihr Schubild ist eie Prbel. = x mit x R ist eie qudrtische Fuktio. Wir beschräke us uf de Defiitiosbereich = = { } ud schreibe d etw b D N o 0,,,,..., =, d etsteht eie Folge, die mit = 0 begit, ud dere Schubild us Pukte dieser Prbel besteht. M erhält d: Demoseite für bo 0 0 = =, b = = 9 =, 9 b = = =, b = = =, b = = 6 = 8, usw. Ds Schubild besteht lso us de Pukte mit diese 9 Koordite: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Beispiel 0 0,,,, 8,... Bereche zur Bruchfolge c + = die erste vier Glieder für N. + Die Lösug steht uf der ächste Seite.

6 00 Zhlefolge Eiführug 6 Lösug: + c = = +, c + = = + 5, c + 5 = = + 6 c, + 6 = =, + 5 x+ = x+ ist die rote Kurve. Die blue Pukte gehöre zu + Schubild der Folge c =. + Ds Schubild der reelle Fuktio f( x) Beispiel M k türlich uch us Expoetilfuktioe Zhlefolge mche, etw us ( ) d =. f x x = die Folge Die Werte der Folge sid d Zweierpoteze: d = =, d... 6 = = = ud d = = =, 5 d5 = =, d 8 = = =, Solche Expoetilfuktioe trete ls Wchstums- fuktioe i Erscheiug. Nehme wir ls Beispiel 5, de Kotostd eies Guthbekotos, bei dem immer m Jhresede der Jhreszis dzu kommt ud sost ichts pssiert. Im Text 850 wurde uf de Seite / berechet, wie sich 000 bei eiem Zisstz vo % vermehre: Die Kotostdsfolge lutet 0 K = K q = 000,0. Hier begit m mit der Zählug der Folgeglieder scho bei = 0, wählt lso de Defiitiosbereich = = { } M erhält für die Jhre,, ud : D N o 0;;;.... Demoseite für K = 000,0 = 0 K = 000,0 =,60 K = 000,0 = 70,9 K = 000,0 = 50,0, usw. Ds Schubild wurde mit Mthegrfix erstellt. Die Treppefuktio ht dort die Gleichug f(x) = 000*,0^Guss(x). Sie gibt de währed eies Jhres kostt bleibede Kotostd.

7 00 Zhlefolge Eiführug 7 Weitere Beispiele (6) = ergibt:, 7,, 5, Behuptug: Hier ehme die Glieder der Folge stets um zu. Dies wolle wir beweise. Es geügt icht, dies Hd der Zhle zu überprüfe! Dzu reche wie us, wie groß gz llgemei die Differez zwische eiem Folgeglied ud seiem Nchfolger + ist. Für Afäger ist es oft schwierig, ei Glied + zu bereche. Doch ds ist gz eifch: Soll m 7 bereche, ersetzt m durch 7. Soll m + bereche, ersetzt m durch (+): + = ( + ) = + = + Wir subtrhiere de Nchfolger vom Vorgäger: + = ( + ) [ ] + + = Also wisse wir: + + = + ud ds wr j die Behuptug! Bei der Subtrktio vo muss m och druf chte, dss m keie Vorzeichefehler mcht, de ds Miuszeiche vor [ - ] mcht drus +! Jetzt hbe wir uch eie rekursive Berechugsmöglichkeit für diese Folge gefude: + = + mit =. Zur Erierug: M muss ds Afgsglied zu eier rekursive Bildugsvorschrift stets gebe! Bei eiem dere Afgsglied ergibt die gleiche Rekursiosformel eie dere Folge: Etw + = + mit = 0. M erhält d = + = 0+ = = + = + = 8 = + = 8+ = usw. Diese eue Folge ht uch die Eigeschft, dss ds chfolgede Glied immer um Demoseite für größer ist ls der Nchfolger. Ihre explizite Formel lutet übriges: = + 6 (7) = 50 5 ergibt: 5, 0, 5, 0, Hier ehme die Glieder der Folge immer um 5 b. + = = = 5 Also wisse wir: + = 5 ud ds wr j die Behuptug! Jetzt hbe wir uch schei eie rekursive Berechugsterm: Es ist + = 5 mit = 5. Drus k m d erreche: = 5 = 5 5 = 0. Drus d = 5 = 0 5 = 5 usw. Beweis: ( ) [ ]

8 00 Zhlefolge Eiführug 8 (8) = ergibt: -, 0,, 8, Ds Schubild dieser Folge besteht us Pukte eier Prbel. 6 6 (9) = ergibt: 6, 8,,, Die Pukte des Folge- Schubilds liege uf der Hyperbel mit der 6 Gleichug y = x + (0) Bereche u bitte 0 bis 6 für die Folge: =. Lösug: O = =! = =, 7 = = = = 0 existiert icht! Demoseite für = = 6 5 = = = = 6 usw. Die Pukt-Folge liegt uf eier Hyperbel, die llerdigs bei x = keie Pukt besitzt, weshlb uch icht existiert (de durch 0 k m j icht teile!).

9 00 Zhlefolge Eiführug 9 () ( ) = ( + ) ergibt ( ) ( ) = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + = 5 = + = + 6 usw. Eie Folge dere Glieder bwechseld uterschiedliche Vorzeiche trge, heißt eie lterierede Folge. () ( ) + = ( + ) ergibt ( ) ( ) Beobchtug: ( ) ( ) + = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) = + = = + = + 5 = + = 6 usw. Die Folge () ud () uterscheide sich ur i ihre Vorzeiche. Der Grud dfür liegt i de Fktore ( ) ud ( ) +. Ud ds ist die Wirkug dieser Fktore: erzeugt für ugerdes ei Miuszeiche, für ei gerdes ei Pluszeiche. erzeugt für ei ugerdes ei Pluszeiche, für ei ugerdes ei Mius, de der Expoet ethält +, ud dher wird bei ugerdem der Expoet gerde. Dsselbe pssiert bei ( ). () Diese sogete Vorzeichefolge sollte m sich gut merke: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = :, -,, -, usw. = + : -,, -,, usw. = : -,, -,, usw. = :,,,, usw. (de ist immer gerde!) = + -, -, -, -, usw. (de + ist immer ugerde!) () Auch diese Folge sollte m sich gut merke: Demoseite für = :,, 6, 8, usw. ist die Folge der gerde Zhle. = :,, 5, 7, usw. ist die Folge der ugerde Zhle. = + :, 5, 7, 9, usw. ist die Folge der ugerde Zhle b. = :, 6, 9,, usw. ist die Folge der Vielfche vo. = + : 5, 9,, 7, usw. ist die Folge der um vergrößerte Viererzhle. = 5 :, 7,, 7, usw. ist die Folge der um verkleierte Füferzhle. usw.

10 00 Zhlefolge Eiführug 0 Triigsufgbe Bereche jeweils bis 5. () = (b) = 0 (c) = 6 (d) = + (e) = 8 (f) = (g) (i) = ( ) + (h) Demoseite für ( ) + = (Skizze!) = + (j) = ( ) Vereifche de Term! (k) (m) (o) (q) Auf welche Kurve liegt diese Folge? Skizze! 8 = (l) = Term vereifche! Skizze! = + (Skizze) () = si( ) Skizze! ( ) + =!! (p) = ( ) (r) (t) ( ) = + (u) Ws k m über die Werte ussge? ( ) π =!! = + = (v) = sg( ) (w) ( ) Ws k m über die Werte ussge? (x) = ( ) ( ) + (Wichtige Lösug!) ( ) ( ( ) ) = + Kst du ds Ergebis erkläre? (y) =

11 00 Zhlefolge Eiführug Berechug komplizierterer Folge mit CAS-Recher. Berechug vo Folgeglieder zu = +.. Mit TI Nspire CAS. Zuerst wird die Folge ls Fuktio defiiert. D öffet m die Tbelleklkultio (Lists & Spredsheets) ud wählt de Meüpukt 5: Fuktiostbelle ud d de Uterpukt : Zu Fuktiostbelle wechsel. D erscheit eie och leere Wertetbelle, bei der i der. Splte gezeigt ist, welche Fuktioe defiiert sid. Wir beötige f(x) ud drücke. Drufhi wird die Tbelle mit Werte gefüllt, hier b = 0. Usere Folge begit llerdigs b =. M k beliebig weit ch ute blätter ud so weitere Werte zeige lsse. Demoseite für Übriges lsse sich die Voreistelluge für die Berechug der Wertetfel sehe ud äder: Bevor m die Tbelleusfülle lässt, k m ds über ds Meü 5 / erledige:

12 00 Zhlefolge Eiführug. Mit CASIO ClssPd Zuerst öffet m ds Huptmeü ud defiiert die Folge ls Fuktio. D öffet m ds Meü Zhlefolge ud gibt dort uter dem Krtereiter Explizit de soebe defiierte Fuktiosterm f() ei. Dmit dies uch wirksm wird, muss m ds Kästche kliocke ud so de Hke setze. Nu klickt m ds Ico für die Wertetfel : Ud erhält eiige Werte. Ds blu umrdete Ico öffet ds Fester zur Äderug der Tbelleprmeter: Ich hbe u de Strtwert gesetzt Demoseite für D lsse ich ds Folgeschubild durch Klick uf ds rot umrdete Ico zeige. Mit dem Ico mit de Pfeile k m die Festereistelluge veräder, so lge bis m mit der Drstellug zufriede ist.

13 00 Zhlefolge Eiführug. Berechug vo Folge mit Bruchterme. Beispiel + = Die Berechug der Folgeglieder wird muell eifcher, we m folgede Tipp beherzigt: Steht im Neer keie Summe, zerlege de Bruch i Eizelbrüche. D geht so: + = = + = +. Also ehme wir = + Beispiel Mit der gegebee Form erhält m: = = 5; = ;... = ; = ; 5 = ;... 5 Die zerlegte Form brigt: = + = 5; = + = ; = + = ; = ;... Welche Vorteil ht die zweite Form? M erket, dss zu stets ei Bruch dzu ddiert wird, desse Wert immer kleier wird ud gege 0 geht. Dmit k m Herusrbeite, dss sich diese Folge immer mehr dem Wert ähert, de m de Grezwert der Folge et. lim + = ud m erket uch scho de Grud: lim = 0. M schreibt ds so uf: ( ) Ds Them Grezwert kommt erst i 0 ud 0 die Reihe. = + Zuerst müsse wir über die Zerlegug dieses Bruchterms rede. Schüler verlere sehr schell die Regel des Bruchreches ud komme hier d uf die verwegeste Idee. Beispielsweise ist folgeder Versuch der blke Whsi: = = = = + Diese uerlubte Zerlegug führt zu eiem usiige Ergebis. Hierch wäre lle Glieder idetisch. We m zerlege will, k m eie der folgede Methode wede: Demoseite für () Der Neer heißt + M ädert de Zähler so, dss obe ds Doppelte steht, lso ( + ) = +. Dmit der lte Zählerwert erhlte bleibt, muss m -5 füge: ( + ) 5 ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) = = = 5 = () Mit Polyomdivisio erreicht m dsselbe: 5 Also ist: = = + + ( ) ( ) ( ) : + = + 5 Rest

14 00 Zhlefolge Eiführug () Wer mit CAS-Recher rbeitet, ht es viel eifcher: Hier wird mit CASIO ClssPd der Term zerlegt ud gleich schließed eie Wertetfel der Folge usgegebe. () Mit TI Nspire läuft ds geuso. Über ds Meü b7 (Echter Bruch) beschfft m sich de Befehl propfrc ud erhält dieselbe Zerlegug. Zur Berechug der Wertetfel rufe m Lists & Spredsheets uf ud erzeugt über b5 die Wertetbelle: Mit MtheGrfix lsse ich ds Schubild erstelle. Es lässt erhe, dss es uch hier eie 5 Grzwert gib. M vermutet lim = lim + = + + x Mit rot ist die Kurve y = uterlegt. Die blue Pukte gehöre zum Schubild der Folge. x + Demoseite für

15 00 Zhlefolge Eiführug 5 Beispiel = + Auch hier zuvor eie Wrug: Diese Umformug = + ist flsch! M k hier icht weiter zerlege. Auch icht mit Polyomdivisio! We der Grd des Zählers kleier ls der des Neers ist, liegt ei echter Bruch vor, de m icht weiter zerlege k. Beispiel Hier eiige Glieder der Folge: =, 5 6 = =, = ; = =, 5 =, 6 = = Diese Werte werde immer kleier. Die Folge fällt offebr b : = 5 Diese Folge zeigt ei seltsmes Verhlte, de zuerst ht sie egtive Werte, d fällt ei Wert völlig us: Demoseite für 5 y = x x = = existiert icht. Schließlich scheit sie etlg eier Gerde uedlich groß zu werde. Dieses Verhlte wird i 0 geuer utersucht. = +

16 00 Zhlefolge Eiführug 6 Berechug vo Folge durch rekursive Bildugsvorschrifte Eie Folgedefiitio heißt rekursiv, we m jedes Glied us seiem Vorgäger bereche muss. Ntürlich muss ei Afgsglied gegebe sei, dmit m weiß, wo m mit der Berechug begie k. Dies muss ber icht ubedigt sei. M k beispielsweise uch 5 vorgebe ud vo dort us icht ur die chfolgede Glieder, soder uch die Vorgäger bereche.. Erste Beispiele () Gegebe ist die Vorschrift: = + mit = 5. Hier wird us - der Nchfolger berechet. Ud zwr so: = + = 5+ = 8. = + = 8+ = = + = + = usw. Aber ds geht icht: 7 = 6 + =? We m 6 och icht ket, lässt sich 7 icht bereche. Noch ei Hiweis: We sttt = 5 ei derer Wert gegebe ist, etw = -, d wird trotz gleicher Berechugsvorschrift die Folge ders: = + = + = = + = + = = + = + = 5 Hiweis: Die explizite Formel für diese Folge lutet: = + = 5+ = 8 usw. = + 5 M erhält hier zufällig b dieselbe Zhle wie bei der obere Folge, ber diese beide Folge sid deoch verschiede, weil die Nummer uterschiedlich sid! () Gegebe ist die Vorschrift: + = 6 mit = 50. Demoseite für Hier geht die Formel im Gegestz zu () vo us ud berechet de Nchfolger, der d türlich + heißt. Ob m i deier solche Vorschrift mit ud + rbeitet, oder wie i () mit - ud, ds ist völlig uerheblich. M köte hier die Vorschrift uch so schreibe: = 6. Oder m köte i () + = + verwede. Ds Ergebis ist dsselbe! Hiweis: Hier berechet m u = 6 = 50 6 =. = 6 = 6 = 8 = 6 = 8 6 = usw. Die explizite Formel für diese Folge lutet: = 50 6 Hiweis: () ud () et m rithmetische Folge, weil die Differeze ufeider folgeder Glieder gleich groß sid. Siehe dzu Abschitt 5 ud Text 00.

17 00 Zhlefolge Eiführug 7 () Gegebe: + = mit = 5. M erket, dss die Folgeglieder fortgesetzt durch geteilt werde. M erhält so: = 5 = 8 = 8 = 6 = 6 = = = 5 6 = = 9 Hiweis: Die explizite Formel für diese Folge lutet: ( ) = 6 = 6 Hier liegt eie geometrische Folge vor, ämlich immer d, we der Nchfolger us dem Vorgäger durch Multipliktio oder Divisio mit eier kostte Zhl etsteht, lso we gilt: + kostt =. Ds wird i Abschitt 5. usführlich besproche. () Gegebe sei + = mit 5 =. Die eizig bekte Zhl der Folge ist jetzt 5 ud icht. Reche wir lso zuerst eiige Nchfolger vo 5 us: 6 = 5 = = 8 = = 8 = = = 6 = usw. 8 7 Nu ber reche wir zurück, de die Vorgäger sid uch gesucht. Dzu stellt m die Berechugsformel ch dem Vorgäger N um: + = ergibt d: 5 = = = = = = Demoseite für = = Hiweis: Die explizite Formel für diese Folge lutet: = + = = = =. Hiweis: Es hdelt sich uch hier um eie geometrische Folge, de der Quotiet ufeider folgeder Zhle ist kostt: + =. Geometrische Folge werde i Abschitt 5 ud vor llem im Text 000 usführlich besproche

18 00 Zhlefolge Eiführug 8 (5) Gegebe: = mit = 7 Berechug vo Nchfolger: = = = 9 5 = = 57 = 55 = = 65 = Hiweis: Berechug vo Vorgäger: Umstellug der Formel. = + + = : + = = = = = = = = Die Folge (5) gehört zu eiem gz spezielle Typ vo Wchstumsfolge. Siehe dzu de Abschitt 7. (6) Gegebe: = mit =. Also folgt = = = = 0 = 0 = 5 Demoseite für ( ) = 5 = 7 usw. (7) Die folgede Rekursiosformel greift uf zwei Vorgäger zurück, lso muss m uch zwei Zhle vorgebe: = + mit = ; =. Also folgt = + = + = = + = + = = + = + = 5 usw. 5 (8) Gegebe: + = + mit = ud = Hier wird ei Folgeglied us jeweils Vorgäger berechet: = = = = (9) Gegebe ist = = = = 5 ( ) ( ) ( ) = = = + = = = = + 6 = = = 5 = 5+ = 7 usw = mit = ud =. Es folgt = = = 6 Hiweis: Die explizite Formel für diese Folge lutet: = + Wer ket hier eie explizite Berechugsformel? Bitte um Zuschrift! 6 = = = 6 = = = 8 usw. 5

19 00 Zhlefolge Eiführug 9 (0) + + = mit = = = = = 7, = = Weitere Werte sehe wir i der Tbelle. Offebr geht die Folge gege de Wert 0. () (Eie explizite Formel kee ich icht.) = mit = 0 Diese Folge läuft gege de Wert g =,798 + Ud ds ist geu g =. Wie m druf kommt, wird viel später verrte. Demoseite für Besoders iteresst ist die Ttsche, dss die Werte bwechseld hi ud her sprige, ud zwr liege sie bwechseld über diesem Grezwert ud wieder druter.

20 00 Zhlefolge Eiführug 0. Rekursiv defiierte Folge mit kostter Summe + + =z () Gegebe: + = mit =, lso + = + 0 Es folgt: = = = = = = usw. Wir erhlte die Folge, -,, -, Es fällt uf, dss hier städig zwei Zhle bwechseld erscheie, ud die Summe der beide Zhle ist stets 0, ws j scho die Formel zeigt. () Gegebe: + = + 0 mit = 6, ws m uch so schreibe k: + = 0 Diese Gleichug besgt, dss die Summe ufeider folgeder Glieder immer 0 ist. D = 6 ist, muss folglich der Nchfolger die Zhl sei. Ud dere Nchfolger (dmit die Summe 0 wird) wieder 6, d wieder usw. M erket lso, dss eie Folge, die eie us eier rekursive Formel der Art + = z gebildet wird, immer so ussieht, dss die Summe ufeider folgeder Glieder gleich z ist. Begit m mit, d ist = z, ud d = z (z ) =. Also wechsel sich ud z - städig b. Iteresst ist och ei Trick, mit dem m eie explizite Formel erstelle k. Allditive Methode: Zu Beispiel (): Die beide vorkommede Werte sid 6 ud. Der Mittelwert vo beide ist ( ) m = 6 + = 0 = 0. Die beide Zhle hbe vo m de Abstd d = 6 0 = bzw. d= 0 6 = Subtrhiert m vo 0 dieses d =, kommt m zu 6, ddiert m ber, erhält m die Demoseite für dere Zhl. Also heißt die Formel doch etw so: 6 0 d = = 0±. Doch w immt m + ud w -? Ds regelt der Fktor (-) oder (-) +. + d =+. Möglichkeit: ( ) = 0+, d erhält m für ugerdes : = 0 = 6 ud für gerdes : = 0+ =. (richtig!). Möglichkeit: ( ) + = 0+ d erhält m für ugerdes : = 0+ = ud für gerdes : = 0 = 6. (flsch) Ds würde psse, we = ud d = 6 wäre!

21 00 Zhlefolge Eiführug Übersicht: Gegebe ist die Folge r, s, r, s, r, s,.durch + = + z.. Schritt: Bereche de Mittelwert ( ) m = r + s = z. Schritt: Bereche de Abstd d der beide Zhle r ud s vo m: Er ist prktisch der Rdius des Itervlls vo r bis s: d = z r (m brucht de Betrg, we r > s ist).. Schritt: Die explizite Formel heißt d: etweder = m+ ( ) d oder ( ) = m+ d. Demoseite für Je chdem, ob die kleiere der beide Zhle r ud s ls uftritt oder ls. () Stelle eie rekursive ud eie explizite Formel für die Folge, 7,, 7,... uf. ) Zuerst sollte m festhlte, dss die Summe ufeider folgeder Zhle immer ist: + = mit + = - ist somit die rekursive Defiitio. für ugerde b) Eie explizite Drstellug sieht so us: =. 7 für gerde c) Mit eiem eizige Term: Mittelwert: + 7 m = = =, Rdius : d d= = 5 = = oder ( ) Formel: = m+ ( ) d= + ( ) 5 oder ( ) ( ) + + = m+ d = + 5 Probe: = 5 = stimmt! = + 5 = 7 flsch. Die erste Formel wird richtig, weil bei ugerde (-) zu - wird ud somit die kleiere Zhl etsteht, die uch die Folge führt. = + 5 Ergebis: ( ) Hätte wir diese Folge 7,, 7,, 7,..., d müsste wir de zweite Term ehme, weil d (-) + der beide Zhle komme! ei Pluszeiche erzeugt ud wir so zur größere

22 00 Zhlefolge Eiführug. Rekursiv defiierte Folge mit kosttem Produkt (5) Gegebe: + = mit = 6. lso + = D folgt: = = =, 6 8 = = = 8 = 6 = ( ) 8 = = = ( = ) 6 8 Ist der eie Fktor (lso ) die Zhl 6, muss der dere = sei. 6 8 Ud desse Nchfolger muss wieder 6 sei, de ds Produkt beider Fktore muss immer sei. Begit m mit eiem dere Afgsglied, ädert sich die Folge. Beispiel: + = mit =, d ist = =. Nch folgt wieder usw., de ds Produkt ist stets. Allgemei: z Lutet die rekursive Formel + = bzw. + z =, d folgt uf z die Zhl = z ud druf wieder = = z = z usw. z Es wechsel sich lso immer die beide Zhle ud z b! Aufstellug eier explizite Formel dzu. Möglichkeit: dditive Methode wie i. beschriebe_ Der Mittelwert der Zhle 6 ud ist ( ) 9 9 m 6 8 = + = =. Demoseite für Die Differez vo m zu ist d = 6 = (Rdius des Itervlls vo bis Die explizite Formel lutet d: = 9 + ( ) 7 oder ( ) = Weil die größere der beide Zhle ist, beötigt m hier die zweite Formel: Probe: = + = = = 6, ws stimmt. Mit der. Formel würde m erhlte: 9 7 = = =, ws flsch ist D hätte die Folge mit 8 begie müsse!

23 00 Zhlefolge Eiführug. Möglichkeit: multipliktive Methode Wie m der Formel sieht, trete hier hässliche Brüche uf. Diese etstehe ddurch, dss es sich hier um kostte Produkte hdelt. M k diese Methode uf eie multipliktive Methode übertrge. D ersetze wir ds rithmetische Mittel durch ds geometrische Mittel de Rdius durch eie Quotiete ud die Summeformel durch eie Produktformel. Ausführlich: Die Folge heißt,6,,6,,6, Schritt: Bereche ds geometrische Mittel m = = 6 =. Schritt: Bereche de Quotiete q vo 6 ud m: q = = = = 8. Schritt: Die explizite Formel heißt d: etweder ( ) = m q oder. 8 Demoseite für = m q ( ) + Je chdem, ob die die kleiere Zhle ist oder icht. Probe mit ( ) ( ) = 8 : ( 8 ) = = = Richtig! 8 8 ( ) Probe mit ( ) ( ) + = 8 : ( ) = 8 = 8 = 8 = 6 = 8 = 8 = 6 Flsch! Triigsufgbe Die Lösuge ethlte ußer de geforderte 5 Werte viele Zusätze für fortgeschrittee Leser, etw uch wie m explizite Formel erstellt u. v.. ) = mit = b) + = mit = c) + = mit = - d) + = 5 mit = 55 e) + = mit = f) g) ( ) 6 = mit = ( bzw.) = mit = h) = + mit = i) + = mit = 0. j) + = + mit =, =

24 00 Zhlefolge Eiführug Usw. Demoseite für