Systemtheorie. Vorlesung 18: Spektren periodischer Signale. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

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1 Systemtheorie Vorlesug 8: Spektre periodischer Sigale Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma

2 Spektre vo Sigale Eiführug Sigale köe auf uterschiedliche Arte beschriebe werde Zeitbereich Laplace-Bereich Frequezbereich wird als weitere Beschreibugsform für Sigale ud Systeme vorgestellt Beschreibug vo Sigale über ei sogeates Spektrum Beschreibug vo Systeme über eie sogeate Frequezgag Vorteile der Beschreibug im Frequezbereich Physikalische Eigeschafte wie die farbliche Zusammesetzug des Lichtes oder die Zusammesetzug eies Toes aus verschiedee Schwiguge köe im Frequezbereich trasparet ud übersichtlich dargestellt werde Ausgagssigal vo Systeme, die über eie Differetialgleichug mit kostate Koeffiziete beschriebe werde, lässt sich für harmoische Eigagssigale vergleichsweise aschaulich beschreibe Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 2

3 Spektre vo Sigale Spektrale Zusammesetzug vo Licht Begriff des Spektrums ist mit Licht verbude, Licht ist der Teil des elektromagetische Spektrums, der durch das meschliche Auge direkt wahrgeomme werde ka Welleläge-Bereich des Lichtspektrums reicht vo ugefähr 38 bis 78 m, Frequezbereich vo ca bis Hz Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 3

4 Itesität Spektre vo Sigale Spektrale Zusammesetzug vo Licht Sichtbare Lichtspektrum ist die Mege aller vom Auge uterscheidbare Spektralfarbe, sie überlager sich im Auge ud führe zu eiem Farbeidruck des betreffede Körpers Uterschiedliche Lichtquelle habe eie uterschiedliche spektrale Zusammesetzug Vergleich des Spektrums vo Lichts für Soelicht sowie des Lichts eier Neo- Lampe ud eier Haloge-Lampe Obwohl das meschliche Auge alle drei verwedete Lichtquelle weitgehed als weiße Lichtquelle wahrimmt, uterscheide sie sich i ihrem Spektrum Soelicht Neo-Lampe Haloge-Lampe Welleläge / m Sie habe charakteristische Spektralliie, die die Lichtitesität bei defiierte Frequeze beschreibe Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 4

5 Beispiel: Spektre vo Sigale Spektroskopie Spektroskopie als Awedugsfall für Spektralaalyse Zur Charakterisierug vo Materialie wird eie Probe vo Licht durchstrahlt ud das Spektrum des Lichtes vor ud ach der Probe bestimmt Eizele Spektralliie repräsetiere das Licht eier geau defiierte Frequez, das vo eiem Atom oder Molekül aufgrud eies quatemechaische Übergags abgegebe oder absorbiert werde ka Spektrum des Lichtes vor der Probe Spektrum des Lichtes ach der Probe I Abhägigkeit des vorliegede Stoffes werde charakteristische Spektralateile vo dem ursprüglich kotiuierliche Spektrum absorbiert, ach der Absorptio fehle sie i dem Spektrum Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 5

6 Spektrum Gitarre Spektrum Flöte Beispiel: Spektre vo Sigale Vergleich vo uterschiedliche Istrumete Idetisch gestimmte Musikistrumete gebe de Kammerto a mit derselbe Frequez wieder Trotzdem uterscheidet sich der To a eier Gitarre ud der To eier Querflöte vo seiem Klag her Deutlich zu erkee ist bei beide Spektre ei Maximum bei der Grudschwigug mit der Frequez f = 44 Hz Töe habe zusätzlich Spektralateile, isbesodere Oberschwiguge mit Frequeze kf, die Ursache für die uterschiedliche akustische Eidrücke der Istrumete sid Frequez f / Hz Frequez f / Hz Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 6

7 Spektre vo Sigale Reaktio vo Systeme auf harmoische Areguge Nebe physikalische Grüde gibt es mathematische Grüde, Sigale für systemtheoretische Aufgabestelluge im Spektralbereich zu beschreibe Vorteil wird a eiem RC-Glied aufgezeigt, Beschreibug mit der Übertragugsfuktio Gs U s U s R C s A = = E + Kausale harmoische Aregug E jt = u t U e t E Berechug des Ausgagssigals im Laplace-Bereich UE R C UE UA ( s) = UE = + + R C s s j + j R C + R C s + j R C s j Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 7

8 Spektre vo Sigale Reaktio vo Systeme auf harmoische Areguge Rücktrasformatio führt zu dem Ausgagssigal t U U ua t e t e t + j R C + j R C e RC e jt = + U U e t e t + j R C + R C t e RC e j( t+( ) ) = Ausgagssigal besteht aus eiem Eischwigateil ud eier harmoische Schwigug kostater Amplitude, Amplitude ud Phase ergebe sich aus de Gleichuge U A = U E + R C arcta( R C) = Für de Fall eier harmoische Aregug müsse demach ur das Verhältis der Ei- ud Ausgagsamplitude sowie die Phaseverschiebug bestimmt werde, beide Größe sid vo der Kreisfrequez abhägig Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 8

9 Spektre vo Sigale Reaktio vo Systeme auf harmoische Areguge Vorgehe ist vergleichbar zur Wechselstromtechik Amplitudegag als Verhältis der Amplitude vo Ei- ud Ausgagssigal A = U U A E ( ) ( ) Phasegag als Phaseverschiebug zwische Ei- ud Ausgagssigal = A E Wird ei LTI-System mit eiem harmoische Sigal ageregt, atwortet es ach diese Vorüberleguge mit eiem harmoische Sigal gleicher Frequez, Äderug der Amplitude ud Phase ka vergleichsweise eifach beschriebe werde Wird ei Sigal x(t) i viele harmoische Schwiguge uterschiedlicher Frequez zerlegt ud für jeder dieser Schwiguge das Ausgagssigal ach dieser Methode berechet, ergibt sich das Ausgagsigal y(t) bei lieare Systeme aus der Überlagerug der eizele Systematworte Überlegug führt zur Fourier-Reihe ud Fourier-Trasformatio Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 9

10 Sigal Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Ausgagspukt für eie Fourier-Reihe ist der Versuch, ei periodisches Sigal x(t) durch eie Überlagerug vo harmoische Schwiguge zu beschreibe N = N = 5 N = 25 x(t) j x t A e = t Approximatio des Sigals x(t) erfolgt über eie Summe vo harmoische Fuktioe mit der Kreisfrequez ud Vielfache der Kreisfrequez Koeffiziete A der harmoische Schwiguge werde als Fourier- Koeffiziete bezeichet, sie gebe a, mit welchem Gewicht die uterschiedliche harmoische Fuktioe eigehe Zeit t Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma

11 Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Koeffiziete A komplex, sie besitze eie Betrag ud eie Phase Kreisfrequez ergibt sich aus der Periodedauer T des periodische Sigals = 2 T Approximatio des periodische Sigals x(t) ist icht perfekt, es ergibt sich eie Abweichug zwische dem Sigal ud der Approximatio Komplexe Fourier-Koeffiziete c werde so bestimmt, dass der mittlere quadratische Fehler T /2 j t E( A) = A e x ( t ) dt = T /2 2 miimal wird, dazu müsse die partielle Ableituge des Fehlers ach de zu bestimmede Koeffiziete zu ull werde Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma

12 Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Aus dieser Bedigug ergibt sich eie Bestimmugsgleichug für die komplexe Fourier-Koeffiziete A T /2 j t A = x t e dt T T /2 der komplexe Fourier-Reihe j x t A e = t Fourier-Reihe besitzt ach ihrer Defiitiosgleichug uedlich viele Summade, zur umerische Approximatio periodischer Fuktioe wird jedoch häufig eie edliche Summe verwedet Werde die Summade mit de Idizes - N N verwedet, ergibt sich eie Fourier-Reihe der Ordug N N N j = x t A e = N t Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 2

13 Sigal Beispiel: Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Das i T = 4 periodische Sigal x(t) soll über eie Fourier-Reihe approximiert werde x t für - 2 t = t / 2 für t 2 Bereche Sie die Fourier-Koeffiziete T /2 j t A = x t e dt T T /2 der komplexe Fourier-Reihe Hiweis a t a at at t e dt = e Zeit t Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 3

14 Sigal Beispiel: Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Fourier-Koeffiziete ergebe sich zu ( ) ( ) A = + j 2 2 N = N = 5 N = 25 x(t) bzw. für = T / = = = = T /2 t A x t dt dt T Koeffiziet A etspricht dem Mittelwert über eie volle Periode Güte der Approximatio steigt mit zuehmeder Ordug N der Fourier-Reihe Zeit t Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 4

15 Betrag A Beispiel: Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Spektrum des periodische Sigals x(t) setzt sich aus de komplexe Fourier-Koeffiziete zusamme, sie habe eie Betrag ud eie Phase.3.2 Betrag der Fourier-koeffiziete Betrag immt mit steigedem Betrag des Idex ab. Je scheller die Fourier-Koeffiziete gege ull gehe, desto besser ka das periodische Sigal x(t) mit der Fourier-Reihe approximiert werde Phasewikel sid puktsymmetrisch, was auf kojugiert komplexe Fourier-Koeffiziete hiweist, Fourier-Koeffiziete A ud A - eies reelle Sigals sid immer kojugiert komplex zueiader Phase Idex /2 -/2 Phase der Fourier-Koeffiziete Idex Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 5

16 Sigal Sigal Beispiel: Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Darstellug eizele Grudschwiguge ud ihre Überlagerug Es werde immer zwei Expoetialfuktioe zu eier Kosius-Fuktio zusammegefasst.5 Eizele harmoische Schwiguge = Da die Fourier-Koeffiziete A ud A - eies reelle Sigals immer kojugiert komplex zueiader sid, ergibt sich x t = A e + A e jt jt = + j j A e e A e e j t j t = 2 A cos t + Eizele harmoische Schwiguge habe uterschiedliche Amplitude ud Phase, Spektrum des Sigals muss deshalb immer zwei Iformatioe beihalte: Betrag ud Phase Zeit t.5 Überlagerug der Schwiguge Sigal x(t) Approximatio N = Zeit t Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 6

17 Sigal x(t) Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Mit dem Begriff des Spektrums wird die Aschauug verbude, welche harmoische Schwiguge i die Geerierug eies Sigals eigehe Kosiusförmige Sigal darf ur eie Schwigug aufweise - Kosiusförmiges Sigal Kosius-Fuktio ka über die Eulersche Formel als Summe vo zwei kojugiert komplexe Expoetialfuktioe dargestellt werde x t = cos t = e + e = A e j t j t j t 2 = Damit laute die Fourier-Koeffiziete A = A = 2 Fourier-Koeffiziet A Zeit t Fourier-Koeffiziete des kosiusförmiges Sigals Idex Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 7

18 Zusammefassug: Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Defiitio Mathematische Beschreibug Approximatiosgleichug j = x t A e = t Komplexe Fourier-Koeffiziete T /2 j t A = x t e dt T T /2 Mittelwert c A T /2 = T T /2 x t dt Approximatiosgleichug vom Grad N N N j = x t A e = N t Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 8

19 Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Visualisierug der Fourier-Reihe als Applikatio Lik auf Applikatio i Systemtheorie Olie verfügbar Zwei Arte der Darstellug Reelle Fourier-Reihe Komplexe Fourier-Reihe, Darstellug vo Betrag ud Phase der Fourier-Koeffiziete Applikatio erlaubt de Vergleich vo Fourier- Reihe zweier Sigale, um die Recheregel der Fourier-Trasformatio plausibilisiere zu köe Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 9

20 Übugsaufgabe: Fourier-Reihe Defiitio der komplexe Fourier-Reihe Die Zeitfuktio x(t) mit der Periode T = 2 ist defiiert durch x t für t = für t Skizziere Sie das Schaubild vo x(t) i dem Itervall t = Bereche Sie die komplexe Fourier-Reihe vo x(t) bis zur 5. Ordug. Skizziere Sie die Fuktio ud die Approximatio über eie Fourier-Reihe. Fakultät für Elektro- ud Iformatiostechik, Mafred Strohrma 2