Infinite Impulse Response-Filter Rekursivfilter DSP-8-IIR 1

Transkript

1 Ifiite Impulse Respose-Filter Rekursivfilter DSP-8-IIR

2 IIR-Filter. Ordug y [ ] ay [ ] bx o [ ] bx [ ] FIR-Teil x[] b v[] y[] x + + z - z - b a x Feed-forward Teil (FIR-Filter) x y[-] Feed-back Teil DSP-8-IIR 2

3 Beispiel y [ ].8 y [ ] 5 x [ ] ( b) x [] 2[] 3[ ] 2[ 3] Afagsbediguge: Der Wert y[] zum Zeitpukt = - ist icht bekat! Wir ehme a, dass die Eigagsgröße x[] plötzlich agelegt wird ud dass sie vorher Null war: x[] = für < Wir ehme weiters a, dass das System vor der Afagszeit im Ruhezustad war, d.h. DSP-8-IIR 3 y[] = für < (Iitial rest)

4 y[].8 y[ ] 5(2).8 () 5 ( 2) y[].8 y[] 5 x[].8 () 5 ( 3) 7 y[2].8 y[] 5 x[2].8 ( 7) 5 ( ) 5.6 y[3].8 y[2] 5x[3].8 ( 5.6) 5 ( 2) 5.52 y[4].8 y[3] 5 x[4].8 (5.52) 5 ( ) y[5].8 y[4] 5 x[5].8 (4.446) 5 ( ) y[6].8 y[5] 5 x[6].8 ( ) 5 ( ) y [ ].8 y [ ] 5 x [ ] (Eigag Null) y [ ]. 8 y [ ] y [ ] y[3](.8) B = [5]; A = [ -.8] filter(b,a,x) DSP-8-IIR Eigag Ausgag

5 N y[ ] ay [ l] bx[ k] l l M k k Output ist f(output) Feed-back FIR: Output ist f(iput) Feed-forward Bei FIR-Filter ist M die Ordug des Filters, bei IIR-Filter ist N die Ordug des Filters. DSP-8-IIR 5

6 Liearität, Zeitivariaz IIR-Filter N y[ ] ay [ l] bx[ k] l l M k k sid liear ud zeitivariat. DSP-8-IIR 6

7 Impulsatwort IIR-System. Ordug Die Atwort auf eie Eiheitsimpuls charakterisiert ei LTI-System vollstädig. Da jedes Eigagssigal als Überlagerug vo gewichtete, zeitverzögerte Eiheitspulse dargestellt werde ka, köe die etsprechede Ausgagssigale vo gewichtete ud zeitverzögerte Versioe der Impulsatwort gebildet werde: y [] xkh [ ][ k] k DSP-8-IIR 7

8 . 2. y [ ] ay [ ] bx[ ] Differezegleichug Impulsatwort h [ ] ah [ ] b[ ] Die Lösug dieser Diffezegleichug ist: bo ( a ) für h [ ] für Beweis durch Eisetze: h[] ah[ ] b[] ( a)( ) b für h [ ] ah [ ] b[ ] o o b( a) a ba ba o o b DSP-8-IIR 8

9 Schreibweise mit Eiheitssprug [ ] für für da wird h [ ] b ( a ) o [ ] DSP-8-IIR 9

10 Lösug der Differezegleichug y [ ] ay [ ] bx [ ] bx [ ] o Da LTI-System, Impulsatwort Summe vo zwei Terme h [ ] b( a) [ ] b( a) [ ] o b bo ba a DSP-8-IIR

11 Sprugatwort y [ ] ay [ ] bx [ ] o Bereche der Sprugatwort durch Eisetze i die Differezegleichug ud puktweises Bereche des Ausgagsigals: 2 3 x [ ] y [ ] b b b ( a ) b b ( a ) b ( a ) b a a a DSP-8-IIR

12 2 y [ ] b( aa... a ) b Es ist o k a k L k= r k r L r r L r y [ ] b a a für, we a DSP-8-IIR 2

13 Wir müsse drei Fälle uterscheide: We a, da domiiert a y über alle Greze == > Istabilität We, da geht für Abklige ==> Stabilität a a lim ud [ ] wächst a a gege Null. b y [ ] a y [ ] ( ) b für geht y [ ] y [ ] b we gerade o y [ ] we ugerade o y [ ] b DSP-8-IIR 3 a a

14 Amplitude Step Respose Amplitude 5 Step Respose 5 a =.5... stabil Step Respose 2 a =.... istabil Step Respose Amplitude.5 Amplitude 5 5 a = -... Grezfall 5 a =... istabil DSP-8-IIR 4

15 Systemfuktio Domai zdomai y [ ] h [ ] x [ ] Y( z) H( z) X( z) Die Systemfuktio vo FIR-Systeme ist immer ei Polyom i z -. Durch die Rückkoppelug wird die Systemfuktio vo IIR-Systeme immer ei Verhältis vo zwei Polyome (gebroche ratioale Fuktio). DSP-8-IIR 5

16 y [ ] ay [ ] bx [ ] bx [ ] o o Y( z) a z Y( z) b X( z) bz X( z) o Y( z) a z Y( z) b X( z) bz X( z) H( z) Yz ( ) b bz Bz ( ) o X ( z) a z A( z) Zählerpolyom: Feed-forward Koeffiziete Neerpolyom: + egative Feed-back Koeffiziete DSP-8-IIR 6

17 Blockdiagramm.Direktform bo bz Hz ( ) ( ) az ( ) bo bz Bz az DSP-8-IIR A z 7

18 Blockdiagramm 2.Direktform B( z) B( z) A( z) A( z) DSP-8-IIR 8

19 Delay-Elemete kombiiert DSP-8-IIR 9

20 Pole ud Nullstelle H( z) z z a b b o o o b bz bz b az z a Nullstelle Polstelle DSP-8-IIR 2

21 Pole ud Stabilität Die Systemfuktio H( z) b b z o bz az z a b ( b ) o hat die Impulsatwort h [ ] b ( a ) [ ] b( a ) [ ] o o b b ba a DSP-8-IIR 2

22 Die Impulsatwort ist proportioal a für. Für a kligt dieser Ausdruck ab, we. We a steigt dieser Ausdruck expoetiell a. Die Lage der Pole zeigt also a, ob die Impulsatwort abkligt oder asteigt. Systeme mit abkligede Impulsatworte sid stabile Systeme. Bouded Iput <=> Bouded Output Bibo - Stabilität Für stabile Systeme liege die Pole ierhalb des Eiheitskreises der z-ebee! DSP-8-IIR 22

23 Frequezgag eies IIR-Filters y [ ] H( ˆ ) e H jˆ 6 jˆ 4 ( ˆ ) He ( ) Hz ( ) jˆ ze 2 H(z) H( z).8 z Re Im Siusfolge trifft auf Pol auf dem Eiheitskreis: DSP-8-IIR 23 bouded iput ubouded output (Resoaz)

24 Frequezbereich (li) z-bereich Zeitbereich DSP-8-IIR 24

25 h [ ] H( z) H( e j ) ˆ? Pole, Nullstelle H(z) Zeitbereich Eigag, Ausgag h() { a, b } k k Frequezbereich j ˆ ( ) He DSP-8-IIR 25

26 y [ ] ay [ ] ay [ 2] bx [ ] bx [ ] bx [ 2] 2 2 H( z) b bz bz az az 2 Lösug DGL? He ( ) b be be ae jˆ jˆ 2 jˆ ae 2 j2ˆ jˆ DSP-8-IIR 26

27 Iverse z-trasformatio Eiführug am Beispiel eies Systems. Ordug b bz H z Y z H z X z ( ) ( ) ( ) ( ) az. Bestimmug der ztrasformatio X( z) 2. Muliplikatio vo HzXz ( ) ( ) 3. Bestimmug der Rücktrasformatio vo Y( z) DSP-8-IIR 27

28 Wir bestimme die Sprugatwort eies Systems. Ordug. h [ ] a [ ] H ( z) a z az für az ist diese Summe edlich H( z)... für az a [ ] az Eiheitssprug für a a z k x k für x x DSP-8-IIR 28

29 Partialbruchzerlegug o o HzXz 2 ( a) z az Yz ( ) ( ) ( ) A az oder scheller über Y( z) ( az ) Y( z) ( A B z b bz o A az z (Berechug durch Koeffizietevergleich) b bz B( az ) z z b bz b bz B( a z ) o az ) A za z z za za bobz b ba z o a za DSP-8-IIR 29 A

30 ( ) ( ) z a B Y z z b ba b b [ ] o y a [ ] [ ] a a b b A az Aa [ ] DSP-8-IIR 3

31 Rücktrasformatio (M<N). Faktorisierug der Neerpolyoms vo H( z) ( k ) für,2,..., 2. Partialbruchzerlegug H( z) k pz k N k ( )( k ) k 3. Rücktrasformatio N N h [ ] Ap [ ] k A k k pz AH z pz k z p k DSP-8-IIR 3

32 Wichtige Trasformatiospaare ax [ ] bx [ ] ax ( z) bx ( z) 2 2 [ ] z ( ) x X z y [ ] x [ ] h [ ] Y( z) X( z) H( z) [ ] [ - ] a [ ] z az DSP-8-IIR 32

33 X( z) X( z) 2.z 2.z z z z z (.5 )(.8 ) A B.5z.8z 2.z.5 z B(.5 z ) 5 ) 2 X( z)(. z A.8z.5z.8z z.5 z.5 2.z B X z z.8 z ( )(.5 ) z.8 x [ ] 2(.5) [ ] (.8) [ ] DSP-8-IIR 33

34 A = [ ]; B = [ -2.]; [R,P,K] = residuez(b,a) R' = - 2 P' = K = [].5 Impulse Respose impz(b,a) Amplitude (samples) DSP-8-IIR 34

35 Frequezgag IIR-Filter Frequezgag bei FIR-Filter M M jˆk jˆ y[ ] bkx[ k] bke Ae k k = H( ˆ ) Frequezgag mit z-trasformatio H ˆ jˆ ( ) He ( ) Hz ( ) ze z.b.: H( z) b az jˆ He ( ) jˆ jˆ jˆ y H e e e jˆ Ae jˆ b ae jˆ jˆ b [ ] ( ) ae DSP-8-IIR 35

36 Steady state - trasiet respose eigeschwugeer Zustad - Übergagsatwort Plötzlich agelegte komplexe Expoetialfolge: jˆ x [ ] e [ ] X( z) e b Yz ( ) ( ) ( ) jˆ HzXz j ˆ az e z Nach der Partialbruchzerlegug erhalte wir: Y( z) ba b a e ae jˆ jˆ jˆ az e z DSP-8-IIR 36 z

37 Y( z) ba b a e ae jˆ jˆ jˆ az e z ba jˆ [ ] a ˆ [ ] e [ ] j jˆ y a e kligt ab, we stabil b a e steady state a u[ ] -az DSP-8-IIR 37

38 b = ; a =. 9.9 [ ] ( ) y =. 9 δ.2 [ ] j π =.9 e j ( ) e.9 δ [ ] j.2π j.297 j. 2π y [ ] 2 = e δ.2 [ ].5533 e e δ [ ] j π = = +.9e =.5533 cos(.2π +.297) δ [ ] + j.5533 si(.2π +.297) y [ ] = y [ ] + y [ ] 2 δ [ ] DSP-8-IIR 38

39 Impulse Respose Amplitude b = a = -.9 DSP-8-IIR 39

40 Istabiles System Pole bei a =. DSP-8-IIR 4

41 IIR-Systeme 2. Ordug y [ ] ay [ ] ay [ 2] bx [ ] bx [ ] bx [ 2] 2 o 2 Y( z) a z Y( z) a z Y( z) b X( z) bz X( z) b z X( z) o 2 bo bz bz H( z) az az 2 DSP-8-IIR 4

42 Pole ud Nullstelle H( z) Y( z) b bz bz bz bzb X( z) az az z az a Ei Polyom des Grades N hat N Wurzel. We die Koeffiziete des Polyoms reell sid, da sid die Wurzel etweder reell oder kojugiert komplex. DSP-8-IIR 42

43 Impulsatwort Y( z) b bz bz H( z) X( z) az az H( z) b A A a pz pz b h A p A p 2 [ ] [ ] [ ] 2 2 [ ] a 2 DSP-8-IIR 43

44 H( z) H( z) Reelle Pole z z ( z )( z ) ( z ) ( z ) h [ ] 3 [ ] 2 [ ] We p ud p reell sid, da besteht die Impulsatwort 2 aus zwei Fuktioe der Form p. k DSP-8-IIR 44

45 B =[]; A =,-, impz(b,a) Impulse Respose Amplitude (samples) DSP-8-IIR 45

46 Kojugiert komplexe Pole DSP-8-IIR 46

47 Komplexe Pole auf dem Eiheitskreis + z + z H( z) = = ( e z )( e z ).442z + z jπ /4 jπ /4 2 2 H( z).366e.366e = + j.78 j.78 jπ /4 jπ /4 ( e z ) ( e z ) ( π /4) j ( π /4) h [ ] =.366 e e δ [ ] e e δ [ ] j.78 j.78 j π h [ ] = cos.78 δ [ ] 4 DSP-8-IIR 47

48 Pole kojugiert komplex auf dem Eiheitskreis Secod-Order Oscillator DSP-8-IIR 48

49 Komplexe Pole ierhalb des Eiheitskreises H( z) + z + z = = z+.5 z ( e z )( e z ) 2 jπ /4 jπ /4 2 2 j.249 j e.58e = + ( e z ) ( e z ) jπ /4 jπ / Imagiary Part B = [ ]; A = [ -.5] zplae(b,a) Real Part DSP-8-IIR 49

50 π h [ ] = 2.58 cos Impulse Respose 2 Amplitude z H( z) = z +.5z (samples) DSP-8-IIR 5

51 2 2(cos ) z z si [ ] 2 2(cos ) z z cos [ ] 2 2 (2rcos ) z rz r cos [ ] r si [ ] (si ) z (cos ) z ( rcos ) z ( rsi ) z (2rcos ) z rz 2 2 j.5ke.5ke Kr cos( k ) [ ] b bz Kr cos( k ) [ ] 2 2 2az r z j j j re z re z b r b 2 ab b a K ab b r a r r a DSP-8-IIR arccos arcta 2 2

52 PN-Video DSP-8-IIR 52

53 Filterdesig DSP-8-IIR 53