x beschrieben wird. Die Abtastung zu diskreten Zeitpunkten wird im

Transkript

1 6 Faltug Zur Beschreibug eies Nachrichteverarbeitugssystems oder Nachrichteverarbeitugsblocks verwedet ma die sogeate Impulsatwort. Es werde digital arbeitede Systeme betrachtet, bei dee ei Sigal ur zu diskrete Abtastzeitpukte T ( =, 2,,0,,2, ud T = Zeit zwische 2 Abtastwert e) durch Abtastwerte ( T ) achstehede Bild veraschaulicht. x beschriebe wird. Die Abtastug zu diskrete Zeitpukte wird im Wie groß ist die Zeit T zwische 2 Abtastwerte im dargestellte Beispiel: Wie viele Abtastwerte trete dabei i eier Sekude au: Weitere Erläuteruge zur Bestimmug der Impulsatwort eies Systems sowie eie aschauliche Darstellug, wie ma mit Hile der Impulsatwort das Ausgagssigal eies Systems ür ei beliebiges Eigagssigal bestimme ka, ide sich im Ahag (Abschitt 2). H.G. Hirsch CBM Praktikum-SS 2006

2 Das Ausgagssigal y() eies Nachrichteverarbeitugsblocks lässt sich mathematisch als Faltug des Eigagssigals x() mit der Impulsatwort h() darstelle, wobei ma das Symbol * als sogeate Faltugsoperator verwedet. x() y() h() m= m= y ( ) = x( ) h( ) = x( m) h( m) 7 Faltug mit der Matlab Fuktio cov I Matlab steht die Fuktio cov(a,b) zur Faltug zweier Abtastolge, die i de Variabel a ud b ethalte sid, zur Verügug. Erstelle Sie ei Matlab Skript, i dem Sie sich ür das im Ahag ( Abschitt 2) dargestellte Beispiel eies Eigagssigals ud eier Impulsatwort etsprechede Vektore x ud h deiiere. Das Ausgagssigal y() lässt sich durch Auru der Fuktio cov bestimme. Stelle Sie das Eigagssigal x(), die Impulsatwort h() ud das Ausgagssigal y() i eiem Graphikester i drei übereiader ageordete Teilgraphike dar (dazu köe die Fuktioe subplot ud stem verwedet werde). Dabei soll die Skalierug der x Achse i alle 3 Teilgraphike übereistimme. Dies ka beispielsweise realisiert werde, i dem die Vektore x ud h um eie etsprechede Azahl vo Nullwerte ergäzt werde Hiweise: Ist beispielsweise x deiiert zu x = [ ]; so lässt sich uter Verwedug der Fuktio zeros ei Vektor x = [x zeros(,5)]; erzeuge, bei dem a de Vektor x ü Nullwerte agehägt werde. Die Azahl der i eiem Vektor ethaltee Werte lässt sich mit der Fuktio legth bestimme. Veräder Sie die Azahl der Abtastwerte vo x() ud h() ud schaue Sie sich die Ergebisse a. Wie lässt sich allgemei die Azahl L vo Abtastwerte des Ausgagssigals, die Werte ugleich Null aehme, i Abhägigkeit der Azahl N ud M, die ür x ud h die Azahl der Werte ugleich Null agebe, bestimme: L = H.G. Hirsch 2 CBM Praktikum-SS 2006

3 8 Impulsatwort eies Filters Im olgede soll die Impulsatwort eies i der Elektrotechik häuig verwedete Filters betrachtet werde. Dazu solle Sie eie Matlab Fuktio i eier separate Datei sixx.m erstelle. Eie Fuktio wird i Matlab durch Verwedug des Terms uctio i der erste Nicht- Kommetarzeile deiiert (siehe help uctio). Eier Fuktio köe eie bestimmte Azahl vo Parameter als Eigagswerte übergebe werde. I gleicher Weise köe eie bestimmte Azahl vo Parameter als Ausgagswerte zurückgegebe werde. Bei der zuvor beutzte Fuktio cov werde beispielsweise die Folge der zu altede Abtastwerte als 2 Eigagsvektore übergebe ud das Ergebis der Faltug als ei Ausgagsvektor zurückgegebe. Beim Auru eier Fuktio werde die Werte der als Eigagsparameter agebebee Variabel i lokale Variabel der Fuktio kopiert. Aalog werde die Werte der lokal i der Fuktio verwedete Ausgagsvariabel i Variabel des auruede Skripts oder der auruede Fuktio kopiert. Deiiere Sie die Fuktio zur Geerierug der Impulsatwort mittels uctio y = sixx(n, ) I der Fuktio solle 2 N + Abtastwerte eier gedämpte Siusschwigug si ( 2 π ) 2 π Sivolle Werte ür ür Frequez zur Abtastrequez deiiert wird. erzeugt werde. = N, N +,,, 0,,, N, N liege im Bereich 0 < 0. 5 <, da mit das Verhältis eier Schreibe Sie ei weiteres Matlab Skript zur Faltug, ür das als Ausgagspukt eie Kopie des zuvor erstellte Skripts zur Faltug verwedet werde ka. Das Eigagssigal sid eiige Schwiguge eies Sius. Deiiere Sie als x() 48 Abtastwerte eies Siussigals si( 2 ) = 0,,, 47 ud = si 6. si π mit deiiert dabei wieder eie ative Wert ür die Frequez i Bezug au die Abtastrequez. Die Impulsatwort h() wird durch Auru der vo Ihe erstellte Fuktio sixx mit de Eigagsparameter N 8 ud = 0, 25 erzeugt. Veraschauliche Sie wiederum die = si H.G. Hirsch 3 CBM Praktikum-SS 2006

4 Faltug der Siusschwigug mit der Impulsatwort mit Hile eier dreigeteilte graphische Darstellug. Wie groß ist der maximale Amplitudewert i dem Ausgagssigal:. Vergrößer Sie die Frequez im Ausgagssigal: si au eie Wert vo /8. Bestimme Sie wiederum das Maximum Ist die Amplitude der Schwigug am Ausgag ür = si 8 gedämpt oder verstärkt im Vergleich zur Schwigug ür die gerigere Frequez 6? si = Mache Sie eie Aussage, ob es sich bei dem Filter vermutlich um eie Tiepass oder eie Hochpass hadelt: 9 Spektralaalyse mit Hile der Diskrete Fourier Trasormatio Nebe der Betrachtug vo Sigale im Zeitbereich lasse sich bestimmte Eigeschate eies Sigals oder eies Verarbeitugsblocks besser ud aschaulicher im Frequezbereich darstelle. Die Darstellug der Frequezateile eies Sigals bezeichet ma als Spektrum. Die i eiem Sigal ethaltee Frequezateile lasse sich durch Trasormatio der Abtastwerte des Sigals mit eier Diskrete Fourier-Trasormatio (DFT) bestimme. I Matlab steht dazu die Fuktio t zur Verügug, mit der die Spektralaalyse eier bestimmte Azahl N vo Abtastwerte durchgeührt werde ka. Die Rückgabewerte der Fuktio sid N komplexe Werte, die das a Spektrum des Sigals bei de Frequeze i mit i = 0,,, N beschreibe. a = ist die Abtastrequez des Sigals ud etspricht dem Kehrwert der Zeit T zwische 2 T Abtastwerte. Da es sich um komplexe Werte hadelt, lässt sich der Spektralateil bei eier bestimmte Frequez durch Betrag ud Phase oder Real- ud Imagiärteil beschreibe. N Im olgede solle die Spektre verschiedeer Sigale aalysiert ud graphisch dargestellt werde. Es werde zuächst cosiusörmige Sigale betrachtet. Ei solches Sigal lässt sich als aaloges Sigal x(t) i Abhägigkeit der Zeit t mathematisch beschreibe als x t) = A cos( 2 π t) (, wobei A die Amplitude des Sigals ud die Frequez des Sigals estlegt. Bei eiem digitale Sigal, H.G. Hirsch 4 CBM Praktikum-SS 2006

5 bei dem der Sigalverlau ur och zu diskrete Zeitpukte die olgede Darstellug: x 2 π T beschriebe wird, ergibt sich da ( T ) = A ( 2 π T ) = A cos = A cos( 2 π ) wobei cos, a = das Verhältis der Frequez zur Abtastrequez a beschreibt. a Wie viele Abtastwerte N eötigt ma zur Beschreibug eier Periode eies Cosiussigals mit eier Frequez = 0, 0 : N = Schreibe Sie ei Matlab Skript, i dem Sie eie Vektor x mit de N Abtastwerte eier Periode des Cosiussigals mit der Frequez = 0, 0 ud der Amplitude erzeuge. Stelle Sie de Sigalverlau i eiem wiederum dreigeteilte Graphikester i der oberste Teilgraphik dar (mit der Fuktio stem). Erzeuge Sei dabei ür eie Abtastrequez vo 000 Hz eie Darstellug mit der korrekte zeitliche Skalierug der x Achse. Erweiter Sie das Matlab Skript um eie Bestimmug des komplexe Spektrums mit Hile der Fuktio t. Stelle Sie i der mittlere Teilgraphik de Realteil des Spektrums (Fuktio real) ud i der uterste Teilgraphik de Imagiärteil des Spektrums (Fuktio imag) dar. Achte Sie dabei au eie korrekte Skalierug der Frequezachse ür die Abtastrequez vo 000 Hz. Bei welche Frequeze besitzt der Realteil des Spektrums eie vo Null verschiedee Wert: Bei welche Frequeze besitzt der Imagiärteil eie vo Null verschiedee Wert, wobei Sie Werte kleier als 0-6 als Recheugeauigkeite asehe köe: Ei digitales Sigal ka ur Frequezateile bis zur halbe Abtastrequez beihalte. Daher ka ma die Betrachtug des Spektrums au de Bereich uterhalb der halbe Abtastrequez beschräke. Amerkug: Im Bereich oberhalb der halbe Abtastrequez trete die real i dem Sigal ethaltee Frequezkompoete uterhalb der halbe Abtastrequez sozusage ochmals gespiegelt a eier Achse bei der halbe Abtastrequez au. H.G. Hirsch 5 CBM Praktikum-SS 2006

6 Beschräke Sie daher i dem Matlab Skript die Darstellug des Spektrums au de Bereich bis zur halbe Abtastrequez, i dem Sie ur die erste N + 2 Ausgagswerte der DFT darstelle. Veräder Sie die Frequez des Cosiussigals au eie Wert vo 0,. Bei welcher Frequez immt u der Realteil eie vo Null verschiedee Wert a: Erzeuge Sie ei Sigal, das aus der Summe zweier Cosiusschwiguge besteht: x ( ) ( 2 π ) + 0,5 cos( 2 π ) mit = 0,05 ud 0, 5 = cos 2 2 = Bei welche Frequeze immt der Realteil vo Null verschiedee Werte a: Wie groß sid diese Werte: Erzeuge Sie astelle der Summe vo Cosiusschwiguge eie Summe vo Siusschwiguge mit gleiche Amplitude ud Frequeze. Nimmt dabei der Real- oder der Imagiärteil vo Null verschiedee Werte a: Bei welche Frequeze immt der Imagiärteil vo Null verschiedee Werte a: Wie groß sid diese Werte: 0 Frequezgag eies Filters Wird die Impulsatwort h() eies Nachrichteverarbeitugsblocks mit Hile der DFT i de Frequezbereich trasormiert, so erhält ma die sogeate Übertragugsuktio, die das Verhalte des Verarbeitugsblocks i Abhägigkeit der Frequez beschreibt. Dabei wird häuig ur der Betrag der Übertragugsuktio betrachtet, de ma als Frequezgag bezeichet. Im olgede wird dazu der Frequezgag des i Kapitel 8 eigeührte Filters aalysiert. Schreibe Sie dazu ei Matlab Skript, i dem die zuvor erstellte Fuktio sixx augerue wird, um die Abtastwerte der Impulsatwort eies Filters mit N=250 ud = 0, 25 zu erzeuge. Stelle Sie de Verlau der Impulsatwort mit Hile der Fuktio plot i eiem zweigeteilte Graphikester i der obere Teilgraphik dar. H.G. Hirsch 6 CBM Praktikum-SS 2006

7 Bestimme Sie mit Hile der DFT de Frequezgag dieses Filters, wobei die Fuktio abs zur Betragsbildug beutzt werde ka. Stelle Sie i der utere Teilgraphik de Frequezgag bis zur halbe Abtastrequez dar. Um welche Filtertyp hadelt es sich: Erweiter Sie Ihr Matlab Skript, um die Veräderug des Frequezgags i Abhägigkeit vo als aimierte Graphik zu erahre. Itegriere Sie dazu de Auru der Fuktioe sixx ud t sowie die graphische Darstellug als Bestadteil eier or Schleie, mit der die Frequez vo 0,05 i Schritte vo 0,05 bis zu dem Edwert vo 0,5 erhöht wird. Ergäze Sie de Fuktiosauru pause(2) als letzte Beehl ierhalb der or Schleie, mit dem der weitere Programmablau um 2 Sekude verzögert wird, so dass ma i Schritte vo 2 Sekude die Veräderug vo Impulsatwort ud Frequezgag verolge ka. Schelle Faltug mit der FFT Auch ür die DFT gibt es eie Faltugsregel, die besagt, dass die diskrete Faltug ach der DFT der elemetweise Multiplikatio etspricht. Da es ür die DFT mit der FFT (Fast Fourier Trasormatio) eie schelle ud eiziete Implemetierug gibt, ka dies i bestimmte Fälle zur beschleuigte Berechug der diskrete Faltug geutzt werde. Im olgede soll diese Beschleuigug durch Vergleich der Lauzeite bei eier Realisierug mit Hile der diskrete Faltug ud bei Realisierug mit Hile der FFT ud der beötigte Multiplikatioe achgewiese werde. Zuächst soll die Awedbarkeit der schelle Faltug a eiige Beispiele überprüt werde. Die diskrete Faltug zweier Vektore x ud y ka augrud des Faltugssatzes der DFT wie olgt berechet werde: - Auülle vo x mit [legth(y)-] Nulle ud vo y mit [legth(x)-] Nulle. I Matlab ka ma beispielsweise zwei Nulle a eie Vektor x ahäge mittels [x zeros(,2)] - Bereche der Spektre X ud Y als DFT vo x bzw. y mit der Fuktio t - Elemetweise Multiplikatio vo X ud Y mit dem Operator.* (pukt mal) - Iverse DFT des Ergebisses mit der Fuktio it Führe Sie diese Berechuge ür verschiedee Vektore x ud y durch ud veriiziere Sie, dass sich dabei dasselbe Ergebis ergibt wie mit cov(x,y) H.G. Hirsch 7 CBM Praktikum-SS 2006

8 Im olgede soll u ei Vergleich der Lauzeite bei Realisierug der diskrete Faltug mit cov im Vergleich zur schelle Faltug, wie sie zuvor beschriebe wurde, durchgeührt werde. Es werde die Lauzeite ür verschiedee Läge N eies Vektors gemesse. - Dabei wird mit eier or Schleie die Azahl vo N zwische 000 ud 5000 i Schritte vo 500 erhöht. - Ierhalb der Schleie wird ei mit Zuallswerte geüllter Vektor mit Hile der Fuktio rad erzeugt. - Da wird zuächst die Faltug dieses Vektors mit sich selbst mit Hile der Fuktio cov durchgeührt. Die Lauzeit ka dabei durch Auru der Fuktio tic vor dem Auru vo cov ud durch Auru der Fuktio toc ach dem Auru vo cov ermittelt werde. Der Rückgabewert vo toc ist die zwische de Aurue vo tic ud toc vergagee Programmlauzeit. Speicher Sie die Lauzeit als weiteres Elemet eies Vektors z.b. mittels tcov = [tcov Lauzeit] ab. - Nu wird die schelle Faltug wie zuvor beschriebe durchgeührt, wobei auch hier wieder die Lauzeit gemesse ud abgespeichert wird. - Nach Beedigug der or Schleie köe die ermittelte Lauzeite i Abhägigkeit der Azahl N dargestellt werde. Hiweis: I eie Graphik ka eie weitere Kurve ach Auru der Fuktio hold o gezeichet werde. Abschließed sollte Sie die Graphik mit hold o wieder schütze. 2 Ahag: Bestimmug der Impulsatwort ud Veraschaulichug der Faltug Nachstehed wird zum tieergehede Verstädis die Vorgehesweise zur Bestimmug der Impulsatwort eies Übertragugs- oder Verarbeitugsblocks erläutert. Die Impulsatwort ist das Ausgagssigal des Systems, we am Eigag ei Sigal eigespeist wird, das ur zu eiem Zeitpukt eie vo Null verschiedee Wert auweist. Ma et dieses Eigagssigal eie Dirac-Impuls. δ() Mit Hile der Impulsatwort lässt sich das Ausgagssigal y() eies Systems ür jedes beliebige Eigagssigal bestimme. Die Bestimmug des Ausgagssigal wird a eiem Beispiel veraschaulicht. Es wird ei System betrachtet, das durch die achstehede Impulsatwort h() beschriebe wird. H.G. Hirsch 8 CBM Praktikum-SS 2006

9 h() 0, Gibt ma das im olgede dargestellte Eigagssigal x() au das System mit der Impulsatwort h(), so reagiert das System au jede eizele Impuls zu dem etsprechede Zeitpukt mit der Impulsatwort, wie es i der Abbildug zu sehe ist. Das Ausgagssigal lässt sich aus der additive Überlagerug der Reaktioe au alle Abtastwerte des Sigals bestimme. x() , , ,5 y() ,75 2,25, H.G. Hirsch 9 CBM Praktikum-SS 2006