Quantensuchalgorithmen

Transkript

1 Freie Uiversität Berli Semiar über Algorithme für Quatecomputer Sommersemester 00 Quatesuchalgorithme Reihardt Karapke Simo Rieche

2 Quatesuchalgorithme Ihaltsverzeichis 1 Klassische Suchalgorithme Laufzeite... 3 Assoziativspeicher Fourier Trasformatio Hadamard Lov K. Grover Groveralgorithmus Quate-Orakel Grovers Idee Der Algorithmus Beschreibug Implemetierug mit Quategatter Grover-Laufzeit Beispiel Grover Variatioe G-BBHT Quatesuche II Suche i sortierte Liste Miimumsuche... 8

3 Quatesuchalgorithme 1 Klassische Suchalgorithme Die Laufzeit vo klassische Suchalgorithme hägt davo ab, ob die Date sortiert sid, oder icht. Bei usortierte Date hat ma im schlimmste Fall Vergleiche, im Durchschitt /. Deshalb arbeitet ma meistes mit sortierte Date. 1.1 Laufzeite Beim achträgliche sortiere hat ma uterschiedliche Laufzeite, ja ach Algorithmus. z.b. Bubblesort O(), Quicksort O( log ) etc... Also brauche klassische Suchalgorithme i Software lage, etweder beim Suche i usortierte Liste oder beim sortierte eifüge i eie Liste.. Assoziativspeicher Assoziativspeicher realisiere Suchalgorithme mittels Hardware. I Assoziativspeicher werde Date usortiert eigetrage, ud usortiert belasse. Sobald ma u Date sucht, wird der Schlüssel agelegt, ud gleichzeitig mit alle Eiträge vergliche. Wird das gesuchte Datum idetifiziert, wird es sofort am Ausgag agelegt. Suche im Assoziativspeicher beötigt zwar Vergleiche, diese geschehe jedoch gleichzeitig. Damit diese Vergleiche gleichzeitig stattfide köe beötige wir jedoch Vergleicher. Dies ist sehr teuer, ud wird heutzutage ur i extrem geschwidigkeitskritische Systeme wie z.b. Router eigesetzt. Die Vorteile ud Nachteile sid dabei: Vorteil Ei Datum ka a beliebiger Stelle stehe Nachteil Hoher Hardwareaufwad (jede Zeile ei Vergleicher) ur für kleie Datemege realisierbar Die folgede Abbildug zeigt eie Cache als Assoziativspeicher. 3

4 Quatesuchalgorithme 3 Fourier Trasformatio Die Fourier Trasformatio wird hauptsächlich zur Etstörug vo Sigale verwedet. Sie beruht auf der Tatsache, das ma fast jede Fuktio i eie Summe vo Sius- ud Kosiusfuktioe zerlege ka. Im Fourierraum köe klassische Computer wesetlich scheller reche. Die Umwadlug ist zwar aufwedig, der Geschwidigkeitsgewi im Fourierraum ist jedoch so groß, dass ma de Aufwad i kauf immt. Die Hadamard-Trasformatio ist der Fourier-Trasformatio sehr ählich. Sie ist geau geomme eie abgewadelte Form der Fouriertrasformatio. 4 Hadamard Als Erierug a die letzte Vorträge och mal die Hadamard Fuktio 5 Lov K. Grover Er erfad i de Bell Labs vo Lucet Techologies 1996 de Algorithmus A fast quatum mechaical algorithm for database search auf de alle weitere Variate aufbaue. 4

5 Quatesuchalgorithme 6 Groveralgorithmus Der Grover Suchalgorithmus beschreibt die Suche ach eiem Elemet i eier Domäe biärer Fuktioe, uter der Vorraussetzug, dass das gesuchte Elemet existiert ud eideutig ist. Die klassische Suche ach eiem spezielle Elemet vo Elemete erfordert im Mittel / Recheoperatioe. Der Grover Suchalgorithmus auf eiem Quatecomputer erfordert lediglich Suchschritte 6.1 Quate-Orakel Quate-Orakel durch Quate-Gatter U fω (uitäre Trasformatio) implemetiere: f ω (x) := 0 (falls f(x) a, also x ω) f ω (x) := 1 (falls f(x)=a, also x=ω) U fω : x> y> x> y fω(x)> U fω : x> 0> x> fω(x)> x> ist ei -Qubit Register ( so gewählt, daß N), y> ei eizeles Qubit; 6. Grovers Idee U fω auf Superpositio aller mögliche Eigabe awede Amplitude des Vektors ω,1> erheblich verstärke, alle adere Amplitude deutlich reduziere ( Grover-Iteratio) Messug des letzte Qubits: liefert mit großer Wahrscheilichkeit 1> als Ergebis; projiziert obige Zustad auf ω,1> 6.3 Der Algorithmus 1. Hadamard Trasformatio φ = 1 1 x= 0 x. Vorzeiche veräder 3. Um de Durchschitt spiegel D=-H R 1 H ψ = 1 1 x= 0 ( 1) f ( x) x 4. Durchlaufe (π/4) mal Stufe ud 3, 5

6 Quatesuchalgorithme dass heißt G =-H R 1 H V f 5. Messe x, we f(x 0 ) 1 vo vore begie 6.4 Beschreibug Grovers Algorithmus beruht auf der Idee, de Quatecomputer wie eie Backofe zu beutze (Stea). Wir starte i eier Superpositio mit gleicher Amplitude für alle Strigs. Daach erhöhe wir die Wahrscheilichkeit des korrekte Ergebisses ud verriger die der falsche Ergebisse. π Nach 4 Schritte ist die Wahrscheilichkeit des gesuchte Strigs geau 1. I diesem Momet muss ma messe, de daach sikt die Wahrscheilichkeit wieder. Zum Glück gibt es eie Weg, de geaue Momet zu bereche, i dem die Messug durchgeführt werde muss. Der Beweis, dass der Algorithmus fuktioiert ist simpel, zu verstehe warum er fuktioiert ist es icht. Die folgede Abbildug veraschaulicht de Algorithmus: 6.5 Implemetierug mit Quategatter Ma ka astelle der Hadamard Trasformatio auch jede adere uitäre Operator beutze 6

7 Quatesuchalgorithme 6.6 Grover-Laufzeit Der Grover Algorithmus beötigt O( ) Schritte zum fide des Ergebisses (klassisch O(/)). We mehr Eiträge das Kriterium erfülle als icht, fidet der G-Algorithmus das Ergebis i eiem Schritt. Damit ist Grovers Algorithmus potetiell eie Methode, RSA oder DES etc. zu kacke. Die folgede Tabelle Zeit die Laufzeite: problem classic quatum decisio Θ(N/t) Θ( (N/t)) search Θ(N/t) Θ( (N/t)) coutig Θ(N) Θ( (t(n-t))) approximatio Θ(N/(εt)) Θ((1/ε) (N/t)) N = Azahl der Eiträge ε = die Geauigkeit, t= die Azahl der richtige Lösuge 6.7 Beispiel Grover Beispiel: Gegebe sei eie Telefoummer aus eiem Telefobuch mit Millioe Teilehmer. Eie klassische Suche würde im Mittel etwa 1 Millioe Recheoperatioe erforder. Ei Quatecomputer beötigt mit Hilfe des Grover Algorithmus ur etwa 1400 Recheschritte! 7 Variatioe Es gibt viele variierte Grover Algorithme, die alle auf dem Origial aufbaue. G-BBHT Algorithmus Quatesuchalgorithmus II Miimumsuche etc. 7.1 G-BBHT Der G-BBHT Algorithmus wurde vo Bǿyer, Brassard, Hǿyer ud Tapp etwickelt. Er ist für Mege, wo das Suchergebis midestes eimal vorhade sei muss. 1. -qubits durch Hadamard i Superpositio brige ψ = 1 1 x= 0 x 7

8 Quatesuchalgorithme. (π/4) (/t) mal die Iteratio G=-H R 1 H V f 3. Register x messe 4.We f(x 0 )=1 fertig, sost vo vore 7. Quatesuche II Der Algorithmus ist für Date mit t 3/4 *, wobei t die Azahl der Ergebisse ist. Der Algorithmus fuktioiert ach folgedem Schema 0. Nimm m=1 ud λ= 6/5 1. Wähle j 0 aus [1,...m] zufällig. j 0 Iteratioe durchführe zum Zustad 1 1 i i= 0 3. x 0 messe 4. We f(x 0 )=1 da Problem gelöst ud Ede der Berechug 5. Nimm m = mi{λm, } ud begie bei Schritt 1 Der Quatesuche II Algorithmus läuft i O( ) t Die Erfolgswahrscheilichkeit liegt bei 84%. 7.3 Suche i sortierte Liste Die Suche i sortierte Liste wird durch Quatealgorithme ur uwesetlich beschleuigt. Also arbeite wir etweder mit sortierte Liste klassisch oder mit usortierte Liste auf Quatecomputer 7.4 Miimumsuche Bei sortierte Liste ist die Miimalsuche trivial. Bei usortierte Liste wird beim Quatecomputer der Algorithmus ach durch eie Abwadlug des G-BBHT Algorithmus,5 + 1,4 log ( ) Laufzeit gestoppt. 8