I. Deskriptive Statistik

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1 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm I. Desriptive Statisti. Grudbegriffe der Dateerhebug Die wichtigste Grudbegriffe der beschreibede Statisti solle ahad der folgede Beispiele erläutert werde: Begriff Beispiele Grudgesamtheit Bevölerug vo D Ratte Motore Mermalsträger Ei Eiwoher Eie Ratte Ei eizeler Motor Mermal Augefarbe Größe Name Gewicht Geschlecht Verbrauch Lebesdauer Mermalsausprägug blau,7 m Max, g weiblich 6,5l m Statistische Mess-Sale: Nomialsala: Die Mermalsauspräguge sid Name oder Bezeichuge, die ur ach dem Kriterium gleich oder verschiede geordet werde öe. Ma spricht hier auch vo qualitative Mermale. (Beispiel: Augefarbe, Geschlecht). Ordialsala oder Ragsala: Die Mermalsauspräguge brige zusätzlich eie Ragfolge zum Ausdruc. (Beispiel Platzierug im Sport, Hotel- Gütelasse) Kardialsala oder metrische Sala: Zusätzlich zu de Eigeschafte der vorherige Sale ist es sivoll, Differeze ud Verhältisse der Mermalsauspräguge zu bereche. Ma spricht hier vo quatitative Mermale. (Beispiel: Körpergröße, Gewicht) Quatitative Mermale et ma disret, we die Auspräguge ur isolierte Zahlewerte aehme öe (Beispiel: Kiderzahl), ud stetig, we die Auspräguge alle Zahle auf eiem bestimmte Itervall aehme öe (Beispiel: Körpergröße). Verschiedee Type statistischer Erhebuge: a) Vollerhebug oder Totalerhebug: z.b. Volszählug Teilerhebug: z.b. Wahlumfrage b) Primärerhebug: Es wird Datematerial eiges für die geplate Utersuchug erhobe. Seudärerhebug: Es wird auf bereits vorhadees (möglicherweise für adere Zwece gesammeltes) Datematerial zurücgegriffe (z.b. Lohsteuerarte für die Utersuchug vo Eiommesverteilug) c) Befragug: z.b. durch Frageböge d) Beobachtug: z.b. Verehrszählug e) Experimet:: z.b. Betrieb vo Motore, Utersuchug vo eue Mediamete.

2 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm. Darstellug vo eidimesioalem Datematerial Ei Mermal werde a Mermalsträger eier Grudgesamtheit beobachtet () Das -Tupel ( x,...,x ) der beobachtete Mermalsauspräguge et ma eie Urliste oder Erhebugsliste oder Realisatio eier Stichprobe vom Umfag. () Für jede mögliche Mermalsausprägug a bezeichet h(a) die Azahl der Mermalswerte x der Urliste, di gleich a sid. Ma et h(a) die (absolute) Häufigeit vo a i der Stichprobe (x,...,x ). (3) Der Ateilswert f( a) = h(a) heißt relative Häufigeit vo a i der Stichprobe ( x,...,x ). Folgerug: Sid a,...,ar die verschiedee i der Stichprobe ( x,...,x ) vorommede Mermalswerte, so gelte die Beziehuge r h(a) = ud f(a) = = = r Beispiel: Für die Augefarbe-Stichprobe (blau, brau, brau, grau, grau, brau) gilt: h(blau) =, h(brau)=3, h(grau)=, h(grü)=0 f(blau) = /6, h(brau)=3/6, h(grau)=/6, h(grü)=0 Eie Darstellug der erhobee Date erfolgt üblicherweise durch: Eie Häufigeitstabelle Ei Kreissetorediagramm Ei Stabdiagramm Ei Histogramm Gegebe sei eie Stichprobe ( x,...,x ) eies quatitative Mermals. die Zahle a,...,ar seie die dabei auftretede Mermalswerte. Da bezeichet ma als (4) absolute umulierte Häufigeitsverteilug der Stichprobe die Futio H(x) = h(a ) a x (5) relative umulierte Häufigeitsverteilug oder empirische Verteilugsfutio der Stichprobe die Futio F(x) = f(a ) a x Folgerug: Die Futioe H() ud F(x) sid für jede Zahl x defiiert, ud es gilt stets die Beziehug: F(x) = H(x)

3 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 3 3. Lageparameter Gegebe sei eie Stichprobe ( x,...,x ) eies Mermals. Die verschiedee Mermalswerte der Stichprobe seie mit ( a,...,a r ) bezeichet. () Diejeige a, welche größte Häufigeit aufweise, werde als Modalwerte der Stichprobe bezeichet. Gibt es für die Stichprobe ur eie Modalwert, da wird er mit x Mod bezeichet ud auch häufigster Wert oder Modus geat. Ist ei quatitatives Mermal, da defiiert ma () de Media oder Zetralwert der Stichprobe folgedermaße: Ma orde die Stichprobe, so dass x x... x wird. Ist eie ugerade Zahl, da setzt ma x+ x Med = Ist eie gerade Zahl, da setzt ma x Med = ( x + x ) + also die Mitte der beide Beobachtugspute (3) das arithmetische Mittel oder de Durchschittswert oder Mittelwert der Stichprobe als die Zahl x = x = (4) für de Fall, dass ei x egativ ist, das geometrische Mittel der Stichprobe als die Zahl x = x x... x Eigeschafte:. Natürlich gilt auch Geom r r x = a f(a ) = a h(a ) = = ud mit dieser Formel lässt sich der Mittelwert meistes scheller bereche als mit der Defiitio. Trasformiert ma die Beobachtugsdate x i gemäß y i = a+ b x i liear, so trasformiere sich die jeweilige arithmetische Mittel wie folgt y = a+ bx

4 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 4 4. Streuugsparameter Gegebe sei eie Stichprobe ( x,...,x ) eies quatitative Mermals. Mermalswerte der Stichprobe seie mit ( a,...,a r ) bezeichet. () Die Spaweite der Stichprobe SP= max x mi x =,..., =,..., ist die Differez zwische dem größte ud dem leiste Beobachtugswert () Die durchschittliche Abweichug vom Media ist die Zahl Med = s= x x also das arithmetische Mittel der Abstäde aller Beobachtugswerte vom Media (3) Die mittlere quadratische Abweichug oder Variaz der Stichprobe ist die Zahl s = ( ) x = x also das arithmetische Mittel der quadrierte Abstäde aller Beobachtugswerte vom Mittelwert (4) Die Stadardabweichug s= s ist die icht-egative Wurzel aus der mittlere quadratische Abweichug. (5) Für positives x heißt der Quotiet aus Stadardabweichug ud arithmetischem Mittel s V = x der Variatiosoeffiziet der Stichprobe. Eigeschafte:. Natürlich gilt wieder ud r r Med Med = = s = a x h(a ) = a x f(a ) ( ) ( ) r r s = a x h(a ) = a x f(a ) = =. Trasformiert ma die Beobachtugsdate x gemäß y = a+ b x liear, so gilt für die zugehörige mittlere quadratische Abweichug s, s : s b ud auch y = sx y x 3. Es gilt das Verschiebugsgesetz s = b s r = = x = = s x x a h(a ) x y

5 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 5 4. Die drei Streuugsparameter SP, x ud s besitze dieselbe Dimesio (die der Beobachtugswerte) ud es gilt stets s s SP 5. I der Praxis stellt ma bei viele Stichprobe quatitative Mermale fest: Im Itervall x s;x+ s liege etwa 68% aller Beobachtugswerte x Im Itervall x s;x+ s liege etwa 95% aller Beobachtugswerte Im Itervall x 3s;x+ 3s liege pratisch alle Beobachtugswerte x 5. Mehrdimesioale Stichprobe Gegebe sei eie Stichprobe um Umfag des Mermals : x,...,x Ud eie Stichprobe vom gleiche Umfag des Mermals y: y,...,y () Ma et die Liste vo Mermalswertpaare (x,y ),...,(x,y ) eie zweidimesioale Stichprobe. Es sei a,...,a eie Liste der verschiedee uter auftretede Mermalswerte ud b,..., b s r eie Liste der verschiedee uter de y i x i auftretede Mermalswerte. () Für jedes Paar vo mögliche Mermalsauspräguge (a i,b j) bezeiche h( a i,b j) die Azahl der Paare (x, y) mit x = a udy = b. Ma et h(a,b ) die (absolute) Häufigeit vo (a, b ) i der zweidimesioale Stichprobe. i j (3) Der Ateilswert f(a,b i j) = h(a,b i j) heißt die relative Häufigeit vo (a,b ) i der zweidimesioale Stichprobe. (4) Die Werte i i j Y j i j j= i= et ma Radhäufigeite. (5) Die Werte s h (a) = h(a,b)bzw.h (b) = h(a,b) i i j r j h(a,b ) h(a,b ) i j i j i j = bzw.f(ba) Y j i = h Y(b j) i f(ab) heiße bedigte relative Häufigeite. h (a) i j x

6 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 6 (6) Die bedigte relative Häufigeite f (a b ),f (a b ),...,f (a b ) j j r j defiiere die bedigte Verteilug des Mermals uter der gegebee Ausprägugb j des Mermals Y. Etspreched defiiere die bedigte Häufigeite f (b a ),f (b a ),...,f (b a ) y i Y i Y s i die bedigte Verteilug des Mermals Y uter der gegebee Ausprägug Mermals. a i des 6. Kovariaz, Korrelatio, Regressio Gegebe sei eie zweidimesioale Stichprobe ( x,y ),...,(x,y ) zweier quatitativer Mermale ud Y mit de arithmetische Mittel xbzw.yud de Stadardabweichuge s bzw.s Y () Die Zahl ( )( ) Cov(,Y) = x x y y = (x y ) xy heißt Kovariaz der Stichprobe.. = = () Ma et die Zahl Cov(,Y) r =. ssy - falls defiiert - de Korrelatiosoeffiziete der Stichprobe. (3) Sid Cov(,Y) a = udb = y ax. s defiiert, so heißt die Gerade mit der Gleichug y= ax+ b die Regressios- oder Ausgleichsgerade der Stichprobe.

7 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 7 II. Idutive Statisti - Wahrscheilicheitsrechug. Kombiatorische Probleme Viele Glücsspiele bestehe dari, uter N mögliche gleichwahrscheiliche Spielausgäge de Richtige zu errate. Beispielsweise: (i) (ii) Würfel (N=6) Müzwurf (N=) Die Gewichace hägt also vo der Gesamtzahl N aller Möglicheite ab. Zur Berechug vo N a i etwas ompliziertere Fälle das folgede Modell agewadt werde: Das Uremodell Aus eier Ure werde Kugel, welche vo bis durchummeriert sid, wird geau mal eie Kugel gezoge. Nach jedem Zug wird die Nummer der etommee Kugel otiert. Frage: Wie viele Möglicheite dies zu tu gibt es? Falluterscheidug:. mit Zurüclege: Jede gezogee Kugel wird ach Notiere ihrer Nummer i die Ure zurücgelegt, a also mehrfach gezoge werde.. ohe Zurüclege: Jede gezogee Kugel wird ach Notiere ihrer Nummer icht mehr i die Ure zurücgelegt, a also ur eimal gezoge werde. A. mit Aordug: Die Kugel werde etspreched der zeitliche Reihefolge ihrer Ziehug ageordet A. ohe Aordug: Die zeitliche Reihefolge der Ziehug der Kugel spielt eie Rolle. Die sich ergebede Azahl etimmt ma der folgede Tabelle Azahl der Möglicheite beim Uremodell; Ziehug. mit Zurüclege A) mit Aordug B) ohe Aordug + Beispiel: Azahl der Möglicheite beim Lotto (6 aus 49):. ohe Zurüclege! ( )! 49 49! N = = = ! 6!

8 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 8. Wahrscheilicheitsräume Im folgede bezeiche Ω stets eie icht-leere Mege, etwa die Ergebismege eies Experimets mit zufälligem Ausgag. Z.B. (i) Würfel: Ω = {,,3,4,5,6} (ii) Müzwurf: : Ω = {K, W} K Kopf, W Wappe Es werde folgede Bezeichuge für Teilmege A, B, vo Ω verwedet. () A B = {x x A ud x B} () A B = {x x A oder x B} (3) A B bedeutet, dass jedes x A auch i B ethalte ist. (4) Ist A B, so defiiert ma B A = {x x B ud x A} (5) Ø ud { } bezeiche die leere Mege. (6) A C = Ω A et ma das Komplemet oder Gegeteil vo A. (7) Ma et Teilmege A, A, A 3,.. vo Ω paarweise disjut, we für i stets A i A = Ø ist. (8) A bezeiche die Azahl der Elemete vo A. Gegebe sei eie icht-leere Mege Ω ud gewisse Teilmege vo Ω, die ma Ergebisse et. Eie Vorschrift P, welche eiem Ereigis A eie Zahl P(A) zuordet, et ma Wahrscheilicheitsmaß, we folgede Bediguge erfüllt sid. () P(Ω) = ud für jedes Ereigis A gilt: 0P(A) () Sid A, A, A 3,.. edlich abzählbar viele paarweise disjute Ereigisse, so gilt: P(A A A 3.) = P(A ) + P(A ) + P(A 3 ) + Ma et das Paar (Ω, P) eie Wahrscheilicheitsraum. I eiem Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) et ma (i) Ø das umögliche Ereigis. (ii) Ω das sichere Ereigis oder die Ereigismege oder de Stichproberaum. (iii) Jedes Ereigis der Gestalt {ω} (ω Ω) ei Elemetarereigis. Ei Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) heißt disret, we edlich oder abzählbar ist ud jede eielemetige Teilmege {ω} vo Ω eie Ereigis ist. Satz : I jedem disrete Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) gilt für jedes Ereigis: P(A) = P({ ω}) ω A

9 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 9 Satz : Besitzt der Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) N gleichwahrscheiliche Elemetarereigisse, so gilt: (i) P({ ω }) = für jedes ω Ω N (ii) Für jedes Ereigis A ist: A P(A) = Ω 3. Regel für Wahrscheilicheite I jedem Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) mit Ereigisse A, B,. A, A, A 3, gelte folgede Regel: () P(Ø) = 0 ud P(Ω) = () Aus A B P(A) P(B) ud P(B A) = P(B) P(A) (3) P(A C ) = P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) P(A A A 3.) = P (A ) + P(A C A ) + P(A C A C A 3 ) Bedigte Wahrscheilicheite Sid A, H Ereigisse eies Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) mit P(H) > 0, so et ma die Zahl P(A H) P( A H) = P(H) die bedigte Wahrscheilicheit vo A uter der Bedigug oder Hypothese H. Satz : Gegebe seie edlich viele Ereigisse H,, H eies Wahrscheilicheitsraum (Ω, P). Die Ereigisse H,, H - möge positive Wahrscheilicheite besitze. Da gilt: P(H... H ) = P(H ) P(H H ) P(H H H )... P(H H... H ) 3 Satz : Gegebe seie edlich (oder abzählbar) viele Ereigisse A, H, H, eies Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) mit P(H )>0. Die Ereigisse H seie paarweise disjut. Ihre Vereiigug sei gleich Ω. Da gilt: () (Satz für die totale Wahrscheilicheit) P(A) = P(H ) P(A H )

10 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 0 () (Bayes sche Formel) P(H ) P(A H ) P(H ) P(A H ) P(H A) = = P(H ) P(A H ) P(A) für jedes H, falls P(A) > 0 Zwei Ereigisse A, B eies Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) heiße uabhägig, we gilt:. P(A B) = P(A) P(B) Ma et eie Mege vo Ereigisse uabhägig, we für jeweils edlich viele dieser Ereigisse etwa A,, A r-, stets gilt: P(A... A ) = P(A )... P(A ) r r 5. Zufallsvariable, Verteilugsfutio Es sei (Ω, P) ei Wahrscheilicheitsraum () Eie Vorschrift, welche jedem ω Ω eie reelle Zahl (ω) zuordet (die Realisatio vo a der Stelle ω), et ma eie Zufallsvariable, we für jedes x Ρ die Mege {ω Ω (ω) x} ei Ereigis ist. () Ist eie Zufallsvariable, so et ma die durch F(x) = P({ ω Ω ( ω) x}) urz:f(x) = P( x) für alle reelle Zahle x defiierte Futio F (x) die Verteilugsfutio vo. Eigeschafte vo Verteilugsfutioe: () F(x) F(y)fürx y () F( ) = 0;d.h.limF(x) = 0 x F( + ) = ;d.h.limf(x) = x + (3) F (x) ist i jedem Put rechtsseitig stetig. 6. Disrete Zufallsvariable Eie Zufallsvariable heißt disret, we sie ur edlich oder abzählbar viele Werte aimmt. Ist eie disrete Zufallsvariable, so et ma die durch f (x) = P({ ω Ω ( ω ) = x}) urz : f (x) = P( = x) Defiierte Futio die Wahrscheilicheitsfutio vo. Folgerug:

11 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm Ist {x 0, x, x,..} der Wertebereich vo, so ist für jede Reelle Zahl x F(x) = f(x) x x 7. Stetige Zufallsvariable Eie Zufallsvariable heißt stetig, we es eie Futio f: [ 0, ) Verteilugsfutio F (x) für jedes x Ρ die Darstellug gibt, so dass die F(x) = f(t)dt x besitzt. Die Futio f (x) et ma Dichte vo bzw. vo F (x) Die Wahrscheilicheit, dass eie stetige Zufallsvariable mit Dichte f (x) Werte zwische zwei Zahle a ud b mit a b + aimmt, ist stets gleich dem Itegral f(x)dx. Dabei ist es uerheblich, ob die Greze a, b mitberücsichtigt werde oder icht, d.h. es gilt: P(a< < b) = P(a < b) = P(a< b) = P(a b) = f (x)dx Die Wahrscheilicheit wird durch die Fläche repräsetiert, die oberhalb des Itervalls [a;b] zwische x-achse ud Dichtefutio liegt. b a b a 8. Parameter vo Verteilug I Aalogie zu de Lage- ud Streuugsparameter i der desriptive Statisti gilt die folgede Ist eie disrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {x, x, x 3,..} bzw. ist eie stetig Zufallsvariable mit der Dichte f (x), da heißt () Die Zahl xf(x) E() =µ = bzw. + xf (x)dx der Erwartugswert vo bzw. F (x)

12 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm () Die Zahl (x µ ) f (x ) Var() = bzw. + (x µ ) f (x)dx die Variaz vo bzw. F (x) (3) Die Zahl σ = Var() die Stadardabweichug vo bzw. F (x) Bemeruge: (i) Es gilt das Verschiebegesetz Var() = x f (x ) (ii) bzw. + Var() = x f (x)dx µ µ Ist der zugrude liegede Wahrscheilicheitsraum (Ω, P) edlich oder abzählbar, da a ma E() oder Var() auch folgedermaße bereche: a. E() = ( ω) P({ ω}) b. ω Ω Var() = (( ω) E()) P({ ω }) = ( ω) P({ ω}) E() ω Ω c. We der Wertebereich der Zufallsvariable uedlich ist, so sid E() ud Var() laut Defiitio der Wert eier uedliche Reihe bzw. eies ueigetliche Itegrals. Eie solche Reihe bzw. ei solche Itegral a auch diverget sei, d.h. E() bzw. Var() öe udefiiert sei. ω Ω 9. Der zetrale Grezwertsatz Für leie ud bestimmte Werte vo p ist die Biomialverteilug tabelliert. Sid p,q >0 ud es gilt p + q = sowie x reell, da gilt für große der Satz. Satz (Zetraler Grezwertsatz) x p B,p ( x) N0, pq wobei N 0, die tabellierte Stadardormalverteilug darstellt.

13 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 3 III. Schließede Statisti Die zetrale Frage der schließede Statisti besteht dari, Aussage aufgrud eier Stichprobe für die Grudgesamtheit zu treffe.. Schätzug vo Parameter Das Problem, eie ubeate Parameter eier Stichprobe zu schätze wird folgedermaße defiiert: Eie Stichprobefutio, dere Realisierug (Schätzer) ˆγ als Näherug eies Parameters γ eier Stichprobe agesehe werde a, heißt Putschätzug vo γ. Eie Schätzug heißt erwartugstreu, we ihr Erwartugswert gleich dem zu schätzede Parameter ist. Es gilt E( γ ˆ) = γ Eie Schätzug ˆγ heißt effiziet (wirsam), we für zwei erwartugstreue Schätzer ˆγ ud für γ gilt t Var( γ ˆ ) < Var( γˆ ). ˆγ Ei Schätzer heißt osistet, we er für sehr große Stichprobe gege de wahre Wert der Grudgesamtheit overgiert.. Methode zur Gewiug vo Schätzuge Für Parameter, die sich aus de Momete zusammesetzte, gewit ma Schätzuge, idem ma die Momete durch die empirische Momete ersetzt. Diese Methode heißt Mometemethode. Als empirisches -tes Momet bezeichet ma die Stichprobefutio i i =. Als empirisches zetrales Momet der Ordug bezeichet ma die Stichprobefutio ( i ) i= Eie Putschätzug liefert aus der vorgelegte Stichprobe eie Schätzwert des betreffede Parameters. Zur Geauigeit ud Sicherheit der Schätzug liefer Kofidezschätzuge Ergebisse. Sei eie mathematische Stichprobe (, ) aus eier Grudgesamtheit gegebe, wobei der Parameter γ der Stichprobe geschätzt werde soll. Ferer seie Schätzer ˆγ ud ˆγ zwei Schätzer derart, dass bei beliebigem γ gilt P( γ ˆ < γ < γ ˆ ) = α. Da heißt das Itervall [ ˆ ; ˆ ] zum Kofideziveau -α. γ γ eie Kofidezschätzug oder Kofidezitervall vo γ

14 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 4 Sei eie ormalverteilte Grudgesamtheit gegebe mit beater Variaz Das Itervall σ x z ;x+ z α / α / ist da das symmetrisches Kofidezitervall für Erwartugswert µ zum Kofideziveau -α. Sei eie ormalverteilte Grudgesamtheit gegebe mit ubeater Variaz Das Itervall s s x t ;x+ t m; α / m; α / ist da das symmetrisches Kofidezitervall für Erwartugswert µ zum Kofideziveau -α. 3. Prüfe vo Hypothese (Tests) Mit Hilfe vo Tests (Sigifiaztests) werde Hypothese über statistische Parameter überprüft. Aufbau vo statistische Tests () Aufstelle der Nullhypothese H 0 ud der Alterativhypothese H () Festlegug des Sigifiaziveaus ud Festlegug des Nichtablehugsbereichs (3) Berechug der Teststatisti (4) Bestimmug des Ablehugsbereichs (5) Testetscheidug Sigifiaztests für bestimmte Fragestelluge Test für µ bei ormalverteilter Grudgesamtheit ud beater Variaz σ (Gauß-Test) Hypothese Teststatisti Testetscheidug H : µ=µ 0 0 H: µ µ 0 z = x µ σ AblehugvoH für : z > z α / 0

15 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 5 Test für µ bei ormalverteilter Grudgesamtheit ud ueater Variaz Hypothese Teststatisti Testetscheidug H : µ=µ 0 0 H: µ µ 0 t = x µ s AblehugvoH für : t > t, α/ 0 Test für σ bei ormalverteilter Grudgesamtheit Hypothese Teststatisti Testetscheidug H : σ = σ 0 0 H: σ σ 0 χ = ( )s σ AblehugvoH für : χ χ > χ, α/ < χ, α/ 0 oder Test für Vergleich zweier Variaze bei uabhägige Stichprobe ud ormalverteilter Grudgesamtheit Hypothese Teststatisti Testetscheidug H : σ =σ 0 H: σ σ F = s s AblehugvoH für : F > F,, α/ 0

16 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 6 Tabelle der Stadardormalverteilug Beispiel: N ( x) = N (, 36) = 0, , 0,

17 Statisti Prof. Dr. Fra Adreas Schittehelm 7 Tabelle der t-verteilug (aus Wiiboos, der freie Wissesdateba) Quatile der t-verteilug ach ausgewählte Wahrscheilicheite p ud Freiheitsgrade Wahrscheilicheit p Freiheitsgrade 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 3,078 6,34,706 3,8 63,656,886,90 4,303 6,965 9,95 3,638,353 3,8 4,54 5,84 4,533,3,776 3,747 4,604 5,476,05,57 3,365 4,03 6,440,943,447 3,43 3,707 7,45,895,365,998 3,499 8,397,860,306,896 3,355 9,383,833,6,8 3,50 0,37,8,8,764 3,69 p 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995,363,796,0,78 3,06,356,78,79,68 3,055 3,350,77,60,650 3,0 4,345,76,45,64,977 5,34,753,3,60,947 6,337,746,0,583,9 7,333,740,0,567,898 8,330,734,0,55,878 9,38,79,093,539,86 0,35,75,086,58,845 p 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995,33,7,080,58,83,3,77,074,508,89 3,39,74,069,500,807 4,38,7,064,49,797 5,36,708,060,485,787 6,35,706,056,479,779 7,34,703,05,473,77 8,33,70,048,467,763 9,3,699,045,46,756 30,30,697,04,457, ,8,646,96,330,58

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