Statistik I für WInf und WI Prof. Dr. Wilhelm Stannat

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1 2. November Statistik I für WIf ud WI Prof. Dr. Wilhelm Staat Ihalt: I Deskriptive Statistik 1. Grudbegriffe 2. Auswertug eidimesioaler Datesätze 3. Auswertug zwei- ud mehrdimesioaler Messreihe Das vorliegede Skript ist die Zusammefassug des erste Teils der Vorlesug Statistik I für WIf ud WI im Witersemester 2009/10. Die Lektüre des Skriptes ist kei gleichwertiger Ersatz für de Besuch der Vorlesug. Korrekture bitte per a: staat@mathematik.tu-darmstadt.de

2 2. November I. Deskriptive Statistik 1. Grudbegriffe Die deskriptive oder auch beschreibede Statistik beschäftigt sich mit der Erhebug ud Aufbereitug vo Date, die im Rahme vo Erhebuge, wie zum Beispiel Volkszähluge ud Umfrage, oder bei Messuge gewoe werde. Erhobe werde Merkmale wie zum Beispiel Alter, Geschlecht, Eikomme, Temperatur oder Druck. Uterschiede werde Merkmale ach qualitative Merkmale, wie Geschlecht, Natioalität oder Beruf, ud quatitative Merkmale, die ma ihrerseits ochmals i diskrete Merkmale, etwa Alter ud Eikomme, ud stetige Merkmale, etwa Temperatur ud Geschwidigkeit uterteilt. Die Merkmalsauspräguge sid die Gesamtheit der mögliche Werte eies Merkmals, also: Beispiele Geschlecht: mälich, weiblich Alter: 0, 1, 2, 3,... Temperatur: die reelle Zahle R oder Teilmege der reelle Zahle Als Merkmalsträger bezeichet ma die für die Erhebug der Date relevate Objekte. Das sid also zum Beispiel bei eier Umfrage die Mege der relevate Persoe. Die Gesamtheit der für eie statistische Erhebug relevate Merkmalsträger heißt Grudgesamtheit. Bei Erhebuge uterscheidet ma zwische eier Vollerhebug, bei der alle Merkmalsträger der Grudgesamtheit erfasst werde (etwa Volkszählug) ud eier Teilerhebug oder Stichprobeerhebug, bei der ur eie zufällig gewoee Teilmege der Grudgesamtheit erfasst wird, wie es bei Umfrage der Fall ist. Merkmalstype, Skalierug, Klassierug Wir habe bereits die Uterscheidug zwische quatitative ud qualitative Merkmale agesproche. Durch Quatifizierug ka ei qualitatives Merkmal i ei quatitatives umgewadelt werde, z.b.: grü = 23 blau = 14 oder Europa = 3 Asie = 1 Skalierug Bei quatitative Merkmale spielt die Skalierug eie wichtige Rolle. Ma uterscheidet folgede Skale: Nomialskala: die zugeordete Zahle diee lediglich zur Uterscheidug der Merkmalsauspräguge Beispiel Steuerklasse I, II,..., V. Ordialskala, Ragskala: die Merkmalsauspräguge werde zueiader i eier Ragfolge i Beziehug gesetzt Beispiel Schadstoffklasse 1, 2, 3, 4.

3 2. November Kardialskala: zusätzlich zur Ragfolge spielt auch och der Abstad zwische zwei Merkmalsauspräguge eie Rolle Beispiele Temperatur, Eikomme. Klassierug Ei stetig verteiltes Merkmal ka durch die Aufteilug der Merkmalsauspräguge i Teilitervalle (Klasse) i ei diskretes Merkmal überführt werde. Beispiel Körpergröße i cm Klasse < 160 cm cm cm cm cm 200 cm Bei der Erhebug statistischer Date uterscheidet ma zwische Befragug (z. B. Umfrage, Volkszählug) Beobachtug (z. B. Verkehrszählug, Messug,...) Experimet (Messug im physikalische Experimet). Bei der Teilerhebug statistischer Date wird die Stichprobeauswahl etscheided, d. h. vo welche Merkmalsträger werde die Date erhobe. Es gibt hierzu, ebe willkürlicher Auswahl, Stichprobetechike. Beispiel Quoteauswahl Bei der Auswahl achtet ma darauf, dass bestimmte Merkmalsauspräguge i der Teilgesamtheit dieselbe relative Häufigkeit besitze wie i der Grudgesamtheit. Ma spricht da vo eier "repräsetative Auswahl, im Zusammehag mit Umfrage etwa vo eier repräsetative Umfrage.

4 2. November Auswertug eidimesioaler Datesätze Die Gesamtheit der Date aus der statistische Erhebug bezeichet ma als Urliste. Wird ur ei Merkmal erhobe, so ka ma die erhobee Merkmalswerte als Folge aufschreibe: x 1, x 2, x 3,..., x Auf diese Weise erhält ma eie Stichprobe der Läge. Alterativ spricht ma auch vo eier Messreihe, sowie statt vo Merkmalswerte auch vo Messwerte oder Beobachtuge. Beispiel Jahreshöchsttemperature (i C) i Darmstadt i de Jahre Absolute ud relative Häufigkeite Es seie a 1, a 2,..., a s die mögliche Merkmalsauspräguge. Die Azahl der Merkmalswerte x 1,... x, die mit a j übereistimme, heißt absolute Häufigkeit vo a j ud wird mit h(a j ) bezeichet (j = 1,..., s). Der Ateil f(a j ) := h(a j) (j = 1,..., s) des Merkmalswertes a j a der Gesamtzahl der erhobee Merkmalswerte heißt relative Häufigkeit. A de relative Häufigkeite ka ma isbesodere sofort die Prozetateile ablese. Offebar gilt: s h(a j ) = j=1 ud s f(a j ) = 1. j=1 Graphische Darstelluge der Häufigkeitsverteilug Die gägige graphische Darstelluge vo Häufigkeitsverteiluge sid Tabelle Stabdiagramme ud Histogramme Kreisdiagramme. Beispiel Stimmeverteilug bei der Budestagswahl 2005 Das erhobee Merkmal ist i diesem Falle die mit der Zweitstimme gewählte Partei. Eie Beobachtugseiheit ist ei Stimmzettel. Die Gesamtheit der Merkmalswerte sid die zur Wahl stehede Parteie, also SPD, CDU, CSU, usw. Um die Darstellug zu vereifache, sid die weiger häufig gewählte Parteie i der Klasse Sostige zusammegefasst. Die Azahl der Merkmalswerte ist gleich der Azahl der gültige Zweitstimme, i diesem Falle =

5 2. November Häufigkeitstabelle I der Häufigkeitstabelle werde die ermittelte absolute ud/oder relative Häufigkeite tabellarisch erfasst. Partei Zweitstimme Ateil i Prozet SPD CDU CSU Grüe FDP Die Like Sostige Stabdiagramm Kreisdiagramm Bei stetige oder quasistetige Merkmale ist die Aufstellug eier Häufigkeitstabelle oder eies Stabdiagramms silos, de die meiste Werte sid ur eifach oder gar icht besetzt. Beispiel Jährliche Milchleistug vo Kühe (i 100 Liter) (=100)

6 2. November Ei Ausweg liefert hier die Klassierug. Bei der Wahl der Azahl der Klasse ist allerdigs zu beachte, dass bei zu großer Klasseazahl viele Klasse ubesetzt bleibe, bei zu geriger Klasseazahl Iformatio verlore geht. Als Faustregel gilt, dass die Azahl der Klasse i etwa etspreche sollte, wobei die Azahl der Beobachtuge ist. I obigem Beispiel erhalte wir bei der Wahl vo 8 Klasse der Form [a 1, a 2 [, [a 2, a 3 [, [a 3, a 4 [, [a 4, a 5 [, [a 5, a 6 [, [a 6, a 7 [, [a 7, a 8 [, [a 8, a 9 [ mit a 1 = 24, a 2 = 27, a 3 = 29.6, a = 32, a 5 = 34.3, a 6 = 36.5, a 7 = 38.4, a 8 = 40.5, a 9 = 45.5 die folgede Häufigkeitstabelle: Milchleistug [24, 27[ [27, 29.6[ [29.6, 32[ [32, 34.3[ Azahl der Milchkühe Milchleistug [34.3, 36.5[ [36.5, 38.4[ [38.4, 40.5[ [40.5, 45.5[ Azahl der Milchkühe Im folgede bezeiche K j die Azahl der Merkmalswerte i der Klasse [a j, a j+1 [. K j heißt Klassehäufigkeit oder auch Besetzugszahl. De zugehörige relative Ateil k j := K j bezeichet ma als relative Klassehäufigkeit. Zur graphische Darstellug klassierter Date eige sich Histogramme. Hierbei wird über jedem der Teilitervalle [a j, a j+1 [ ei Rechteck mit der Fläche k j errichtet. Die Höhe d j des Rechtecks errechet sich also gemäß der folgede Gleichug d j (a j+1 a j ) = k j. Ma beachte, dass bei gleicher Klassebreite icht ur die Fläche, soder auch die Höhe der Rechtecke proportioal zur relative Klassehäufigkeit k j ist.

7 2. November Histogramm zu obigem Beispiel Kumulierte Häufigkeitsverteilug Die Fuktio H(x) := a j x h(a j ) für x R heißt absolute kumulierte Häufigkeitsverteilug. Sie zählt zu gegebeem x R die Azahl der Beobachtugswerte die kleier gleich x sid. Die Fuktio F (x) := 1 H(x) = a j x f(a j ), x R heißt relative kumulierte Häufigkeitsverteilug oder empirische Verteilugsfuktio. Eigeschafte der empirische Verteilugsfuktio F ist eie mooto wachsede Treppefuktio 0 F 1 F besitzt Sprüge a de Merkmalsauspräguge a j Als Beispiel für de typische Verlauf eier empirische Verteilugsfuktio im folgede die Verteilugsfuktio zu de Jahreshöchsttemperature i Darmstadt aus de Jahre

8 2. November Lagemaße Modalwert x Mod Diejeige Auspräguge a j mit der größte Häufigkeit werde als Modalwerte bezeichet. Die Verwedug des Modalwertes zur Beschreibug vo Datesätze sollte auf de Fall uimodaler Verteiluge beschräkt bleibe. Media x Med Der Media oder auch Zetralwert ist derjeige Wert x Med, für de midestes 50 % aller Merkmalswerte kleier gleich x Med ud midestes 50 % aller Merkmalswerte größer gleich x Med sid. Zur Bestimmug des Medias ordet ma die Werte x 1,..., x zuächst der Größe ach a, x (1) x (2)... x () ud erhält auf diese Weise die sogate geordete Urliste. Da defiiert ma x +1 2 x Med := ) falls ugerade ( ) 1 x 2 ( 2 ) + x ( 2 +1) falls gerade (1.1) Arithmetisches Mittel (Durchschittswert) Der bekateste Lageparameter ist das arithmetische Mittel x := 1 x i = s a j f(a j ). j=1 Beispiel Preise für Normal-Bezi a 20 örtliche Takstelle der Größe ach geordet: I diesem Beispiel ist x Mod = 134.9, x Med = , x = Würde eie Takstelle als besodere Werbemaßahme de Bezipreis vo auf seke, so würde dies de Durchschittswert x vo auf seke. Eie Eifluss auf de Media (oder auf de Modalwert) hätte die Sekug dagege icht. Lagemaße, die icht empfidlich auf Extremwerte oder Ausreißer reagiere heiße robust. Der Media ist also ei robustes Lagemaß. Bemerkug (i) Media ud arithmetisches Mittel stimme i.a. icht mit eier der mögliche Merkmalsauspräguge überei. Promietes Beispiel: Durchschittliche Azahl der Kider pro Familie.

9 2. November (ii) Äquivariaz uter liearer Trasformatio Trasformiert ma die Date gemäß eier affi lieare Trasformatio der Form so gilt für das arithmetische Mittel y i = a + bx i, y = a + bx ud ebeso y Mod = a + bx Mod, y Med = a + bx Med. (iii) Optimalitätseigeschafte Das arithmetische Mittel x = 1 x i miimiert die Summe der quadratische Abstäde, d.h. es gilt (x i x) 2 < (x i r) 2 für alle r R, r x. Beweis (x i r) 2 (x i x) 2 = (x i r) 2 (x i x) 2 }{{} 2x i r+r 2 +2x i xx 2 = 2xr + r 2 + 2x 2 x 2 = (r x) 2 > 0 für r x. Auch Media ud Modalwert erfülle etsprechede Optimalitätskriterie. Der Media x Med miimiert die Summe der Abstäde, d.h. es gilt x i x Med < x i r für alle r R, r x Med. Der Modalwert miimiert die Summe 1 {xi r} mit 1 {xi r} = { 1 falls x i r 0 falls x i = r. Weitere Lagemaße Aahme: x 1,..., x > 0 Geometrisches Mittel x geom x geom := (x 1... x ) 1 Fidet Verwedug im Zusammehag mit Wachstums- ud Zismodelle. Sid etwa x 1,..., x die beobachtete Wachstumsfaktore eies Portfolios mit Afagsbestad K 0, so ist K = K 0 x 1... x

10 2. November der Bestad am Ede der Periode. Schreibt ma K = K 0 (x 1... x ) 1 }{{} = x geom = K 0 x geom so lässt sich x geom als mittlerer Wachstumsfaktor über die Periode 1,..., iterpretiere. Beziehug zum arithmetische Mittel Logarithmiert ma die Messwerte y i := l x i so folgt l x geom = 1 l(x 1... x ) = 1 l x i = 1 y i d.h., l x geom stimmt mit dem arithmetische Mittel der logarithmierte Messwerte y i = l x i überei. Harmoisches Mittel x harm x harm := x i Typische Awedug: Ermittlug vo Gesamtdurchschittswerte aus Durchschitte über eizele Teilbereiche. Beispiel Der ICE vo Frakfurt ach Berli fährt 150 km mit durchschittlich 100 km pro Stude 450 km mit durchschittlich 200 km pro Stude Es sei x i die Durchschittsgeschwidigkeit bei Kilometer i, i = 1, Da beträgt die Durchschittsgeschwidigkeit über die gesamte Strecke [ ] 1 km ( ) = h Quatile ud Box-Plots Lagemaße alleie reiche zur Beschreibug der Date eier Urliste icht aus. Vergleicht ma etwa eie Eikommeserhebug i zwei Läder, so köe die Durchschittseikomme gleich sei, jedoch i eiem Lad größere Eikommesuterschiede bestehe als im adere Lad. Daher beötigt ma zusätzliche Kezahle, um die Lage der Date möglichst effiziet erfasse zu köe. Eie wichtige Methode sid Box-Plots, die mit Hilfe vo Quatile defiiert werde.

11 2. November Defiitio Es sei x (1) x (2)... x () eie geordete Urliste ud p ]0, 1]. Jeder Wert x p mit der Eigeschaft ud heißt p-quatil. Damit folgt 1 ( Azahl der Messwerte x p) p 1 ( Azahl der Messwerte x p) 1 p. x p = x ([p]+1) falls p icht gazzahlig x p [x (p), x (p+1) ] falls p gazahlig. Der Media x Med ist also isbesodere ei 1 2 -Quatil. Spezialfälle x 0.25 = Uteres Quartil Die Distaz d Q = x 0.75 x 0.25 heißt Quartilsabstad. Aufbau eies zugehörige Box-Plots x 0.75 = Oberes Quartil x max x 0.75 x med d Q x 0.25 x mi Modifikatioe Die Läge der Liie (egl. whiskers, Barthaare) ober- bzw. uterhalb der Box köe variiere. Eie gägige Variatio besteht dari, die utere vo ud die obere vo max{x d Q, x mi } bis x 0.25 x 0.75 bis mi{x d Q, x max } zu führe. Messwerte, die daruter bzw. darüber liege, köe gegebeefalls als Ausreißer durch eizele Pukte explizit ketlich gemacht werde.

12 2. November Streumaße Nebe der absolute Lage der Messdate ist auch ihre Streuug vo großer Bedeutug. Die bekateste Maßzahl für die Streuug eier Messreihe ist die empirische Variaz oder auch mittlere quadratische Abweichug: s 2 := 1 (x i x) 2 = s (a j x) 2 f(a j ). (1.2) j=1 Sie ist also defiiert als das arithmetische Mittel der quadratische Abstäde der eizele Messwerte zu ihrem Mittelwert. Die Wurzel hieraus s = 1 (x i x) 2 heißt Stadardabweichug. Der Zusammehag zwische der Stadardabweichug s ud der Streuug der Messwerte ka folgedermaße präzisiert werde: Für k 1 liege midestes 100 (1 1 k 2 ) Prozet der Messwerte x1,..., x im Itervall [ x ks, x + ks]. Isbesodere: im Itervall - [x 2s, x + 2s] liege midestes 50 % der Date - [x 2s, x + 2s] liege midestes 75 % der Date - [x 3s, x + 3s] liege midestes 90 % der Date. Begrüdug der Abschätzug: Es reicht zu zeige, dass H := Azahl der x i mit x i x > k s kleier gleich ist. Zur Abschätzug vo H beachte ma, dass k 2 { 1 falls x i x > k s H = 1 { xi x >k s} mit 1 { xi x >k s} = 0 falls x i x k s. Offesichtlich gilt u aber 1 { xi x >k s} ( ) 2 xi x = 1 k s k 2 s 2 (x i x) 2 = k. 2 } {{ } = s 2 Diese Abschätzug ist allgemei gültig ud daher i viele Fälle sehr ugeau. Wir werde später im Zusammehag mit eiem wahrscheilichkeitstheoretische Resultat sehe: Ist das Merkmal i etwa ormalverteilt, so gilt: im Itervall

13 2. November [x s, x + s] liege etwa 68 % der Date - [x 2s, x + 2s] liege etwa 95 % der Date - [x 3s, x + 3s] liege etwa 99 % der Date. Diese Abschätzug ist also deutlich besser! Bemerkug I der iduktive Statistik verwedet ma statt (1.2) die modifizierte Form s 2 = 1 1 (x i x) 2. Sie heißt Stichprobevariaz ud ist i viele Statistikprogrammpakete voreigestellt. Für große Stichprobeumfag ist der Uterschied zwische de beide Normalisierugsfaktore 1 ud 1 verachlässigbar. 1 1 Die Normierug mit statt mit 1 liegt dari begrüdet, dass die Beziehug 1 x i x = 0 eie der Abweichuge x i x bereits durch die übrige 1 eideutig festlegt. Die Azahl der Freiheitsgrade i der Summe (x i x) 2 beträgt also 1 ud icht. Eigeschafte der empirische Variaz (i) Trasformatiosregel Werde die Date gemäß y i = a + bx i liear trasformiert, so folgt für die empirische Variaz s 2 y = 1 (y 1 y) 2 der trasformierte Date s 2 y = b 2 s 2 x. Beweis s 2 y = 1 (y i y) 2 = b 2 1 }{{} (a+bx i )(a+bx) (x i x) 2 Isbesodere folgt für die Stadardabweichuge: s y = b s x. (ii) Verschiebugssatz de s 2 = 1 (x i x) 2 = }{{} =x 2 i 2x ix+x 2 s 2 = 1 1 ( x 2 i x 2 i 2 1 ) x 2 x i x + x 2 = 1 x 2 i x 2.

14 2. November Kozetratiosmaße Als Ausgagspukt betrachte wir folgede aus [2] etommee Statistik zu moatliche Umsätze der Möbelbrache i 1000 Euro i de drei Städte G, M ud V: Eirichtugshäuser G M V I der Stadt G ist der Umsatz uter de 5 Möbelhäuser also ausgegliche, währed i der Stadt M ei Möbelhaus quasi eie Moopolstellug besitzt. Zur Quatifizierug solcher Kozetratioe gibt es Kozetratiosmaße. Zur Diskussio solcher Maße betrachte wir folgede Ausgagspositio: Gegebe sei ei kardialskaliertes Merkmal mit ichtegative Merkmalsauspräguge. Weiterhi sei x 1 x 2... x eie bereits geordete Stichprobe der Läge mit positiver Merkmalssumme x i > 0. Lorezkurve Es sei v k := k x i x i k = 0, 1, 2,..., der Ateil der k kleiste Merkmalsträger a der gesamte Merkmalssumme. Trägt ma die Pukte ( ) k, v k, k = 0, 1, 2,..., i das Eiheitsquadrat ei ud verbidet sie durch eie Streckezug, so erhält ma die zugehörige Lorezkurve. I obigem Beispiel erhält ma: Stadt G Stadt M Stadt V k v k v k v k

15 2. November Ma erhält als zugehörige Lorezkurve Stadt G Stadt M Stadt V Eigeschafte der Lorezkurve Die Lorezkurve ist immer mooto wachsed ud kovex (d.h. ach ute gewölbt). Die Stärke der Wölbug, also ihre Abweichug vo der Wikelhalbierede, ist ei Maß für Kozetratio. Verläuft die Kurve auf der Wikelhalbierede, so liegt ei ausgewogeer Markt vor. Der Gii-Koeffiziet G ist defiiert durch Fläche zwische Diagoale ud Lorezkurve G = Fläche zwische Diagoale ud horizotaler Achse = 2 Fläche zwische Diagoale ud Lorezkurve Für die Berechug des Gii-Koeffiziete gilt die folgede Formel: G = 2 ix i x i + 1. Beweis I 1 I 2 I 3 I 4 Die Fläche der I i beträgt gerade I i = 1 v i (v i v i1 )

16 2. November also summiert sich die Gesamtfläche der I i zu 1 v i (v i v i1 ) = 1 1 }{{} =v v 0 =1 v i Beachtet ma och, dass 1 1 v i = 1 1 j=1 x j = 1 1 j=1 x j ( 1 ) i x k k=1 ( k)x k = 1 1 k=1 k=1 kx k j=1 x j so erhält ma ach Eisetze i die obere Gleichug ( ( 1 G = j=1 jx )) j j=1 x + 1 = 2 j=1 jx j j 2 j=1 x j + 1.

17 2. November Auswertug zwei- ud mehrdimesioaler Messreihe Zweidimesioale Messreihe Werde bei eier Erhebug zwei Merkmale X ud Y zugleich erhobe, so besteht die Urliste aus Wertepaare (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) Typische Fragestelluge im Zusammehag zweier Merkmale sid die ach Abhägigkeite/Uabhägigkeite zwische de beide erhobee Merkmale. Zur Darstellug der zweidimesioale Date gibt es zuächst zwei Möglichkeite: Kotigeztabelle: geeiget für omialskalierte Merkmale Streuugsdiagramm: geeiget für kardialskalierte Merkmale (A) Kotigeztabelle Bei diesem Verfahre werde die absolute Häufigkeite der mögliche Paare vo Auspräguge des Merkmals x ud des Merkmals y tabellarisch aufgelistet: Auspräguge vo Y Auspräguge vo X b 1... b l a 1 h h 1l... a k h k1... h kl Hierbei steht h ij = h(a i, b j ) für die absolute Häufigkeit der Wertepaare (a i, b j ). Beispiel (etomme aus [1]) Zur Utersuchug vo Abhägigkeite zwische Berufsgruppe ud sportlicher Betätigug werde 1000 Persoe befragt. Es etstad dabei folgede Kotigeztabelle: sportl. Bet. ie gelegetlich regelmäßig Arbeiter Agestellter Beamter Ladwirt sost. freier Beruf Die Eiträge i der Kotigeztabelle heiße gemeisame Häufigkeite. Statt der absolute, lasse sich hier atürlich auch die relative Häufigkeite betrachte: f ij = f(a i, b j ) = h ij.

18 2. November Fragt ma ach der absolute Häufigkeit eier Merkmalsausprägug a i (bzw.b j ) so hat ma die gemeisame Häufigkeite h ij der etsprechede Zeile (bzw. der etsprechede Spalte) aufzusummiere: h(a i ) = h i := h(b j ) = h j := Diese Häufigkeite werde auch als Radhäufigkeite bezeichet. I obigem Beispiel sportl. Bet. ie gelegetlich regelmäßig Radhäufigkeite Arbeiter 430 Agesteller 340 Beamter s.o. s.o. s.o. 90 Ladwirt 50 sost. freier Beruf 90 Radhäufigkeite Um u die beide Merkmale auf Abhägigkeit/Uabhägigkeit hi zu utersuche, bildet ma die bedigte relative Häufigkeite l j=1 k h ij h ij f X (a i b j ) := h ij h j der Ausprägug a i gegebe die Ausprägug b j ud f Y (b j a i ) = h ij h i der Ausprägug b j gegebe die Ausprägug a i. Die bedigte relative Häufigkeit f X (a i b j ) gibt also die relative Häufigkeit der Ausprägug a i a uter alle Merkmalsträger, die bzgl. des adere Merkmals die Ausprägug b j besitze. Sid die bedigte relative Häufigkeite f X (a 1 b j ), f X (a 2 b j ),..., f X (a k b j ) der Ausprägug a 1,..., a k des erste Merkmals uabhägig vo b j (also gleich für j = 1,..., l), so beeiflusse sich die Merkmale icht ud ma sagt, dass sie uabhägig sid. Dieser Fall tritt geau da ei, we auch die umgekehrte bedigte relative Häufigkeite f Y (b 1 a i ), f Y (b 2 a i ),..., f Y (b l a i ) uabhägig sid vo a i für i = 1,..., k.

19 2. November Im Falle der Uabhägigkeit gilt isbesodere f X (a i b j1 ) = f X (a i b j2 ) ud damit h ij1 h j2 = h ij2 h j1 Summatio über j 1 = 1,..., l ergibt h i h j2 = h ij2 also ud somit - da j 2 beliebig: h ij2 = h i h j2 h ij = h i h j. (1.3) Die gemeisame Häufigkeite sid i diesem Falle über (1.3) also bereits durch die Radhäufigkeite bestimmt. Für die bedigte relative Häufigkeite folgt hieraus isbesodere f X (a i b j ) = h ij h j = h i bzw. f Y (b j a i ) = h ij h i = h j, sie sid also uabhägig vo der Ausprägug des jeweils adere Merkmals. Der Kotigezkoeffiziet Um die Abhägigkeit zwische zwei Merkmale X ud Y quatitativ erfasse zu köe, bildet ma die folgede, als Chi-Quadrat Koeffiziet, bezeichete Größe: χ 2 = k l j=1 (h ij h ij ) 2 h ij. Hierbei ist h ij = h i h j. χ 2 ist geau da 0, we die Merkmale uabhägig sid, also we h ij = h ij gilt. Je kleier also der χ 2 -Koeffiziet, umso stärker spricht dies für die Uabhägigkeit der beide Merkmale X ud Y. Allerdigs hägt die Größeordug des χ 2 -Koeffiziete vo der Dimesio der Kotigeztafel ab. Daher geht ma vom χ 2 -Koeffiziete über zum Kotigezkoeffiziete K = χ 2 + χ 2. Der Kotigezkoeffiziet K immt Werte a zwische 0 ud M 1 K max =, wobei M = mi{k, l}. M

20 2. November Durch Normierug mit K max erhält ma hieraus schließlich de ormierte Kotigezkoeffiziete K = K. K max Beispiel (obiges Beispiel zum Zusammehag zwische Berufstätigkeit ud sportlicher Betätigug) I diesem Falle ist χ 2 = ud wege = 1000 folgt für de Kotigezkoeffiziete K = sowie wege k = 5, l = 3, also M = mi{k, l} = 3, folgt für de ormierte Kotigezkoeffiziete K = (B) Streuugsdiagramm Bei kardialskalierte Merkmale ka ma die Wertepaare (x 1, y 1 ),..., (x, y ) der Urliste als Pukte der Ebee auffasse ud somit ei zugehöriges Streuugsdiagramm erstelle: Beispiel I eiem Krakehaus wurde vo 5 Neugeboree Körperläge X ud Kopfumfag Y (i cm) gemesse. Es ergab sich folgede ach Köperläge geordete Messreihe: (48.6, 35.1), (49.5, 34.1), (50.7, 36.8), (51.1, 35.7), (52.4, 37.4) Zu de jeweilige Messwerte bildet ma zuächst die beide Mittelwerte x = 1 x i, y = 1 y i Im Beispiel x = = 50.46, y = = Liegt bei eiem Wertepaar (x i, y i ) der erste Wert um de Durchschitt x i x, aber der zweite Wert y i deutlich über oder uter dem Durchschitt y, so spricht dies eher

21 2. November für die Ukorreliertheit der beide Merkmale Körperläge X ud Kopfumfag Y. Liege jedoch bei diesem Wertepaar bei beide Merkmale deutliche Abweichuge vom Durchschitt vor, so spricht dies für Korrelatio. Folglich liefert das Produkt (x i x)(y i y) eie brauchbare Asatz für ei Korrelatiosmaß. Aufsummiere über die gesamte Stichprobe ud Normierug ergibt die empirische Kovariaz s XY = 1 (x i x)(y i y). Nach Normierug mit de jeweilige Stadardabweichuge ( ) 1 ( ) s X = (x i x) 2 1 ud s Y = (y i y) 2 erhält ma de empirische Korrelatioskoeffiziete r XY = s XY = (x i x)(y i y) s X s Y (x i x) 2 (y i y). 2 Eigeschafte 1 r XY 1 r XY = 1 (bzw. r XY = +1) geau da we die Wertepaare (x i, y i ) auf eier Gerade mit egativer (bzw. positiver) Steigug liege. r XY = 0 spricht für die Ukorreliertheit der Merkmale X ud Y. I diesem Falle sid die Wertepaare (x i, y i ) regellos verteilt. Die Merkmale X ud Y heiße positiv korreliert, falls r XY > 0 egativ korreliert, falls r XY < 0. r XY = r XY = r XY = eie rechetechisch güstigere Darstellug für de Korrelatioskoeffiziete ist r XY = x iy i xy ( x2 i x2 )( y2 i y2 ).

22 2. November Regressiosrechug Liege die Wertepaare der Beobachtuge (x i, y i ) aäherd auf eier Gerade, so ka ma vo eiem lieare Zusammehag der Form y = a + bx (1.4) spreche. Die Koeffiziete a ud b wählt ma dabei so, dass sich die zugehörige Gerade der gegebee Puktwolke am beste apasst. Beste Apassug bedeutet dabei, dass die Summe der quadratische Abstäde Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2, zwische Messwert y i ud etsprechedem Pukt a + bx i auf der Gerade y = a + bx, miimal wird. ( Prizip der kleiste Quadrate ach C.F. Gauß). Diejeige Gerade, die sich der Puktwolke dabei am beste apasst, heißt Ausgleichsgerade oder Regressiosgerade. Ihre Koeffiziete sid bestimmt durch ˆb = s XY s 2 X, â = ȳ ˆb x. (1.5) Beispiel I obigem Beispiel ist s XY = 1 ( ) ud damit r XY 0.8 (d. h. Körpergröße ud Kopfumfag sid (erwartugsgemäß) stark positiv korreliert). Die Koeffiziete der zugehörige Regressiosgerade sid gegebe durch ˆb 0.72 ud â 0.51 also hat die Regressiosgerade die Form y = x. Mit Hilfe der Regressiosgerade köe wir u zum Beispiel eie Vorhersagewert ("Progose") für de Kopfumfag eies Neugeboree bei eier Körperläge vo 50 cm bestimme: y(50) = Zu gegebeem Wertepaar (x i, y i ) heißt die Differez u i := y i ŷ i = y i (â + ˆbx i ) zwische beobachtetem Wert y i ud dem durch die Regressiosgerade erklärte etsprechede Wert ŷ i = â + ˆbx i Residuum. De Quotiete R 2 = (ŷ i ȳ) 2 (y i ȳ) 2 = 1 u2 i (y i ȳ) 2 = r2 XY

23 2. November bezeichet ma als Bestimmtheitsmaß. Er ist ei Maß für die Güte der Approximatio der Messwerte y i durch die berechete Ausgleichsgerade ud stimmt mit dem Quadrat des Korrelatioskoeffiziete überei. Zur Optimalität der Regressiosgerade Satz Es sei s 2 X 0 ud â, ˆb wie i (1.5). Da gilt: Q(a, b) > Q(â, ˆb) für alle (a, b) (â, ˆb). Beweis: Q(a, b) = [y i (a + bx i )] 2 ist ei Polyom vom Grad 2 mit Gradiet ( ) Q Q grad Q(a, b) = (a, b), (a, b) a b ( = 2 [y i (a + bx i )], ) x i [y i (a + bx i )] ud Hesse-Matrix H Q (a, b) = [ 2 Q (a, b) a 2 (a, b) 2 Q a b 2 Q a b 2 Q (a, b) (a, b) b 2 ] [ x = 2 x x2 i ]. Also det H Q (a, b) = 4 ( ) x 2 i 2 x 2 = 4 2 s 2 X > 0, damit ist H Q positiv defiit ud somit Q gleichmäßig strikt kovex. Folglich besitzt Q geau ei eideutig bestimmtes Miimum ud dies wird a der Nullstelle (bzw. der kritische Stelle) des Gradiete ageomme: grad Q(a, b) = 0 Q Q (a, b) = 0 ud (a, b) = 0 a b y = a + bx ud 0 = x i (y i (a + bx i )) = x i (y i bx i (y bx)) = x i y i b x 2 i xy + bx 2 a = y bx ud b = x iy i xy x2 i x2 = s XY s 2 X

24 2. November Bemerkug (Nichtlieare Regressio) Bei viele zweidimesioale Messreihe ist vo voreherei klar, dass kei liearer Zusammehag zwische de beobachtete Messwerte erwartet werde ka, soder ei fuktioaler Zusammehag der Form y = f(x) für eie geeigete ichtlieare Fuktio f, z.b. y = ae bx für b R, a > 0. Gesucht sid wieder diejeige Parameter a ud b, für die sich der zugehörige Fuktiosgraph der gegebee Puktwolke am beste apasst. Häufig ka ma durch geeigete Trasformatio der Date das Problem auf eie lieare Zusammehag zurückführe, wie etwa im Beispiel y = ae bx log y = log a + bx ud zu bestimme ist die Regressiosgerade zu de trasformierte Beobachtugswerte (x 1, log y 1 ), (x 2, log y 2 ),..., (x, log y ). Ausblick auf mehrdimesioale Messreihe Bei eier statistische Erhebug köe atürlich mehr als zwei Merkmale zugleich erhobe werde. Als Urliste estehe Tupel (d.h. geordete Mege) vo Messwerte (x 11,..., x 1m ), (x 21,..., x 2m ),... (x 1,..., x m ), die ma i eier Datematrix zusammefasst: x x 1m x x 2m.. x 1... x m Die graphische Darstellug der Urliste als Streuugsdiagramm ist für m 4 icht mehr möglich. Zur Aufklärug vo Abhägigkeite zwische de erhobee Merkmale köte ma zwar für jedes Paar vo Merkmale das zweidimesioale Streuugsdiagramm bzw. die zweidimesioale Kotigeztabelle aufstelle. Da aber die Azahl der Merkmalspaare mit der Azahl m der erhobee Merkmale sehr schell awächst, ist dieser Asatz sehr aufwädig. Effizietere Methode sid Gegestad weiterführeder Verastaltuge i der Statistik.

25 2. November Literatur [1] G. Bamberg, F. Baur, M. Krapp, Statistik, 13. Auflage, R. Oldebourg Verlag, [2] L. Fahrmeir, R. Küstler, I. Pigeot, G. Tutz, Statistik, 6. Auflage, Spriger Verlag, Weitere Literatur [3] J. Bleymüller, G. Gehlert, H. Gülicher, Statistik für Wirtschaftswisseschaftler, 14. Auflage, Verlag Vahle, [4] L. Fahrmeir, R. Küstler, I. Pigeot, G. Tutz, A. Caputo, S. Lag, Arbeitsbuch Statistik, 4. Auflage, Spriger Verlag, [5] J. Schira, Statistische Methode der VWL ud BWL: Theorie ud Praxis, 2. Auflage, Pearso Studium, 2005.