WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK
|
|
- Willi Richter
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Semiar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesugsprogramm Mittelwerte ud Lagemaße I. Quatile vo Häufigkeitsverteiluge 2. Awedug ud Berechug der wichtigste Mittelwerte Modus Media Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmoisches Mittel Literatur: Dege, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., Müche-Wie 2002, S Mosler, Karl ud Schmid, Friedrich: Beschreibede Statistik ud Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl., Berli-Heidelberg-New York 2009, S vo der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 993, S Aufgabe: Semesterabschlussklausur SS 0, Aufgabe b). Semesterabschlussklausur WS 03/04, Aufgabe. Semesterabschlussklausur WS 04/05, Aufgabe a) bis c). Semesterabschlussklausur WS 05/06, Aufgabe. Semesterabschlussklausur WS 08/09, Aufgabe 5.
2 Mittelwerte ud Lagemaße Übersicht Kezahle für Datesätze Allgemeie Lageparameter: Quatile Mittelwerte Streuugsmaße Kozetratiosmaße Schiefe Wölbug 2
3 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile p-quatil (allgemeier Lageparameter) Voraussetzug: Midestes ordial skalierte Merkmale Vorgabe: 0 < p < Da heißt die Kezahl x p p-quatil, falls uterhalb vo x p sich höchstes 00 p% ud oberhalb vo x p sich höchstes 00 p % der Beobachtugswerte befide. Beispiel: p=0,4 Das 0,4-Quatil ist derjeige Beobachtugswert x 0,4, für de gilt, dass (höchstes) 40% der Beobachtugswerte kleier ud (höchstes) 60% der Beobachtugswerte größer als x 0,4 sid. Gewit ma z.b. aus eier Erhebug des Moatseikommes vo Haushalte die Iformatio x 0,4 = 2000, da weiß ma: 40% der Haushalte verdiee weiger als 2000, 60% der Haushalte mehr als
4 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Eigeschafte ud Berechug des p-quatils. Das p-quatil teilt die geordete Urliste i geau zwei Teile. 2. Ist p gazzahlig, so gelte die Prozetsätze exakt. 3. Für die Datelage A gilt: x p = x p+ falls p icht gazzahlig 2 x p + x p+ falls p gazzahlig Dabei bedeutet [α]: = größte gaze Zahl, die kleier oder gleich a ist. [ ] heißt Gauß-Klammer Beispiel: = 25, p = 0, p = 2,5 icht gazzahlig [ p + ] = [3,5] = 3 x 0, = x 3 = dritter Wert der geordete Urliste = 25, p = 0,2 p = 5 gazzahlig p = 5 = 5 ; [ p + ] = [6] = 6 x 0,2 = 2 x 5 + x 6 = Itervallmitte zwische 5. ud 6. Wert der geordete Urliste 4
5 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel aus der Absolveteumfrage 2002 Geordete Urliste Lfd. Nr. (i) Lebesalte r beim Exame x (i) x p = x p+ falls p icht gazzahlig 2 x p +x p+ falls p gazzahlig = 39 p = 0,25 p = 9,75 x 0,25 = x 0 = 26 p = 0,5 p = 9,5 x 0,5 = x 20 = 27 p = 0,75 p = 29,25 x 0,75 = x 30 = 29 p = 2 3 p = 26 x 2 3 = 2 (x 26 + x 27 ) = = 28 5
6 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile 4. Für die Datelage B gilt: x p = x i für F i < p < F i 2 x, wobei i =,, m ud F i + x i+ für p = F 0 = 0 i Zahlebeispiel Absolveteumfrage 2002, Merkmal Alter : Nr. Merkmalsausprägug eifache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit absolut relativ absolut relativ i x i h i f i H i F i 23 0,0256 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Summe 39 Kotrollfrage: Wo liegt der Media x 0,5 F 4 = 0,465 < p = 0,5 < F 5 = 0,564 x 0,5 = x 5 = 27 Atwort: Bei eiem Lebesalter vo 27 Jahre. 6
7 Kumulierte relarive Häufigkeit Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Graphische Ermittlug des p-quatils bei Datelage B: Empirische Verteilugsfuktio 0,75 0,5 0, Lebesalter beim Exame 7
8 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile 5. Für die Datelage C gilt: p-quatile köe im allgemeie ur äherugsweise bestimmt werde. Ma greift auf die approximierede empirische Verteilugsfuktio zurück ud bestimmt x p als Lösug der Gleichug F x p = p Berechug: Schritt : Ma bestimmt zuächst die Klasse G i mit F i p < F i, i die das gesuchte Quatil hieifällt. Diese Klasse hat die Greze [a i, a i ) ud die Breite i = a i a i. Somit gilt die Eigrezug a i x p < a i. Schritt 2: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: x p a i + p F i F i F i a i a i = a i + p F i f i i Bei Aahme der Gleichverteilug ierhalb der Klasse ist die Approximatio exakt. 8
9 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel: Absolveteumfrage, Merkmal Alter beim Exame, 7 Klasse, idetische Breite = 2 vo bis uter Mitte Breite i a i- a i x i D i h i f i H i F i ,0256 0, , , , , , , , , , , , Summe 39 Berechug des Medias (p = 0,5). Schritt: I welche Klasse fällt der Media? Da 0,205 < 0,5 < 0,564, befidet sich der Media i Klasse 3, also gilt: 26 < x 0,5 < Schritt: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: 0,5 0,205 x 0,5 = = 27,6 Jahre 0,564 0,205 9
10 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel: Absolveteumfrage, Merkmal Alter beim Exame, 7 Klasse, idetische Breite = 2 vo bis uter Mitte Breite i a i- a i x i D i h i f i H i F i ,0256 0, , , , , , , , , , , , Summe 39 Berechug des. Quartils (p = 0,25). Schritt: 0,205 < 0,25 < 0,564 Q befidet sich auch i Klasse 3, also gilt: 26 < x 0,25 < Schritt: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: 0,25 0,205 x 0,25 = = 26,3 Jahre 0,564 0,205 0
11 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Zahlebeispiel: Absolveteumfrage, Merkmal Alter beim Exame, 7 Klasse, idetische Breite = 2 vo bis uter Mitte Breite i a i- a i x i D i h i f i H i F i ,0256 0, , , , , , , , , , , , Summe 39 Berechug des 3. Quartils (p = 0,75). Schritt: 0,564 < 0,75 < 0,7949 Q 3 befidet sich i Klasse 4, also gilt: 28 < x 0,75 < Schritt: Feiberechug durch lieare Iterpolatio: 0,75 0,564 x 0,75 = = 29,6 Jahre 0,7949 0,564
12 Kumulierte relative Häufigkeit Mittelwerte ud Lagemaße Quatile Graphische Ermittlug des p-quatils bei Datelage C mit Hilfe der approximierede empirische Verteilugsfuktio: Approximierede empirische Verteilugsfuktio F x 0,75 0,5 0, Lebesalter beim Exame 2
13 Mittelwerte ud Lagemaße Quatile 6. Spezialfälle Quartile: p = (0,25 0,5 0,75) Die drei Quartile teile die geordete Urliste i vier gleiche Teile. 0,25 Quatil = x 0,25 = Q = uteres Quartil 0,5 Quatil = x 0,5 = Q 2 = mittleres Quartil oder Media 0,75 Quatil = x 0,75 = Q 3 = oberes Quartil Dezile: p = 0, 0,2 0,8 0,9 Die eu Dezile teile die geordete Urliste i zeh gleiche Teile. 3
14 Mittelwerte Überblick Mittelwert = Kezahl zur Beschreibug der zetrale Tedez eier statistische Masse. Ziel: Durch Agabe eies eizige, typische Wertes soll die statistische Masse möglichst gut repräsetiert werde. Der Mittelwert soll das Niveau, die allgemeie Größeordug der Messwerte charakterisiere ud de Datesatz durch eie eizige Zahl zusammefasse. Die wichtigste Mittelwerte sid: Modus Media (Zetralwert) Arithmetisches Mittel (AM) Harmoisches Mittel (HM) Geometrisches Mittel (GM) lagetypische Mittelwerte recherische Mittelwerte Vo geriger praktischer Bedeutug sid das quadratische ud das atiharmoische Mittel, die zusamme mit de scho geate recherische Mittelwerte Spezialfälle der sogeate Potezmittel sid. Die Berechug der Mittelwerte hägt vo der Datelage ab. 4
15 Relative Häufigkeit f Mittelwerte Zahlebeispiel Fiktives Zahlebeispiel, quatitatives Merkmal x, 20 Beobachtugswerte: 5,6,4,2,8,3,7,5,5,3,6,4,2,3,4,6,5,7,5, Quelle für das Zahlebeispiel: Abels, Heier: Wirtschafts- ud Bevölkerugsstatistik, 4. Aufl., Wiesbade 993, S. 209 Geordete Urliste i x (i) Häufigkeitstabelle x i h i f i H i F i 0,05 0, , 3 0, ,5 6 0, ,5 9 0, ,25 4 0, ,5 7 0, , 9 0,95 8 0,05 20 Summe 20 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 Stabdiagramm Merkmal x 5
16 Mittelwerte Zahlebeispiel Datelage A Datelage A: Bei der Datelage A besteht der Datesatz aus eizele, icht otwedigerweise vo eiader verschiedee Beobachtugswerte x,, x Gegebe: Geordete Urliste x () x (2) x () i x (i) Modus = häufigster Beobachtugswert Media = AM = HM = i= 2 x 2 x i x i i= GM = x i i= x + 2, ist ugerade + x 2 +, ist gerade = x x 2 x 3 x Modus = 5 Media = 2 x 0 + x = = 5 AM = = 9 20 = 4,55 20 HM = = 3, GM = = = 4,0 6
17 Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio Modus Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio der Mittelwerte Modus (Modalwert): häufigster oder dichtester Wert Realitätsähe: der Modus ist immer ei beobachteter Wert Mit dem Modus verbidet ma eie gewisse Vorstellug vo Normalität ud Üblichkeit Beispiele: ormaler Preis, übliche Zeit Awedug ab Nomialskaleiveau möglich, also immer. 7
18 Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio Media Media (Zetralwert): Halbierugseigeschaft: der Media ist der Merkmalswert, der die Date i geau zwei gleiche Teile teilt. 50% der Merkmalswerte sid kleier oder gleich, 50% sid größer oder gleich dem Media. Gibt die Mittepositio eier Verteilug a, spricht das Mittegefühl a. sehr robust gegeüber Ausreißer Beispiel: ormaler Studet, politische Mitte, mittleres Eikomme Miimaleigeschaft: Die Summe der absolute Abweichuge des Medias vo de Beobachtugswerte ist miimal. Die Fuktio φ y = x i y i= besitzt ei Miimum a der Stelle y = x 0,5, also beim Media. Awedug ab Ordialskaleiveau möglich. 8
19 Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio arithmetisches Mittel Arithmetisches Mittel AM = x = i= x i bekatester Mittelwert Durchschittswert, recherischer Durchschitt AM ka Wert aehme, der als Beobachtugswert icht vorkommt. empfidlich gegeüber Ausreißer Ersatzwerteigeschaft: x i = AM Schwerpukteigeschaft (Nulleigeschaft): x i AM = 0 Miimaleigeschaft: Die Fuktio φ y = (x i y) 2 besitzt ei Miimum a der Stelle y = AM, d.h. AM miimiert die quadratische Abweichuge. Liearität: y i = a + b x i AM Y = a + b AM X Eie lieare Trasformatio der Beobachtugswerte des Merkmals X führt zu derselbe lieare Trasformatio des AM. Awedug ab Itervallskaleiveau möglich. 9
20 Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio geometrisches Mittel Geometrisches Mittel GM = x i = x x 2 x 3 x i= Hauptawedugsgebiet: Wachstumsfaktore/Wachstumsrate. Beispiel logarithmisches Mittel : l GM = l x i = AM(l X ) i= Der Logarithmus des geometrische Mittels ist gleich dem arithmetische Mittel der logarithmierte Merkmalswerte. Beispiele: Mittlere Wachstumsrate, mittlere Iflatiosrate, (Cobb-Douglas-Fuktio) Awedug ab Verhältisskaleiveau möglich. v. d. Lippe 993, S. 6f.: Dipl.-Kfm. K aus E erhält im Jahre 989 eie Gehaltserhöhug um 20%. Wege der schlechte Geschäftslage im Jahre 990 muß er jedoch 990 eie Gehaltssekug um 20% hiehme. Er verdiet jetzt (richtiges akreuze): weiger als, mehr als, geauso viel wie vor der Gehaltserhöhug. 20
21 Mittelwerte Awedug, Eigeschafte ud Iterpretatio harmoisches Mittel Harmoisches Mittel HM = x i i= weitgehed ubekater Mittelwert, der i eiige Fälle jedoch agewedet werde muss, weil jede adere Mittelwertbildug zu usiige Ergebisse führe würde. Beispiele: mittlere Geschwidigkeit, Durchschittspreis bei kostate Ausgabe, aber verschiedee Preise ( Ich take immer für 20 ). Awedug bei Verhältiszahle, bei dee der Zähler kostat ud der Neer variabel sid. Awedug ab Verhältisskaleiveau möglich. v. d. Lippe 993, S. 63: Ei Flugzeug legt für de Flug vo A ach B ud zurück isgesamt km zurück. Aufgrud vo Gegewid ka das Flugzeug auf dem Hiweg ur eie Geschwidigkeit vo 600 km/h erreiche, auf dem Rückweg jedoch eie Geschwidigkeit vo 800 km/h. Mit welcher Durchschittsgeschwidigkeit ist das Flugzeug uterwegs? Stud. rer. oec. Sebastia Sparsam hat im laufede Moat zweimal für jeweils zwazig Euro getakt. Beim erste Mal betrug der Bezipreis,25 /l, beim zweite Mal,55 /l. Zu welchem durchschittliche Preis hat er getakt? 2
2.2.1 Lagemaße. Exkurs: Quantile. und n. p n
Ekurs: Quatile Ausgagspukt : Geordete Urliste Jeder Wert p, mit 0 < p
MehrÜbersicht: BS - 08 BS Häufigkeitsverteilung. Häufigkeitsverteilungen. Parametrisierung. unklassiert. eindimensional. klassiert.
Übersicht: eidimesioal mehrdimesioal Häufigkeitsverteilug uklassiert klassiert tabellarische Darstellug Modul 07, graphische Darstellug Modul 07,2 Parametrisierug Lageparameter Modul 08 Streuugsparameter
MehrParameter von Häufigkeitsverteilungen
Kapitel 3 Parameter vo Häufigkeitsverteiluge 3. Mittelwerte Mo Der Modus (:= häufigster Wert, Abk.: Mo) ist der Merkmalswert mit der größte Häufigkeit, falls es eie solche gibt. Er sollte ur bei eigipflige
MehrKursthemen 5. Sitzung. Lagemaße
Kurstheme 5. Sitzug Folie I - 5 - Lagemaße A) Arithmetisches Mittel (AM), Media ud Modus (Folie 2 bis 8) A) Arithmetisches Mittel (AM), Media ud Modus (Folie 2 bis 8) B) Der Additiossatz für AM (Folie
MehrKennwerte Univariater Verteilungen
Kewerte Uivariater Verteiluge Kewerte Beschreibug vo Verteiluge durch eie (oder weige) Werte Werde auch als Parameter oder Maße vo Verteiluge bezeichet Ma uterscheidet: Lagemaße oder auch Maße der zetrale
MehrWISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK
WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seiar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesugsprogra 14.05.2013 Streuugsaße 1. Norierte Etropie 2. Spaweite, Quartilsabstad,
MehrJugendliche (18-24 Jahre) in Westdeutschland
Modus Beispiel: Modus Jugedliche (8-4 Jahre) i Westdeutschlad Parameter oder Kewerte eier Häufigkeitsverteilug sid Kegröße, mit dere Hilfe die Verteilug z.t. oder vollstädig rekostruiert werde ka D West
MehrDer Modus. Lageparameter. Beispiel (Einrichtungen) Beispiel (Lieblingsfarben) Modus. Untersuchungseinheiten U 1,...,U n. Merkmal X
Lageparameter Der Modus Utersuchugseiheite U,...,U Modus mod Mermal X Urliste,..., geordete Urliste (),..., () Es gilt i.allg.: ( ), i, K i i, Mermalsauspräguge a,..., a wird auch Modalwert oder häufigster
Mehr(a) Richtig, die Varianz ist eine Summe quadratischer Größen.
Aufgabe 1 (10 Pukte) Welche der folgede Aussage sid richtig? (a) Richtig, die Variaz ist eie Summe quadratischer Größe. (b) Falsch, die Abweichug ordialer Merkmale vom Media ist icht defiiert - also auch
MehrWeitere Lagemaße: Quantile/Perzentile II. Weitere Lagemaße: Quantile/Perzentile I. Weitere Lagemaße: Quantile/Perzentile IV
3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile I 3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile II Für jede Media x med gilt: Midestes
MehrWeitere Lagemaße: Quantile/Perzentile I
3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile I Für jede Media x med gilt: Midestes 50% der Merkmalswerte sid kleier gleich x med ud ebeso midestes 50% größer gleich
MehrStatistik Einführung // Beschreibende Statistik 2 p.2/61
Statistik Eiführug Beschreibede Statistik Kapitel Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Beschreibede Statistik
MehrUmrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung
.3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße
Mehrh i :=h a i f i = h a i n Absolute Häufigkeit: Relative Häufigkeit: h 2 h 4 h 6 :=h der Elemente mit der Ausprägung i=6 zu der Anzahl n aller Werte
. Wer Rechtschreibfehler fidet, darf sie behalte. Rechefehler werde zurückgeomme. Absolute Häufigkeit: h Wie viele Elemete weise diese bestimmte Wert (= diese bestimmte Ausprägug) auf? > Azahl h der Elemete
MehrStatistik I für Studierende der Soziologie
Name: Matrikelummer: Formelsammlug zur Vorlesug Statistik I für Studierede der Soziologie Dr. Caroli Strobl & Gero Walter WS 2008/09 1 Eiführug 1.1 Orgaisatorisches 1.2 Grudbegriffe 1.2.1 Statistische
MehrUnivariate Verteilungen
(1) Aalyse: "deskriptive Statistike" Aalysiere -> deskriptive Statistike -> deskriptive Statistik Keie tabellarische Darstellug der Häufigkeitsverteilug () Aalyse: "Häufigkeitsverteilug" Aalysiere -> deskriptive
MehrEindimensionale Darstellungen
Deskriptive Statistik Eidimesioale Darstelluge vo Häufigkeitsverteiluge 6..20 Der Modalwert Eie Merkmalsausprägug, welche i der Beobachtugsreihe die größte absolute Häufigkeit besitzt, wird Modalwert (Modus
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrReader Teil 1: Beschreibende Statistik
Dr. Katharia Best Sommersemester 2011 14. April 2011 Reader Teil 1: Beschreibede Statistik WiMa-Praktikum Um Date darzustelle ud eie Übersicht über die Struktur der Date zu erstelle, stellt die beschreibede
MehrWISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK
WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF DR ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm 07052013 Mittelwerte und Lagemaße II 1 Anwendung und Berechnung
MehrLage- und Streuungsmaße
Statistik 1 für SoziologIe Lage- ud Streuugsmaße Uiv.Prof. Dr. Marcus Hudec Streuugsmaße Statistische Maßzahle, welche die Variabilität oder die Streubreite i de Date messe. Sie beschreibe die Abweichug
MehrStreuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie
Streuugsmaße Istitut für Geographie Streuugswerte (Streuugsmaße) Die Diskussio um die Mittelwerte hat die Vorteile dieser statistische Kewerte gezeigt, aber bereits, isbesodere beim arithmetische Mittel,
MehrLage- und Streuungsmaße
Statistik 1 für SoziologIe Lage- ud Streuugsmaße Uiv.Prof. Dr. Marcus Hudec Beschreibug quatitativer Date Um die empirische Verteilug eies quatitative Merkmals zu beschreibe, betrachte wir Parameter, die
MehrWahrscheinlichkeitstheorie und Statistik vom
INSTITUT FÜR MATHEMATISCHE STOCHASTIK WS 005/06 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Klausur Wahrscheilichkeitstheorie ud Statistik vom 9..006 Musterlösuge Aufgabe A: Gegebe sei eie Urliste
Mehr( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale
MehrFür eine n n-matrix A müssen wir die Gleichung. lösen. Falls (A λi) invertierbar ist, dann ist. Dann ist aber λ kein Eigenwert.
Geschlossees Leotief-Modell Ei Leotief-Modell für eie Volkswirtschaft heißt geschlosse, we der Kosum gleich der Produktio ist, d.h. we Kapitel 5 Eigewerte V x = x Es hadelt sich dabei um eie Spezialfall
MehrFormelsammlung. zur Klausur. Beschreibende Statistik
Formelsammlug zur Klausur Beschreibede Statistik Formelsammlug Beschreibede Statistik. Semester 004/005 Statistische Date Qualitative Date Nomial skalierte Merkmalsauspräguge (Uterscheidugsmerkmale) köe
Mehr4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form
MehrSind Sie mit unserem Angebot zufrieden? ja nein weiß nicht
STATISTIK Eiführug Statistik kommt vom italieische Wort statistica, was so viel wie Staatsma bedeutet. Früher verwedete ma de Begriff ur für eie Auswertug vo Date (Klima, Bevölkerug, Bräuche,...) eies
MehrSo lösen Sie die Gleichung für den Korrelationskoeffizienten
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Dabei sid Datepukte ( x 1, y 1 ),( x 2, y 2 ), ( x, y ) gegebe.
Mehrn 2(a + bx i y i ) = 0 und i=1 n 2(a + bx i y i )x i = 0 i=1 gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umformungen
Regressio Dieser Text rekapituliert die i der Aalsis ud Statistik wohlbekate Methode der kleiste Quadrate, auch Regressio geat, zur Bestimmug vo Ausgleichsgerade Regressiosgerade ud allgemei Ausgleichpolome.
MehrAbsolutskala: metrische Skala mit einem natürlichen Nullpunkt und einer natürlichen Einheit. (Z.B. Einwohnerzahl). Nicht alle Variablen lassen sich
Grudbegrie Die beschreibede Statistik (deskriptive Statistik) ist eie systematische Zusammestellug vo Zahle ud Date zur Beschreibug bestimmter Zustäde, Etwickluge oder Phäomee. Die beschreibede Statistik
Mehrh i Deskriptive Statistik 1-dimensionale Daten Daten und Häufigkeiten Seite 1 Nominal Ordinal Metrisch (Kardinal) Metrisch - klassiert
Deskriptive Statistik dimesioale Date Date ud Häufigkeite Seite Nomial Ordial Metrisch (Kardial Metrisch klassiert Beschreibug: Date habe keie atürliche Reihefolge. Bsp: Farbe, Religio, Geschlecht, Natioalität...
MehrKlausur vom
UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Domiik Faas Stochastik Witersemester 00/0 Klausur vom 7.0.0 Aufgabe 3+.5+.5=6 Pukte Bei eier Umfrage wurde 60 Hotelbesucher ach ihrer Zufriedeheit
MehrAuszüge der nichtparametrischen Statisik
Empirische Wirtschaftsforschug - 1 - Auszüge der ichtparametrische Statisik Kapitel 1: Räge ud lieare Ragstatistike Aahme, Defiitioe ud Eigeschafte (1.1) Aahme: (a) (b) Die Date x 1,, x sid midestes ordial.
Mehr2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen. Allgemein: Punktschätzung eines Parameters:
. Schätzverfahre. Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Allgemei: Puktschätzug eies Parameters: Ermittlug eies Schätzwertes für eie ubekate Parameter eier Zufallsvariable i der Grudgesamtheit mit Hilfe
MehrVl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5
Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe
MehrWirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel
3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Beispiel: Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische
MehrVl Statistische Prozess und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3
Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe ) Die Schichtdicke X bei eier galvaische Beschichtug vo Autoteile sei ormalverteilt N(μ,σ ). 4 Teile werde galvaisch beschichtet.
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Has Walser Mathematik für Naturwisseschafte Modul 0 Regressiosgerade ud Korrelatio Has Walser: Modul 0, Regressiosgerade ud Korrelatio ii Ihalt Die Regressiosgerade.... Problemstellug.... Berechug der
MehrDritter Zirkelbrief: Ungleichungen
Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug
MehrStatistik und Biometrie. Deskriptive Statistik I
Statistik ud Biometrie Deskriptive Statistik I Spruch des Tages Traue keier Statistik, die du icht selbst gefaelscht hast Wiederholug Merkmale Beobachtugseiheite sid Träger vo Merkmale Wiederholug Die
MehrTests statistischer Hypothesen
KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
MehrKonfidenzintervalle. Praktische Übung Stochastik SS 2017 Lektion 10 1
Kofidezitervalle Praktische Übug Stochastik SS 017 Lektio 10 1 Kofidezitervalle Geerelle Aahme: Parametrisches Modell (P ϑ ) ϑ Θ Beobachtuge X 1,..., X u.i.v. ach P ϑ mit ubekatem ϑ Θ Grudidee: Schätzer
MehrKonzentration und Disparität
Begleitede Uterlage zur Übug Deskriptive Statistik Michael Westerma Uiversität Esse Ihaltsverzeichis 6 Kozetratios- ud Disparitätsmessug................................ 2 6.1 Begriff ud Eileitug.......................................
MehrWissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft
Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:
MehrKlausur 3 Kurs 11ma3g Mathematik
202-06-2 Klausur 3 Kurs ma3g Mathematik Lösug I eier Lotto-Ure befide sich 49 Kugel, die mit de Zahle vo bis 49 beschriftet sid. Eie eizige Kugel wird gezoge. Bereche Sie die Wahrscheilichkeit, dass diese
MehrLehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschug ud Ökoometrie Dr. Rolad Füss Statistik II: Schließede Statistik SS 2007 6. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug
MehrPositiv denken! Lösungen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Positiv deke! Lösuge Aufgabe 1 (GMAMQM (ur für die Klasse 7/8) [ Pukte]). Seie a, b reelle Zahle. 1. Sei a 0 ud b 0. Zeige, dass a
MehrKennwerte eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Einführung
Kewerte eidimesioaler Häufigkeitsverteiluge Eiführug Statistische Kewerte vo Verteiluge sid umerische Maße mit der Fuktio, zusammefassed eie Eidruck vo 1) dem Schwerpukt, ) der Variabilität ud 3) der Form
MehrDeskriptive Statistik
Deskriptive Statistik I der beschreibede Statistik werde Methode behadelt, mit dere Hilfe ma Date übersichtlich darstelle ud kezeiche ka. Die Urliste (=Date i der Reihefolge ihrer Erhebug) ist meist umfagreich
MehrStatistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39
Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle
Mehr3. Grundbegrie der Schätztheorie
Statistik, Abschitt 3. 3. Grudbegrie der Schätztheorie I der kormatorische Statistik will ma uter aderem auf Grud eier Stichprobe vom Umfag Iformatioe über ubekate Parameter θ der Verteilug F der zugrudeliegede
MehrUlrich Stein Fehlerrechnung
Fehlerrechug Verteilug vo Messwerte Mittelwert Stadardabweichug Stadardfehler Rude vo Messwerte Darstellug vo Messwerte (Stellezahl) Fehlerfortpflazug Messergebisse Messug physikalische Realität Messgerät,
MehrÜbungsaufgaben - Organisatorisches
Übugsaufgabe - Orgaisatorisches Der Abgabetermi der eue Übugsblätter ist: Motag, 4:00 Uhr Fehlerrechugsbriefkaste Der Abgabetermi der verbesserte Übugsblätter ist: Freitag, 6:00 Uhr T. Kießlig: Auswertug
MehrKapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer
7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte
MehrDiesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
MehrKleine Formelsammlung Beschreibende Statistik
Kleie Formelsammlug Beschreibede Statistik Prof. Dr. Philipp Sibbertse Wirtschaftswisseschaftliche Fakultät Leibiz Uiversität Haover Ihaltsverzeichis 1 Lage- ud Streuugsmaße 2 1.1 Der Media...................................
MehrWiederholung: Linearer Ausgleich 1. Linearer Ausgleich. Vorlesung April. Aufgabe Gegeben Naturgesetz
Vorlesug 4 6 + 9 April Bei w,, w m, v R ; (w,, w m =: A R (,m ud ieres Produkt = euklidisches Produkt schrieb sich das Approximatiosproblem so: Fide w = Wiederholug: m ζ k w k mit w v w v w spa{w,, w m
MehrMesseinheit in gleichen Abständen (Punkteskala, kg, cm, Jahre) Kapitel 3: Deskription Reihenfolge Beschreibung der Daten: (sehr - eher -
Kapitel 3: Deskriptio Beschreibug der Date: Gipfel, Streuug ud Verteilugsform Gruppe (ledig - verheiratet - gesch. - verwitwet) = omial Reihefolge (sehr - eher - weig - gar icht) = ordial Messeiheit i
MehrÜbungsaufgaben - Organisatorisches
Übugsaufgabe - Orgaisatorisches Der Abgabetermi der eue Übugsblätter ist: Motag, 4:00 Uhr Fehlerrechugsbriefkaste Der Abgabetermi der verbesserte Übugsblätter ist: Freitag, 6:00 Uhr T. Kießlig: Auswertug
MehrMathematische und statistische Methoden I
Methodelehre e e Prof. Dr. G. Meihardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstude jederzeit ach Vereibarug ud ach der Vorlesug. Mathematische ud statistische Methode I Dr. Malte Persike persike@ui-maiz.de
MehrStatistik I Februar 2005
Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet
MehrKapitel 5: Schließende Statistik
Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 6 3.03.20 Ihalt der heutige Übug Aufgabe D.7: Reche mit Zufallsvariable Erwartugswert- ud Variazoperator Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Has Walser Mathematik 2 für Naturwisseschafte Modul 201 Beschreibede Statistik Has Walser: Modul 201, Beschreibede Statistik ii Modul 201 für die Lehrverastaltug Mathematik 2 für Naturwisseschafte Sommer
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Von Kurven und Flächen. Das komplette Material finden Sie hier:
Uterrichtsmaterialie i digitaler ud i gedruckter Form Auszug aus: Vo Kurve ud Fläche Das komplette Material fide Sie hier: School-Scout.de Das bestimmte Itegral ach Riema Eizelstude 69 Klasse 11 ud 12
Mehrs xy x i x y i y s xy = 1 n i=1 y 2 i=1 x 2 s 1 n x n i Streudiagramme empirische Kovarianz x=5,5 y=7,5
Streudiagramme für metrisch skalierte Variable paarweise Messwerte (x,y) x 5 7 y 7 5 7 5 5 7 Aussage zu Zusammehäge. empirische Kovariaz Stadardabweichug der WertPAARE x i x y Wert x Mittelwert aller x
Mehr= 3. = 14,38... = x neu x = 0, = 97,87...%. Wie verändert sich der arithmetische Mittelwert von 20 Zahlen, wenn...
Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Arithmetischer Mittelwert x 1, x,..., x ist eie Liste vo reelle Zahle. Das arithmetische Mittel x der Zahle ist x = x 1 + x + + x. Arithmetischer
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 1. Absolute und relative Häufigkeit. Das arithmetische Mittel und seine Eigenschaften. Das arithmetische Mittel und Häufigkeit
SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Atwort Diese Lerkarte sid sorgfältig erstellt worde, erhebe aber weder Aspruch auf Richtigkeit och auf Vollstädigkeit. Das Lere mit Lerkarte fuktioiert ur
MehrKapitel 2. Kapitel 1 Skalierungen. Graphische Darstellungen. Seite 1/5 Deskriptive Statistik. Aufgabe 1 Welche Skalenniveaus liegen vor?
Seite 1/5 Deskriptive Statistik Kapitel 1 Skalieruge Aufgabe 1 Welche Skaleiveaus liege vor? Telefoummer Hausummer Ihalt vo Bierflasche i Zetiliter Haushaltsgröße i Persoe Lägegrade Nummerschilder Kapitel
MehrBeschreibende Statistik Kenngrößen in der Übersicht (Ac)
Beschreibede Statistik Kegröße i der Übersicht (Ac) Im folgede wird die Berechugsweise des TI 83 (sowie vo SPSS, s. ute) verwedet. Diese geht auf eie Festlegug vo Moore ud McCabe (00) zurück. I der Literatur
MehrUnsere Daten. Konzentrationsmessung. Konzentrationskurve Summenkurve der Bierkonsumierung. Statistik 2. Vorlesung, Feb. 29, 2012
Statisti. Vorlesug, Feb. 9, Usere Date Höhe Gewicht 5 5 Coctails 5 7 75 5 7 cm Gewicht Glas Schuhgrösse Mathe 5 7 -.5..5..5..5 Reisezeit y 7 9 5 cm Mi Kozetratiosmessug Was für ei Ateil der Eiomme gehört
MehrPraktikum Vorbereitung Fertigungsmesstechnik Statistische Qualitätskontrolle
Praktikum Vorbereitug Fertigugsmesstechik Statistische Qualitätskotrolle Bei viele Erzeugisse ist es icht möglich jedes Werkstück zu prüfe, z.b.: bei Massefertigug. Hier ist es aus ökoomische Grüde icht
MehrFormelsammlung zur Statistik
Darstellug uivariater Date Formelsammlug zur Statistik Urliste x i : x 1,... x, aufsteiged geordete Urliste x (i) Die k (verschiedee) Auspräguge: a 1
MehrKapitel 3: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
- 18 - (Kapitel 3 : Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit) Kapitel 3: Bedigte Wahrscheilichkeite ud Uabhägigkeit Wird bei der Durchführug eies stochastische Experimets bekat, daß ei Ereigis A eigetrete
MehrLangrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
MehrWISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK
WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF DR ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm 23042013 Datenlagen und Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen
MehrKapitel 2: Stochastische Prozesse. Copyright M. Gross, ETH Zürich 2006, 2007
Kaitel 2: Coyright M. Gross, ETH Zürich 2006, 2007 Bedigte Verteiluge Ebeso a die Verbudwahrscheilicheit vo Zufallsvariable über bedigte Wahrscheilicheite ausgedrüct werde i i,, i,, Wiederum ommt eie Produtregel
Mehr3. Anwendungen der Differentialrechnung
Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio
MehrProf. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl
MehrSkript zum Modul Statistik
Skript zum Modul 4 - Statistik 5 Kozetratiosmaße Zusätzlich zu de Lageparameter (Sitzug 3), die markate Pukte (z.b. Media, Modus, Mittelwert) beschreibe ud de Streuugsparameter (Sitzug 4), die de Charakter
Mehr10. Testen von Hypothesen Seite 1 von 6
10. Teste vo Hypothese Seite 1 vo 6 10.1 Eiführug i das Teste vo Hypothese Eie Hypothese ist eie Vermutug bzw. Behauptug über die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses. Mit Hilfe eies geeigete Tests (=Testverfahre)
MehrLineare Transformationen
STAT 4 FK Herleituge Lieare Trasformatioe Sei eie lieare Trasformatio vo, so gilt Allgemei: a b, () Lieare Trasformatio des arithmetische Mittels y a+b x i () Da a eie additiv verküpfte Kostate ist, ka
MehrGütefunktion und Fehlerwahrscheinlichkeiten Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Signifikanzniveau α = Interpretation von Testergebnissen I
6 Hypothesetests Gauß-Test für de Mittelwert bei bekater Variaz 6.3 Gütefuktio ud Fehlerwahrscheilichkeite Rechtsseitiger Test (µ 0 = 500) zum Sigifikaziveau α = 0.30 6 Hypothesetests Gauß-Test für de
MehrVordiplomprüfung 2014 Mathematik Seite 1 von 3
Vordiplomprüfug 14 Mathematik Seite 1 vo 1. Aufgabe Has hat eie Uhr bekomme. Er beobachtet, dass der Miutezeiger vo Zeit zu Zeit de Studezeiger überholt. a) Um welche Zeit zwische 9 ud 1 Uhr stehe die
MehrKapitel XI - Korrelationsrechnung
Istitut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökoometrie ud Statistik Kapitel XI - Korrelatiosrechug Deskriptive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Seska Carlo Siebeschuh Aufgabe der Korrelatiosrechug
MehrVorbereitung auf 6. Übungsblatt (Präsenzübungen) - Lösungen
Prof. Dr. Raier Dahlhaus Statisti Witersemester 06/07 Vorbereitug auf 6. Übugsblatt Präsezübuge - Lösuge Aufgabe P0 Bereche vo UMVU-Schätzer. Gegebe sei jeweils ei statistisches Modell R, B R, P θ, θ Θ
MehrEs gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
MehrTeil VII : Zeitkomplexität von Algorithmen
Teil VII : Zeitkomplexität vo Algorithme 1. Algorithme ud ihr Berechugsaufwad. Aufwadsabschätzug Wachstum vo Fuktioe 3. Aufwad vo Suchalgorithme K. Murma, H. Neuma, Fakultät für Iformatik, Uiversität Ulm,
MehrStatistik I im Sommersemester 2007
Statistik I im Sommersemester 2007 Theme am 30.4.2007: Uivariate Verteiluge II Graphische Darstellug omialskalierter Verteiluge Verteilugsparameter: Lagemaße Modus, Media ud Mittelwerte Lerziele:. Iterpretatio
MehrLösungen zum Thema Folgen und Reihen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Lösuge zum Thema Folge ud Reihe Lösug zu Aufgabe 1. a) (a ) N ist eie arithmetische Folge mit d = 11 ud damit ist a 75 = 7 + (75 1)
MehrTeil VII : Zeitkomplexität von Algorithmen
Teil VII : Zeitkomplexität vo Algorithme. Algorithme ud ihr Berechugsaufwad. Aufwadsabschätzug Wachstum vo Fuktioe. Aufwad vo Suchalgorithme K. Murma, H. Neuma, Fakultät für Iformatik, Uiversität Ulm,
Mehr3. Einführung in die Statistik
3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :
MehrLGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
MehrÜbungen zu QM III Mindeststichprobenumfang
Techische Hochschule Köl Fakultät für Wirtschafts- ud Rechtswisseschafte Prof. Dr. Arreberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arreberg@th-koel.de Übuge zu QM III Mideststichprobeumfag Aufgabe 12.1 Sie arbeite
MehrAnalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie
Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
Mehr,,, xn. 3. Intervallschätzungen Zufallsstichproben und Stichprobenfunktionen Zufallsstichproben. Zufallsvariablen mit
3. Itervallschätzuge 3.1. Zufallsstichprobe ud Stichprobefuktioe 3.1.1 Zufallsstichprobe 1 Sei eie Zufallsvariable ud seie gemeisamer Verteilug,,,, Zufallsvariable mit - da heiße 1,,, Zufallsstichprobe
Mehr