Infinitesimale Größen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Infinitesimale Größen"

Wilhelm Baum
vor 5 Jahren
Abrufe

1 Ifiitesimale Größe Bericht aus dem Uterricht mit Schüler der Klasse 11 ud 12 a der Rudolf-Steier-Schule Dortmud (2018) Motto: Beatworte icht Frage, die außer dir sost iemad der Awesede hat. Bevor es losgeht: Drei Frage a die Schüler A) Was ist das? Kurze Atwort: B) beschreibe: Wora erket ma eie Tagete? C) = 0, Sollte ma diese Zahl och vo Null uterscheide? Atwort + kurze Begrüdug: 1

2 Si der 3 Frage Suche das Iteresse a allgemeie Erketisfrage, bevor du fachsimpelst. Zu A) Uterscheide die begriffliche Bedeutug im Uterschied zur bloße Wahrehmug vo irgedetwas. Zu B) Die Hadhabug eies Begriffs stellt us vor eue Aufgabe: Wie bestimmt ma die Richtug eier Kurve i eiem Pukt? Zu C) Bewusst werde verschiedeer Bedürfisse/Atriebe im Erketisprozess: Praxisrelevaz eierseits (Z.B. sogar: Lass Füfe gerade sei ) Klares Deke adererseits. 2

3 Wo trate im Uterricht vorher Tagete auf? Kostruktiosaufgabe: bestimme das Profil eies Scheiwerfers oder eier Satelliteschüssel. Leitgerade: y = p Fokus: F 0 ฬ p 2 2 L(x p ) beliebig auf der Leitgerade 2 s = sekrechter Strahl durch L t = Mittelsekrechte vo FL = Tagete P(x y) Schittpukt vo t ud s y = x2 2p ud Steigug vo t: m = 2 y x = x p Projektive Kostruktioe vo Kegelschitte Füf Pukte eier Ebee bestimme mittels der Projektivität A b Q a B eie Kegelschitt: eie beliebige Gerade x durch A defiiert eie Schittpukt mit der Gerade b. Dieser bestimmt eie Verbidugsgerade mit Q. Durch fortlaufedes Scheide ud Verbide erhält ma zuletzt eie Gerade y durch B. Der Schittpukt vo x ud y ist ei Pukt des Kegelschittes. Fällt A 1 ud A zusamme, so gibt ma die Tagete i A b vor. Im Physikuterricht stellte wir fest: Erzeugt ma auf der Tafel experimetell eie Wurfparabel ud legt im Koordiatesystem wie rechts skizziert eie Pukte H(0 h) fest (h > 0), vo dem aus eie Tagete a die Kurve zu zeiche ist, ergibt die Messug, dass der Berührpukt P bei y = -h liegt. Augeblicksgeschwidigkeit = doppelte Durchschittsgeschwidigkeit. 3

4 Eistiegsbeispiel Gegebe f x = 0, 1x 3 0, 3x 2 2, 4x + 8 mit dem skizzierte Graphe. Bestimme die Steigug im Pukt A(0 8). Lösug: Für x ahe Null hat 0,1x 3 0,3x 2 kaum Eifluss auf die Fuktioswerte, also gilt i der Nähe der y-achse: f(x) 2,4x + 8. Daher lautet die Tagetegleichug y = 2, 4x + 8, ud die Steigug im Pukt A beträgt -2,4. Problemstellug Wie ka die Steigug des Fuktiosgraphe i P(-3,5 8,4375) oder a beliebige Pukte x 0 f(x 0 ) bestimmt werde? Wird die Frage, wozu die Ketis vo Steiguge ützlich sei köte, ur iermathematisch beatwortet, z.b. mit Hiweis auf die Bestimmug vo Extrem- oder Wedepukte, so sollte ma weigstes ahe, dass ma eiige Schüler damit bestimmt icht erreicht. Hier lohe sich auch umathematische Überleguge! Lösugsidee Übertrage die Berechug der Durchschittssteigug f x 1 f x 0 x 1 x 0 zwische zwei auseiader-liegede Kurvepukte auf ei Puktepaar, dere horizotaler Abstad fast Null ist: 0 Defiitio: f x 0 + f x 0 ist der Differetialquotiet vo f a der Stelle x 0 im Uterschied zum Differezequotiete f x 1 f x 0 oder f x 0+Δx f x 0 x 1 x 0 Δx zwische zwei auseiaderliegede Stelle. Durchführug f x 0 + f x 0 forme wir um (ud übe de Umgag mit der biomische Formel) f x 0 + = 0,1 x x x ,3 x x ,4 x Subtrahiere f x 0 = 0,1x 0 3 0,3x 0 2 2,4x 0 +8 so folgt: f x 0 + f x 0 = 0,1 3x x ,3 2x ,4 Ergebis = 0,1 3x 0 2 0,3 2x 0 2,4 + (3x 0 + ) 4

5 Iterpretatio Der Summad (3x 0 + ) ist uedlich klei, gewissermaße umessbar. Daher gilt: f x 0 + f x 0 0,1 3x 0 2 0,3 2x 0 2,4 De uedlich kleie icht-messbare Teil (3x 0 + ) lasse wir weg, we us ur die reellwertige Steigug iteressiert. Für x 0 = 3,5 ist daher der Steigugswert 3,375. Ud für x 0 = 0 bestätigt sich der Wert -2,4, de wir als Steigug der Kurve i Pukt A vorher scho auf adere Weise ermittelt hatte. Fazit Für f x = 0,1x 3 0,3x 2 2,4x + 8 habe wir eie eue Fuktio hergeleitet, die jeder Stelle x 0 die (reell-wertige) Steigug des Graphe vo f im Pukt x 0 f(x 0 ) zuordet. Ud der Fuktiosterm dieser hegeleitete Fuktio lautet 0,3x 2 0,6x 2,4. Defiitio: die aus eier Fuktio f hergeleitete Steigugsfuktio, die jeder Stelle x 0 de messbare (reelle) Ateil vo f x 0+ f x 0 zuordet, bezeichet ma mit f ud et sie die Ableitug vo f. I userem Beispiel f x = 0,1x 3 0,3x 2 2,4x + 8 gilt also: f x = 0,3x 2 0,6x 2,4. Eie eue Art vo Zahle Wir habe aus 0 geschlosse, dass auch (3x 0 + ) 0 gelte müsste. Wir habe usere Zahleraum erweitert um uedlich kleie Zahle, ählich wie das Reche mit Zahle 2 oder π zu eier Erweiterug des Zahleraums der ratioale Zahle geführt hat hi zu de reelle Zahle. Es ist eie mathematische Aufgabe, die Strukture ud Rechemöglichkeite ierhalb eies eue erweiterte Zahleraumes, hier also de der sogeate Hyper-reelle Zahle zu aalysiere. Wir wolle hier lediglich zusammefasse, welche Recheregel us im Umgag mit uedlich kleie Zahle ahelieged ud sivoll erscheie, ud komme so zu dem Überblick rechts. Reche mit uedlich kleie Zahle: Sei 0 ud 0 ud seie r,s reelle Zahle, da gelte: 0 = 0 ud 0 = 0 (wurde problematisiert) r 0 ud r + r 0 ud daher r + s + r s 5

6 Reduktio der Komplexität Die Ableitug vo Fuktioe der Form f(x) = ax Bemerkug: Der Umgag mit Biomialkoeffiziete ist auch für die Wahrscheilichkeitsrechug vo Bedeutug ud war vorher mit de Schüler eigehed besproche worde. Isbesodere ist de Schüler vom Pascal sche Zahledreieck 1 = bekat. Statt der folgede allgemeie Behadlug ist eie exemplarische Rechug z.b. mit f(x) = ax 4 erwägeswert, um dara aschließed zu überlege, was sich ädert, we ma de Expoete erhöht. Sei eie atürliche Zahl 2 ud a 0 eie reelle Zahl. Mit x 0 + = σ k=0 a x 0 + ax 0 Die Ableitugsregel für eifache Poteze: k x 0 k k folgt: = a x 0 + x 0 1 σ k=0 = a k x 0 k k Ma sieht im letzte Glied der Gleichugskette, dass i jedem Summade des Zählers der Faktor auftritt ud abgesehe vom erste Summade sogar i höherer Potez. Daher köe wir de Bruch durch kürze ud erhalte: = a 1 x a Berücksichtigt ma och 2 σ k=0 1 k x 0 k 2 k a =, so erhält ma 1 x 0 1. ax = ax 1 Überlege, ob diese Formel auch für Geradegleichuge ( = 1) ud für kostate Fuktioe ( = 0) richtig ist. Wede die Formel ax = ax 1 auf die Summade useres Beispiels f x = 0,1x 3 0,3x 2 2,4x + 8 a ud vergleiche dazu usere Herleitug f x = 0,3x 2 0,6x 2,4. Hiweis: Die Formel f + g = f + g bezeichet ma Summeregel. Mit ihrer Gültigkeit ist also die obe vorgeommee Reduktio gerechtfertigt. 6

7 Rückblick Was versteht ma bei der Ableitug vo Fuktioe uter der Summeregel? Was bedeutet f x aschaulich, ud wie habe wir f defiiert? Wir habe mit eier eue Sorte vo Zahle gerechet, mit uedlich kleie Größe 0, die aber icht Null sid. Welche Recheregel habe wir für im Zusammehag mit beliebige reelle Zahle für gültig erachtet? Was versteht ma uter dem Differetialquotiete eier Fuktio f a eier Stelle x 0 ud wori besteht der Uterschied zu eiem Differezequotiete? Wie habe wir die Steigug -2,4 im Ordiatepukt des Graphe vo f x = 0,1x 3 0,3x 2 2,4x + 8 ohe Rechug ablese köe? Die ächste Schritte Rechtfertigug der Summeregel Kurvediskussio 7

Ähnliche Dokumente

Grundbegriffe der Differentialrechnung

Grundbegriffe der Differentialrechnung Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.