gesucht. Die Lösungen dieser Gleichung, kann man als Punkte der Ebene E deuten. Fragt sich nun, ob der Koeffizientenvektor n 1

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1 Norrmallefforrm derr Ebee ud Absttäde Koorrdi iattegl leichug derr Ebee eu itterrprretti i ierrtt mitt dem Skalarrprroduktt Neu-iterpretatio der Koordiategleichug b c a d E. Gegebe ist die Ebee E durch die Koordiategleichug: x x x. Die like Seite ka ma als Skalarprodukt iterpretiere. I Aufgabe 6. habe wir Lösuge der Gleichug x gesucht. Die Lösuge dieser Gleichug, ka ma als Pukte der Ebee E deute. Fragt sich u, ob der Koeffizietevektor eie geometrische Bedeutug hat. Wir betrachte eiige Pukte, die auf E liege. Die Tabelle zeigt die Ortsvektore eiiger Ebeepukte, ihre Beträge ud de jeweilige Wikel zwische OV ud, a, b, c,,, d,,, 8 α,8 β 7, γ 6,8 δ, Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

2 Noorrmaal leevveekkt toorr Die Abbildug legt die folgede Vermutug ahe: Der Koeffizietevektor ist orthogoal zur Ebee, ma et auch de Noorrmaal leevveekkt toorr der Ebee E. Bemerkug Nur für diejeige, die sich das Projektioskapitel 6.. ageschaut habe. Schaut ma sich die Abbildug auf der vorige Seite a, da sieht ma: Alle Vektore x, die die Gleichug x löse, werde auf de Vektor sekrecht projiziert. Ud alle diese Projektioe sid gleich lag. Wir erier us a die Projektiosformel p a. Ebeegleichug als Projektiosgleichug Auf diese Form köe wir die Ebeegleichug brige, idem wir sie durch de Betrag vo, dividiere: x oder x Die Koordiategleichug der Ebee E ka ma u so lese: Die Ebeegleichug E wird vo alle Vektore x erfüllt, dere orthogoale Projektio auf de Koeffizietevektor / beträgt. Norrmal lefforrm derr Ebeegleichug Im vorige Abschitt wurde die Normaleform der Ebee bereits hergeleitet, wege ihrer große Bedeutug och eie zweite Herleitug. Bei der. Herleitug habe wir gesehe, dass der Koeffizietevektor eier Koordiategleichug, also der frisch getaufte Normalevektor, orthogoal zur Ebee ist. Wir gehe u umgekehrt vo eiem zur Ebee orthogoale Vektor aus: Herleitug A x a X a x O sei ei Normalevektor der Ebee, also ei Vektor, der sekrecht auf der Ebee E steht. ist damit orthogoal zu alle Vektore, dere Pfeile parallel zur Ebee E liege, also auch zu ( x a ). Aus ( x a) folgt ( x a) oder x a ud damit x d Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

3 Noorrmaal leef foorrm der Ebeegleichug ( x a) oder x - a ud damit x - d, dabei ist Normalevektor, d.h. ei zur Ebee orthogoaler Vektor, A ist ei Aufpukt, a sei Ortsvektor. Bemerkuge: Der Normalevektor eier Ebee ist icht eideutig bestimmt, alle seie Vielfache sid ebefalls Normalevektore. Da d a ist, sagt das Vorzeiche vo d etwas über de Wikel zwische ud a aus. (Siehe 6..) d > bedeutet:: (, a ) < 9. d < bedeutet:: (, a ) > 9. Beispiel 7.: Grudaufgabe Normalevektor ud Aufpukt gegebe Gegebe ist ei Normalevektor der Ebee E ud ei Pukt A( ) auf der Ebee. Bestimme eie Koordiategleichug der Ebee. Lösug: Asatz: x - a x, d.h. x - ( 9) E: x oder E: x x x Beispiel 7.: Grudaufgabe Parametergleichug Normaleform Gegebe ist eie Ebee E durch ihre Parametergleichug. E: x λ µ, µ, λ IR Bestimme eie Gleichug der Ebee i Normaleform. Lösug: Da die Normaleform der Ebee gleich der Koordiategleichug ist, köte ma dies so wie i Kapitel. durch Etparametrisiere mache. Hier jetzt aber ei zweiter Weg: Wir bestimme de Normalevektor vo E. muss orthogoal sei zur Ebee E ud damit auch zu de Spavektore u, v. Das eriert us a Beispiel 6. i Kapitel 6..: Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

4 Das LGS habe wir gleich gekackt. Asatz: Der gesuchte Normalevektor sei. Bedigug für die Orthogoalität vo u ud : () u, Bedigug für die Orthogoalität vo v ud : () v, Ma erhält also: () ud (). d.h. das LGS: (). () (). () () Es gibt beliebig viele Normalevektore. Normalevektor Mit erhält ma ageehme Werte. Jetzt geht es weiter wie i Beispiel 7.: Asatz: x - a x -, d.h. x - (6-6) E: x oder E: x x x Parral llelittätt vo Ebee ud Norrmal levekttorr Parallele Ebee m E E Zwei Ebee E : x d ud E : m x d sid parallel, we die Normalevektore liear abhägig sid. E E es gibt ei k mit k m Parallelität vo Gerade ud Ebee Eie Ebee ist geau da parallel zu eier Gerade, we der g Normalevektor der Ebee orthogoal zum Richtugsvektor der Gerade ist: g E ug E Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

5 Beispiel 7.: Lösug: Gegebe sid die beide Ebee E : x x x ud E : x 6 x 8 x. Wie liege die beide Ebee zueiader? (Siehe Beispiel.9) E hat de Normalevektor, E m 6. 8 Ma sieht sofort, dass m gilt. Die beide Normalevektore sid also liear abhägig, d.h. die Ebee E ud E sid parallel. A( 6 ) liegt auf E. Puktprobe mit A i E : falsche Aussage, E ud E sid echt parallel Beispiel 7.: Zeige, dass die Ebee E: x x x parallel zur Gerade g: x λ, λ IR ist. 6 Lösug: Das Skalarprodukt aus Normalevektor vo E ud Richtugsvektor vo g ergibt: 8 6 g ud E sid also parallel. Puktprobe mit A( ) i E ergibt die falsche Aussage: 6. g ud E sid also echt parallel. Beispiel 7.: Grudaufgabe Zu eier Gerade parallele Ebee Für welche Werte vo t ist die Ebee E t : (t ) x (t ) x x parallel zur Gerade g: x λ, λ R? Lösug: Hier muss also folgede Bedigug gelte: t u t oder t t t t t (t )(t ) Für t ud für t ist die Ebee E t parallel zur Gerade g. Bemerkug: Die Aufgabe hätte ma atürlich auch als Schittpukt - Aufgabe behadel köe, siehe Beispiel.9 i Abschitt.. Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

6 Hessesche Norrmal lefforrm Im Abschitt 7. wurde die Koordiategleichug eier Ebee als Projektiosaussage gedeutet. Zur Erierug: x E Die Koordiategleichug x x x wurde als Vektorgleichug geschriebe: x ud durch de Betrag vo,, dividiert. Es ergab sich: (*) x oder x Diese Gleichug besagt, dass die orthogoale Projektio der OVe x aller Ebeepukte auf de Eiheitsormalevektor gleich ist. Daraus folgt im Übrige, dass der Abstad des Ursprugs vo der Ebee E gleich ist. Die Gleichug (*) hat eie besodere Bedeutug ud erhält deshalb eie Name, sie heißt Hessesche Normaleform der Ebee. Defiitio: Eie Ebeegleichug der Form ( x a) oder x d heißt Heesssseesscchee Norrmaal leefforrm der Ebee. Bemerkuge: Ma erhält die Hessesche Normaleform aus eier Koordiategleichug eier Ebee, idem ma durch de Betrag des Normalevektors dividiert. ist ei Vektor, der orthogoal zur Ebee steht ud de Betrag hat. ist icht eideutig bestimmt. Mit ist auch der Gegevektor - Eiheitsormalevektor derselbe Ebee. d hat eie aschauliche Bedeutug: d oder geauer d gibt de Abstad der Ebee E vom Ursprug O a. Beispiel 7.6: Gegebe ist die Ebee E durch ihre Gleichug x x. Gib die Ebeegleichug i der Hessesche Normaleform a. Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

7 Lösug: hat de Betrag 9 6. x x - Hessesche Normaleform: Absttad Puktte -- Ebee Abssttaadssfforrmeel l Die Hessesche Normaleform hat ihre eigetliche Nutze bei der Abstadsberechug. Beispiel 7.7: Grudaufgabe Abstad Pukt - Ebee Is ja echt easy. a >.. Fall: Ebee E liegt zwische O ud P O p d a E A P d(p;e) Gegebe sid die Ebee E: x x x ud der Pukt P( ). Bestimme de Abstad des Puktes P vo der Ebee E. Lösug: Wir brige zuächst die Ebeegleichug auf die Hessesche Normaleform. x x x, da. De Abstad liefert da Eisetzte vo P: 8 8 d(p;e) 6. Fertig! Der Abstad des Puktes P vo der Ebee E beträgt also 6. Bei diesem schelle Lösugsweg erhält ma allerdigs icht de Fußpukt des Abstadslotes, war hier auch gar icht gefragt. Wie ma diese Fußpukt fidet zeigt Abschitt 7.. Voraussetzug: I der Skizze ist der Wikel zwische a ud kleier als 9, also muss d a > sei. Das ist aber immer erreichbar. P De Abstad des Puktes P vo der Ebee E erhält ma als Differez p zweier Projektioe: Orth. Projektio vo p auf : d P p Orth. Projektio vo a auf : d a d(p;e) d P - d p - a ( ) p a d P a d d P d A d(p;e) Maurer: Aalytische Geometrie / Seite 6 (.9.)

8 . Fall: O ud P liege i derselbe Halbebee P E d p p a Abstad Pukte - Ebee Bemerkug Beispiel 7.8: A O d d(p;e) Beispiel 7.9: Grudaufgabe Höhe eier Pyramide Auf dieselbe Weise wie beim, Fall erhält ma hier: d(p;e) d - d P a p a - p. d d p ( ) Die beide Fälle uterscheide sich ur durch das Vorzeiche, daher ka ma mit Betragsstriche beide Formel zu eier zusammefasse: Der Abssttaad eei ieess Pukktteess P vvo eei läßt sich bereche durch ( p a) d(p;e) ( p a). ieerr Ebeeee E: ( x a) Ist die Ebee E durch eie Koordiategleichug a x b x c x d gegebe, da lautet die Formel: ap bp cp - d d(p;e) a b c Ma muss also zur Abstadsberechug Pukt-Ebee ur die Puktkoordiate i die Hessesche Normaleform eisetze. Die Hessesche Normaleform ist damit ei Grezfall der Abstadberechug. Sie wird vo alle Pukte erfüllt, die vo der Ebee de Abstad Null habe, also auf der Ebee liege. Gegebe sid der Pukt P( I I ) ud die Ebee E: x x 6. Wie groß ist der Abstad vo der Ebee? Lösug: Abstadformel Pukt-Ebee: ( ) 8 d(p;e) Der Abstad zwische Pukt ud Ebee beträgt LE. Vo eier dreiseitige Pyramide ABCS mit der Spitze S sid die Eckpukte gegebe. Bestimme ihre Höhe. A( ), B( ), C( ) ud S( 6 ). Maurer: Aalytische Geometrie / Seite 7 (.9.)

9 Maurer: Aalytische Geometrie / Seite 8 (.9.) S h h C A B Lösug: Ma beötigt eie Koordiategleichug der Ebee E, i der die Grudfläche liegt. Da ka ma die Abstadsformel awede ud erhält: h d(s;e). Ebeegleichug: BA d.h. u ud BC v. Es ergibt sich R,, x λ µ µ λ Bestimmug des Normalevektors. Bedigug für die Orthogoalität vo ud u : () u, Bedigug für die Orthogoalität vo ud v : () v, Ma erhält also: () ud (). d.h. das LGS: () - - () -. (-)... () - () 8-6 Normalevektor Asatz: a x - x -, d.h. - x oder E: x x x Die Höhe der Pyramide ist da: h d(s;e) 6,

10 Maurer: Aalytische Geometrie / Seite 9 (.9.) Abssttaad mi itt Fußpukktt Gegebe sid die Ebee E. x x x ud der Pukt P( ). Bestimme de Abstad des Puktes P vo der Ebee E samt Fußpukt des Abstadslotes. Beispiel 7.: Grudaufgabe Abstad Pukt - Ebee Lösug: Der Abstad zwische Pukt ud Ebee ist die kürzeste Verbidug zwische Pukte der Ebee ud dem Pukt P. Diese kürzeste Verbidug liegt auf der Lotgerade. Wir stelle daher die zuerst die Lotgerade g auf: Mit dem Normalevektor der Ebee habe wir scho de Richtugsvektor der Lotgerade ud P ist Aufpukt: Lotgerade g: R, x λ λ Der Durchstoßpukt der Lotgerade g durch die Ebee E ist der gesuchte Fußpukt. Die Koordiategleichug vo E ka ma auch schreibe als: x. Die rechte Seite der Geradegleichug wird i die Ebeegleichug eigesetzt ud da ausmultipliziert: λ λ - 8 λ ( ) 7 9 λ 9 λ 8 λ. I die Geradegleichug eigesetzt erhält ma: 8 f. Der Lotfußpukt ist also F( - 8 ). 8 Der Abstad d(p;e) ergibt sich jetzt als Betrag des Lotvektors PF: d(p;e) 8 PF. 6. P F E g

11 Aufgabe Aufgabe 7. Aufgabe 7. Aufgabe 7. Aufgabe 7. Aufgabe 7. Aufgabe 7.6 Wie ma sieht, hätte ma das auch etwas scheller habe köe: d(p;e) λ. ( ) 6. I eiem kartesische Koordiatesystem sid die Pukte A( ), B( 9 ), C( 6) ud D( 9 6 ). Die Pukte A, B ud C liege i der Ebee E. a) Bestimme eie Koordiategleichug der Ebee E. b) Welche Abstad hat der Pukt D vo der Ebee E? c) Die Gerade g geht durch die Pukte P( 8 ) ud Q( 6 ). Zeige, dass g parallel zur Ebee E ist. Wie groß der Abstad der Gerade g vo der Ebee E. Gegebe sid die Ebee E : x x 7 ud die Gerade g: x λ, λ R. 7 8 a) Bestimme de Abstad der Geradepukte vo der Ebee E i Abhägigkeit vo λ. b) Bestimme mit dem Ergebis aus a) de Schittpukt vo g ud E. c) Welche Geradepukte vo g habe vo E de Abstad? Gegebe sid die Ebee E : x x x ud die Gerade g: x λ, λ R. a) Zeige, dass g ud E echt parallel sid. b) Bestimme de Abstad zwische g ud E. c) Bestimme eie Koordiategleichug der Ebee, die g ethält ud orthogoal zu E ist. Gib zwei Ebee a, die vom Ursprug de Abstad 7 habe Gegebe sid zwei Ebee E : x - x ud E : 6 x - x x. Die Pukte, die vo E de Abstad 7 ud vo E de Abstad habe liege auf vier Gerade. Bestimme Parametergleichuge dieser Gerade. Gegebe ist die Ebee E: x x x ud der Pukt P( 7 8 ). Spiegle de Pukt P a der Ebee E. Hiweis: Der Mittelpukt F der Strecke PP liegt i E ud auf der Lotgerade durch P. Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)

12 Absttad parral llelerr Ebee Vorbemerkug Gegebe sid zwei parallele Ebee E ud E i Normaleform. Parallele Ebee Aus der Parallelität folgt (siehe Abschitt 7.), dass die Normalevektore liear abhägig sid. D.h. ma ka durch Multiplikatio eier Gleichug dafür sorge, dass beide Ebee deselbe Normalevektor habe: E : x d ud E : x d. Zurückführug auf de Abstad Pukt - Ebee E E A d De Abstad zweier parallele Ebee ka ma auf de Abstad Pukt - Ebee zurückführe. Ma wählt eie beliebige Pukt A auf E ud bestimmt seie Abstad d(a ; E ) zu E ud hat scho de Abstad zwische de beide Ebee. a - d d(e ; E ) d(a ; E ) A liegt auf E, daher gilt a d. d(e ; E ) a - d d - d Abstad zweier parallele Ebee Beispiel 7.: Ma sorgt zuächst dafür, dass die parallele Ebee deselbe Normalevektor habe: E : x d ud E : x d Da erhält ma de Abssttaad paarraal lleel leerr Ebeeee mit der Formel d(e ; E ) d - d. Gegebe sid die beide Ebee E : x x x ud E : x x x 8. Bestimme de Abstad der beide Ebee voeiader. Lösug: Ma sorgt zuächst dafür, dass parallele Ebee deselbe Normalevektor habe: E : x d ud E : x d E hat de Normalevektor, E m. Nach Divisio der Gleichug vo E durch () habe beide Ebee deselbe Normalevektor mit : Maurer: Aalytische Geometrie / Seite (.9.)