Übungsaufgaben Mathematik II Sommersemester 2012 Fachhochschule Köln, Institut für Produktion Prof. Dr. Gerhard Ise

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1 Übungsaufgaben Mathematik II Sommersemester 202 Fachhochschule Köln, Institut für Produktion Prof. Dr. Gerhard Ise Aufgabe A : (Stammfunktionen) 0a003 Integrieren Sie durch Angabe einer Stammfunktion: a) 3 sin(x) 5cos(x) dx b) 3cosh(t) 4 t +2t2 dt c) e x x+ x 2 dx d) 2 u 3 cos 2 du (u) +3x 2 5x 3 e) + dx 2x f) 3+3u 2 u3 du 3 2 g) t + t dt t 2 Aufgabe B : (Unbestimmte Integrale) 0a004 Bestimmmen Sie jeweils eine zugehörige Stammfunktion zu den folgenden durch f(x) gegebenen Funktionen: a) f(x) = 3x 2 +2x+ b) f(x) = 3 3 x c) f(x) = 4x 3 e x4 d) f(x) = 2 x e) f(x) = ex +2x e x +x 2 f) f(x) = (x b) e 2 (x b) 2 a 2 Aufgabe B 2: (Partielle Integration) 94a097 Berechnen Sie e 0.0t t dt (6 P)

2 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 2 Aufgabe B 3: (Integration durch Substitution) Integrieren Sie mit Hilfe einer Substitution: a) x e x2 dx x 2 b) dx a 2 +x 3 c) (sin(x)) 3 dx d) du 3u 2 e) sin(x) cos(x) dx 92a049 Aufgabe B 4: (Integration durch Substitution) 92a05 Integrieren Sie a) sin(x) cos(x) dx und b) ln(x) x dx und 2 ln(x) x.5π 0 dx sin(x) cos(x) dx Geben Sie die von Ihnen gewählte Substitution, die ermittelte Stammfunktion und den Wert des bestimmten Integrals an. Aufgabe A 2: (Integration durch Substitution, 2. Methode) 92a052 Integrieren Sie a) b) e 3x e 2x dx Hinweis: Substituieren Sie x = ln(t) und benutzen Sie dt = 0.5ln( (t )/(t+) ) (Integraltafel) t 2 0 (+x 2 ) 2 dx Hinweis: Substituieren Sie x = tan(t) Aufgabe B 5: (Integration durch Substitution, 3. Methode) 92a053 Integrieren Sie e x 3 dx und 9 e x 3 4 dx Geben Sie die benutzte Substitution an.

3 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 3 Aufgabe A 3: (Integration mit Partialbruchzerlegung) Bestimmen Sie die Integrale 2x+ 2 x 4 +3x 3 +4x 2 +3x+ dx und 2x+ x 4 +3x 3 +4x 2 +3x+ dx Tip: x = ist doppelte Nullstelle des Nenners. 98a020 Aufgabe B 6: (Integration mit Partialbruchzerlegung) 92a050 Geben Sie die Stammfunktion und das bestimmte Integral an: x+.5 x 3 +x 2 +x dx und x+ x 3 +x 2 +x dx 0.5 Aufgabe A 4: (Zeitwert eines Zahlungsstromes, Substitution) 94a093 Berechnen Sie (e t + 0 5t+5 ) dt Aufgabe A 5: (Uneigentliche Integrale) 96a022 Berechnen Sie a) b) c) 0.5 x 2 dx x e x2 dx x e x2 dx Aufgabe B 7: (Uneigentliche Integrale) 92a054 Zeigen Sie die Konvergenz der uneigentlichen Integrale sin(ωt+t 0 ) +t 2 dt und 0 t 3 e 2t dt Hinweis: Zeigen Sie beispielsweise, daß t 3 e t beschränkt ist. Aufgabe B 8: (Integration durch Substitution, uneigentliches Integral) 96a044 Bestimmen Sie ( 5 P ) x 2 e x3 dx und x 2 e x3 dx

4 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 4 Aufgabe B 9: (Kettenlinie, Bogenlänge, Haltekräfte) Ein Seil mit 8 kg/m laufender Masse hängt zwischen zwei Punkte mit 00 m Abstand und gleicher Höhe in Gestalt der Kettenlinie y(x) = 40m cosh( x 40m ) a) Bestimmen Sie die Bogenlänge und die Gesamtmasse des Seils! b) Bestimmen Sie die Lagerkräfte V und H gemäss der Skizze! 00a00 Hinweis: Ein Seil übertägt nur Längskräfte L. ( 6 P ) Aufgabe B 0: (Volumen und Mantelfläche Spindel mit f(x) = 3 4 x 2 99a036 Berechnen Sie Volumen und Mantelfläche des Rotationskörpers (Rotation um die x-achse) mit der Kontur f(x) = 3 4 x 2 zwischen den Grenzen x = und x 2 =. ( P ) Aufgabe B : (Rotationskörper, f(x) = x(3 x)) 00a07 Berechnen Sie das Volumen und die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation der Funktion f(x) = x(3 x) um die x-achse im Intervall zwischen den beiden Nullstellen entsteht. ( 8 P ) Aufgabe B 2: (Exponentialverteilung) 0a005 Die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Bauteils sei beschrieben durch die Dichte-Funktion f(t) = 0.04 e 0.04t für t 0 und f(t) = 0 für t < 0 (t in Tagen) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, ( 2 P ) a) daß ein Teil innerhalb der ersten 5 Tage ausfällt, b) daß ein Teil 2 Jahre hält. Aufgabe A 6: (Normalverteilung) 0a007 Die Schwefelbelastung der Luft an einem Wintertag sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit µ = 0.045mg/m 3, σ = 0.05mg/m 3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Grenzwert von 0.065mg/m 3 überschritten wird? ( 5 P ) Aufgabe B 4: (Logarithmische Normalverteilung) 08a033 Die Verteilungsdichtefunktion einer log. Normalverteilung-Verteilung ist gegeben durch f X (t) = 0,t 0 2π σ t e 2 ( ln(t) µ σ ) 2,t > 0 Geben Sie die Verteilungsfunktion F X (x) mit Hilfe der Gauss-Normalverteilungsdichte und entnehmen Sie den Wert F X (x) für µ =, σ = 2 und x = e 5 der Tabelle für die Gauss-Normalverteilung!

5 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 5 Aufgabe A 7: (Reihenentwicklung ln) 92a044 Berechnen Sie die Werte ln(.5) und ln(2.0) auf 6 Dezimalstellen genau mit Hilfe einer Reihenentwicklung für die Funktion ln mit Entwicklungszentrum.0 Aufgabe B 5: (Potenzreihenentwicklung) 92a043 Geben Sie die Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungszentrum x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x) sin(x) bis zum Polynom 7. Grades an. Berechnen Sie den Wert cos(0.5) sin(0.5) auf der Grundlage dieser Näherungsfunktion. Schätzen Sie den Fehler über die Taylor-Entwicklung ab. Geben Sie auch den Konvergenzradius an. Aufgabe B 6: (Taylorentwicklung für sin und cos mit Fehlerschätzung) 92a72 a) Berechnen Sie näherungsweise die Werte sin(π/4) und cos(π/4) durch Auswerten der ersten fünf nicht-verschwindenden Summanden der Taylorentwicklung für sin(x) bzw. cos(x) mit Entwicklungszentrum x 0 = 0. Schätzen Sie den Fehler über die Taylorformel ab. b) Vergleichen Sie den Wert für cos(π/4) aus a) mit dem Wert, den Sie erhalten, wenn Sie die Ableitungen der in a) für sin(x) verwendeten Polynome auswerten und addieren. Vergleichen Sie außerdem mit dem exakten Wert. Aufgabe A 8: (Binomische Reihe ) 96a00 Geben Sie die 5 ersten Terme der Reihenentwicklung der Funktionen f(x) = +x, g(x) = +x 2 und h(x) = (+x) an! Hinweis: Benutzen Sie die binomische Reihe mit ( ) α (+x) α = x k für < x < k k=0 Aufgabe B 7: (Potenzreihen, Konvergenzradius) 98a08 Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe ( 2 P ) f(x) = n=0 n+ 2 n x n Bestimmen Sie die Potenzreihenentwicklung der folgenden Funktion f(x) = ln(+x) +x und geben Sie den Konvergenzradius an. ( 6 P ) Anleitung: Verwenden Sie die Cauchy sche Produktreihe für die Reihen zu f (x) = ln(+x) und f 2 (x) = +x.

6 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 6 Aufgabe A 9: (Komplexe Schatzsuche) 96a05 EDWARDT EACH, genannt SCHWARZBART, war einst der gefürchtetste Pirat der Karibik. Er trug stets sechs Pistolen bei sich und vergrub seine Beute auf einer einsamen Insel vor T ORTUGA. Lange nachdem T EACH im Kampf auf See dahingegangen war, fand man die Schatzkarte: Gehe direkt vom Galgen zur Palme, dann gleichviele Schritte unter rechtem Winkel nach links stecke die erste Fahne! Gehe vom Galgen zu den drei Felsbrocken, genausoweit unter rechtem Winkel nach rechts stecke die zweite Fahne! Der Schatz liegt in der Mitte zwischen den beiden Fahnen! Die Palme und die Steine waren noch da, der Galgen aber war längst abgetragen. Der Suchtrupp stieß mit dem ersten Spatenstich auf die Schatzkiste, obwohl man die Schritte von einer falschen Stelle aus gezählt hatte. War dies Zufall? Wo lag der Schatz? Aufgabe B 8: (Komplexe Zahlen) 92a003 Berechnen Sie den Quotienten z = (7 i) (3i), indem Sie den Nenner reell machen. Geben Sie die 2. und 3. Potenz von z an! Aufgabe B 9: (Komplexe Wurzeln) 92a027 Geben Sie alle komplexen Zahlen z an mit z n = +i, n = 3. Aufgabe A 0: (Dritte komplexe Wurzel) 98a07 Berechnen Sie die dritten komplexen Wurzeln der Zahl z = 5+3 i. Aufgabe B 20: (Darstellung von Schwingungen mit e jϕ ) 96a046 Stellen Sie die Schwingungen f(t) = sin(0t)+3 cos(0t) und g(t) = e 0.05 t (2 sin(t)+ cos(t)) mit komplexer Kreisfunktion, komplexer Amplitude und ggfs. Dämpfung dar. Geben Sie die max. Amplitude und den Phasenwinkel an.

7 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 7 Aufgabe A : (Frequenzgang PT2-Element, Lösung maximaler Amplitude) Für ein Feder-Masse-Dämpfer-System mit: Masse: m = 40 kg Federsteifigkeit: c f = 000 N / m Dämpfung: d f = 200 N sec / m 96a040 ist diejenige Kreisfrequenz ω r zu bestimmen, bei der die Lösung x a (t) der Differentialgleichung mẍ(t)+df ẋ(t)+cf x(t) = cos(ω t) die größte Amplitude hat. Geben Sie auch den Phasenwinkel der erzwungenen Schwingung für diese Anregung an. Hinweis: Ermitteln Sie die Extrema des Betrags des Frequenzganges. Aufgabe A 2: (Zeitinv. DGL. Ordn., y (x)+5y(x) = 5 3x 3 etc.) 94a080 Bestimmen Sie mit Hilfe geeigneter Ansatzfunktionen eine spezielle Lösung für folgende Differentialgleichungen: a) y (x)+5y(x) = 5 3x 3 b) y (x)+y(x) = 6e 2x Geben Sie mit der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung die Lösungen der o.a. Probleme für den Anfangswert y(0) = an. Aufgabe B 2: (Zeitinv. DGL 2. Ordnung, y (x)+0y (x)+29y(x) = 0 sin(x)) 96a04 Lösen Sie das Anfangswertproblem ( 6 P ) y (x)+0y (x)+29y(x) = 0 sin(x) ; y(0) =, y (0) = 0.2 Aufgabe B 22: (Zeitinv. DGL 2. Ordnung, y +3y +2y = 2x+ e 3x ) 08a027 Lösen Sie das Anfangswertproblem y +3y +2y = 2x+ e 3x ; y(0) =, y (0) = 6 Welche partikuläre Lösung hat die Gleichung y +3y +2y = e x?

8 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 8 Aufgabe X : (Zeitinv. DGL. Ordnung, viele rechte Seiten) Bestimmen Sie mit Hilfe geeigneter Ansatzfunktionen eine spezielle Lösung für folgende Differentialgleichungen an: a) y (x)+3y(x) = 0 x+0.5x 2 b) y (x)+3y(x) = 7 e 5x c) y (x)+3y(x) = 5sin(x)+7cos(x) d) y (x)+3y(x) = 0 x+0.5x 2 + 7e 5x + 5sin(x)+7cos(x) Geben Sie mit der allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichung die Lösungen der o.a. Probleme für den Anfangswert y(0) = 5 an. 94a078 Aufgabe X 2: (Zeitinv. DGL 2. Ordnung, y (x)+3y (x)+2y(x) = 2 e 5x +3 e x ) 94a079 Bestimmen Sie mit Hilfe geeigneter Ansatzfunktionen eine spezielle Lösung für folgende Differentialgleichungen: a) y (x)+3y (x)+2y(x) = 20 x+0.5x 2 b) y (x)+3y (x)+2y(x) = 0cos(2x) 3sin(3x) c) y (x)+3y (x)+2y(x) = 2 e 5x +3 e x Aufgabe X 3: (Eigenwerte und -Vektoren) 0a04 Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen: M = A = ( ) ( ) 5 2, N = , B = , C =

9 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 9 Aufgabe B 23: (Ebene im R 3 ) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene im R 3, die durch die Punkte P (,,), P 2 (3,0.5,2) und P 3 (2,2,3) gegeben ist, in Parameter- und Normalenform. Welche Steigung hat die Ebene in x- und y-richtung? 95a045 Aufgabe A 3: (Partielle Ableitungen) 92a79 Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der folgenden Funktionen: a) f(x,y) = (x 2 +y 2 ) /2 +ln(x 2 +y) b) f(x,y) = ln( e (x+y) ) c) f(x,y) = ln(y x 2 ) d) f(x,y) = x 5 6x 3 y 2 xy 4 e) f(x,y) = x y f) f(x,y) = e sin(x/y) g) f(x,y,z) = (xy) z Aufgabe B 24: (Partielle Ableitungen, Affensattel, Sinuskegel) 92a066 Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen für a) f(x,y) = x 3 3xy 2 (Affensattel) b) f(x,y) = 0 für x = y = 0 f(x,y) = x3 3xy 2 x 2 +y 2 sonst (Sinuskegel) Fragen zu b): Sind die ersten partiellen Ableitungen in (0,0) stetig? Besitzt f in (0,0) eine Tangentialebene? Aufgabe B 25: (Totales Differential) 94a054 Berechnen Sie für die Funktion z = f(x,y) = x 3 +7x 2 y +3xy 2 5y 6 die Änderung der Funktionswerts z und das totale Differential an der Stelle x = 4,y = 5, wenn die Veränderungen mit dx = 0.2 und dy = 0.3 gegeben sind. Aufgabe B 26: (Totales Differential) 95a054 Berechnen Sie das totale Differential für die Funktion w = f(x,y,z) = 5 e y2 x 3 e x z 4 an der Stelle x = 3, y = 0.5 und z =, wenn die Veränderungen mit dx =, dy = 0.25 und dz = 0.0 gegeben sind.

10 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 0 Aufgabe A 4: (Part. Ableitungen, Extrema, Richtungssteigung) 92a83 Gegeben ist die Funktion f(x,y) = 3x 2 4xy +2y 2 24x+20y 5 Bestimmen Sie: ( 0 P ) a) alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung, b) alle stationären Punkte der gegebenen Funktion, c) Minimums-, Maximums- und Sattelpunktseigenschaften der stationären Punkte, d) die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P(, ), e) das totale Differential im Punkt P(, ), f) die Steigung im Punkt P(,) in der Richtung r = (,2) T, g) den Winkel des steilsten Anstiegs im Punkt P(,), h) die Taylorentwicklung im Punkt P(,) bis einschließlich der quadratischen Terme. Aufgabe B 27: (Tangentialebenen, Richtungssteigung, tot. Differential) 95a058 Gegeben ist die Funktion f(x,y) = (x2 y +) 2 Bestimmen Sie: e x+y a) die partiellen Ableitungen erster Ordnung von f, (4 P) b) das totale Differential im Punkt P(,), ( P) c) die Schnittgerade der Tangentialebenen in den Punkten P(,) und P(0,0), (3 P) d) den Winkel und die Richtung des steilsten Anstiegs im Punkt P(0,0), (2 P) ( ) sin(30 e) den Anstiegswinkel in Richtung des Einheitsvektors c = ) cos(30 in P(2,2). (2 P) ) Aufgabe A 5: (Extrema, zwei Variablen) 92a068 Bestimmen und charakterisieren Sie die relativen Extrema der Funktionen und berechnen Sie die Funktionswerte an diesen Punkten: a) f(x,y) = x 2 xy +y 2 +3y b) f(x,y) = x 2 +3xy +y 2 x 4y +8 c) f(x,y) = xy 27 + x y d) f(x,y) = x 3 y 2 ( x y) e) f(x,y) = 2x 3 3xy +2y 3 + f) f(x,y) = sin(x)+sin(y)+sin(x+y) für x, y aus [0,π/2]

11 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise Aufgabe A 9: (Doppelintegral, Trägheitsmomente 2. Ordnung) 00a0 Berechnen Sie die Fläche und das Massenträgheitsmoment J y = B x2 f(x,y)dxdy einer dünnen Platte B in der x-y-ebene, die durch die angegebenen Kurven begrenzt wird und die Massendichte f(x,y) im Punkt P(x,y) besitzt. ( 8 P ) xy = xy = 2 x = 2y y = 2x f(x,y) = x > 0 y > 0 Aufgabe B 8: (Volumenintegral) 2a00 Ermitteln Sie das Volumen des skizzierten Körpers. ( 5 P ) Grundfläche: x-y-ebene Deckfläche: z = 4 y 2 Gleichung der Parabel in der x-y- Ebene: y = 4 x2 Ebene x = 0.0 Aufgabe B 20: (Doppelintegral mit Belegungsfunktion, Trägheitsmomente 2. Ordnung) 00a04 Berechnen Sie die Fläche und das Massenträgheitsmoment J y = B x2 f(x,y)dxdy und J x = B y2 f(x,y)dxdy einer dünnen Platte B in der x-y-ebene, die durch die angegebenen Kurven begrenzt wird und die Massendichte f(x,y) im Punkt P(x,y) besitzt. ( 9 P ) x a + y = b x c + y 2 = b y 3 = 0 0 < c < a b > 0 f(x,y) =

12 Übungsaufgaben Mathematik II SS 202 G. Ise 2 Aufgabe B 2: (Volumenintegral z = x y ) 96a024 Ermitteln Sie das Volumen des skizzierten Körpers. ( 6 P ) z Grundfläche: z = 0 Deckfläche: z = x y y Seitenflächen: x = 0, y = 0, x+y = y = x x Aufgabe B 22: (Volumenintegral) 96a025 Berechnen Sie das Volumen des skizzierten Gebiets ( 8 P ) z Grundfläche: z = 0 Deckfläche: x+y +z = 2 x Seitenflächen: y = und y = x 2 y Aufgabe A 20: (Fläche in der Ebene, Schwerpunkte) 07a00 Das Integrationsgebiet B werde durch folgende Kurven begrenzt: ( 8 P ) b y = x e 2x y = 0 x = 0 x = b > 0 mit x > 0, y > 0 a) Berechnen Sie die Fläche des Gebiets für beliebige b > 0! b) Bestimmen Sie die Koordinaten des (geometrischen) Schwerpunkts! c) Geben Sie Fläche und Schwerpunkt für b = 2 an! d) Wohin wandert der Schwerpunkt, wenn b gegen strebt? Hinweis: x s = B xdb/ B db, y s = B ydb/ B db