Damit hat man die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten definiert:

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1 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Joachim Schneider 11. Dezember 2006 Funktionen Teil 2 Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten Sei x R. Dann definieren wir für natürliches n x n := x} x {{ x} n Faktoren x 0 := 1. Für x 0 und m N definieren wir noch x m := 1 x m. Für natürliches m und relles, positives x definiert man x 1 m als die nicht negative Lösung u der Gleichung u m = x; x 1 m nennt man auch die m-te Wurzel von x. Schließlich definieren wir für x R mit x > 0 und q Q: 1 : q = 0 x q := (x n ) 1 m : q = n n, m N m 1 : q = n n, m N m (x n ) 1 m Damit hat man die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten definiert: y(x) = x q, q Q. (1) Die Exponentialfunktion Ungebremstes Wachstum Wir betrachten eine Population aus N Individuen. Im (kleinen) Zeitraum t ändert sich N um N, wobei diese Änderung proportional zu N und zu t ist. Den Proportionalitätsfaktor nennen wir α. Dann hat man also für einen kleinen Zeitraum t das Gesetz N = αn t. (2) Durch dieses Gesetz wird zum einen etwa das Wachstum von Bakterienkulturen bei ausreichender Nahrungszufuhr beschrieben dann ist α > 0, zum anderen beschreibt es für α < 0 auch den radioaktiven Zerfall von N Atomen, aber auch die Abkühlung eines heißen Körpers der Temperatur ϑ auf die Umgebungstemperatur ϑ 0, denn auch hier ist

2 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 2 von Dezember 2006 die Abnahme der Temperatur ϑ im Zeitraum t, die wir mit ϑ bezeichnen, proportional zu t und zu ϑ ϑ 0, es gilt also ϑ = α(ϑ ϑ 0 ) t. Nennt man nun N := ϑ ϑ 0 und beachtet, daß da ϑ 0 eine Konstante ist die Änderung von ϑ, die wir ϑ genannt hatten, gleich der Änderung von ϑ ϑ 0, also gleich der Änderung von N ist, die wir N genannt hatten, so erhält man wieder die Gleichung (2). Schreibt man (2) etwas ausführlicher auf, so ergibt sich N(t + t) = N(t) + αn(t) t = N(t)(1 + α t). Um Aussagen für beliebig große Zeiträume τ zu treffen, unterteilt man τ in sehr viele (n) kleine Teile, auf die dann das Gesetz (2) anwendbar ist: τ = n t dt < T > T = 6*dt Auf jeden Zeitschritt wenden wir (2) an und erhalten: N(t + 1 t) = (1 + α t)n(t) N(t + 2 t) = (1 + α t)n(t + 1 t). = (1 + α t) 2 N(t). N(t + n t) = (1 + α t) n N(t). und mit n t = τ folgt: ( N(t + τ) = 1 + ατ ) n N(t). (3) n Wir lassen die Unterteilung immer feiner werden (n ) und definieren ( exp(ατ) := 1 + ατ ) n, n. n exp(x) := lim (1 + x ) n (4) n n

3 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 3 von Dezember 2006 heißt Exponentialfunktion. Wir haben also gezeigt, daß aus der Differentialgleichung N(t) = αn(t) t die Gleichung N(t + τ) = exp(ατ)n(t) (5) folgt, die es gestattet, N zu jedem anderen Zeitpunkt t + τ zu berechnen, wenn es nur zu einem Zeitpunkt t bekannt ist. Setzt man in (5) t = 0, definiert N 0 := N(0), so erhält man N(τ) = exp(ατ)n 0, also nach τ t die fundamentale Gleichung für Wachstums-, Zerfalls- und Dämpfungsprozesse N(t) = exp(αt)n 0 (6) Eigenschaften der Exponentialfunktion Das Additionstheorem der Exponentialfunktion nennt x := αt und y := ατ, so folgt Setzt man (6) in (5) ein und exp(x + y) = exp(x) exp(y) (7) Vorzeichen, Wert an der Stelle 0, exp(0) = 1 folgt aus der Definition 2. exp(x) > 0 für alle x R. Zunächst folgt aus der Definition, daß exp(x) 0; wäre exp(x 0 ) = 0, so wäre wegen des Additionstheorems 1 = exp(0) = exp(x 0 ) exp( x 0 ) = 0 exp( x 0 ) 3. exp(x) 1 + x; das folgt aus der Bernoullischen Ungleichung 4. Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend, und es gilt lim x exp(x) = und lim x exp(x) = 0. Das folgt aus dem Additionstheorem und den vorigen Resultaten. Die Reihendarstellung der Exponentialfunktion Ausmultiplizieren des in der Definition der Exponentialfunktion (4) auftretenden Produktes liefert zusammen mit der Betrachtung des Grenzwertes n die Darstellung (0! := 1 und n! := n (n 1) 2 1) exp(x) = n=0 x n n!. (8)

4 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 4 von Dezember 2006 exp(x) = e x und es folgt Sei zunächst x Q; mit n N 0 und z Z \ {0} kann man x = n z schreiben exp(x) = exp( n z ) = exp(1 z ) = }{{ z} n-mal [ exp( 1 z ) ] n, (9) wobei sich die letzte Gleichung durch wiederholte Anwendung des Additionstheorems (7) ergibt. Definiert man nun e := exp(1), (10) so liefert (9) mit 1 = z z die Gleichung e = [exp(1/z)]z, also ist exp(1/z) = e 1 z und aus (9) folgt schließlich exp( n z ) = e n z. Satz: Für rationales x Q gilt exp(x) = e x. (11) Der natürliche Logarithmus Aufgrund der oben genannten Eigenschaften der Exponentialfunktion, existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus y(x) = ln(x). Satz: Eigenschaften des natürlichen Logarithmus: 1. Der Logarithmus bildet die positiven rellen Zahlen auf die reellen Zahlen ab. 2. ln(exp(x)) = x für alle x R. 3. exp(ln(x)) = x für alle x R mit x > ln(1) = 0. Das folgt aus exp(0) = ln(e) = 1. Das folgt aus exp(1) = e. 6. ln(x) für x. 7. ln(x) für x y = ln(x) ist streng monoton wachsend. 9. Der Logarithmus erfüllt die Funktionalgleichung ln(u v) = ln(u) + ln(v) Um das nachzuweisen, setzt man in dem Additionstheorem der Exponentialfunktion x = ln(u) und y = ln(v) ein, womit sich exp(ln(u) + ln(v)) = u v ergibt, worauf noch einmal ln() angewendet wird.

5 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 5 von Dezember ln(x 1 /x 2 ) = ln(x 1 ) ln(x 2 ). Um das einzusehen, setze man in der Funktionalgleichung u = x 2 und v = x 1 /x Aus der Funktionalgleichung folgt für x R mit x > 0 und q Q ln(x q ) = q ln(x). Die Potenz mit rellem Exponenten Wir hatten oben gesehen, wie man die für reelles a > 0 und rationales q die Potenz a q definiert. Wir haben nun die Gleichungsskette a q = exp(ln(a q )) = exp(q ln(a)) In die letzte Gleichung kann aber ohne Schaden auch ein relles q eingesetzt werden. Für relles β definieren wir deshalb a β := exp(β ln(a)) (12) Nimmt man auf beiden Seiten den Logarithmus dieser Gleichung, so sieht man dass auch für relles β gilt. ln(a β ) = β ln(a) (13) Der Logarithmus zu beliebiger positiver reller Basis a Wir definieren die Umkehrfunktion der Funktion y(x) = a x, a R, a > 0 x R als den Logarithmus log a zur Basis a: y = a x x = log a (y) (14) Anwendung des natürlichen Logarithus auf y = a x ergibt ln y = x ln a andererseits ist nach Definition x = log a y woraus sich log a y = ln y ln a ergibt. Es fogt der Satz: Alle Logarithmen unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren und lassen sich ineinander umrechnen, es gilt nämlich log a y log b y = ln b ln a. Insbesondere nennen wir log(x) := log 10 (x) ln(x) := log e (x) ld(x) := log 2 (x)

6 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 6 von Dezember 2006 Aufgaben 1. Berechnen Sie e = exp(x) auf zwei Arten: (a) Indem Sie (1 + 1 n )n für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen. (b) Indem Sie S n := n 1 j=0 für n = 1, 2, 3, 4, 5 berechnen. j! Tragen Sie die Werte in eine Tabelle ein. Welche Folge konvergiert schneller? 2. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke (a) (a 2 ) 3 + a 2 a 3 + (a 3 ) 2 (b) a 7x /a 3x (c) (e 3 ) 2 (d) exp(3 2 ) (e) e x 3. Berechnen Sie folgende Logarithmen ohne einen (Taschen)rechner zu verwenden: (a) log 2 8 (b) log (c) log (d) log 3 81 (e) log 9 3 (f) log Drücken Sie die folgenden Terme als Terme in ln x und ln y aus: (a) ln(x 2 y) (b) ln xy (c) ln(x 5 y 2 ) 5. Drücken Sie die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus aus: (a) ln 14 ln 21 + ln 6 (b) 4 ln 2 1 ln 25 2 (c) 1.5 ln 9 2 ln 6 (d) 2 ln(2/3) ln(8/9) 6. Vereinfachen Sie die Ausdrücke (a) exp { 1 ln [ ]} 1 x 2 1+x (b) e 2 ln x 7. Zeichen Sie die folgenden Funktionen jeweils in einen Graphen (a) y = 2 x und y = log 2 x (b) y = e x und y = ln x (c) y = 10 x und y = log x

7 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 7 von Dezember Bei der Radiokarbonmethode nutzt man die Tatsache aus, daß das radioaktive Kohlenstoff- Isotop 14 C mit einer Halbwertszeit T 1 von 5730a (1a = 1 Jahr) unter β-zerfall zu 2 Stickstoff ( 14 N) zerfällt. Für das Verhältniss γ von 14 C zu 12 C gilt ein Gesetz γ = γ Luft e λt, wobei t die Zeit beschreibt. Bestimmen Sie λ aus der angegebenen Halbwertszeit T 1, die ja angibt, nach welcher 2 Zeit die Hälfte des Stoffes zerfallen ist. Bei einer Probe wurde γ = 0.19γ Luft gemessen. Wie alt ist die Probe? 9. Die Beschleunigung einer Rakete soll beschrieben werden. Der Brennstoff der Rakete entweiche mit der Ausströmgeschwindigkeit a. Dabei verliert die Rakete in der Zeit t die Masse m und gewinnt dabei die Geschwindigkeit v: Vorher: t Nachher: t + dt m -dm m + dm, dm < v v + dv - a v + dv Wir betrachten den Fall, daß keine äußere Kraft wirkt. Dann sagt uns der Impulssatz der Mechanik, daß der Impuls des Gesamtsystems, das aus der Rakete und dem ausströmendem Treibstoff besteht, sich nicht ändert, also, daß Impuls zur Zeit t = Impuls zur Zeit t + t Das schreiben wir auf und erhalten: (m + m)(v + v) (v + v a) m }{{}}{{} mv = 0. Nachher Vorher Für kleine m, v werden hierin Produkte wie v m weggestrichen und man erhält: m v + a m = 0. Das schreiben wir jetzt um zu m = 1 a m v Vergleicht man das mit der obigen Gleichung für das ungebremste Wachstum, N = αn t, und deren Lösung N(t) = N 0 exp(αt), so folgt die analoge Gleichung für die Rakete m(v) = m 0 exp( v a ),

8 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 8 von Dezember 2006 wobei m 0 = m(v = 0) die Startmasse der Rakete ist. Durch Logarithmieren dieser Gleichung fogt schließlich die Raketengleichung für die Bewegung einer Rakete ohne äußere Kräfte: v = a ln( m 0 m ) (15) Sie wurde 1903 von Konstantin Ziolkowski aufgestellt. Fragen: (a) Die Ausströmgeschwindigkeit des Treibstoffs betrage 2km/s. Wieviel Prozent der Anfangsmasse m 0 der Rakete müssen verbrannt werden um die erste kosmische Geschwindigkeit oder auch Kreisbahngeschwindigkeit von 7.9km/s zu erreichen? Das ist die Mindestgeschwindigkeit für Satelliten. Wieviel Prozent von m 0 müssen verbrannt werden um die zweite kosmische Geschwindigkeit oder auch Fluchtgeschwindigkeit von 11.2km/s zu erreichen? Mit dieser Geschwindigkeit kann man dem Schwerefeld der Erde entweichen. Warum verwendet man also mehrstufige Raketen? (b) Welcher Prozentsatz von m 0 muß verbrannt werden, damit die Geschwindigkeit v der Rakete gerade gleich der Ausströmgeschwindigkeit a des Treibstoffs ist? 10. Ein Kondensator der Kapazität C wird über einen in Reihe geschalteten Widerstand der Größe R aufgeladen: i R ---> o-----[////]--- U C \ / o Für die Zeitabhängigkeit des Ladestroms gilt dann i(t) = U R exp( t/(rc)) Für y := ln( i ) (Logarithmus des in Ampere gemessenen Stroms) und x := t (die in A s Sekunden gemessene Zeit) gilt also y = ln( U R 1 A ) 1 RC/s x. Das ist eine Geradengleichung. Aus einigen Messungen von t und i kann man also in einem Diagramm y gegen x abtragen und aus der Geradensteigung 1 und damit RC bei bekanntem R die Kapazität C des Kondensators bestimmen.

9 Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Seite 9 von Dezember 2006 Seien U = 100V und R = 50kΩ. Nach t = 6s wird i = 0.4mA gemessen. Wie groß ist RC und C? Antwort: RC = 3.73s und C = 74.6µF 11. Wie lauten die Koeffizienten (A; k) der Funktion y = A exp(kx), deren Graph durch die Punkte (2; 1) und ( 2; 0.6) geht? 12. Was ist der Proportionalitätsfaktor zwischen den Logarithmen der Basen 2 und e. 13. Die Helligkeit L der Farbe die zur Wellenlänge λ gehört, kann über die Energie des elektromagnetischen Feldes pro Zeit, Fläche und Wellenlängenintervall definiert werden. Unter Wasser nimmt die Helligkeit L von ihrem Wert an der Oberfläche L 0 in Abhängigkeit von der Tiefe h nach einem Gesetz der Form L = L 0 exp( kh) ab. In einem Meter Wassertiefe beträgt die Helligkeit 93% des Wertes an der Oberfläche. Bei welcher Wassertiefe ist die Helligkeit auf 10% abgesunken? 14. Die Abkühlung eines Körpers von der Anfangstempertatur θ 0 auf die Umgebungstemperatur θ 1 wird durch ein Gesetz der Form θ θ 1 = (θ 0 θ 1 ) exp(kt) beschrieben, wobe θ die Temperatur des Körpers zur Zeit t ist. In einem Haus das auf θ 0 = 20 o C aufgeheizt ist, fällt bei einer Außentemperatur von 5 o C die Heizung aus. Nach 6 Stunden mißt man im Haus 18.5 o C. Welche Temperatur wird man nach 24 Stunden messen?