Matrizen ç 2030 II. Quartal æ98766ö. R = ç. B P Preise R R

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1 Das Doppelelement a ik gibt an, dass das betreffende Element in der i-ten Zeile und k-ten Spalte steht (Wenn nicht anders vereinbart, gilt i,k ³ 0) Bereits das Aufstellen von Tabellen und aus oftmals komplizierten anwendungsbezogenen Texten kann für das Erfassen und ösen eines mathematischen Problems sehr hilfreich sein. Hochschule Hochschule Anwendungsbeispiel Die Elemente einer Matrix können als mehrdimensionale Daten aufgefasst werden. Die Zeilennummer der jeweiligen Matrix stellt die X-Werte und die Spaltennummer die Y-Werte der abzubildenden Zahlentripel dar. Die Matrixelemente selbst bilden die Z-Werte. Auf diese Art können die Daten einer Matrix M als Punktdiagramm oder wie hier als Säulen- oder Flächendiagramm grafisch dargestellt werden. Beispiel: Eine Firma benötigt für die Fertigung zwei Typen von Rohstoffen. Für beide Rohstoffe gibt es fünf Anbieter am Markt. Die erforderlichen Mengen sollen quartalsweise von dem Anbieter mit dem günstigsten Preis bezogen werden. Der Rohstoffbedarf je Quartal sowie die Preise der einzelnen Anbieter für beide Rohstoffarten seien gegeben. Die Bedarfsmatrix B gibt den Bedarf an beiden Rohstoffen R 1 und R 2 quartals- und hier zeilenweise an: In der Preismatrix P sind spaltenweise die von den einzelnen Anbietern für die Rohstoffe R 1 und R 2 pro Mengeneinheit (ME) geforderten Preise erfasst. æ 5 20ö I. Quartal 2030 II. Quartal æ98766ö R = = 1510 III. Quartal è56678ør è30 5 øiv. Quartal R R 1 B P Preise Hochschule Hochschule

2 Stimmen die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix A = A (m;n) überein, ist also m = n, so heißt diese Matrix quadratische Matrix vom Typ (n;n) oder n-reihige Matrix. Die Elemente a 11, a 22, a 33,, a nn bilden die Hauptdiagonale der Matrix. æ a 11 a 12 a 1 n ö A(n;n) a21 22 a2n a = è a n 1 a n 2 a nn ø Hochschule Auf Grund ihrer Gestalt sind einige Formen symmetrischer besonders hervorzuheben: Diagonalmatrix Es gilt a ik = 0 für i 0, d.h., alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0. (a ii = d ii ) Einheitsmatrix Es gilt a ik = 1 für i = k und a ik = 0 für i 0, d.h., alle Elemente in der Hauptdiagonalen sind gleich 1. æd ö 0 d22 0 D = 0 0 dnn è ø æ ö E = è ø Obere Dreiecksmatrix Es gilt a ik = 0 für i > k, d.h., alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0. Untere Dreiecksmatrix Es gilt a ik = 0 für i < k, d.h., alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind gleich 0. Ohne Beschränkung auf einen bestimmten Typ von definiert man außerdem: Nullmatrix Es gilt a ik = 0 für i, k, d.h., alle Elemente sind gleich 0. æ ö 0 a22 0 A U = è ø æa11 a11 a1 n ö 0 a22 a2n A O = 0 è 0 ann ø æa ö a21 a22 0 A U = an è a ann ø 1 2 n Hochschule Transponierte Matrix: Notiert man die Zeilen einer Matrix A vom Typ (m ; n) als Spalten einer Matrix A T, so nennt man A T die zu A transponierte Matrix. Diese ist dann vom Typ (n ; m). æa11 a12 a1 n ö a21 a22 a2n A= a31 a32 a3n am 1 am2 a è mn ø æa11 a21 am 1ö a a a m2 T A = a13 a23 a m3 a1 n a2n a è mn ø Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn Sie mit ihrer Transponierten übereinstimmt. Sie heißt schiefsymmetrisch, wenn die Elemente ihrer Transponierten entgegengesetzte Vorzeichen haben. Bei des Typs n ¹ m entsteht die Transposition durch Schwenk der jeweiligen Spalte in Zeilenlage bzw. durch Schwenk der jeweiligen Zeile in Spaltenlage. Dies erfolgt in der Reihenfolge der Spalten bzw. Zeilen. Bei quadratischen (n = m) entsteht die Transposition der Matrix durch Spiegelung an der Hauptdiagonalen. Hochschule Hochschule

3 Transposition einer Matrix des Typs n ¹ m: æa11 a21 a31... am 1 ö a12 a22 a32... a Das Ergebnis ist eine Matrix des Typs m ¹ n m2 a13 a23 a33... a T m3 A = a14 a24 a34... am a1 n a2n a3n... a è mn ø æa11 a12 a13 a14... a1 n ö a21 a22 a23 a24... a2n A= a31 a32 a33 a34... a 3n am1 am2 am3 am4... a è mn ø Transposition einer Matrix des Typs n = m: Das Ergebnis ist wieder eine Matrix des Typs m = n æa11 a12 a13... a1 n ö æa11 a21 a31... am 1 ö a21 a22 a23... a 2n a12 a22 a32... a m2 T A= a31 a32 a33... a 3n A = a13 a23 a33... a m a a a... a a a a... a è m1 m2 m3 mn ø è 1n 2n 3n mn ø Hochschule Hochschule Übung: Zu den A, B und C sollen die transponierten A T, B T und C T ermittelt werden. æ23-50ö A = Transposition A T æ ö = è ø æ2 3 0ö B = Transposition æ ö = T B Symmetrische Matrix (B = B T ) æ 0 2-1ö C = Transposition æ 0-21ö T C = Schiefsymmetrische Matrix (C = -C T ) Hochschule Hochschule

4 Addition von gleichen Typs A = (a i;k ) und B = (b i;k ) seien (m x n)-. Dann versteht man unter ihrer Summe A + B eine Matrix C mit der Eigenschaft æa11 a12 a1 n ö æb11 b12 b1 n ö a21 a22 a2n b21 b22 b2 n A B C + = = + a a a b b b è m1 m2 mn ø è m1 m2 mn ø Übung: Bilden Sie die Summe der beiden A und B: A = B = æ a11 + b11 a12 + b12 a1 n + b1 n ö a21 + b21 a22 + b22 a2n + b2 n = èam1+ bm 1 am2 + bm2 amn + bmnø Die Summe A + B = C = (c i;k ) ist eine Matrix vom Typ (m x n) mit c ik = a ik + b ik A + B = Hochschule Hochschule Übung skalare Vervielfachung: A = x 8= C = A x 8 = Hochschule Hochschule

5 Übung Vektormultiplikation x 1 A = x3 6x2 3x1 2x2 6x3 5x3 7x2 4x1 2x2 1x3 = 6x3 4x2 3x1 7x2 1x3 2x3 5x2 5x1 1x2 5x3 4x3 1x2 3x1 8x2 4x3 7x3 4x2 4x1 8x2 3x3 Diese Rechenoperation ist nur erlaubt, wenn die Spaltenzahl der Matrix gleich der Spalten- oder Zeilenzahl des Vektors ist x = Hochschule Hochschule Das Produkt zweier A (m x n) und B (p x q) existiert, falls n = p ist! æ a 11 a1 n ö æ b11 b1 n ö æ ö æ b1 k ö A B = a a M M M g M M M = g M i 1 in am 1 a mn bm 1 b mn b è ø è ø è nk ø æ ö = i c ( p= n ) mit c = a b + a b + a b kk ik ik i 1 1 k i 2 2 k in nk Zur Berechnung der Produktmatrix ist es sinnvoll, die höhenversetzt nebeneinander zu schreiben (Falksches Schema). Hochschule Hochschule

6 Falksches Schema Falksches Schema Beispiel Hochschule Hochschule Falksches Schema Beispiel multiplikation Übungen Bitte multiplizieren Sie die folgenden Paare von : æ2 3ö æ9 8ö A = und B = A B =? è4 5ø è7 6ø Hochschule Hochschule

7 multiplikation Übungen multiplikation Übungen Bitte multiplizieren Sie die folgenden Paare von : Bitte multiplizieren Sie die folgenden Paare von : æ5 8 1ö A= æ22, 31, 47, ö B = 52, 48, 39, 63, 70, 27, è ø A B =? 2,2 3,1 4,7 5,2 4,8 3,9 6,3 7,0 2, ,9 60,9 57, ,0 82,9 64, ,1 70,4 52,6 æ23, 41, ö A = 37, 29, 55, 46, æ12, 3 14, 7 11, 9 ö B= 21, 6 13, 7 12, 6 è ø A B =? 12,3 14,7 11,9 21,6 13,7 12,6 2,3 4,1 116,9 90,0 79,0 3,7 2,9 108,2 94,1 80,6 5,5 4,6 167,0 143,9 123,4 Hochschule Hochschule multiplikation Übungen Beispiel: Anwendung auf Quartals-ieferproblem (Folie-Nr.: 3) Bitte multiplizieren Sie die folgenden Paare von : æ173, ö A = 227, 125, æ215, ö B = 189, 125, A B =? æ173, ö T A = 22, 7 B = ( 21, 5 125, 18, 9 12, 5) A B =? 21,5 18,9 12,5 17,3 372,0 327,0 216,3 22,7 488,1 429,0 283,8 12,5 268,8 236,3 156,3 Hochschule Eine Firma benötigt für die Fertigung zwei Typen von Rohstoffen. Für beide Rohstoffe gibt es fünf Anbieter am Markt. Die erforderlichen Mengen sollen quartalsweise von dem Anbieter mit dem günstigsten Preis bezogen werden. Der Rohstoffbedarf je Quartal sowie die Preise der einzelnen Anbieter für beide Rohstoffarten seien gegeben. Die Bedarfsmatrix B gibt den Bedarf an beiden Rohstoffen R 1 und R 2 quartals- und hier zeilenweise an: 1 2 In der Preismatrix P sind spaltenweise die von den einzelnen Anbietern für die Rohstoffe R 1 und R 2 pro Mengeneinheit (ME) geforderten Preise erfasst. æ 5 20ö I. Quartal 2030 II. Quartal æ98766ö R1 B = P = Preise 1510 III. Quartal è56678ør2 è30 5 øiv. Quartal R R Hochschule

8 Falksches Schema Anwendung auf Quartals-ieferproblem (Folie-Nr.: 3) Übung æ 5 20ö I. Quartal II. Quartal æ öR = 1510 III. Quartal = R 2 è30 5 øiv. Quartal A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 R R 1 2 P= R R Quartal 1 T P Preise Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 1) Die rechnung wird häufig zur ösung ökonomischer Probleme angewendet. Nehmen wir an, Sie erhalten die Aufgabe die Rohstoffmenge zu ermitteln, die zur Herstellung zweier Endprodukte notwendig ist. Diese Endprodukte wiederum bestehen aus Zwischenprodukten. Es handelt sich also um eine verkettete Beziehung zwischen Rohstoff, Zwischenprodukt und Endprodukt. Die ösung erfolgt über hintereinander erfolgende multiplikation, T = Quartal Quartal Quartal R 1 R 2 wobei gilt: Hochschule Hochschule Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 2) Wir nehmen folgendes an: es handele sich um 2 Endprodukte, die in folgender Anzahl produziert werden sollen: Benötigte Anzahl von Endprodukt 1: 11 Benötigte Anzahl von Endprodukt 2: 5 Zur Herstellung seien folgende Einheiten der Zwischenprodukte notwendig: Für das Endprodukt 1: 3 Einheiten des Zwischenprodukts 1 4 Einheiten des Zwischenprodukts 2 Für das Endprodukt 2: 7 Einheiten des Zwischenprodukts 1 3 Einheiten des Zwischenprodukts 2 Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 3) Um wiederum diese Zwischenprodukte zu erzeugen werden folgende Rohstoffmengen benötigt: Für das Zwischenprodukt 1: 1,5 Einheiten des Rohstoffs 1 4,0 Einheiten des Rohstoffs 2 Für das Zwischenprodukt 2: 1,0 Einheiten des Rohstoffs 1 3,0 Einheiten des Rohstoffs 2 2,5 Einheiten des Rohstoffs 3 Hochschule Hochschule

9 Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 3) Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 4) Tja, geht auch von Hand. Etwas für bekennende Masochisten! Wenn Sie sich dran versuchen wollen, bitte. Ich lass es. Rohstoffe mal Zwischenprodukt mal Endprodukt 1,50 1,00 3,00 7,00 11,00 X X 4,00 3,00 4,00 3,00 5,00 0,00 2,50 Hochschule Hochschule Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 5) Übung: Beispiel zu multiplikation Wirtschaftsmathematik (Teil 6) 1,50 1,00 3,00 7,00 11,00 4,00 3,00 x 4,00 3,00 x 5,00 = ,00 0,00 2,50 ösung mit dem Falk schen Schema 4 3 5,00 1,5 1 8,5 13,5 8,5 13,5 161 ösung mit Excel: 1,50 1,00 3,00 7,00 8,5 13,5 4,00 3,00 x 4,00 3,00 = ,00 2, ,5 0 2,5 10 7,5 10 7,5 147,5 8,5 13,5 11, x 5,00 = ,5 147,5 Hochschule Hochschule

10 Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 1) ösung der Aufgabe: Wir nehmen folgendes an: es handele sich um 2 verschiedene Reisen, die an die Frau/den Mann gebracht werden sollen: Benötigte Anzahl von Reise 1: 15 Benötigte Anzahl von Reise 2: 7 Zur Komplettierung jeder Reise seien folgende Einheiten an Zwischentransfers notwendig: Für das Endprodukt 1: 5 Einheiten des Zwischentransfers 1 7 Einheiten des Zwischentransfers 2 Für das Endprodukt 2: 9 Einheiten des Zwischentransfers 1 6 Einheiten des Zwischentransfers 2 Hochschule Hochschule Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 2) Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 3) Um wiederum diese Zwischentransfers anzumieten, werden folgende Transporteinheiten benötigt: Für Zwischentransfer 1: 3,5 Transporteinheiten 1 6,7 Transporteinheiten 2 Für Zwischentransfer 2: 2,1 Transporteinheiten 1 4,3 Transporteinheiten 2 5,9 Transporteinheiten 3 Transporteinheiten x Zwischentransfer x Reise Hochschule Hochschule

11 Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 4) Händische Variante Reise Nr. Zwischentransfers Transporteinheiten Transporteinheiten gesamt/reise Nr.1 15,00 Nr. 1 5,00 Nr. 1 3,50 Nr ,50 Nr ,70 Nr. 2 6,70 Nr ,50 Nr ,70 Nr. 3 0,00 Nr. 3 0,00 Nr ,30 765, ,70 Nr. 2 7,00 Nr. 1 2,10 Nr ,50 Nr. 2 4,30 Nr ,50 Nr. 3 5,90 Nr , ,50 Nr.2 7,00 Nr. 1 9,00 Nr. 1 3,50 Nr ,50 Nr. 2 6,70 Nr ,10 Nr. 3 0,00 Nr. 3 0,00 642,60 Nr. 2 6,00 Nr. 1 2,10 Nr. 1 88,20 Nr. 2 4,30 Nr ,60 Nr. 3 5,90 Nr ,80 516,60 Transporteinheiten gesamt Hochschule Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 5) Variante 3,50 2,10 5,00 9,00 15,00 6,70 4,30 x 7,00 6,00 x 7,00 0,00 5,90 32,20 44,10 63,60 86,10 41,30 35,40 791, ,70 867, ,70 Hochschule Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 5) Variante 3,50 2,10 5,00 9,00 15,00 6,70 4,30 x 7,00 6,00 x 7,00 0,00 5,90 Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 5) Variante 3,50 2,10 5,00 9,00 15,00 6,70 4,30 x 7,00 6,00 x 7,00 0,00 5,90 32,20 44,10 63,60 86,10 41,30 35,40 791, ,70 867, ,70 Hochschule ,20 44,10 63,60 86,10 41,30 35,40 791, ,70 867, ,70 Hochschule

12 Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 5) Variante 3,50 2,10 5,00 9,00 15,00 6,70 4,30 x 7,00 6,00 x 7,00 0,00 5,90 32,20 44,10 63,60 86,10 41,30 35,40 791, ,70 867, ,70 Hochschule Übung: Beispiel Produktionskette (Teil 5) Variante 3,50 2,10 5,00 9,00 15,00 6,70 4,30 x 7,00 6,00 x 7,00 0,00 5,90 A B C 32,20 44,10 63,60 86,10 41,30 35,40 A x B = D 791, ,70 867,30 D x C = A x B x C 3215,70 Hochschule