Extrempunkte eine Einführung

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1 Extrempunkte eine Einführung Kurzer Überblick Grundsätzlich ist ein Extrempunkt der entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt sein kann ein Punkt am Graphen einer Funktion, dessen Wert (y- Koordinate) extremal ist, also in irgendeinem Sinn am größten oder am kleinsten. Dieser größte oder kleinste Wert heißt Extremum (Plural: Extrema) bzw. Maximum oder Minimum. Die Stelle (x-koordinate) dieses Punktes heißt Extremstelle. Etwas genauer (Wikipedia): Ein lokales Extremum ist der Oberbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle x, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt. Die zugehörige Stelle x wird (lokale) Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt. Ein lokales Maximum wird auch relatives Maximum genannt. Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt. Lokale und globale Minima sind analog definiert. Man sollte zwischen Stelle, Wert und Punkt unterscheiden: Stelle (x-koordinate): Extremstelle, Maximalstelle, Minimalstelle Wert (y-koordinate): Extremum, Maximum, Minimum Punkt: Extrempunkt, Hochpunkt, Tiefpunkt Die Begriffe werden allerdings manchmal etwas locker benutzt. Was wird tatsächlich gesucht? Bei der Bearbeitung einer Aufgabe kannst du dir manchmal Zeit und Mühe ersparen, indem du genau liest, was erforderlich ist. In einer Prüfungsaufgabe stand einmal, Bestimmen Sie algebraisch die Stellen mit waagerechter Tangente. Natürlich wussten die Prüflinge, dass in den Extrempunkten die Steigung null ist. Die Extrempunkte zu suchen, mitsamt hinreichender Bedingung und y-koordinaten, war aber nicht die Aufgabe (übrigens ist auch im Sattelpunkt die Steigung null), und dadurch, dass das nicht beachtet wurde, ging viel Zeit verloren. Extrempunkte ( ) Seite 1 von 9

2 Lokale (Relative) und Globale (Absolute) Extrema Am Graphen einer Funktion sieht ein lokales Maximum wie ein Bergesgipfel aus, ein lokales Minimum wie eine Talsohle. Eine Funktion kann mehrere lokale Maxima und Minima haben. Im Gegensatz dazu kann es höchstens ein globales Maximum und ein globales Minimum geben. Ein globales Extremum ist einfach der größte (bzw. kleinste) Wert der Funktion im definierten Bereich. Der Wertebereich der Funktion f (x)=x 3 4 x hat für D=R (also solange keine Eingrenzung des Definitionsbereiches vorgegeben wird) keine obere oder untere Grenze, und damit auch keine globalen Extrema. Bild 1a: keine globalen Extrema Die Funktion f (x)=x 2 ist nach unten begrenzt, ihr lokales Minimum (im Scheitelpunkt) ist auch das globale Minimum. In der Funktionsuntersuchung verwenden wir die Eigenschaft der (lokalen) Extremstellen, dass an diesen Stellen die Steigung (1. Ableitung) null ist. Wenn der Definitionsbereich begrenzt ist (z.b. bei einer Funktion, die nur im Bereich 3 x 5 definiert ist), müssen wir die Randwerte Bild 1b: ein globales Minimum berücksichtigen. Obwohl die Steigung an diesen Randstellen meistens nicht null ist, erfüllen sie trotzdem die Bedingung für ein Extremum (in deren Umgebung nimmt die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte an). Sie können auch durchaus globale Maxima oder Minima sein. In Erläuterungen wird dieses Definitionsproblem oft nicht erwähnt. Zum Glück spielt es aber praktisch kaum eine Rolle: Bei der gewöhnlichen Kurvendiskussion sind globale Extrema und abschnittsweise definierte Funktionen nicht besonders interessant (der Definitionsbereich erstreckt sich meistens ins Unendliche). Randwertuntersuchungen und die Frage nach Bild 1c: lokale und globale Extrema einem globalen Extremum kommen eher bei Maximierungs- bzw. Minimierungsproblemen vor. Extrempunkte ( ) Seite 2 von 9

3 Ein konkretes Beispiel Wir betrachten den Graphen der Funktion f (x)=x 3 5x 2 +3x +9 im Bereich 0 x 5. Eine gewöhnliche Funktionsuntersuchung, bei der die Nullstellen der Ableitung gesucht werden, würde ergeben, dass der Punkt H(1/3 256/27) ein Hochpunkt ist. Es ist der höchste Punkt in der unmittelbaren Umgebung, wie ein Bergesgipfel. Unmittelbar links von H (bei x= 1 δ 3 ) ist die Steigung positiv ("bergauf"), unmittelbar rechts (bei x= 1 +δ 3 ) ist sie negativ ("bergab"). Im Punkt H ist die Steigung null, die Tangente im Punkt H ist also waagerecht. H ist jedoch nicht der höchste Punkt im gesamten Bereich, da M deutlich höher ist. M ist der globale Hochpunkt in diesem Bereich. Der Tiefpunkt T(3 0) ist gleichzeitig lokaler und globaler Tiefpunkt (im Definitionsbereich). Bild 2: Definierter Bereich eines Funktionsgraphen Kurvendiskussion: Algebraische Bestimmung der (lokalen) Extrempunkte Die Notwendige Bedingung Um lokale Extremstellen zu finden, verwenden wir zuerst die Bedingung, dass die Tangentensteigung null sein muss. Diese wird die notwendige Bedingung genannt. Die Steigung (die der ersten Ableitung der Funktion entspricht) muss gleich 0 sein. Wir können die Funktion f von oben als Beispiel nehmen: Notwendige Bedingung: f ' ( x)=0 f ' ( x)=3x 2 10x+3 Wir bekommen also die Gleichung 3x 2 10x+3=0, die wir mit der abc-formel lösen können. Die Ergebnisse sind x E1 = 1 3 und x E2 =3. Extrempunkte ( ) Seite 3 von 9

4 Die Hinreichende Bedingung Damit ist es aber noch nicht getan. Es ist zwar wahr, dass alle (lokalen) Extrema die notwendige Bedingung erfüllen (in allen lokalen Extrempunkten ist die Steigung null), es gibt aber auch andere besondere Punkte, die diese Bedingung erfüllen Sattelpunkte. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, ein Punkt, in dem die Krümmung von links nach rechts oder umgekehrt wechselt. Der Graph, der in Bild 3 dargestellt wird, hat in S einen Sattelpunkt. Links von S weist die Kurve Rechtskrümmung, rechts von S Linkskrümmung auf. Wenn das dir nicht Bild 3: Graph mit Sattelpunkt klar ist, stelle dir vor, die Kurve ist eine Straße (der Graph ist jetzt wie eine Landkarte, in der waagerechten Ebene!) und du fährst ein Auto (von links nach rechts) darauf. Wie ist das Lenkrad zuerst vor S und dann nach S ausgerichtet? Graphisch gesehen ist Krümmung die Steigung (Änderungsrate) der Steigung (!), entspricht also der zweiten Ableitung f ' ' (x) bzw. hier s' ' (x) der Ausgangsfunktion (jetzt haben wir die Graphebene gedanklich wieder zurückgedreht, sodass die y-achse die Höhe darstellt). Etwas links von S ist die Steigung positiv. Wenn man sich dann in Richtung S bewegt, wird die Steigung immer weniger, bis sie im Punkt S null (waagerecht) erreicht. Nach S nimmt die Steigung dann wieder zu (wird wieder positiv). Der Graph der Steigung ist gestrichelt dargestellt. Die obigen Überlegungen liefern uns Ansätze, um die drei Fälle (Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt) zu unterscheiden. Grundsätzlich geht es darum, einen Vorzeichenwechsel bei der Steigung festzustellen im Durchwandern des zu untersuchenden Punktes (von links nach rechts). Methode 1 Vorzeichenwechsel der Steigung untersuchen Diese Methode könnte man die direkte Methode nennen, da sie direkt die Steigung links und rechts vom Punkt betrachtet. Wenn du einem Bergesgipfel entgegen läufst, gehst du bergauf (positive Steigung). Hoffentlich findest du das logisch. Im (kurzen) Moment, wenn du auf dem Gipfel bist, gehst du geradeaus (waagerecht, null Steigung). Danach gehst du bergab (negative Steigung). Diesen Sachverhalt können wir direkt auf die Kurvendiskussion übertragen (ich glaube, das zeigt leider nicht, dass die Kurvendiskussion nützlich für das wirkliche Leben ist, sondern eher, dass praktische Lebenserfahrung hier Wandern für das Verständnis für mathematische Zusammenhänge unter Umständen nützlich sein kann). Wir bestimmen die Steigung des Graphen an zwei Stellen, eine ist etwas links, die andere etwas rechts von dem vermutlichen Extrempunkt. Hier untersuchen wir die Stelle x=1, die die notwendige Bedingung, s' (x)=0, als mögliche Extremstelle liefern würde. Links von x=1 könnten wir für unsere Untersuchung x=0,9 nehmen, und rechts von x=1 könnten wir x=1,1 nehmen. Das einzige wirklich wichtige Kriterium für die Wahl dieser Untersuchungsstellen ist, dass sie nicht von der vermutlichen Extremstelle durch weitere mögliche Extremstellen getrennt sind. Für Extrempunkte ( ) Seite 4 von 9

5 die rechte Stelle könnte in diesem Fall jede Zahl im Bereich x>1 genommen werden, aber für die linke Stelle kommen nur Zahlen im Bereich 1 <x <1 3 in Betracht da die nächste mögliche Extremstelle (s' ( x)=0) bei x= 1 3 liegt. Der Klarheit wegen ist es jedoch schon sinnvoll, Stellen zu nehmen, die in der unmittelbaren Umgebung der zu untersuchenden Stelle liegen. Ein Ausschnitt aus dem Graphen ist im Bild 4 zu sehen. Auch die zwei Punkte A (mit x=0,9 ) und B (mit x=1,1 ) und deren Tangenten sind abgebildet. Die Steigungen in A und B werden berechnet: s' (0,9) +0,26 (siehe A') s' (1,1) +0,34 (siehe B') Bild 4: Vorzeichenwechsel-Untersuchung Es gibt also keinen Vorzeichenwechsel der Steigung. Folglich liegt ein Sattelpunkt vor. Im GTR f (x)-werte direkt auslesen Der GTR bietet eine einfache Möglichkeit an, Steigungen (also Ableitungswerte) eines Funktionsgraphen zu bestimmen. Man lässt den Graphen der Funktion zeichnen und dann mit der *Trace*-Funktion kann man für eingegebene x-werte sowohl den entsprechenden y-wert als auch die Steigung ( dy dx ) angezeigt bekommen. Die Steigung wird allerdings nur angezeigt, wenn im Setup-Menü Derivative auf On gesetzt wird. Wir können alle möglichen Vorzeichen-Ergebnisse in einer Tabelle zusammenfassen: Eine vermutliche Extremstelle der Funktion f (x) ist x= x E mit f ' ( x E )=0. Wir untersuchen dann die Steigung auf Vorzeichenwechsel: Tabelle 1: Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung als hinreichende Bedingung für Extremstellen f ' ( x E δ) (links von x E ) f ' ( x E +δ) (rechts von x E ) Extrempunkt? + Ja, Hochpunkt + Ja, Tiefpunkt Nein, Sattelpunkt + + Nein, Sattelpunkt Extrempunkte ( ) Seite 5 von 9

6 Methode 2 Krümmung ungleich null Da die Krümmung (die 2. Ableitung) in einem Wendepunkt null ist, können wir durch Untersuchung der zweiten Ableitung einfache Hoch- und Tiefpunkte nachweisen (es gibt auch kompliziertere Extrema, für die mehrere Ableitungen an der Stelle null sind, also auch f ' ' (x)=0 ). Eine vermutliche Extremstelle der Funktion f (x) ist x= x E mit f ' ( x E )=0. Wir untersuchen dann das Vorzeichen der Krümmung: Tabelle 2: 2. Ableitung als hinreichende Bedingung für Extremstellen f ' ' (x E ) Krümmung Extrempunkt? nach rechts Ja, Hochpunkt + nach links Ja, Tiefpunkt 0 keine Keine Aussage möglich Diese Methode erscheint, auf den ersten Blick, einfacher zu sein. Man kann es anscheinend viel knapper und übersichtlicher darstellen. Solange die zweite Ableitung einfach bestimmt werden kann, ist die Rechnung auch unproblematisch. In vielen Fällen kann diese Methode auch völlig ausreichen. Ein Problem entsteht jedoch, wenn die zweite Ableitung null ist: keine Aussage möglich. Was tun, wenn die 2. Ableitung null ist? Nur im Fall einer Funktion 3. Grades kann man dann ohne weitere Untersuchung mit Sicherheit sagen, dass ein Sattelpunkt vorliegt. Betrachte den Graphen der Funktion q (x)=x Anhand der notwendigen Bedingung, q' ( x)=4x 3 =0, können wir feststellen, dass x=0 eine mögliche Extremstelle ist. Untersuchung der zweiten Ableitung (q ' ' (x)=12x 2 ) führt zu q' ' (0)= =0, die hinreichende Bedingung wird also nicht erfüllt. Bild 5: hinreichende Bedingung, wenn die 2. Ableitung null ist Empfohlen in diesem Fall ist die Untersuchung des Vorzeichenwechsels der Steigung, also Methode 1. Hier kommt man schnell zum schlüssigen Ergebnis: links von x = 0 rechts von x = 0 q' ( 1)=4 ( 1) 3 = 4 q ' (1)=4 (1) 3 =+4 Wechsel von nach + Tiefpunkt Extrempunkte ( ) Seite 6 von 9

7 Anwendung der hinreichenden Bedingung Wir können jetzt unser erstes Beispiel anhand einer Betrachtung der Vorzeichenwechsel der Steigung an den vermutlichen Extremstellen zu Ende führen. Die zu untersuchende Funktion ist f (x )=x 3 5x 2 +3x +9. Anhand der notwendigen Bedingung f ' ( x)=0 hatten wir die Stellen x E1 = 1 3 und x E2 =3 gefunden. Hinreichende Bedingung: Vorzeichenwechsel untersuchen. Die Steigung wird an den Stellen x=0 (links von x E1 x=1 (rechts von x E1 und links von x E2 ) x=4 (rechts von x E2 ) untersucht. f ' ( x)=3x 2 10x+3 f ' (0)=+3 f ' (1)= 4 f ' (4)=+21 x E1 : VZW +, also Hochpunkt x E2 : VZW +, also Tiefpunkt Zum Vergleich wird auch die 2. Methode aufgeführt, die sich in diesem Fall einwandfrei einsetzen lässt. Alternative hinreichende Bedingung: f ' ' (x) 0. f ' ' (x)=6x 10 x E1 : f ' ' ( 1 )=6 1 10= 8<0 3 3, also Hochpunkt x E2 : f ' ' (3)=6 3 10=8>0, also Tiefpunkt y-koordinaten bestimmen, Extrempunkte angeben Wir haben jetzt die Extremstellen gefunden, es fehlen aber die Extremwerte (y- Koordinaten). Diese bestimmen wir anhand der Ausgangsfunktion, y= f (x). Für das obige Beispiel, hätten wir dann: x E1 : f ( 1 3 )=256/27 9,481 H( x E2 : f (3)=0 T(3 0) ) oder, ungefähr H(0,3333 9,481) Es wird oft am einfachsten sein, die y-werte mit dem GTR zu bestimmen, indem man die *Trace*-Funktion im Graph-Menü verwendet solange genaue Werte nicht erforderlich sind (die Ergebnisse werden nur als Kommazahlen ausgegeben, also keine Brüche). Extrempunkte ( ) Seite 7 von 9

8 Komplett Graphische Bestimmung der (lokalen) Extrema Der GTR bietet eine einfache Möglichkeit, Extrema (zumindest annäherungsweise) zu bestimmen, indem man die zu untersuchende Funktion graphisch darstellen lässt und dann G-Solv/MIN (bzw. MAX) wählt. Diese Methode ist sehr vorteilhaft, wenn die zu untersuchende Funktion nicht (einfach) ableiten lässt oder, wenn Nullstellen der Ableitung nicht (einfach) gefunden werden können. Aber auch bei nicht so komplizierten Funktionen kann der GTR-Einsatz Zeit sparen (bei sehr einfachen Funktionen ist das nicht unbedingt der Fall!). Die Schwierigkeiten, die für den Schüler bei dieser Methode entstehen können, sind völlig anderer Art, als die, die bei der algebraischen Methode vorkommen. Bei der Bearbeitung entsprechender Aufgaben wird eine nachvollziehbare Dokumentation verlangt, die auch die mathematischen Grundlagen des Ansatzes darstellt. Wir können anhand der Funktion f (x )=x 3 5x 2 +3x +9 einen Lösungsvorschlag erstellen. Der GTR ist kein algebraisches Werkzeug, ableiten kann er nicht, er verwendet nur numerische Methoden. Um sich eine grobe Vorstellung zu bilden von der Art, wie der GTR einen Hochpunkt findet, kann man den abgebildeten Graphen betrachten. In kleinen Schritten wandert man von links nach rechts und bei jedem Schritt merkt man sich den Funktionswert (y-koordinate). Das tut man, bis man eine Zunahme des Werts merkt (das kann schon beim ersten Schritt geschehen), dann wird man besonders wach. Man schreitet immer weiter, bis der Wert wieder kleiner wird, dann weiß man, ein Hochpunkt wurde gefunden der liegt ungefähr beim letzten Punkt. Man hat sich letztlich hier mit dem Zunehmen und Abnehmen des Funktionswerts beschäftigt also positiver und negativer Steigung. Der zugrunde liegende Ansatz ist eine numerische Annäherung, die auf der Untersuchung des Vorzeichenwechsels der Steigung basiert. Da der GTR nur im angezeigten Bereich sucht, ist es wichtig, das dieser alle zu findenden Stellen enthält! Wenn du bei der aktuellen Funktion nur den Bereich 0 <= x <= 5 anzeigen würdest, würde z.b. eine Nullstellensuche nicht die Nullstelle bei x= 1 finden. Daher solltest du dir ausreichend Gedanken über den Display-Bereich (V-Window) machen, und auch schriftlich begründen, dass es passend ist. Die Begründung kann z.b. aufgrund der möglichen Anzahl von Nullstellen und/oder Extrema, oder des Verhaltens im Unendlichen erfolgen. Extrempunkte ( ) Seite 8 von 9

9 Lösungsvorschlag für den GTR-Einsatz Gesucht sind Stellen mit waagerechter Tangente, f ' ( x)=0, und Vorzeichenwechsel der Steigung. Funktionsgraphen anzeigen lassen Bereich hier ist 2 x 5 sinnvoll, dann sind alle Nullstellen und Extrema enthalten (Graphischen Wertebereich anpassen, z.b. mit Zoom/Auto) Skizze erstellen Hochpunkt(e) mit G-Solv/MAX bestimmen: H(0,3333 9,481) Tiefpunkt(e) mit G-Solv/MIN bestimmen: T(3 0) Koordinaten ausreichend (typischerweise zu 4 Stellen) genau und korrekt gerundet angeben Eine Funktion 3. Grades kann maximal 2 Extrema besitzen, es gibt also keine weiteren. Bild 6: Graph einer Funktion 3. Grades Lizenz: Creative Commons Extrempunkte ( ) Seite 9 von 9