Algebra für Informationssystemtechniker

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1 Algebra für Informationssystemtechniker Prof. Dr. Ulrike Baumann

2 9. Vorlesung Permutationsgruppen Zyklenschreibweise für Permutationen Darstellung von Permutationen als Produkt von Transpositionen Signum (Vorzeichen) von Permutationen Beispiel aus der Codierungstheorie

3 Permutationsgruppen Eine bijektive Abbildung einer Menge X auf sich heißt Permutation auf X. Das Produkt (die Komposition) von Permutationen α, β auf einer Menge X ist wie folgt definiert: x X : (α β)(x) := α(β(x)) (α β wird gelesen: α nach β) Mit S X wird die Menge aller Permutationen auf X bezeichnet. Für X = n ist S n := S X. (S n, ) ist eine Gruppe. Die Gruppe (S n, ) (kurz: S n ) wird symmetrische Gruppe vom Grad n genannt. Die Untergruppen der symmetrischen Gruppe S n heißen Permutationsgruppen.

4 Zyklenschreibweise für Permutationen Jede Permutation auf einer endlichen Menge lässt sich als Produkt disjunkter Zyklen schreiben: ( ) α = S Zyklenschreibweise: α = (12437)(5)(6)(89) bzw. α = (12437)(89) = (89)(12437) S 9. β = (123)(45)(6789) S 9 Die Berechnung des Produktes ist auch in Zyklenschreibweise möglich: α β = ( ) β α = ( ) Im Falle disjunkter Zyklen ist die Reihenfolge der Hintereinanderausführung vertauschbar, z.b.: (12437)(89) = (12437) (89) = (89) (12437) = (89)(12437)

5 Symmetrieabbildungen des Quadrats a d b c Das Quadrat hat 8 Symmetrieabbildungen (das sind Abbildungen, die das Quadrat auf sich abbilden): id δ := (abc d) σ := (ad)(bc) δ σ = (bd) δ 2 = (ac)(bd) δ 2 σ = (ab)(c d) δ 3 = (ad c b) δ 3 σ = (ac) Die Symmetriegruppe des Quadrats ist eine Permutationsgruppe der Ordnung 8 (Diedergruppe D 4 ).

6 Symmetriegruppe des Quadrats id δ δ 2 δ 3 σ δ σ δ 2 σ δ 3 σ id id δ δ 2 δ 3 σ δ σ δ 2 σ δ 3 σ δ δ δ 2 δ 3 id δ σ δ 2 σ δ 3 σ σ δ 2 δ 2 δ 3 id δ δ 2 σ δ 3 σ σ δ σ δ 3 δ 3 id δ δ 2 δ 3 σ σ δ σ δ 2 σ σ σ δ 3 σ δ 2 σ δ σ id δ 3 δ 2 δ δ σ δ σ σ δ 3 σ δ 2 σ δ id δ 3 δ 2 δ 2 σ δ 2 σ δ σ σ δ 3 σ δ 2 δ id δ 3 δ 3 σ δ 3 σ δ 2 σ δ σ σ δ 3 δ 2 δ id

7 Transpositionen Transpositionen sind Zyklen der Länge l = 2. Jeder Zyklus lässt sich als Produkt von Transpositionen schreiben. Für Zyklen der Länge l 3 gilt: (i 1 i 2 i 3... i l 1 i l ) = (i 1 i l ) (i 1 i l 1 ) (i 1 i 3 ) (i 1 i 2 ) Jede Permutation einer endlichen Menge kann als Produkt von Transpositionen dargestellt werden. Gibt es für eine Permutation α eine Darstellung als Produkt von k 1 Transpositionen und eine Darstellung als Produkt von k 2 Transpositionen, dann gilt: k 1 (mod 2) = k 2 (mod 2)

8 Signum von Permutationen Jeder Permutation α S n kann man eine Zahl sgn(α) { 1, 1} zuordnen, das Signum (oder Vorzeichen) von α, so dass gilt: sgn(τ) = 1 für jede Transposition τ. sgn(α β) = sgn(α) sgn(β) für alle α,β S n Eine Permutation heißt ungerade, falls ihr Signum 1 ist, andernfalls gerade. Ist α = (i 1 i 2...i l ) die Zyklendarstellung der Permutation α, dann gilt sgn(α) = ( 1) l 1. Eine Permutation ist genau dann gerade, wenn in ihrer Zyklendarstellung die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist.

9 Erzeugen der symmetrischen Gruppe S n Die Transpositionen aus S n erzeugen die Gruppe S n. Die Transpositionen (12), (13)...,(1n) erzeugen die Gruppe S n. Die Transpositionen (12), (23)...,(n 1n) erzeugen die Gruppe S n. Die Transposition (12) und der Zyklus (12... n) erzeugen die Gruppe S n. Die geraden Permutationen bilden eine Unterguppe A n der symmetrischen Gruppe S n. A n wird alternierende Gruppe vom Grad n genannt. Es gilt A n = 1 2 n! Für n 3 wird A n von Zyklen der Läge 3 erzeugt.

10 Codierungsverfahren mit der Diedergruppe D 5 A D G K L N S U Y Z a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 mit a i {0,1,...,9} Prüfgleichung: T(a 1 ) T 2 (a 2 ) T 10 (a 10 ) a 11 = 0 mit T = ( )(89)