Messunsicherheiten und Matrizenrechnung
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- Barbara Scholz
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1 Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig und Berlin Matrix Messunsicherheiten und Matrizenrechnung T. Funck Arbeitsgruppe.13 Wechsel-Gleich-Transfer, Impedanz 60. PTB Seminar am 1. Mai 011
2 Inhalt Motivation Definition Darstellung Rechenoperationen Anwendung Lineare Gleichungssysteme Regression Kovarianzen Abschluss AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz
3 Matrizen und Messunsicherheit Im GUM und in der DIN kommen vor: Messunsicherheitsmatrix Kovarianzmatrix Einheitsmatrix... Was ist eigentlich eine Matrix? AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 3
4 Definition Eine Matrix (Plural: Matrizen ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle von Zahlen, mit denen auf bestimmte Art gerechnet werden kann. Matrizen stellen Zusammenhänge übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Die Bezeichnung Matrix wurde 1850 von James Joseph Sylvester (englischer Mathematiker und Professor für Physik eingeführt. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 4
5 Darstellung (1 Matrizen werden mit halbfetten, kursiven lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, manchmal auch unterstrichen. Eine sogenannte m n Matrix A besteht aus m n Elementen a ij, die in m Zeilen zu je n Spalten angeordnet sind. (Abbildung aus: AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 5
6 Darstellung ( Als Notation hat sich die Aneinanderreihung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen großen Klammern durchgesetzt. Die Form der Klammern ist nicht einheitlich festgelegt; es werden runde oder eckige Klammern verwendet. ( a11 a1 a1n a 1 a a n a m1 a m a mn oder [ a11 a1 a1n a 1 a a n ] a m1 a m a mn AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 6
7 Rechenoperationen (Addition Mit Matrizen kann man rechnen wie mit Zahlen: Addition und Subtraktion: Zwei Matrizen können addiert (subtrahiert werden, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier Matrizen errechnet sich, indem man jeweils die Elemente der beiden Matrizen addiert: A+ B:=(a ij + b ij i=1 m, j=1 n AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 7
8 Rechenoperationen (Multiplikation mit Skalar Multiplikation mit einer Zahl (Skalar: Eine Matrix wird mit einer Zahl multipliziert, indem alle Elemente der Matrix mit der Zahl multipliziert werden: λ A:=(λ a ij i=1 m, j=1 n AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 8
9 Rechenoperationen (Matrizen-Multiplikation Multiplikation von Matrizen: Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Die Berechnung erfolgt nach dem Schema linke Zeile mal rechte Spalte. Im allgemeinen gilt: A B B A ( A B C= A ( B C ( A+ B C = A C + B C AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 9
10 Rechenoperationen (Einheitsmatrix Einheitsmatrix E: Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielt die quadratische Matrix E ( 1 E= Es gilt für beliebige Matrizen A : E A= A E= A AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 10
11 Rechenoperationen (Inverse Inverse Matrix A 1 : Eine Division durch eine Matrix ist nicht möglich, jedoch kann sie oft durch die Multiplikation mit einer inversen Matrix ersetzt werden: Für manche quadratische Matrizen A gibt es eine Matrix A 1, für die gilt: A A 1 = A 1 A= E AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 11
12 Rechenoperationen (Transponierte Transponierte Matrix AT : Das Transponieren einer Matrix A ist keine wirkliche Rechenoperation, eher ein Umsortieren der Elemente. Es werden nämlich Zeilen und Spalten vertauscht, d.h. die Matrix wird an ihrer Hauptdiagonalen gespiegelt. Das Produkt A A T kann immer gebildet werden und wird häufig benötigt. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 1
13 Rechenoperationen (Matrixgleichungen Auflösen von Gleichungen: A X = B A 1 A X = A 1 B E X = A 1 B X = A 1 B Multiplikation mit der inversen von A von links AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 13
14 Rechenoperationen (Matrixgleichungen Auflösen von Gleichungen: X C= D X C C 1 = D C 1 X E = D C 1 X = D C 1 Multiplikation mit der inversen von C von rechts AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 14
15 Rechenoperationen (Vorteile Ein verbreitetes Vorurteil: Matrizenrechnung ist höhere Mathematik, ist schwierig und ist nur etwas für Wissenschaftler. Richtig ist hingegegen: Matrizenrechnung an sich benötigt nur die vier Grundrechenarten. Matrizenrechnung ist meistens übersichtlicher, so dass das damit zu lösende Problem im Vordergrund bleibt. Matrizenrechnung kann gut automatisiert werden. Dann erledigenen Maschinen die stupide Rechenarbeit. Matrizenrechnung ist in Tabellenkalkulations- Programmen z.b. LibreOffice Calc verfügbar. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 15
16 Gleichungssystem (Schema Beispiel für ein lineares Gleichungssystem mit den vier Variablen w, x, y und z: ( w+x+ 3y 4z= 0 5w+ x= 1 3x 4y+5z= 3 w+ z= 8 ( w ( x = y z AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 16
17 Gleichungssystem (Matrizen Folgende Matrizen werden eingeführt: A= ( X ( = w x y z B= ( A X = B X = A 1 B AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 17
18 Gleichungssystem (Lösung A 1 = 1 ( X = 1 ( ( = ( AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 18
19 Ausgleichsrechnung (Schema Messung von vier gleichartigen Normalen untereinander, eines ist extern kalibriert worden. d 1k d 1 1 d 13 d 14 d 4 d d 34 Der Kalibrierwert d 1k und die Differenzen d ij sind bekannt. Die Werte x 1, x, x 3, und x 4 sollen berechnet werden. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 19
20 Ausgleichsrechnung (Gleichungen Folgende Gleichungen können abgeleitet werden: x 1 x 1 x x 1 x 3 x 1 x 4 x x 3 x x 4 x 3 x 4 = = = = = = = d 1k d 1 d 13 d 14 d 3 d 4 d 34 AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 0
21 Ausgleichsrechnung (Matrizenschreibweise In Matrizenschreibweise: ( ( V X = D x1 x x 3 x 4 = ( d 1k d 1 d 13 d 14 d 3 d 4 d 34 AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 1
22 Ausgleichsrechnung (Fehlerterme Problem: Sieben Gleichungen für vier Unbekannte. Ansatz: Zunächst ebenfalls unbekannte Fehlerterme F zu jeder Gleichung hinzufügen: V X = D+F F =V X D Die Summe der Quadrate der Fehlerterme soll minimal werden: f i =min F T F=min AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz
23 Ausgleichsrechnung (Berechnung Durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen von F T F nach den vier x i folgt : V T F =0 V T (V X D=0 Auflösen nach X liefert die gesuchten Ausgleichswerte: X =(V T V 1 V T D X =C D AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 3
24 Ausgleichsrechnung (Ergebnis Ausführen der Matrixumformungen liefert: ( x1 x x 3 x 4 = ( 1 ( d ½ ¼ ¼ ¼ ¼ 0 1 ¼ ½ ¼ ¼ 0 ¼ 1 ¼ ¼ ½ 0 ¼ ¼ 1k d 1 d 13 d 14 d 3 d 4 d 34 Wie erwartet ergibt sich für x 1 der externe Kalibrierwert und für x, x 3 und x 4 eine Linearkombination aus diesem und den gemessenen Differenzen. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 4
25 Ausgleichsrechnung (Messunsicherheiten Messunsicherheiten der Eingangswerte: u(d 1k = u 1k Messunsicherheit der unabhängigen externen Kalibrierung u(d ij = u ij Messunsicherheit der gemessenen Differenzen u ij =u Fl, ij +u ME u Fl,ij u ME Messunsicherheitsbeitrag durch Fluktuation Messunsicherheit der Messeinrichtung AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 5
26 Ausgleichsrechnung (Kovarianzen u Fl,ij individiuell für jede Messung verschieden, aber ein abgeschätzter Wert u Fl für alle Differenz-Messungen u ME identisch für alle Differenz-Messungen Damit errechnet sich nach EA 4/0 die Kovarianz zweier beliebiger Differenz-Messungen d ij und d kl zu: u(d ij, d kl =u ME AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 6
27 Ausgleichsrechnung (Messunsicherheitsmatrix Die Messunsicherheitsmatrix U D zu der Eingangsmatrix D ergibt sich somit gemäß DIN zu: ( U D = u1k 0 u Fl +u ME 0 u ME u ME u Fl +u ME 0 u ME u ME u ME u ME u Fl +u ME AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 7
28 Ausgleichsrechnung (Sensitivitätsmatrix Die Sensitivitätsmatrix G ist hier identisch mit der Koeffizientenmatrix C = (V T V -1 V T. Damit errechnet sich die Matrix U X der Messunsicherheiten zu den Werten der Normale zu: U X = ( u ( x 1 u( x 1, x u( x 1, x 3 u( x 1, x 4 u( x, x 1 u ( x u( x, x 3 u( x, x 4 =C U u( x 3, x 1 u( x 3, x u ( x 3 u( x 3, x 4 u( x 4, x 1 u( x 4, x u( x 4, x 3 u ( x 4 D C T Auf der Hauptdiagonalen findet man die Varianzen. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 8
29 Ausgleichsrechnung (Ergebnis-Unsicherheitsmatrix Formales Ausführen der Matrixumformungen liefert: ( U X = u1k u 1k u 1k u 1k u 1k u 1k + u Fl + u ME 4 u 1k + u Fl 4 + u ME u 1k + u Fl u ME 4 u 1k u 1k + u Fl 4 + u ME u 1k + u Fl + u ME u 1k + u Fl u ME u 1k + u Fl u 1k + u Fl u 1k u ME 4 u 1k + u Fl u ME + 9 u ME In der Praxis wird man natürlich numerisch rechnen (lassen. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 9
30 Abschluss Zusammenfassend lässt sich feststellen: Die Darstellung mittels Matrizen führt zu übersichtlichen Lösungen metrologischer Problemstellungen. Varianzen und Kovarianzen werde formal einheitlich behandelt und gemeinsam berechnet. Formale Matrixrechnungen sind in der Praxis entbehrlich, sie können durch numerische Berechnungen, z.b. mittels Tabellenkalkulation, ersetzt werden. Es ist wirklich so einfach, nur Mut! AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 30
31 Literatur Wikipedia, DIN EA-4/0 GUM supplement 1 T. Funck, E. Pesel and P. Warnecke: Calibration of electronic voltage standards at the PTB, Beitrag zur Konferenz Metrologie '99. Dr.-Ing. W. Leonhard: Statistische Analyse linearer Regelsysteme, B.G. Teubner Verlag, Stuttgart; ISBN , 1973 Diese Präsentation wurde unter Verwendung von ausschließlich freier Software mit LibreOffice 3 Impress erstellt. AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 31
32 Danke für Ihr Interesse Torsten Funck AG.13 AC-DC-Transfer, Impedanz 3
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