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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 Ab 8. Schuljahr Hans-J. Schmidt MATHE entdecken Berechnungen an Vielecken & Kreisen

3 Berechnungen an Vielecken und Kreisen 1. Digitalauflage 2017 Kohl-Verlag, Kerpen 2017 Alle Rechte vorbehalten. Inhalt: Hans-J. Schmidt Coverbild: Alex_123 - fotolia.com Grafik & Satz: Kohl-Verlag Bestell-Nr. P ISBN: Kohl-Verlag, Kerpen Alle Rechte vorbehalten. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und unterliegen dem deutschen Urheberrecht. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages ( 52 a Urhg). Weder das Werk als Ganzes noch seine Teile dürfen ohne Einwilligung des Verlages eingescannt, an Dritte weitergeleitet, in ein Netzwerk wie Internet oder Intranet eingestellt oder öffentlich zugänglich gemacht werden. Dies gilt auch bei einer entsprechenden Nutzung in Schulen, Hochschulen, Universitäten, Seminaren und sonstigen Einrichtungen für Lehr- und Unterrichtszwecke. Der Erwerber dieses Werkes in PDF-Format ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den Gebrauch und den Einsatz zur Verwendung im eigenen Unterricht wie folgt zu nutzen: - Die einzelnen Seiten des Werkes dürfen als Arbeitsblätter oder Folien lediglich in Klassenstärke vervielfältigt werden zur Verwendung im Einsatz des selbst gehaltenen Unterrichts. - Einzelne Arbeitsblätter dürfen Schülern für Referate zur Verfügung gestellt und im eigenen Unterricht zu Vortragszwecken verwendet werden. - Während des eigenen Unterrichts gemeinsam mit den Schülern mit verschiedenen Medien, z.b. am Computer, via Beamer oder Tablet das Werk in nicht veränderter PDF-Form zu zeigen bzw. zu erarbeiten. Jeder weitere kommerzielle Gebrauch oder die Weitergabe an Dritte, auch an andere Lehrpersonen oder pädagogischen Fachkräfte mit eigenem Unterrichts- bzw. Lehrauftrag ist nicht gestattet. Jede Verwertung außerhalb des eigenen Unterrichts und der Grenzen des Urheberrechts bedarf der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Der Kohl-Verlag übernimmt keine Verantwortung für die Inhalte externer Links oder fremder Homepages. Jegliche Haftung für direkte oder indirekte Schäden aus Informationen dieser Quellen wird nicht übernommen. Kohl-Verlag, Kerpen 2017

4 Inhalt Seite Vorbemerkungen 4 Grobüberblick zu den Teilen A, B, C, D, E 5 Erläuterungen zu B: Flächenberechnung nach Formelsammlung 6-7 Erläuterungen zu C: Flächenberechnung nach dem Satz von Pick 8-12 Erläuterungen zu D: Karteikarten Erläuterungen zu E: Aufgabenkarten A Historisches zu B Flächenberechnung nach Formelsammlung C Flächenberechnung nach dem Satz von Pick D Karteikarten E Aufgabenkarten Berechnungen an Vielecken & Kreisen Bestell-Nr. P Seite 3

5 Vorbemerkungen Sicherlich kennen Sie als Mathematiklehrer/in die diversen Verfahren zur Ermittlung des Flächeninhalts von Kreisen und somit die Annäherungsverfahren zur Berechnung von. Eines der schönsten Verfahren ist aber den meisten Unterrichtenden unbekannt. Stellen Sie sich einmal vor, Ihre Schüler bräuchten keinerlei Formeln zu kennen. Simples Abzählen ist alles was sie können müssen. Sie glauben das nicht? Doch, der Satz von Pick macht es möglich. Ihre Schüler/innen werden in einem aktiv-entdeckenden Lernprozess den Zusammenhang herstellen können zwischen dem Flächeninhalt eines Gitterpolynoms P und der Anzahl der zu P gehörigen Gitterpunkte ohne dass sie mit Formeln übermäßig belastet werden. Gut, eine einzige Formel ist zu entwickeln: A(n,i) = n : 2 + i 1. Aber auch diese Formel lässt sich salopp formulieren: Um den Flächeninhalt eines Vielecks zu berechnen, braucht man nur die Anzahl der äußeren Gitterpunkte zu halbieren und dazu die um Eins verminderten inneren Gitterpunkte zu addieren. Beispiel: Wie groß ist die Fläche, die vom Gummiring umspannt wird? J@ EA 2 K A = J K A H A H / K EHE C E A H A H 2 K J.? D A A E D A EJ Wir zählen die Gitterpunkte, die auf dem Rand liegen: 7. Wir zählen die Gitterpunkte, die innerhalb des Gebietes liegen: 3. Und schon hat man den Flächeninhalt mit 5,5 Flächeneinheiten bestimmt. A = 7 : Berechnungen an Vielecken & Kreisen Bestell-Nr. P Dieser Sachverhalt lässt sich sehr gut zur Berechnung des Flächeninhalts eines Viertelkreises nutzen und führt letztendlich zu der angenäherten Lösung von = 3,14. Die Kopiervorlagen dieses Bandes sind so zusammengestellt, dass bei den Schülern Entdeckungsprozesse stattfinden können, indem Sie als Lehrperson Denkanstöße geben und den Austausch zwischen den Schülern fördern. Viel Spaß und Erfolg beim Einsatz der Materialien wünschen Ihnen der Kohl-Verlag und Hans J. Schmidt Seite 4

6 Grobüberblick zu allen Teilen A, B, C, D, E A B C Historisches zur Zahl Im ersten Teil erhalten die Schülerinnen und Schüler eine historische Einführung zur Zahl und wenden verschiedene Verfahren direkt an (siehe Seiten 18-21). Flächenberechnung nach Formelsammlung Bevor es zur Flächen- und Umfangsberechnung vom Kreis kommt, wird der Umfang und Flächeninhalt vom Quadrat, Rechteck, Dreieck, Raute, Drachen, Parallelogramm und Trapez wiederholt und in einer Formelsammlung zusammengefasst (siehe Seiten 22-27). Im Anschluss wird eine weitere Formelsammlung zum Kreis, Kreisring, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt erstellt (siehe Seiten 28-31). Flächenberechnung nach dem Satz von Pick Die Schülerinnen und Schüler lernen eine neue Methode kennen, Flächeninhalte zu berechnen. Der Satz von Pick wird angewendet, um die Fläche eines Vielecks zu berechnen, welches auf einem quadratischen Gitternetz liegt. Dazu wird die Anzahl der äußeren Gitterpunkte (abgekürzt mit n) und die Anzahl der inneren Gitterpunkte (abgekürzt mit i) gezählt und in die Formel A(n,i) = n : 2 + i 1 eingesetzt (siehe Seiten 32-51). Der Satz kann auch benutzt werden, um den Flächeninhalt eines Kreises oder eines Kreisausschnittes näherungsweise zu berechnen. Dazu wird ein Vieleck entlang der Kreislinie gelegt. Mit Hilfe des Satzes von Pick kann der Flächeninhalt dieses Vielecks berechnet werden (siehe Seiten 52-55). Im Folgenden ist es den Schülern freigestellt, ob sie mit der Methode nach Pick Aufgaben annäherungsweise berechnen wollen, oder ob sie die Formeln aus der Formelsammlung anwenden möchten. D E Karteikarten Die erarbeiteten Formeln zum Kreis werden mit Hilfe von den Aufgaben auf den Karteikarten vertieft (siehe Seiten 56-75). Die Karten beinhalten dabei sowohl die Aufgabenstellung als auch die Lösung. Daher können die Schülerinnen und Schüler ihr neues Wissen eigenständig festigen. Aufgabenkarten Im letzten Teil gibt es Aufgabenkarten, welche die Lehrperson als Grundlage für Klassenarbeiten verwenden kann. Diese Aufgabenkarten können beliebig mit eigenen Aufgabenstellungen erweitert werden (siehe Seiten 76-95). Berechnungen an Vielecken & Kreisen Bestell-Nr. P Seite 5

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