Rechnerpraktikum zur Optimierung III

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1 TU München Lehrstuhl Mathematische Optimierung Prof. Dr. M. Ulbrich Dipl.-Math. Florian Lindemann Sommersemester 2007 Teil I Rechnerpraktikum zur Optimierung III P1. Durchhängenes Seil Die senkrechten Ordinaten x k eines durch die Punkte ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n,,,...,,, 0 x 1 x 2 x n 1 x n ( ) n gegebenen Polygonzuges soll den Verlauf eines Seils approximieren. Dieser Polygonzug soll so berechnet werden, dass er oberhalb einer an der Stelle s stehenden Säule {(s,y) T : y h} verläuft, höchstens die Länge L > 0 hat, minimale Höhenenergie besitzt. Der Polygonzug kann durch Lösen des Optimierungsproblems berechnet werden, wobei min f(x) u.d.n. g 1 (x) 0, g 2 (x) 0 n 1 f(x) = x x (x k + x k+1 ) 1 + (x k+1 x k ) 2 + x n 1 + x 2 n g 1 (x) = g 2 (x) = h x s k=1 n x (xk+1 x k ) x 2 n L k=1 a) Dieses nichtlineare Optimierungsproblem soll nun für die Werte n = 30, L = 40, s = 10, h = 6 betrachtet werden. Dafür werden wir ein passendes AMPL-Model-File von der Homepage des Rechnerpraktikums herunterladen und das Optimierungsproblem mit einem Solver über AMPL lösen. Führen Sie dafür Schritte durch: 1) Auf der Website des Rechnerpraktikums finden Sie im Bereich Material die Datei seil.mod. Laden Sie diese in Ihr Arbeitsverzeichnis herunter. Öffnen Sie die Datei in einem Editor und vergleichen Sie den Inhalt mit der Problemstellung. 1

2 2) Starten Sie AMPL in Ihrem Arbeitsverzeichnis. Durch die Eingabe option solver donlp2; geben Sie AMPL vor, welcher Löser für das Optimierungsproblem verwendet werden soll. In diesem Fall wird das SQP-Verfahren DONLP2 verwendet. SQP-Verfahren werden Sie noch im Verlauf der Vorlesung kennen lernen. 3) Jetzt wird noch das Modell geladen. Durch den Befehl model seil.mod; wird zudem gleich der Löser gestartet, da in der Modell-Datei der solve Befehl enthalten ist. Der DONLP2-Solver wird gestartet und löst das Problem. Anhand der Textausgabe des Solvers erkennen Sie, ob der Löser erfolgreich war. Welche Informationen kann man noch ablesen? Außerdem wird die Lösung in eine externe Datei seil.out geschrieben, die im aktuellen Verzeichnis erzeugt wird. 4) Öffnen Sie die Datei seil.out in einem Editor und interpretieren Sie das Ergebnis. Um eine graphische Anschauung zu bekommen kann man sich die Lösung über ein Grafikprogramm anzeigen lassen. Starten Sie mit Hilfe des Befehls gnuplot im Terminal das Grafikprogramm. Hier können Sie nun mit plot seil.out w lines den Polygonzug anzeigen lassen. Mit der Anweiseung quit können Sie das Programm wieder verlassen. b) Lösen Sie das gleiche Problem mit dem Solver SNOPT. Verlassen Sie dafür AMPL mit dem Befehl quit, um die vorherigen Daten zu löschen und starten Sie es neu. Durch die Befehle option solver snopt; model seil.mod; wird das Problem mit dem SNOPT-Solver gelöst. Vergleichen Sie die Lösung, die Iterationszahlen und die Funktionsauswertungszahlen mit dem DONLP2-Solver. c) Wir wollen nun das Problem mit abgewandelten Daten betrachten. Dafür wählen wir eine höhere Auflösung des Polygonzugs und teilen das Intervall nicht mehr in n = 30 Intervalle, sondern in n = 100 Intervalle auf. Entsprechend muss die Länge L des Seils angepasst werden. Dafür wählen wir L = 130. Für die Säule können wir auch eine andere Position und Höhe wählen, z.b. s = 60 und h = 15. Dies soll nun in dem Model-File umgesetzt werden. Öffnen Sie dafür die Datei seil.mod und speichern Sie die Datei unter dem Namen seil2.mod in Ihrem Arbeitsverzeichnis. Nehmen Sie nun 2

3 an dieser Datei die entsprechenden Änderungen vor. Ändern Sie dabei auch den Namen der Output-Datei, indem Sie in den letzten drei Zeilen seil.out durch seil2.out ersetzen. Starten Sie wieder AMPL neu und geben Sie folgende Befehle ein: option solver donlp2; model seil2.mod; Vergleichen Sie die Iterationszahlen mit den vorherigen Durchläufen. Lassen Sie sich das Ergebnis wieder mit dem Grafikprogramm anzeigen und überprüfen Sie so Ihre Veränderungen. d) Lösen Sie das Problem nun wie in Teil b) mit einem anderen Solver. Nehmen Sie diesmal den Löser MINOS: option solver minos; model seil2.mod; Vergleichen Sie die Textausgabe und die Lösung mit der Lösung von DONLP2. Was fällt Ihnen auf? Handelt es sich bei der letzten Iterierten auch um eine Lösung? e) Wir wollen nun noch eine zweite Säule hinzufügen. Öffnen Sie dafür Ihre Datei seil2.mod und speichern Sie diese unter dem Namen seil3.mod in Ihrem Arbeitsverzeichnis. Fügen Sie nun eine weitere Nebenbedingung zum Modell hinzu, welche eine zweite Säule modelliert und ändern Sie die Ausgabe der Lösung in die Datei seil3.out. Dabei können Sie die Position und Höhe der zweiten Säule selbst auswählen. Beachten Sie, dass das Seil eine Mindestlänge L haben sollte, welche das Erreichen beider Säulen und der Randpunkte ermöglicht (sonst wird der Solver keine Lösung finden). Lösen Sie Ihr Modell mit DONLP2 und lassen Sie sich das Ergebnis wieder grafisch veranschaulichen. 3

4 P2. Optimales Design eines Gebäudes In der Hausaufgabe H1 wurde folgendes Problem zum optimalen Design eines Gebäudes behandelt: Ein quaderförmiges Gebäude soll optimal dimensioniert werden. Bezeichne l die Länge, b die Breite, h die Höhe (über Grund) und t die Tiefe (unter Grund) des Gebäudes. Der Bauherr stellt folgende Anforderungen, wobei zur Vereinfachung die Dicke der Wände und der Böden bzw. Decken vernachlässigt wird: (1) Das Gebäude soll mindestens so lang, aber höchstens doppelt so lang wie breit sein. (2) Die Länge l des Gebäudes darf 40 m nicht überschreiten. (3) Die Höhe h des Gebäudes über Grund darf dessen Länge nicht unterschreiten. (4) Alle Stockwerke sollen eine einheitliche Höhe von mindestens 3,50 m haben. (5) Mindestens 10%, aber höchstens 25% des Gebäudes sollen unter der Erde liegen. (6) Der Boden des Erdgeschosses soll ebenerdig sein. (7) Die durch alle Stockwerke des Gebäudes bereitgestellte Bodenfläche soll in der Summe mindestens m 2 betragen. (8) Die durchschnittlichen jährlichen Heizkosten werden mit 100 Euro pro m 2 der über Grund liegenden Außenfläche des Gebäudes angesetzt. Die jährlichen Gesamtkosten für Heizung sollen Euro nicht überschreiten. Das Gebäude soll nun unter den angegebenen Bedingungen so dimensioniert werden, dass die Menge des für den Bau des Gebäudes auszuhebenden Erdreichs minimal ist. Eine mathematische Formulierung in Form eines restringierten Optimierungsproblems ist: min blt u.d.n. 0 b l, 0 l 2b, (P) h l, l 40, s 3.50, h 9t, h 3t, t = sn t, n t N, h = sn h, n h N, (n h + n t )bl 10000, 100(2hl + 2bh + bl) wobei b,h,l,n h,n t,s und t die Unbekannten sind. Dabei bezeichnet s die einheitliche Stockwerkshöhe und n t und n h jeweils die Anzahl der Stockwerke unter und über der Erde. 4

5 a) Wir modellieren das Problem wieder mit AMPL. Dabei nehmen wir vorerst die Ganzzahligkeitsrestriktionen von n t und n h nicht auf und ersetzen diese durch n t = 3 und n h = 9. Eine entsprechende AMPL-Datei finden Sie auf der Homepage des Rechnerpraktikums. Laden Sie sich dort die Datei optdes.mod in Ihr Arbeitsverzeichnis herunter. Vergleichen Sie den Inhalt der Datei mit der Aufgabenstellung. Wir haben die Ganzzahligkeitsrestriktionen von n t und n h weggelassen. Dies hat einen guten Grund. Die Solver SNOPT, MINOS und DONLP2 beinhalten nichtlineare Optimierungsverfahren, welche keine Ganzzahligkeitsnebenbedingungen behandeln können. Wir setzen erst einmal - recht willkürlich - die Anzahl der Stockwerke auf n t = 3 und n h = 9 und optimieren bezüglich der anderen Variablen: option solver donlp2; model optdes.mod; Kann man von der Lösung dieses Problems auf Eigenschaften der Lösung des Ursprungproblems schließen? b) Probieren Sie weitere Paare (n t,n h ) aus, indem Sie für diese feste Werte vorgeben und dann das Optimierungsproblem lösen. Versuchen Sie die optimale Lösung des Ursprungsproblems (P) zu erraten. c) Betrachten Sie nun anstelle von (P) das sogenannte relaxierte Problem (P ). Dabei werden die Ganzzahligkeitsbedingungen einfach weggelassen und in diesem Fall durch n t 0 und n h 0 ersetzt: min blt u.d.n. 0 b l, 0 l 2b, (P ) h l, l 40, s 3.50, h 9t, h 3t, t = sn t, n t 0, h = sn h, n h 0, (n h + n t )bl 10000, 100(2hl + 2bh + bl) Setzen Sie dies in Ihrem Modell um und lösen Sie das relaxierte Problem mit DONLP2 und SNOPT. Welche Meldungen kommen von den Lösern? d) Optimierungsverfahren haben meistens größere Erfolgschancen, wenn bereits ein guter Startpunkt gewählt wird. In AMPL können Startpunkte bei der Deklaration der Variablen angegeben werden. Falls zum Beispiel ein Startpunkt b = 31.5 gewünscht ist, so ersetzt man in der Modell-Datei optdes.mod die Deklaration von b durch: var b >= 0 := 31.5; Setzen Sie dies nun für alle Variablen um. Ein geeigneter Startpunkt wäre beispielsweise: b = 31.5, h = 31.5, l = 31.5, n h = 9, n t = 3, s = 3.5, t =

6 Lösen Sie das relaxierte Problem mit diesem Startpunkt wieder mit SNOPT und DONLP2. Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse der Löser. Widersprechen sich die Lösungen? Kann man von diesen Lösungen auf die Lösung von (P) schließen? e) Bis jetzt haben wir hauptsächlich die beiden Löser DONLP2 und SNOPT benutzt. Alternativ kann man natürlich auch andere Solver benutzen. Für die Lösung von (P) bietet sich ein Löser an, welcher nichtlineare Optimierungsprobleme mit mixed-integer Nebenbedingungen lösen kann. Ein solcher Löser ist BONMIN, welcher frei verfügbar ist. Allerdings ist das Installieren von BONMIN etwas komplizierter, da man den Code selbst kompilieren muss und zudem noch weitere Softwarepakete benötigt werden, welche man zuvor installieren muss. Alternativ kann man auf den Server NEOS ( zurückgreifen. NEOS ist ein Server, dem man seine Optimierungsprobleme zuschicken kann und welcher diese dann löst. Den Lösungsprozess kann man direkt verfolgen (wie auf einem Terminal) und sich die Lösung auch per zuschicken lassen. Dies hat mehrere Vorteile: Zum einen hat NEOS deutlich mehr Rechnerkapazität als ein durchschnittlicher PC und zum anderen kann man mit NEOS auch Solver nutzen, die ansonsten nicht frei verfügbar sind. Außerdem kann man verschiedene Löser schnell nutzen ohne sie vorher lokal installieren zu müssen. Auf der Seite finden Sie eine Übersicht von Lösern, welche Sie über NEOS aufrufen können. In den eckigen Klammern stehen die Interfaces mit denen eine Eingabe des Modells möglich ist - ein Interface ist beispielsweise die Eingabe über AMPL-Model-Files. Im Bereich Mixed Integer Nonlinearly Constrained Optimization finden Sie den Löser BONMIN, welcher ein AMPL-Interface unterstützt. Zuerst müssen wir aber unser Modell in AMPL anpassen. Die Ganzzahligkeit von n t und n h lässt sich durch die Einträge var nt >= 0 integer; var nh >= 0 integer; gewährleisten. In unseren Modell-Dateien hatten wir bisher immer die Modellierung des Problems mit Zielfunktion und Nebenbedingungen sowie die Kommandobefehle solve und display in eine Datei mit der Endung.mod geschrieben. Man kann diese Kommandobefehle auch in eine separate Datei schreiben, was das bevorzugte Eingabeformat für NEOS ist. Eine solche Problemformulierung kann auf der Homepage zum Rechnerpraktikum heruntergeladen werden. Laden Sie dort die beiden Dateien optdes2.mod und optdes2.com in Ihr Arbeitsverzeichnis. Nun können wir NEOS mit dem Lösen des Problems beauftragen: Gehen Sie auf und wählen Sie dort bei BONMIN das AMPL-Interface. Auf der folgen- 6

7 den Seite haben Sie nun die Möglichkeit die beiden Dateien hochzuladen. Im Bereich Model File können Sie über den Browse-Button Ihre Datei optdes2.mod auswählen, im Bereich Commands File die Datei optdes2.com. Geben Sie dann noch Ihre -Adresse ein, falls Sie die Lösung zugeschickt haben möchten und klicken Sie auf den Button Submit to NEOS. Daraufhin wird der Löser gestartet. Vergleichen Sie die Lösung mit Ihrer bisherigen Vermutung. 7