C1/4 - Modellierung und Simulation von Neuronen

Transkript

1 C 1 /4 - Modellierung und Simulation von Neuronen April 25, 2013

2 Motivation Worum geht es?

3 Motivation Worum geht es? Um Neuronen.

4 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus

5 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle

6 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum?

7 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert

8 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert Für KI

9 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert Für KI Um neurologische Krankheiten (z.b. Epilepsie, Parkinson... ) zu verstehen

10 Motivation Worum geht es? Um Neuronen. Da ist u.a. euer Gehirn draus Genauer: Um mathematische Modelle Und Warum? Um herauszufinden, wie Denken/Lernen/Signalübertragung funktioniert Für KI Um neurologische Krankheiten (z.b. Epilepsie, Parkinson... ) zu verstehen Für Mensch/Maschine-interfaces...

11 Anatomie eines Neurons

12 Anatomie eines Neurons - Zellkörper

13 Anatomie eines Neurons - Zellkörper Ionenkanäle machen die Membran halbdurchlässig für bestimmte Ionen.

14 Anatomie eines Neurons - Zellkörper Ionenkanäle machen die Membran halbdurchlässig für bestimmte Ionen. Ionenpumpen bauen Konzentrationsgefälle auf (Ruhepotential)

15 Anatomie eines Neurons - Zellkörper Ionenkanäle machen die Membran halbdurchlässig für bestimmte Ionen. Ionenpumpen bauen Konzentrationsgefälle auf (Ruhepotential) Zellkern macht hauptsächlich Zell-Metabolismus

16 Anatomie eines Neurons - Dendriten

17 Anatomie eines Neurons - Dendriten Nehmen Signale anderer Neuronen auf

18 Anatomie eines Neurons - Dendriten Nehmen Signale anderer Neuronen auf Sind stark verzweigt und normalerweise viele

19 Anatomie eines Neurons - Dendriten Nehmen Signale anderer Neuronen auf Sind stark verzweigt und normalerweise viele Können exitatorisch (anregend) oder inhibitorisch (hemmend) sein

20 Anatomie eines Neurons - Axon

21 Anatomie eines Neurons - Axon Generiert das Aktionspotential (das Neuron feuert )

22 Anatomie eines Neurons - Axon Generiert das Aktionspotential (das Neuron feuert ) Leitet das AP an andere Neuronen (z.b. auch durch den gesamten Körper)

23 Anatomie eines Neurons - Synapsen

24 Anatomie eines Neurons - Synapsen Hier docken Dendriten anderer Neuronen an

25 Anatomie eines Neurons - Synapsen Hier docken Dendriten anderer Neuronen an Signalübertragung meistens chemisch (Neurotransmitter), manchmal elektrisch

26 Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten?

27 Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten? Einfachste Möglichkeit: Lineare Überlagerung: v Soma = a i v i i Dendriten

28 Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten? Einfachste Möglichkeit: Lineare Überlagerung: v Soma = a i v i i Dendriten Man sieht, dass dies das Produkt des Zeilenvektors der Gewichte mit dem Spaltenvektor der Inputs ist.

29 Künstliche Neuronale Netze Fragestellung: Wie beeinflussen sich die einzelnen Inputs der Dendriten? Einfachste Möglichkeit: Lineare Überlagerung: v Soma = a i v i i Dendriten Man sieht, dass dies das Produkt des Zeilenvektors der Gewichte mit dem Spaltenvektor der Inputs ist. Nummerieren wir die Neuronen mit 1,..., n durch und nennen wir a ij das Gewicht, mit dem der Output von Neuron i für das Neuron j gewichtet wird, erhalten wir: v Soma = A v Out

30 Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation schnell.

31 Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben: ϕ: R n R n 1 v i > v thresh v i 0 sonst v Out = ϕ (A v Out)

32 Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben: ϕ: R n R n 1 v i > v thresh v i 0 sonst v Out = ϕ (A v Out) Wir können solche Netze verschiedener Größe kombinieren und mit verschiedenen Regeln ausstatten und erhalten so küntliche Intelligenz

33 Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben: ϕ: R n R n 1 v i > v thresh v i 0 sonst v Out = ϕ (A v Out) Wir können solche Netze verschiedener Größe kombinieren und mit verschiedenen Regeln ausstatten und erhalten so küntliche Intelligenz Gut bei Klassifizierungsproblemen, schlecht bei ungefähr allem anderen

34 Küntliche Neuronale Netze Wir erhalten die Spannung am Zellkörper durch Matrixmultiplikation schnell. Wir wollen ein binäres Outputsignal haben: ϕ: R n R n 1 v i > v thresh v i 0 sonst v Out = ϕ (A v Out) Wir können solche Netze verschiedener Größe kombinieren und mit verschiedenen Regeln ausstatten und erhalten so küntliche Intelligenz Gut bei Klassifizierungsproblemen, schlecht bei ungefähr allem anderen Großes Thema andere C 1 /4?

35 Punktneuronen - Integrate and Fire Fragestellung: Wie wird am Axonhügel das Aktionspotential generiert?

36 Punktneuronen - Integrate and Fire Fragestellung: Wie wird am Axonhügel das Aktionspotential generiert? Wir können die Zellmembran als Kondensator betrachten: Q = Cv C v = I

37 Punktneuronen - Integrate and Fire Fragestellung: Wie wird am Axonhügel das Aktionspotential generiert? Wir können die Zellmembran als Kondensator betrachten: Q = Cv C v = I Dieses System konvergiert (ohne spiking) gegen einen Gleichgewichtszustand. Wir führen ein manuelles spiken ein: Ist v(t) > v thresh, rufen wir spike und setzen v(t) = v reset

38 Punktneuronen - Integrate and Fire v 0 I t

39 Punktneuronen - Leaky Integrate and Fire Zellmembran ist kein Isolator, sondern Halbdurchlässig für bestimmte Ionen Lösung: Leckstrom-Term: C v = I v R

40 Punktneuronen - Leaky Integrate and Fire v 0 I t

41 Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell,...

42 Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell,... Krönung der Punktneuronen-Modelle: Hodgkin-Huxley

43 Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell,... Krönung der Punktneuronen-Modelle: Hodgkin-Huxley Wir ergänzen den Leckstrom mit mehreren, spannungsabhängigen Ionenströmen: C v = g L (v v L ) + I i = g L (v v L ) + g i (t, v)(v v L ) i i

44 Punktneuronen - Hodgkin-Huxley In ähnlicher Weise geht es weiter: Izhikevic-Modell, IFAdEx-Modell,... Krönung der Punktneuronen-Modelle: Hodgkin-Huxley Wir ergänzen den Leckstrom mit mehreren, spannungsabhängigen Ionenströmen: C v = g L (v v L ) + I i = g L (v v L ) + g i (t, v)(v v L ) i g i (t, v) = ḡ i m i (t, v) p i h i (t, v) q i Modell: ḡ i ist die maximale Leitfähigkeit, jedes m i ein anregendes Tor, jedes h i ein hemmendes Tor (jeweils mit Werten in [0, 1]), beschrieben durch: ṁ i = α i (v)(1 m i ) β i (v)m i ḣ i = γ i (v)(1 h i ) δ i (v)h i i

45 Punktneuron - Hodgkin-Huxley 120 Potential Applied current density 100 Potential v [ms] and current density I [ua/cm 2 ] t [ms]

46 Punktneuron - Hodgkin-Huxley v I/3 mn h 2 v (in mv) I and m/h/n (dimensionless) t (in ms)

47 Räumliche Modelle - Kabeltheorie Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig

48 Räumliche Modelle - Kabeltheorie Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder

49 Räumliche Modelle - Kabeltheorie Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder Die Membran wird modelliert als Kombination aus Kondensator und Widerstand

50 Räumliche Modelle - Kabeltheorie Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder Die Membran wird modelliert als Kombination aus Kondensator und Widerstand Das Zellplasma (entlang der Stromrichtung) wird als Ohmscher Widerstand modelliert

51 Räumliche Modelle - Kabeltheorie Für Modellierung neuronaler Netze u.ä. sind Informationen über Signalausbreitung/Verzögerung innerhalb des Neurons nötig Modellierung des Dendriten-Baumes als Folge verzweigter Zylinder Die Membran wird modelliert als Kombination aus Kondensator und Widerstand Das Zellplasma (entlang der Stromrichtung) wird als Ohmscher Widerstand modelliert Partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für jeden Abschnitt

52 Fragen?