Mathematik. Mathematik an Stationen 8 Gymnasium. an Stationen. Lineare Funktionen. Nathalie Mang Tanja Zimmermann

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1 Nathalie Mang Tanja Zimmermann Mathematik an Stationen 8 Gmnasium Gmnasium Nathalie a Mang / Tanja Zimmermann ma Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik an Stationen bungsmaterial al zu den ildungsstandards ndardsd

2 Mathematik an Stationen 8 Gmnasium Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Mathematik an Stationen 8 Gmnasium Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web.

3 Vorwort Bei den vorliegenden Stationsarbeiten handelt es sich um eine Arbeitsform, bei der unterschiedliche Lernvoraussetzungen, unterschiedliche Zugänge und Betrachtungsweisen und unterschiedliche Lern- und Arbeitstempi der Schüler Berücksichtigung finden. Die Grundidee ist, den Schülern einzelne Arbeitsstationen anzubieten, an denen sie gleichzeitig selbstständig arbeiten können. Die Reihenfolge des Bearbeitens der einzelnen Stationen ist dabei ebenso frei wählbar wie das Arbeitstempo und meist auch die Sozialform. Innerhalb einer Stationsarbeit können Sie als Lehrkraft Stationen als Wahlstationen und als Pflichtstationen deklarieren (siehe Laufzettel). Diese Zuteilung haben wir bewusst nicht vorgegeben, sie liegt in Ihrem jeweiligen Ermessen. Als dominierende Unterrichtsprinzipien sind bei allen Stationen die Schülerorientierung und Handlungsorientierung aufzuführen. Schülerorientierung meint, dass der Lehrer in den Hintergrund tritt und nicht mehr im Mittelpunkt der Interaktion steht. Er wird zum Beobachter, Berater und Moderator. Seine Aufgabe ist nicht das Strukturieren und Darbieten des Lerngegenstandes in kleinsten Schritten, sondern durch die vorbereiteten Stationen eine Lernatmosphäre zu schaffen, in der die Schüler sich Unterrichtsinhalte i eigenständig erarbeiten bzw. Lerninhalte festigen und vertiefen efen können. nen. Handlungsorientierung meint, dass das angebotene Material und die Arbeitsaufträge für sich selbst sprechen. Der Unterrichtsgegenstand und die zu gewinnenden Erkenntnisse werden nicht durch den Lehrer dargeboten, sondern durch die Auseinandersetzung erset ung mit dem Material und die eigene Tätigkeit gewonnen und begriffen. Mit dieser Veröffentlichung möchten wir wie bereits oben angesprochen en Materialien zur Verfügung stellen, die an die unterschiedlichen nlernvoraussetzungen von Schülern anknüpfen. Jeder Einzelne erhält seinen eigenen Zugang zum inhaltlichen Lernstoff. Die einzelnen en Stationen ermöglichen das Lernen mit allen Sinnen bzw. unter Nutzung der verschiedenen Eingangskanäle. Dabei werden sowohl visuelle (sehorientierte) erte als auch haptische (fühlorientierte) und auch intellektuelle Lerntpen angesprochen. en. An dieser Stelle werden auch gleichermaßen die brunerschen Repräsentationsebe- nen (enaktiv bzw. handelnd, ikonisch bzw. visuell und smbolisch) mit einbezogen. Aus Ergebnissen der Wissenschaft ist bekannt: Je mehr Eingangskanäle angesprochen werden, umso besser und langfristiger wird Wissen gespeichert und damit umso fester verankert. Das vorliegende Arbeitsheft unterstützt in diesem Zusammenhang das Erinnerungsvermögen, neru das nicht nur an Einzelheiten, an Begriffe und Zahlen geknüpft ist, sondern häufig auch an die Lernsituation. Für jedes der fünf mathematischen matisc Themen wird zusätzlich eine Lernkontrolle angeboten, mit deren Hilfe Sie den Lernerfolg Ihrer Schüler genau feststellen können. Im besonderen Maße unterstützt das vorliegende Arbeitsheft die in den Bildungsstandards für das Fach Mathematik formulierten allgemeinen mathematischen Kompetenzen. In diesem Zusammenhang wird in den verschiedenen Aufgaben immer wieder auf das Problemlösen, auf das Modellieren, auf das Kommunizieren, auf das Argumentieren, auf das Verwenden von mathematischen Darstellungen und auf das Umgehen mit smbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik eingegangen. Aufgrund der besseren Lesbarkeit werden in diesem Band ausschließlich die männlichen Formen verwendet. Wenn von Schüler gesprochen wird, ist immer auch die Schülerin gemeint, ebenso verhält es sich mit Lehrer und Lehrerin usw.

4 Jeder Aufgabe wurde außerdem ein entsprechender Anforderungsbereich aus den Bildungsstandards zugeordnet : Anforderungsbereich I: Reproduzieren Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang. Anforderungsbereich II: Zusammenhänge herstellen Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung mit Mathematik auf verschiedenen Gebieten erworben wurden. Anforderungsbereich III: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten kompleer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, en, Interpretationen retationen oder Wertungen zu gelangen. Die entsprechende Angabe befindet sich in Klammern hinter einer jeden Aufgabe. Dabei steht R für den Bereich Reproduzieren, Z für den Bereich Zusammenhänge herstellen ellen und V für den Bereich Verallgemeinern und Reflektieren. Vgl.: / bildung-schule / qualitätssicherung-in-schulen / bildungsstandards / ueberblick.html

5 Station Aufgabe (R) Funktionsmemor Schneide die Kärtchen aus, lege sie verdeckt auf den Tisch und vermische sie. Danach könnt ihr mit bis Personen das Memor spielen. Wichtig: Funktionsgleichung und passender Funktionsgraph gehören zusammen. Habt ihr ein Pärchen gefunden, dürft ihr erneut ziehen. Der Spieler mit den meisten Pärchen hat gewonnen. = = = + = =, = =, +, = + = + =

6 Station Aufgabe (R) Funktionen legen Hier arbeitet ihr zu zweit. Ein Schüler nennt eine Funktionsgleichung und der andere Schüler legt die Funktion im Koordinatensstem mit dem Geradenstreifen

7 Station Aufgabe Frau Hofmann hat eine Fahrradtour unternommen und dazu ein passendes Zeit-Weg-Diagramm erstellt. Kreuze passende Aussagen zum Diagramm an. Die Tour ging dreimal bergauf, zweimal war die Strecke flach. Leider ging es nie bergab. Nach min wurde die erste Rast eingelegt. Die erste Rast dauerte min. Nach 7 min sind wir sehr schnell gefahren. Nach 8 min war die Tour beendet. Die Tour verlief über insgesamt km. Im letzten Abschnitt sind wir sehr schnell gefahren. Graphen richtig interpretieren Entfernung in km 9 8 Zeit in min Aufgabe Hier arbeitet ihr zu zweit. Nur ein Schüler schaut sich den Funktions- graphen an. Er schreibt alleine eine passende Geschichte zum Funktionsgraphen. Anschließend bekommt der Partner die Geschichte. Daraufhin zeichnet er ein Zeit-Weg-Diagramm. Vergleicht es anschließend mit dem ursprünglichen Funktionsgraphen. Entfernung zur Schule Zeit

8 Station Aufgabe (R) Funktion oder keine Funktion? Handelt es sich bei den unten abgebildeten Graphen bzw. Zuordnungen um eine Funktion oder nicht? Nicht Zutreffendes bitte streichen. Begründe deine Entscheidung. a A E F G a B D C H Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Name Personalausweisnummermer Umfang eines Quadrates Flächeninhalt des Quadrates Fahrtkosten für eine Zugfahrt Streckenlänge der Zugfahrt Funktion n/ke keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Aufgabe (R) Fülle die Lücken aus. Definition: Eine Funktion ist eine bei der jedem -Wert (Definitionsbereich) -Wert (Wertebereich) zugeordnet wird.

9 Aufgabe (R) Zeichne in jede Funktionsgerade ein Steigungsdreieck ein und notiere den Wert der Steigung. m a = Station Steigungen d a m b = m c = m d = c b Aufgabe (R) Zeichne folgende Graphen in das obere e Koordinatensstem ein: a) = b) = c) = Aufgabe (R) Fülle die Lücken aus: Auf verschiedenen Verkehrsschildern wird eine von % angegeben. Das bedeutet, dass auf einer waagrechten (horizontalen) Streckenlänge ( -Achse) von m ein Höhenunterschied ( -Achse) von m überwunden wird. 7

10 Station Aufgabe (Z) Geraden Notiere zu jedem Funktionsgraphen die passende Funktionsvorschrift bzw. Funktionsgleichung. ƒ ƒ ƒ : = ƒ : = ƒ : = ƒ Aufgabe (Z) Zeichne folgende Geraden in das Koordinatensstem ein: a) Gerade durch P ( ) und Q ( ) b) m =,, R ( ) c) = d) =, + e) = 8

11 Station 7 Aufgabe (Z) Graphen aus dem Alltag Die unten abgebildeten Gefäße werden gleichmäßig mit Wasser befüllt. Im Funktionsgraphen wurde die Füllzeit in Abhängigkeit von der Wasserhöhe dargestellt. Verbinde die Gefäße mit dem passenden Funktionsgraphen. Aufgabe (Z) Ordne der jeweiligen Sportart das passende sende Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm zu. Verbinde. Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit Zeit Zeit Zeit 9

12 Station 8 Aufgabe (R) Punktüberprüfung Welcher Punkt liegt auf welchem Funktionsgraphen? Ordne zu. P ( ); P ( ); P ( ); P ( ); P ( ); P ( ); P 7 ( ); P 8 ( ); P 9 ( ); P (, ) ƒ : ƒ ƒ ƒ ƒ : ƒ : Aufgabe (R) Welche Punkte gehören zum Graphen der angegebenen Funktionsgleichung? Überprüfe rechnerisch. ƒ : = ƒ : = ƒ : = +, ƒ : = P ( ); P ( 9); P (,); P ( ); P ( ); P (,,7); P 7 ( ); P 8 (,) ƒ : ƒ : ƒ : ƒ :

13 Station 9 Aufgabe (Z) Anwendungsaufgaben a) Ein Schwimmbad wird mit Wasser gefüllt. Pro Minute fließen 8 l Wasser in das Becken. Wie viel Liter Wasser befinden sich nach Minuten ( Minuten / Minuten / Minuten) im Becken? b) Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der man die Wassermenge (in Litern) nach Minuten berechnen kann. c) Zeichne die dazugehörige Funktionsgleichung von = bis =. Aufgabe (Z) a) Tim fliegt mit seinen Eltern in einem Jumbojet von Paris nach New York. Das Flugzeug legt mit einer Reisegeschwindigkeit von 8 km / h die km lange Strecke zurück. Zur selben Zeit startet ein Flugzeug in New York, um mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 8 km / h nach Paris zu fliegen. In dieser Maschine sitzt Tims Tante Lill. Tim überlegt nun, zu welchem Zeitpunkt und nach wie vielen Kilometern beide Flugzeuge zeitgleich über denselben Ort fliegen. Löse dieses Problem für Tim. b) In New York angekommen nimmt sich Tims Familie einen Leihwagen. Der Wagen kostet täglich eine Grundgebühr von umgerechnet Euro und zusätzlich bezahlt man für jeden gefahrenen Kilometer Cent. Die Familie fährt während ihres New York Aufenthaltes 8 km. Wie viel muss Tims Vater an die Autovermietung zahlen? c) Tims Vater ist sehr sparsam und möchte keinesfalls mehr als an die Autovermietung zahlen. Lieber würde er weniger Sehenswürdigkeiten besichtigen. Wie viele Kilometer kann Tims Familie fahren, ohne einen Preis von zu überschreiten?

14 Station Aufgabe (R) Geraden-Gleichungen Stelle die zugehörigen Geraden-Gleichungen auf und zeichne die Geraden in das Koordinatensstem ein. a) m = 7 und b = b) m = und P ( ) c) P ( ) und Q ( ) d) P ( 9 ) und Q ( 8) Aufgabe (R) Liss hat sich für Samstag einen Besuch an einem Badesee vorgenommen. Zur Auswahl stehen zwei verschiedene Seen. Der Eintritt am Badesee Sonne kostet, dafür bekommt man dann jedes Getränk für einen Euro. Am Badesee Blau kostet der Eintritt, dafür kosten die Getränke jeweils. An beiden Badeseen darf man keine eigenen Speisen und Getränke mitbringen. a) Stelle für jeden Badesee eine Funktionsgleichung auf, mit der man die anfallenden Kosten berechnen kann. b) Welchen Badesee würdest du Liss empfehlen? Wovon machst du dabei deine Entscheidung abhängig?

15 Station Lineare Gleichungsssteme Aufgabe (R) Berechne jeweils den Schnittpunkt der beiden Geraden. Überprüfe dein Ergebnis graphisch. a) ƒ : = 8 ƒ : = + b) ƒ : =, + 8 ƒ : = Aufgabe (R) Franz kauft an der Süßwarentheke zwei große rote Gummischnüre und drei große Schokoladeneier. Er zahlt dafür 9,. Lina hat an der gleichen Theke drei große rote Gummischnüre und zwei große Schokoladeneier für, gekauft. Franz behauptet, dass die Schokoladeneier viel günstiger waren als die Gummischnüre. Lina ist sich da nicht so sicher. Was haben die beiden für eine Gummischnur bzw. ein Schokoladenei bezahlt? Aufgabe (R) Tim kauft seiner Freundin Mara zum Valentinstag einen Blumenstrauß aus Rosen und Ranunkeln. Eine Rose kostet, und eine Ranunkel kostet,8. Für einen Strauß mit Blumen zahlt Tim. Wie viele Blumen von jeder Sorte hat Tim gekauft?

16 Lernkontrolle Aufgabe (R) Welche Punkte gehören zum Funktionsgraphen? Überprüfe rechnerisch. ƒ: = Lernkontrolle () P ( ); P ( ); P ( ); P (, ); P ( ) Aufgabe (Z) Handelt es sich um eine Funktion oder nicht? Begründe deine Entscheidung. Umfang eines Rechtecks cks Flächeninhalt des Rechtecks ƒ Funktion / keine Funktion, weil Funktion / keine Funktion, weil Aufgabe (R) Zeichne alle drei Funktionsgraphen nin ein Koordinatensstem. Beschrifte edie Geraden mit ƒ, ƒ bzw. ƒ. a) ƒ : = ƒ : = + ƒ : =

17 Lernkontrolle Aufgabe (Z) Notiere zu jedem Funktionsgraphen die Funktionsgleichung. Lernkontrolle () ƒ ƒ ƒ : = ƒ : = ƒ : = Aufgabe (Z) Die Grundgebühr für einen Mietwagen kostet bei Auto-Rent 8 pro Tag. Pro gefahrenem Kilometer müssen zusätzlich 8 Cent bezahlt werden. a) Herr Schneider hat das Auto insgesamt 7 km ( km / 8 km) gefahren. Wie viel muss er jeweils bezahlen? ƒ b) Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der man den Preis in Abhängigkeit der gefahrenen Kilometer berechnen kann. c) Zeichne die Funktionsgerade zu b).

18 Lernkontrolle Aufgabe (Z) Lernkontrolle () Tobias ist in den Ferien gewandert und hat eine Route in einem Zeit-Weg-Diagramm notiert. Kreuze wahre Aussagen zum Diagramm an. Die Route ging nie bergab. Nach min haben wir die erste Rast eingelegt. Nach der ersten Rast sind wir am schnellsten gelaufen. Gleich nach Beginn der Route sind wir am schnellsten gelaufen. Die Pausen dauerten insgesamt min. 9 8 Die gesamte Wanderstrecke war, km lang. Zeit in min Gelaufene Strecke in km Aufgabe 7 (Z) Die unten abgebildeten Gefäße werden en gleichmäßig mit Wasser befüllt. Im Funktionsgraphen wurde die Füllzeit in Abhängigkeit von der Wasserhöhe dargestellt. lt. Verbinde die Gefäße mit dem passenden Funktionsgraphen.

19 Lernkontrolle Aufgabe 8 (R) Lernkontrolle () Berechne die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte P( 8) und Q( ) geht. Aufgabe 9 (R) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden = 7 und = +. Aufgabe (R) Tinas Mutter arbeitet in einer Schokoladenfabrik, die verschiedene Sorten leckerer Pralinenmischungen herstellt. Die neuste Pralinenmischung enthält weiße Champagnertrüffel fel und braune Nougat-Mandel-Trüffel. Ein Kilo Champagnertrüffel kostet im Werksverkauf, ein Kilo Nougat-Mandeltrüffel kostet 8. Ein Kilo der neuen Mischung soll im Werksverkauf erkauf,9 kosten. Aus wie viel Gramm Champagnertrüffel und wie viel Gramm Nougat-Mandel-Trüffel setzt sich die neue Pralinenmischung zusammen? 7

20 Station : Funktionenmemor Seite = =, Lösungen: Lineare Funktionen = = + = = + =, +, = = + = Station : Funktionen legen Seite keine Lösungsangabe möglich 8

21 Station : Graphen richtig interpretieren Seite ) Angekreuzt sein müssen: Nach min wurde die erste Rast eingelegt. Nach 7 min sind wir sehr schnell gefahren. Nach 8 min war die Tour beendet. Die Tour verlief über insgesamt km. Lösungen: Lineare Funktionen ) Hier sind beliebig viele verschiedene Lösungen möglich. Station : Funktion oder keine Funktion? Seite ) Keine Funktion, weil einigen -Werten mehrere -Werte zugeordnet sind. Funktion, weil jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. Keine Funktion, weil = viele -Werte zugeordnet werden. Keine Funktion, weil einigen -Werten mehrere -Werte zugeordnet sind. Keine Funktion, weil einigen -Werten mehrere -Werte zugeordnet sind. Funktion, weil jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. Funktion, weil jedem Namen genau eine Personalausweisnummer zugeordnet wird. Funktion, weil jedem Umfang eines Quadrats genau ein Flächeninhalt zugeordnet wird. Keine Funktion, weil einem bestimmten Fahrpreis unterschiedliche Streckenlängen zugeordnet werden. en. ) Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem -Wert (Definitionsbereich) genau ein -Wert (Wertebereich) zugeordnet wird. Station : Steigungen Seite 7 ) d a ) c a b c b m a =, m b =, m c = m d = ) Auf verschiedenen Verkehrsschildern wird eine Steigung von % angegeben. Das bedeutet, dass auf einer waagrechten (horizontalen) Streckenlänge (-Achse) von m ein Höhenunterschied (-Achse) von m überwunden wird. 9

22 Station : Geraden Seite 8 ) ƒ : = +, ƒ : = ƒ : =,, ) a d Q c P Lösungen: Lineare Funktionen R b e Station 7: Graphen aus dem Alltag () Seite 9 p g p ) ) Geschwindigkeit Geschwindigkeit Geschwindigkeit Zeit Zeit Zeit

23 Station 8: Punktüberprüfung Seite ) ƒ : P ; P ; P 8 ; P ƒ : P ; P ƒ : P ; P ) ƒ : P ; P ƒ : P ƒ : P ; P 8 ƒ : P Station 9: Anwendungsaufgaben Seite Lösungen: Lineare Funktionen ) a) Zeit in min ) a) = 8; = 8 + Volumen in l 8 9 Nach ca. h und 7 min. Flugzeug hat zu dieser Zeit ca. 878 km zurückgelegt, Flugzeug ca. km. b) = 8 c) b) =, + Tims Vater muss an die Autovermietung zahlen. Volumen = 8 c) =, + in l Sie dürfen maimal km fahren. Bei km müssten sie genau bezahlen. Zeit in min Station : Geraden-Gleichungenngen Seite ) = 7 + = + = + d = a b c ) Sonne = +, Blau = + Wenn es ein heißer Tag ist und Liss viel Durst hat, sollte sie an den Badesee Sonne fahren, da sie beim Konsum von mehr als drei Getränken dort auf alle Fälle weniger bezahlt. Ist es nicht ganz so heiß und will sie nur ein oder zwei Getränke zu sich nehmen, so ist der Badesee Blau günstiger. Trinkt sie drei Getränke, ist es egal, welchen See sie wählt, weil dann die Kosten identisch sind

24 Station : Lineare Gleichungsssteme Seite ) ( ); ( 7) ƒ ƒ ƒ ƒ ) = Anzahl der Gummischnüre, = Anzahl der Schokoladeneier + = 9, =, und + =, =, Die Gummischnüre haben pro Stück, gekostet und die Schokoladeneier pro Stück,. Franz hat also recht mit seiner Behauptung. ) = Anzahl der Rosen, =Anzahl der Ranunkeln + = = und, +,8 = = Tim hat Rosen und Ranunkeln gekauft. Lösungen: Lineare Funktionen Lösungen: Lernkontrolle Seite ) P und P ) ) ƒ ƒ Umfang eines Rechtecks Flächeninhalt des Rechtecks ƒ ) ƒ : =, + ƒ : = + ƒ : = ƒ Funktion, weil jedem -Wert genau ein -Wert zugeordnet wird. Keine Funktion, weil einem Umfang eines Rechtecks mehrere Flächeninhalte zugeordnet werden können.

25 ) a) c) =,8 + 8 gefahrene Kilometer 7 8 Preis in 8,, 7, b) =,8 + 8 ) Angekreuzt sein müssen: Nach min haben wir die erste Rast eingelegt. Preis in 8 8 Lösungen: Lineare Funktionen Nach der ersten Rast sind wir am schnellsten gelaufen. Die gesamte Wanderstrecke war, km lang. 7 Strecke in km 7) 8) P( 8) 8 = m + b Q( ) = m + b 8) P( b = 9 und m = = + 9 9) 7 = + = und = S( ) ) I: + 8 =,9 II: I: + = = II in I: ( ) + 8 =,9 + 8 =,9 7 =, =, II: +, = =,7 = Champagner-Trüffel = Nougat-Mandel-Trüffel Die Mischung setzt sich aus g Champagner-Trüffel und 7 g Nougat-Mandel-Trüffel zusammen.

26 Impressum Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage age GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte eterner Sites, die sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden (inkl. entgangener Gewinne), die auf Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen eternen Websites stehen. Autor: Nathalie Mang, Tanja Zimmermann Illustrationen: Stefan Leuchtenberg, Hendrik Kranenberg, Thorsten Trantow