11. Rekursion. - Wiederholung von Anweisungen: durch Iteration und Rekursion - Anwendungsfälle der Rekursion

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1 11. Rekursion 258 K. Bothe, PI1, WS 2000/ ' ( ) - Wiederholung von Anweisungen: durch Iteration und Rekursion - Anwendungsfälle der Rekursion - induktiv definierte Funktionen - rekursive Problemlösungen - Verarbeitung rekursiver Daten - Komplexitätstheorie: Komplexität von Algorithmen - Vor- und Nachteile der Rekursion $ % & eine Methode heißt r e k u r s i v : ruft sich (direkt oder indirekt) selbst auf int f1 (int n) {... f2 (n-2)..! " " " # int f2 (int n) {... f1 (n-3) * +!, - # K. Bothe, PI1, WS 2000/ / 0 1 / 2 3 / : / K. Bothe, PI1, WS 2000/ induktiv definierte Funktionen ^ _ ` a b ` _ c d e \ ] f c g h g [ \ ] U V Y i X Z j k k k Z V ; < = ; A = B C ; < ; B B E > ; F < B < Fibonacci-Funktion Fakultät, Potenz... < H D I ; J K B D B? > D L ; A B M D F N I B O I P L > < Q B < Sortierverfahren Türme von Hanoi... D B? > D L ; A B D R > C N G > = B D S > A B D G D N B B < = B < T B < Programme (EBNF)-> Compiler Bäume und Listen l V [ \ V m d [ \ ] U X Y i X n o p q ` g g d [ \ ] U V W X Y i U V W X Y Z [ \ ] U V Y n ^ _ ` a b ` _ c d b r g U ] s V Y i ] i ] Z ] Z k k k Z ] l V [ \ V m d b r g U ] s t Y i X n o p q ` g g d b r g U ] s V W X Y i ] Z b r g U ] s V Y

2 K. Bothe, PI1, WS 2000/ u v w x y w v z { induktiv definierte Funktionen (2) n Σ i = n i = 1 ~ ƒ ˆ Š Œ Ž Ž ƒ ˆ ƒ u v w x y w v z { w w š œ w ~ ~ ˆ ~ ˆ Š Œ Ž Ž ~ ˆ ~ ~ K. Bothe, PI1, WS 2000/ rekursive Methode: power static int power (int k, int n) { if (n == 0) return 1; else return k * power ( k, n-1 ); wie in iterativer Lösung: Anzahl Multiplikationen = n effektivere Lösung: Anzahl ca. log n 2 K. Bothe, PI1, WS 2000/ Aufruf von p o w e r K. Bothe, PI1, WS 2000/ zum Nachdenken: effektivere Implementation von power power ( 3, 4 ) 81 n n/2 2 k = ( k ) falls n gerade 3 * power ( 3, 3 ) 3 * power ( 3, 2 ) 3 * power ( 3, 1 ) * power ( 3, 0 ) 1 Anfang: = 1 ž Ÿ ž ª «Ÿ Ÿ ± ² ³ Ÿ n (n-1)/2 2 k = k * k ( ) sonst static int power1 (int k, int n) { if (n == 0) return 1; else { int t = power1(k, n/2); if ((n % 2) == 0) return t*t; else return k*t*t;

3 K. Bothe, PI1, WS 2000/ Effektivitätsvergleich: Anzahl Multiplikationen power: n power1: ca. log 2 n + 2 (exakt: bei Zweierpotenzen) Beispiele: n power d. h. völlig andere Komplexitätsklassen power Anm.: bei n = 1024, k > 1 bereits Überlauf K. Bothe, PI1, WS 2000/ µ ¹ º» ¼ ½ ¾ ¼ ¼ À ¾ Á  à ¾ Ä ¼ Å Ã Æ Ç È É Ê ¹ º ¼» Ë Ã ¼ ¼ Ì Í Î Ç Æ Ã Ï Ã Ç Ã º Î Ð EBNF: Anweisung = Auswahlanweisung... Auswahlanweisung = if ( Ausdruck ) Anweisung [ else Anweisung ] Ñ Ò Ó Ô Õ Ó Ö Ø Ù Õ Ô Ù Õ Ù Ú Û Ü Ý Þ ß Õ à Ô á Þ â ã Û Ó ä à Õ â Ù å Ø æ à Þ ç Õ Ù à æ è Ý Þ ß Õ à Ô á Þ â é Ø Ù Õ Ô Ù Õ Ù à ê ë Þ Þ Õ Ó Þ ç Õ Ó à æ è Ý Þ ß Õ à Ô á Þ â Ö ä à Õ â Õ Þ ì å í à Þ Þ Õ Ó Õ Ý Þ ß Õ à Ô á Þ â Õ Þ ã Û Ó -> rekursiver Aufruf des Anweisungstests K. Bothe, PI1, WS 2000/ Parser : testet in jedem Zustand, ob bestimmte Syntaxeinheit anliegt K. Bothe, PI1, WS 2000/ rekursive Problemlösungen: Türme von Hanoi if ( x > 1 ) x = y ; else { ú û ü ý ï ö ï y = z ; z = 1 ; î ï ð ñ ò ó ô õ ö ï ø ð ó ö ù ÿ û ü ý ï ö ï þ û ü ý ï ö ï A u f g a b e: Scheiben liegen der Größe nach geordnet auf einem Platz A und sollen auf einen Platz C unter Zuhilfenahme eines Platzes B transportiert werden. Randbedingungen: - immer nur eine Scheibe bewegen - niemals größere über einer kleineren Scheibe 1. Ebene: Einstieg in den Algorithmus 2. Ebene: 1. rekursiver Aufruf 3. Ebene: 2. rekursiver Aufruf Einzelheiten: PI 3 (Compilerbau)

4 K. Bothe, PI1, WS 2000/ Aufgabe ( Fortsetzung ): gesucht : Folge von Einzelbewegungen, die zum Ziel führen % java Hanoi Anzahl der Scheiben: 5 Scheibenbewegungen: von A nach C von A nach B von C nach B von A nach C... A B C K. Bothe, PI1, WS 2000/ gesucht : F o l g e von Einzelbewegungen... --> iterativer Algorithmus? --> rekursiver Algorithmus: Zerlegung der Aufgabe in T e i l e #! $! "! " K. Bothe, PI1, WS 2000/ K. Bothe, PI1, WS 2000/ % & ' ( ) * +, ( -, &.. / 0 1 public static void main (String argv[]) { int n; System.out.print ("Anzahl der Scheiben: "); n = Keyboard.readInt(); if (n > 0) {... bewege(n, A, B, C ); else System.out.println ("Zahl nicht positiv"); Plätze durch Zeichen bezeichnet

5 _ J J K. Bothe, PI1, WS 2000/ : 9 3 ; ; < = > static void bewege ( int n, char start, char hilfe, char ziel) { if (n == 1) System.out.println (" von " + start + " nach " + ziel); else { bewege(n-1, start, ziel, hilfe); System.out.println(" von " + start + " nach " + ziel); bewege(n-1, hilfe, start, ziel); Problem --> 3 Teilprobleme (mit 2 rekursiven Aufrufen) K. Bothe, PI1, WS 2000/ Komplexitätsbetrachtungen : Rechenaufwand von Programmen oft wichtig: - vor Entwicklung von Programmen (Lohnt sich die Entwicklung eines Programms überhaupt: rechnet 100 Jahre) - vor Nutzung von Programmen (Welche Eingaben verkraftet das Programm bzgl. der Laufzeit?) java Hanoi Anzahl der Scheiben: 1000 Scheibenbewegungen: von A nach C... Wieviele Ausgaben (welche Zeit)? K. Bothe, PI1, WS 2000/ Komplexitätsbetrachtungen : H a n o i Anzahl der Bewegungen: n K. Bothe, PI1, WS 2000/ v w x y z w { x w w w ~ ~ ƒ x x ˆ ~ w w Š x w ˆ z w ƒ Œ y w x Ž ˆ w ~ x w v ˆ w ~ x w w w ~ w ˆ z y z ~ x ˆ ƒ w Anz !!! J P G G B J D P J R S J T U V W B C D E F G G C H I J K B M J K N O H B F J J ` P J L D Y Z [ \ B H H D X P J R S X T U V W X U X S J ^ X T P J R S J ^ X T U V W X U V ] V W X U V S V W X T ^ X U V ] P J R S J T ^ X (nach Vor.) fertig: Algorithmus verdoppelt die bisher ermittelte Anzahl + 1 Technische Informatik: u e n o f g h i b c j k l d e m n f g o p - Programmiersprachen - Software Engineering - Datenbanken - Compilerbau - Betriebssysteme - Systemanalyse a b c d e c f g h i b c j k l d e m n f g o p (Teilbereiche:) - Algorithmentheorie - Automatentheorie - Berechnungstheorie - formale Sprachen - Codierungstheorie - Komplexitätstheorie - Logik q k r c s n k t f c j k l d e m n f g o p

6 » Ý» K. Bothe, PI1, WS 2000/ Komplexität von Algorithmen Zusammenhang zwischen œ ± ² ² ³ «œ œ ± µ œ š œ œ ž Ÿ œ Ÿ Ÿ š Ÿ n --> n (power) n --> log n (power1) 2 œ œ ª «œ œ n --> 2 n œ œ œ ž ª ž œ K. Bothe, PI1, WS 2000/ Komplexitätsklassen von Algorithmen Ð Î Ä Ñ Ì Ç Ï Ã À Á  à Á Ç Ò Á Â Ó Ó Ó Ô Õ Î Î ¾ É Á Ì ¼ ½ ¾ À À Á Â Ã Â Ä Å Æ Ç ¾ È Ã Á   ½ Â É É Á À Ö Á Ì Á È Ã Â ½ Â Ä ¾ ½ Õ Æ Â É Ç Â É Á À Â Ä Á Ä Á Ê Á  Á Â Ë Á Ì Ã Í Î Ï Â Ç ¾ Î Ç Á Ä Ï å ¹ Þ Û Ø Û à á â ã ä è ¹ Þ Û Ø Û ç å ¹ º Ø Ù Ú Û Ü Ý Ú Þ ß Ü à á â ã ä å æ ¹ º Ú ç Ø Ù à á â ã ä å æ é ø í ù ú û ï ¹ º» é ø í ù ú û ü ï : ý þ ÿ ð ñ Ø ò Ù Ø Û Ú Þ ß Ü à á â ã ä å æ ¹ º ó ¹ ô ¹ Ý Ú ç à á â ã ä å æ â Ý õ ö ã ç ó ¹ ç Û Ú ç à á â ã ä å æ» é ê ë ì í î ï K. Bothe, PI1, WS 2000/ Wertung (Rekursion) :! " # $ nur wenn Lesbarkeit erhöht : rekursive Funktionen rekursive Daten rekursive Problemlösungen rekursive Lösung dort meist die einzige sinnvolle!