Anleitung zum Physikpraktikum für Oberstufenlehrpersonen Absoluter Nullpunkt (AN) Herbstsemester 2015 Physik-Institut der Universität Zürich
Inhaltsverzeichnis 5 Absoluter Nullpunkt der Temperaturskala (AN) 5.1 5.1 Einleitung........................................ 5.1 5.1.1 Ziel des Versuches............................... 5.1 5.2 Theoretischer Teil................................... 5.1 5.2.1 Die Extrapolation der Formel von Amontons................ 5.1 5.2.2 Die Zustandsgleichung für ideale Gase.................... 5.2 5.2.3 Die modernen Temperaturskalen....................... 5.3 5.3 Experimenteller Teil.................................. 5.3 5.3.1 Das Gasthermometer.............................. 5.3 5.3.2 Aufgabenstellung................................ 5.4 5.4 Durchführung der Messungen............................. 5.5 5.4.1 Messung mit Eiswasser............................. 5.5 5.4.2 Messung mit siedendem Wasser........................ 5.6 5.4.3 Messung mit flüssigem Stickstoff....................... 5.7 5.5 Messprotokoll...................................... 5.8 5.5.1 Berechnung des Spannungskoeffizienten α.................. 5.8 5.5.2 Siedetemperatur von Stickstoff........................ 5.9 5.6 Anhang......................................... 5.10 5.6.1 Hinweise zum Ablesen des Luftdruckes.................... 5.10 5.6.2 Tabelle zur Korrektur des Luftdruckes.................... 5.11 5.6.3 Siedetemperatur von Wasser......................... 5.12 5.7 Berechnung der Korrekturen.............................. 5.13 5.7.1 Korrektur wegen der Gefässausdehnung................... 5.13 5.7.2 Korrektur wegen des schädlichen Raumes (Innenvolumen der Verbindungskapillaren).................................... 5.13
5 Absoluter Nullpunkt der Temperaturskala (AN) Vorlesungsabschnitt 3, Thermodynamik 3.1 Einführung und Grundbegriffe 3.1.1 Thermometer - Temperatur 3.2 Zustandsgleichung von Gasen und kinetische Gastheorie 3.2.1 Ideale Gase 5.1 Einleitung Die Untersuchungen über das Verhalten der Gase haben sich in der historischen Entwicklung als der Weg zur Erkenntnis über das Wesen der Temperatur und der Wärme erwiesen. Im Jahre 1661 las R. Townley aus Experimenten von R. Boyle die heute als Boyle-Mariotte sches Gesetz bekannte Verknüpfung zwischen dem Volumen V und dem Druck p eines Gases p V = konstant (Temperatur und Gasmenge konstant) (5.1) heraus. Unabhhängig davon machte E. Mariotte im Jahre 1676 die gleiche Entdeckung. Im Jahre 1703 stellte G. Amontons fest, dass der Druck eines Gases linear mit der Celsius Temperatur t zunimmt. Das Gesetz kann in der Form p(t) = (1 + α p t) (Volumen und Gasmenge konstant) (5.2) geschrieben werden. Fast 100 Jahre später entdeckte L. J. Gay-Lussac, dass auch für das Volumen eine lineare Temperaturabhängigkeit gilt (bei konstantem Druck und konstanter Gasmenge): V (t) = V 0 (1 + α V t) (5.3) Aus dem linearen Verhalten von p(t) hat G. Amontons als erster die mögliche Existenz eines absoluten Nullpunktes der Temperatur vermutet. 5.1.1 Ziel des Versuches Mit einem Gasthermometer soll der Wert für den absoluten Nullpunkt der Temperaturskala bestimmt werden. Dabei geht es um: Thermometer - Temperatur Absolute Temperaturskala Zustandsgleichung von Gasen (ideale Gase) 5.2 Theoretischer Teil 5.2.1 Die Extrapolation der Formel von Amontons Das Gesetz von Amontons (5.2) ist nur bei Temperaturen, die viel höher als die Verflüssigungstemperatur liegen, erfüllt. Bei tieferen Temperaturen wird ein Verlauf von p(t) beobachtet, wie er in Abbildung 5.1 dargestellt ist. Durch Extrapolation des Verhaltens bei hohen Temperaturen (gestrichelte Gerade der Abbildung 5.1) wird die Existenz eines absoluten Nullpunktes der 5.1
Temperaturskala plausibel. Diese Existenz stellt heute eines der Grundpostulate der Thermodynamik dar. Amontons hat bei seinen Untersuchungen insofern Glück gehabt, als er von der auf Quecksilber basierenden Celsiustemperatur ausgegangen ist. Hätte er z. B. ein Wasserthermometer benützt, so wäre auch bei Temperaturen zwischen 0 C und 100 C kein lineares Verhalten aufgetreten. p Verflüssigung Erstarrung -300-200 -100 0 100 C t Abbildung 5.1: Verlauf des Druckes p(t) bei tiefen Temperaturen. Die Erfahrung zeigt, dass der Grenzwert von α p und α V beim Übergang zu sehr hohen Temperaturen gleich wird und nicht von der chemischen Zusammensetzung des Gases abhängt. Es gilt: α p = α V = α mit dem Spannungskoeffizienten α Die Extrapolation des Gesetzes von Amontons (5.2) auf p = 0 liefert für den absoluten Nullpunkt die Formel: t 0 = 1/α (5.4) 5.2.2 Die Zustandsgleichung für ideale Gase Durch die Transformation T = t t 0 (5.5) und mit den Substitutionen (5.4) und t 0 = T 0 können die Formeln von Amontons (5.2) und von Gay-Lussac (5.3) einfacher geschrieben werden: p(t ) = T 0 T bzw. V (T ) = V 0 T 0 T (5.6) T wird als absolute Temperatur bezeichnet. Die beiden Gleichungen stellen Geraden dar, welche die Temperaturachse bei T = 0 schneiden. Die Formeln (5.6) können heute als Spezialfälle der Zustandsgleichung für ideale Gase interpretiert werden. R bezeichnet die universelle Gaskonstante pv = m M R = 8, 31434 10 3 J/kmol K, m die Masse des Gases und M dessen mittleres Molekulargewicht. 5.2 RT (5.7)
5.2.3 Die modernen Temperaturskalen Im Jahre 1954 wurde eine neue Definition der Temperatureinheit festgelegt. Die Einheit der neuen, sog. thermodynamischen Celsius-Temperatur wurde wieder gleich definiert wie die Einheit der absoluten Temperatur (nur die Nullpunkte sind verschieden). Statt wie ursprünglich das Temperaturintervall zwischen dem Gefrierpunkt und dem Siedepunkt von Wasser durch 100 zu dividieren, hat man neu das Intervall zwischen dem absoluten Nullpunkt und dem Tripelpunkt von Wasser 0,E (t) in 273,16000... Teile zerlegt (der Gefrierpunkt liegt 0, 01 C unterhalb des Tripelpunktes von Wasser). Es gilt also: 1 C = 1 K = 0,E(T ) 273, 16000... Die Celsius-Temperatur des absoluten Nullpunktes kann heute sehr genau angegeben werden (t 0 = 273, 150 ± 0, 005 C). Dafür muss aber eine relativ grosse experimentelle Unsicherheit in der Definition der Temperatureinheit in Kauf genommen werden. 5.3 Experimenteller Teil 5.3.1 Das Gasthermometer b v' h m R' P R V G S Abbildung 5.2: Gasthermometer. Das Glasgefäss G ist mit dem zu untersuchenden getrockneten Gas (Helium (blau)) gefüllt. Durch ein Kapillarrohr ist es mit dem weiteren Rohr R verbunden, das seinerseits durch den Schlauch S mit dem Rohr R in Verbindung steht. R, R und S sind mit Quecksilber gefüllt. R und R können längs eines vertikalen Massstabes verschoben werden. Die Stellung der Quecksilberkuppen kann an diesem Massstab abgelesen werden. Unterhalb der Verbindungsstelle des Kapillarrohres mit dem Rohr R befindet sich eine Marke m. Gemessen wird der Druck p des im Gefäss G eingeschlossenen Gases bei konstantem Volumen als Funktion der Temperatur t, und zwar einmal am Eispunkt t = 0 und einmal bei der Dampftemperatur t des siedenden Wassers. Eine weitere Messung wird mit siedendem Stickstoff durchgefhrt. Mit dem vorliegenden Gasthermometer können auch sehr tiefe Temperaturen gemessen werden, da die Messsubstanz Helium einen sehr niedrigen Siedepunkt aufweist (T S 4.2K). 5.3
Es seien und p(t) die am Gasthermometer abgelesenen Drücke. Dann ergibt sich unmittelbar aus dem Experiment nach der Zustandsgleichung (5.2) ein erster Wert für α: α 1 = p(t) t Dieser Wert muss jedoch wegen der Gefässausdehnung in Abhängigkeit von der Temperatur korrigiert werden. Zudem bleibt ein Teil V des Volumens ausserhalb des Heizkessels, sodass das darin enthaltene Helium nicht auf die Temperatur t gebracht wird, sondern auf Zimmertemperatur t bleibt. Das führt zu einer weiteren Korrektur wegen des schädlichen Raumes. Die entsprechenden Rechnungen findet man am Ende der Anleitung. (5.8) Abbildung 5.3: Gasthermometer zur Messung des absoluten Nullpunktes. 5.3.2 Aufgabenstellung 1. Man messe den Spannungskoeffizienten α für Helium mit dem Gasthermometer (Abbildungen 5.2 und 5.3) und berechne die Temperatur t 0 des absoluten Nullpunkts. 2. Man bestimme die Temperatur von siedendem Stickstoff mit Hilfe der Formel von Amontons (5.2) und extrapoliere graphisch zu tiefen Temperaturen. Die Korrektur für die Ausdehnung des Glases kann in diesem Fall weggelassen werden. 5.4
5.4 Durchführung der Messungen Wichtig: Bei allen Messungen ist darauf zu achten, dass die Quecksilbersäule im Rohr R nie über die rote Marke steigt. Durch die nur 0,7 mm dünne Kapillare würde das Quecksilber sofort in den Glaskolben gesaugt. Dies hätte zeitraubende Reparaturen und eine Verzögerung der Messung zur Folge. 5.4.1 Messung mit Eiswasser Man schiebt das Rohr R tief herab und umgibt das Gefäss G sorgfältig (Bruchgefahr) und vollständig mit Wasser und fein zerkleinertem Eis. Nach ca. 15 Minuten bestimmt man den Druck unter welchem sich das Helium in G befindet. Dazu schiebt man das Rohr R so weit hinauf, bis die Quecksilberkuppe in R die Marke m erreicht. Dann liest man den Quecksilberstand in R und R ab. Je nachdem, ob das Quecksilber in R um h höher oder tiefer als in R steht, ist = b ± h b ist der nicht reduzierte Barometerstand, d.h. der Druck bei der aktuellen Labortemperatur. Bemerkung: Eigentlich sollte man sowohl mit dem reduzierten (d.h. auf Quecksilber der Temperatur 0 C umgerechneten) Barometerstand b als auch mit reduzierten Quecksilberhöhen h rechnen. Da aber in Formel (5.8) nur das Verhältnis der Drücke vorkommt, heben sich die Korrekturfaktoren in Zähler und Nenner weg, sodass kein Fehler entsteht, wenn man mit den nicht reduzierten Werten rechnet. Hinweise zur Durchführung der Messung mit Eiswasser 1. Gasthermometer mittels Schraubfüssen am Stativfuss nivellieren. 2. Rohr R (rechts) sorgfältig bis zum Anschlag herunterfahren. 3. Rohr R (links) längs des vertikalen Massstabes so verschieben, dass die rote Marke m bei 77 cm steht. 4. Das leere Becherglas auf das Teleskopstativ stellen und sorgfältig über den Glaskolben schieben. 5. Flockeneis in das Becherglas einfüllen, bis der Glaskolben zugedeckt ist. 6. Kaltes Wasser dazugiessen, bis der Glaskolben vollständig eingetaucht ist. 7. Rohr R (rechts) so weit hochfahren, bis das Quecksilber im Rohr R (links) ca. 3 cm unter der roten Marke steht. 8. Nach einer Wartezeit von ca. 10 Minuten das Rohr R (rechts) weiter anheben, bis die Quecksilberkuppe im Rohr R (links) die rote Marke m erreicht. 9. Warten bis sich der Heliumdruck während mindestens 1 Minute nicht mehr verändert. Quecksilberstand R und R am höchsten Punkt der Kuppe ablesen (Schieber am Massstab verwenden). 5.5
5.4.2 Messung mit siedendem Wasser Man bringt das Gefäss G vorsichtig in den Heizkesselaufsatz über dem Heizkessel und erhitzt das Wasser bis zum Sieden, sodass G von Wasserdampf umgeben ist. Nach ca. 15 Minuten wiederholt man die Druckmessung. Der zur Siedetemperatur t gehörende Druck sei p(t). Die dem reduzierten Barometerstand b entsprechende Siedetemperatur des Wassers ist der Tabelle A im Anhang zu entnehmen. Bei diesem Versuch ist streng darauf zu achten, dass genügend Wasser im Heizkessel ist! Der Messkolben soll aber nicht in das Wasser eintauchen. Nach Beendigung des zweiten Versuches muss das Rohr R wieder tief herabgeschoben werden, weil sonst bei der Abkühlung des Gefässes G das Quecksilber nach G hinüberfliesst! Der Zahlenwert des Verhältnisses V /V = k ist am Sockel des Gasthermometers angeschrieben. Der Wert beträgt k = 9 10 4. Hinweise zur Durchführung der Messung mit siedendem Wasser 1. Heizkesselaufsatz abheben und mit einem Messbecher ca. 8 dl kaltes Wasser in den Heizkessel einfüllen. 2. Oberteil wieder aufsetzen und den Heizkessel unter den Glaskolben des Gasthermometers stellen. 3. Rohr R (rechts) absenken bis zum Anschlag. 4. Glaskolben sorgfältig bis zum Anschlag in den Heizkessel einfahren. Dabei den Heizkessel so zentrieren, dass der Glaskolben nicht berührt wird. Heizkesselöffnung mit blauem Deckel verschliessen. 5. Rohr R (rechts) soweit anheben, bis die Quecksilberkuppe im Rohr R (links) die rote Marke erreicht. 6. Hauptschalter einschalten und Thermostat am Heizkessel auf 100 stellen. 7. Sobald das Wasser kocht, das Rohr R (rechts) weiter nach oben verschieben, bis die Quecksilberkuppe wiederum die rote Marke erreicht. Die Quecksilbersäule in Abständen von ca. 1 Minute nachstellen. Wenn sich der Druck nicht mehr verändert, kann abgelesen werden. Die dem temperaturkorrigierten Barometerstand b entsprechende Siedetemperatur des Wassers ist der Tabelle am Schluss der Anleitung zu entnehmen. 8. Heizung abschalten und sofort das Rohr R (rechts) etwas nach unten verschieben, damit das Quecksilber beim Abkühlen des Glaskolbens nicht in diesen hinüberfliesst. 9. Deckel etwas anheben, öffnen und vom Heizkessel entfernen. Vorsicht: Finger nicht verbrennen! 10. Glaskolben vorsichtig aus dem Heizkessel herausheben. 5.6
5.4.3 Messung mit flüssigem Stickstoff Bevor mit dieser Messung begonnen wird, muss das Gasthermometer auf Zimmertemperatur abkühlen. Hinweise zur Durchführung der Messung mit flüssigem Stickstoff 1. Rohr R (rechts) an den unteren, Rohr R (links) an den oberen Anschlag fahren. 2. Das zu einem Drittel mit flüssigem Stickstoff gefüllte Isoliergefäss auf das Teleskopstativ stellen und langsam über den Glaskolben hinaufschieben, bis der Gefässrand 1 cm unter der schwarzen Glaskolbenhalterung steht. 3. Flüssigen Stickstoff nachfüllen, bis dieser den Glaskolben vollständig bedeckt. 4. Nach erfolgter Messung das Isoliergefäss sorgfältig absenken und vom Stativ nehmen. Gasthermometer in eingestellter Lage belassen. Stickstoff nicht weggiessen. 5.7
5.5 Messprotokoll Druck und Temperatur Hg-Barometerstand b =... Äusserer Luftdruck b =... Zimmertemperatur t =... Siedetemperatur t =... 1. Messung mit Eiswasser bei 0 C Stellung von R =... Höhendifferenz h 0 =... Stellung von R =... Innerer Druck =... 2. Messung mit siedendem Wasser bei t C Stellung von R =... Höhendifferenz h(t) =... Stellung von R =... Innerer Druck p(t) =... 3. Messung mit flüssigem Stickstoff Stellung von R =... Höhendifferenz h(n 2 ) =... Stellung von R =... Innerer Druck p(n 2 ) =... 5.5.1 Berechnung des Spannungskoeffizienten α Erster Wert für den Spannungskoefizienten α 1 α 1 = p(t) t =... Mit dem kubischen Ausdehnungskoeffizienten des Glases γ = 2,5 10 5 pro Grad ist die Korrektur wegen der Gefässausdehnung: p(t) γ =... 5.8
Mit k = V /V = 9 10 4 gilt fu r die Korrektur des scha dlichen Raumes: ] [ 1 + α1 t =... 1+k 1 + α 1 t damit ist der Spannungskoeffizient α: [ ] p(t) 1 + α1 t + γ =... α = α1 1 + k 1 + α1 t p0 und der absolute Nullpunkt t0 liegt bei: t0 = 5.5.2 1 =... α Siedetemperatur von Stickstoff Siedetemperatur von Stickstoff TN2 =... 5.9
5.6 Anhang 5.6.1 Hinweise zum Ablesen des Luftdruckes Abbildung 5.4: Einstellen des Barometers vor dem Ablesen. Abbildung 5.5: Zum richtigen Ablesen des Barometerstandes. 5.10
5.6.2 Tabelle zur Korrektur des Luftdruckes 5.11
5.6.3 Siedetemperatur von Wasser Tabelle A. Siedetemperatur des Wassers beim Druck p in Torr (1Torr = 1 mmhg) Druck p in Torr t/ C Druck p in Torr t/ C Druck p in Torr t/ C 690 97,311 710 98,102 730 98,874 91 351 11 141 31 912 92 391 12 180 32 950 93 431 13 219 33 989 94 471 14 258 34 99,027 95 510 15 296 35 065 96 550 16 335 36 102 97 590 17 374 37 140 98 630 18 413 38 178 99 669 19 451 39 216 700 709 720 490 740 254 01 748 21 529 41 292 02 788 22 567 42 329 03 827 23 606 43 367 04 866 24 644 44 405 05 906 25 683 45 442 06 945 26 721 46 480 07 984 27 759 47 517 08 98,023 28 798 48 554 09 062 29 836 49 592 5.12
5.7 Berechnung der Korrekturen 5.7.1 Korrektur wegen der Gefässausdehnung Es sei V 0 das Volumen des Glasgefässes bei 0 C. Dann gilt für das Volumen bei t C: V t = V 0 (1 + γt) Die Konstante γ ist der kubische Ausdehnungskoeffizient des Glases: γ = 2, 5 10 5 K 1. Nun ist nach (5.2) und (5.3) V 0 (1 + γt)p(t) = V 0 (1 + α 2 t) (1 + γt)p(t) = (1 + α 2 t) α 2 = p(t) t α 2 = α 1 + p(t) γ + p(t) γ (5.9) Man sieht, dass die Ausdehnung des Glasgefässes einen Korrekturterm (p(t)/ ) γ bedingt. Diese Korrektur ist klein, weil γ sehr klein ist und p(t)/ von der Grössenordnung 1 ist. 5.7.2 Korrektur wegen des schädlichen Raumes (Innenvolumen der Verbindungskapillaren) Dieser Teil V des Volumens bleibt ausserhalb des Heizkessels, sodass das darin enthaltene Helium nicht auf die Temperatur t gebracht wird, sondern auf Zimmertemperatur t bleibt. Aus dem Gasgesetz p(t)v (p, t) = V (, 0)(1 + αt) und der Gasdichte folgt ρ(p, t) = Die Masse des eingeschlossenen Heliums ist: m V (p, t) ρ(p, t) = ρ(, 0) p(t) 1 1 + αt m = ρ(p, t)v (p, t) + ρ(p, t )V (p, t ) = ρ(, 0) p(t) [ V (p, t) 1 + αt + V (p, t ] ) 1 + αt Durch Gleichsetzen der Massen bei 0 C und bei t C erhält man: [ V (, 0) + V (, t ] [ ) V (p, t) 1 + αt = p(t) + V (p, t ] ) 1 + αt 1 + αt Nun ist im Experiment: V (, 0) = V (p, t) V (, t ) = V (p, t ) 5.13
Setzen wir noch V /V = k, so ergibt sich ] 1 [1 + k 1 + αt = 1 1 + αt p(t) [ 1 + k 1 + αt ] 1 + αt 1 + tα = p(t) 1 + k 1+αt 1+αt 1 + k 1 1+αt α = p(t) 1+αt +k+αkt 1+αt +k t = p(t) + p(t) αk 1 + αt + k Im Nenner des zweiten Summanden kann die kleine Zahl k gegen 1 + αt vernachlässigt werden, ferner ersetzt man p(t) durch p(t) = (1 + αt). Dann wird: α = p(t) + αk 1 + αt 1 + αt Ersetzen wir auf der rechten Seite α durch den Näherungswert α α 1 = p(t) t so folgt für den Spannungskoeffizienten endgültig (korrigiert sowohl für die Gefässausdehnung wie auch für den schädlichen Raum): [ α = α 1 1 + k 1 + α ] 1t 1 + α 1 t + p(t) γ (5.10) 5.14