Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E

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1 Ü B U N G M A S C H I N E N E L E M E N T E Wälzlager: Tragfähigkeitsnachweis nach DIN ISO 76 und DIN ISO 281 Stephan Voigt, M.Eng.

2 Agenda 1. Statische Tragfähigkeit 1.1 Anwendungsbereich 1.2 Statische Tragzahl 1.3 Äquivalente statische Lagerbelastung 1.4 Statische Tragsicherheit 2. Dynamische Tragfähigkeit 2.1 Anwendungsbereich 2.2 Dynamische Tragzahl 2.3 Äquivalente dynamische Lagerbelastung 2.4 Äquivalente dynamische Lagerbelastung unter Wechsellast 2.5 Mindestbelastung 2.6 Nominelle Lebensdauer 2.7 Erweiterte Lebensdauerberechnung, modifizierte Lebensdauer 3. Grenzdrehzahlen 3.1 Thermische Drehzahlgrenze 3.2 Kinematische Drehzahlgrenze

3 1 Statische Tragfähigkeit 1.1 Anwendungsbereich Ein Wälzlager, welches stillsteht und dabei belastet wird oder langsame Schwenk- und Einstellbewegungen ausführt oder mit einer Drehzahl nn < 10 min 1 läuft oder große Stoßbelastungen aufnehmen muss gilt als statisch beansprucht. Maßgebend sind hierbei bleibende Verformungen an den Wälzkörpern Schwingungen, Geräusche, Reibung Stephan Voigt, M.Eng. 3

4 1.2 Statische Tragzahl Die zentrisch und bei Radiallagern rein radial sowie bei Axiallagern rein axial wirkende Belastung, für die sich in der Mitte der Kontaktfläche von Wälzkörper und Laufbahn eine Hertzsche Pressung von Radiallagern Axiallagern N mm 2 bei Pendelkugellagern N mm 2 bei Axialkugellagern N mm 2 bei allen anderen Radialkugellagerarten N mm 2 bei allen Axialrollenlagern N mm 2 bei allen Radialrollenlagern ergibt, ist als statische Tragzahl CC 0 eines Wälzlagers definiert. Dabei tritt eine bleibende Verformung von ca. 0,01% des Wälzkörperdurchmessers auf. Stephan Voigt, M.Eng. 4

5 Die statische Tragzahl CC 0 ist die Kenngröße der statischen Beanspruchbarkeit von Wälzlagern. Die angegebenen Pressungen sind experimentell ermittelt, während die statischen Tragzahlen auf Basis eines numerischen Modells berechnet werden, z.b. für Radialkugellager mittels CC 0 = ff 0 ii zz DD w 2 cos αα 0 ff 0 Berechnungsbeiwert, ii Anzahl Wälzkörperreihen, zz Anzahl Wälzkörper je Reihe, DD W Wälzkörperdurchmesser, αα 0 Nenndruckwinkel Quelle für den Ingenieur: Daten der Wälzlagerhersteller siehe Wälzlagerkataloge, z.b. SKF-Katalog Stephan Voigt, M.Eng. 5

6 1.3 Äquivalente statische Lagerbelastung Die zentrisch und bei Radiallagern rein radial sowie bei Axiallagern rein axial wirkende Belastung, die im Lager die gleiche Beanspruchung hervorruft, wie die tatsächlich wirkende Belastung, wird als äquivalente statische Lagerbelastung bezeichnet: PP 0 = XX 0 FF 0r + YY 0 FF 0a Dabei sind FF 0r Radialkraftkomponente der statischen Belastung FF 0a Axialkraftkomponente der statischen Belastung XX 0 Radialfaktor des Lagers bei statischer Belastung YY 0 Axialfaktor des Lagers bei statischer Belastung Abhängig von der Lagerbauart Bei wechselnder Lastangriffsrichtung ist diejenige Belastungssituation auszuwählen, die die größte äquivalente statische Lagerbelastung hervorruft. Stephan Voigt, M.Eng. 6

7 Radial- und Axialfaktoren bei statischer Belastung verschiedener Lagerarten Radialkugellager Stephan Voigt, M.Eng. 7

8 Radial-Zylinderrollen- und Nadellager XX 0 = 1 und YY 0 = 0 PP 0 = FF 0r Axial-Kugellager Druckwinkel αα XX 0 = 0 und YY 0 = 1 PP 0 = FF 0a Axial-Schrägkugellager PP 0 = FF 0a + 2,3 FF 0r tan αα mit FF 0r < 0,44 FF 0a cot αα Axial-Pendelrollenlager PP 0 = FF 0a + 2,7 FF 0r FF 0r 0,37 FF 0a mit αα = 0 45 Radiallager αα > Axiallager Stephan Voigt, M.Eng. 8

9 1.4 Statische Tragsicherheit Die statische Tragsicherheit ist das Verhältnis aus statischer Tragzahl CC 0 und äquivalenter statischer Lagerbelastung PP 0 : ff S = CC 0 PP 0 Die statische Tragsicherheit ist als Sicherheit gegen zu große örtliche Verformung aufzufassen. Tatsächliche Belastbarkeit bis zum Bruch (5 8) CC 0 Stephan Voigt, M.Eng. 9

10 Richtwerte für ff S Bei Festlegung der statischen Tragsicherheit auf Basis der Anforderungen kann demnach eine erforderliche statische Tragfähigkeit ermittelt werden. Stephan Voigt, M.Eng. 10

11 2. Dynamische Tragfähigkeit 2.1 Anwendungsbereich Ein Lager ist hinsichtlich der Lebensdauer (d.h. auf Basis der dynamischen Tragfähigkeit) auszuwählen, wenn es mit einer Drehzahl nn > 10 min 1 unter Belastung umläuft. Zusätzlich ist jedoch auch immer die statische Tragsicherheit zu prüfen. Als Lebensdauer wird die Anzahl der Umdrehungen bzw. die Anzahl der Betriebsstunden (bei nn = const) verstanden, bis Werkstoffermüdung auftritt. Dabei ist der Begriff der Lebensdauer im statistischen Sinn zu interpretieren und muss demnach mit einer Wahrscheinlichkeit verknüpft werden. Konkret: Eine berechnete oder angegebene Lebensdauer wird von 90% einer hinreichend großen Menge von Wälzlagern erreicht bzw. überschritten. Für das Einzellager hat die Angabe einer Lebensdauer praktisch keine Bedeutung. Überlebenswahrscheinlichkeit PP Ü = 0,9 bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit PP A = 1 PP Ü = 0,1 Stephan Voigt, M.Eng. 11

12 2.2 Dynamische Tragzahl Die zentrisch und bei Radiallagern rein radial sowie bei Axiallagern rein axial wirkende Belastung, bei der eine nominelle Lebensdauer von einer Million Umdrehungen erreicht wird, ist als die dynamische Tragzahl CC eines Wälzlagers definiert. FF CC 10 6 Umdrehungen Stephan Voigt, M.Eng. 12

13 Die dynamische Tragzahl CC ist die Kenngröße der dynamischen Beanspruchbarkeit von Wälzlagern. Da die dynamischen Tragzahlen durch umfangreiche Lebensdauerversuche statistisch abgesichert sind, ist auch die Berechnung auf der Grundlage empirischer Zusammenhänge möglich, z.b. für Radialrollenlager mittels CC = bb m ff c ii ll eff cos αα 0 7/9 zz 3/4 DD W 29/27 bb m Lagerbauartfaktor, ff c Berechnungsbeiwert, ii Anzahl Wälzkörperreihen, ll eff effektive Berührlänge, αα 0 Nenndruckwinkel, zz Anzahl Wälzkörper je Reihe, DD W Wälzkörperdurchmesser Quelle für den Ingenieur: Daten der Wälzlagerhersteller siehe Wälzlagerkataloge, z.b. SKF-Katalog Stephan Voigt, M.Eng. 13

14 2.3 Äquivalente dynamische Lagerbelastung Die zentrisch und bei Radiallagern rein radial sowie bei Axiallagern rein axial wirkende Belastung, die den gleichen Einfluss auf die Lebensdauer des Lagers hat, wie die tatsächlich wirkende Belastung, wird als äquivalente dynamische Lagerbelastung bezeichnet: PP = XX FF r + YY FF a Dabei sind FF r Radialkraftkomponente der dynamischen Belastung FF a Axialkraftkomponente der dynamischen Belastung XX Radialfaktor des Lagers bei dynamische Belastung YY Axialfaktor des Lagers bei dynamischer Belastung Abhängig von der Lagerbauart Stephan Voigt, M.Eng. 14

15 Abhängigkeit der Wälzkörperbeanspruchung vom Wirken einer Axialkraft Beispiel: Schrägkugellager Ein Geringer Axiallastanteil führt bei allen Radiallagern (außer Zylinderrollen- und Nadellager) zu einer Verminderung der Wälzkörperbeanspruchung größerer Winkel ψψ Dabei ist das Verhältnis aus FF a /FF r für die resultierende Wälzkörperbeanspruchung maßgebend. Stephan Voigt, M.Eng. 15

16 Aus PP = XX FF r + YY FF a folgt PP FF r = XX + YY FF a FF r 1. Bereich: FF a FF r ee XX = 1 und YY = 0 PP = FF r 2. Bereich: FF a FF r > ee PP = XX FF r + YY FF a Lagerartspezifische Werte für X und Y Stephan Voigt, M.Eng. 16

17 Übersicht der Axial- und Radialfaktoren für Radiallager (außer Zylinderrollenlager) Besser: Nutzung des WLK Stephan Voigt, M.Eng. 17

18 Ermittlung der Axial- und Radialfaktoren mithilfe des WLK am Beispiel von Rillenkugellagern Berechnungsfaktor ff 0 und stat. Tragfähigkeit CC 0 sind lagerspezifische Werte Tabellen des WLK Bei Zwischenwerten linear interpolieren! Stephan Voigt, M.Eng. 18

19 Ermittlung der Axial- und Radialfaktoren mithilfe des WLK am Beispiel von Zylinderrollenlagern (mit Käfig) Loslager PP = FF r d.h. X=1 und Y=0 Festlager FF a FF r ee PP = FF r > ee PP = 0,92 FF r + YY FF a Grundsätzlich sollte gelten: FF a /FF r 0,5 Stephan Voigt, M.Eng. 19

20 Axialkräfte bei Stützlagern Belastung wird in Abhängigkeit des Druckwinkels von der einen auf die andere Laufbahn übertragen Entstehung einer inneren Kraft FF axial (die auch auf die Welle wirkt) YY ist den Tabellen im WLK zu entnehmen Stephan Voigt, M.Eng. 20

21 2.4 Äquivalente dynamische Lagerbelastung unter Wechsellast Bei nicht konstanter Lagerbelastung gilt: PP = pp PP 1 pp qq 1 + PP 2 pp qq PP n pp qq n = pp n PP pp k qq k k=1 Dabei sind PP k äquivalente Lagerbelastung des k-ten Belastungsabschnittes qq k Wirkungsdauer des k-ten Belastungsabschnittes mit k qq k = 1 pp Lebensdauerexponent pp = 3 für Kugellager pp = 10/3 für Rollenlager Stephan Voigt, M.Eng. 21

22 Periodisch veränderliche Lasten lassen sich durch zwei äquivalente Lagerbelastungen PP 1 und PP 2 beschreiben: Stephan Voigt, M.Eng. 22

23 Unterliegt neben der Belastung auch die Drehzahl einer zeitlichen Veränderung, so gilt: PP = pp PP 1 pp nn 1 nn m qq 1 + PP 2 pp nn 2 nn m qq PP n pp nn n nn m qq n = pp n 1 PP pp nn k nn k qq k m k=1 Dabei sind nn k Drehzahl des k-ten Belastungsabschnittes nn m mittlere Drehzahl nn m = k nn k qq k Stephan Voigt, M.Eng. 23

24 Die dargelegten Berechnungen gelten strenggenommen nur bei einer stufenweise Veränderung von Drehzahl bzw. Belastung oder wenn entsprechende Lastkollektive vorliegen. Bei beliebigem Belastungs- PP tt und Drehzahlverlauf nn(tt) gilt: PP = pp 0 TT nn tt PP pp tt dtt 0 TT nn tt dtt Bei einer oszillierenden Bewegung des Lagers (Schwenkbewegung) ist die äquivalente Lagerbelastung PP osz und eine äquivalente Drehzahl nn zu ermitteln: PP osz = φφ 180 1/pp PP nn = nn osz φφ 180 Dabei ist nn osz die Frequenz der Oszillation und φφ der Schwenkwinkel. Dieser sollte größer als der doppelte Teilungswinkel des Lagers sein. Andernfalls droht Riffelbildung. Stephan Voigt, M.Eng. 24

25 2.5 Mindestbelastung Zur Einstellung eines positiven oder negativen Spiels in Abhängigkeit des Lager-Einsatzfalls ist immer eine Mindestbelastung vorzusehen. Außerdem werden so unerwünschte Gleitbewegungen zwischen Wälzkörpern und Laufringen vermieden. Stephan Voigt, M.Eng. 25

26 Zur Vermeidung von Bohr- und Kreiselmomenten ist allgemein folgende axiale Mindestbelastung anzustreben: Dabei sind FF a,min MM nn MM Minimallastfaktor (kk r im SKF-Katalog) nn Lagerdrehzahl in min 1 Lagerspezifische Werte (axiale Mindestbelastung) Beispiel aus WLK: Mindest-Radialbelastung eines Rillenkugellagers nach SKF FF r,min = kk r νν nn dd m νν Viskosität dd m mittlerer Lagerdurchmesser Stephan Voigt, M.Eng. 26

27 2.6 Nominelle Lebensdauer Die nominelle Lebensdauer (Ausfallwahrscheinlichkeit 10%, in 10 6 Umdrehungen) eines Wälzlagers bei konstanter Drehzahl und Belastung ist nach DIN ISO 281 gegeben durch LL 10 = CC PP pp Dabei sind CC dynamische Tragzahl PP äquivalente dynamische Lagerbelastung pp Lebensdauerexponent pp = 3 für Kugellager pp = 10/3 für Rollenlager Stephan Voigt, M.Eng. 27

28 Bei konstanter Betriebsdrehzahl nn des Wälzlagers ist die Angabe der nominellen Lebensdauer in Stunden üblich: LL 10h = nn LL 10 = nn CC PP pp Hierbei muss die Drehzahl nn in min 1 eingesetzt werden! Dynamischer Kennzahl ff L und Drehzahlfaktor ff n : Die obige Gleichung kann wie folgt geschrieben werden: LL 10h 500 = 100/3 nn CC PP pp pp LL pp 10h 500 = nn CC PP Mit Einführung der dynamischen Kennzahl ff L = pp LL 10h /500 und des Drehzahlfaktors ff n = pp 100/(3 nn) folgt: ff L ff n = CC PP CC erf = PP ff L ff n Lagervorauswahl anhand von Erfahrungswerten für bereits ausgeführte Lagerungen (Bezugsdrehzahl 100/3 min 1, Prüfdauer 500 h, 10 6 Umdrehungen) Stephan Voigt, M.Eng. 28

29 Anhaltswerte für ff L bzw. LL 10h Stephan Voigt, M.Eng. 29

30 2.7 Erweiterte Lebensdauer, modifizierte Lebensdauerberechnung Tatsächlich erreichbare Lebensdauerwerte weichen teilweise erheblich von den berechneten Werten ab, besonders dann, wenn günstige Betriebsbedingungen vorherrschen. Darum ist die erweiterte bzw. modifizierte Lebensdauer LL nm eingeführt worden, die neben alternativen Ausfallwahrscheinlichkeiten auch wesentliche Betriebseinflüsse berücksichtigt. Dabei gestattet die Norm ISO 281 den Wälzlagerherstellern, eigene Erfahrungen einfließen zu lassen. Beispiel: SKF-Lebensdauer Stephan Voigt, M.Eng. 30

31 Die SKF-Lebensdauer ist gegeben durch: LL nm = aa 1 aa SKF LL 10 = aa 1 aa SKF CC PP pp Dabei sind aa 1 Lebensdauerbeiwert aa SKF SKF-Lebensdauerbeiwert zur Berücksichtigung der wesentlichen Betriebseinflüsse LL 10 nominelle Lebensdauer (Ausfallwahrscheinlichkeit 10%) n Auswahlwahrscheinlichkeit (Index) Die Angabe in Betriebsstunden ergibt sich durch (Drehzahl in min 1 ): LL nmh = nn LL nm = nn aa 1 aa SKF CC PP pp Stephan Voigt, M.Eng. 31

32 Der Lebensdauerbeiwert aa 1 erlaubt die Berechnung unter der Annahme alternativer Überlebenswahrscheinlichkeiten: Andere Werte können durch Inter- bzw. Extrapolation oder direkt über 1 ee aa 1 = ln 1 PP Ü ln 1 0,9 ermittelt werden. Dabei ist PP Ü die erforderliche Überlebenswahrscheinlichkeit und ee = 1,5 die Weibull-Steigung (Parameter der angewendeten Weibull-Verteilung) Beispiele für Ausfallwahrscheinlichkeiten: Kernkraftwerke PP A = 0,03 Hüttenwesen PP A = 0,01 Stephan Voigt, M.Eng. 32

33 Der SKF-Lebensdauerbeiwert aa SKF berücksichtigt: 1. Ermüdungsgrenzbelastung PP u (auch CC u genannt) PP u ist diejenige (zentrisch und rein radial bzw. rein axial wirkende) Belastung, bei der die Ermüdungsgrenze (Dauerfestigkeit) des Innenrings erreicht wird. Pressung an der höchstbelasteten Stelle: ca N mm 2 (bei einer Lastwechselzahl am Innenring von ca ) Quelle: Daten der Wälzlagerhersteller (WLK) Alternativ: DIN ISO 281 (Anhaltswerte in Abhängigkeit des mittleren Lagerdurchmessers DD pw bzw. dd m ) Stephan Voigt, M.Eng. 33

34 2. Schmierbedingungen mittels Viskositätsverhältnis κκ Dabei sind νν νν 1 κκ = νν νν 1 tatsächliche Viskosität des Schmierstoffes bei Betriebstemperatur (Betriebsviskosität) erforderliche Viskosität des Schmierstoffes bei Betriebstemperatur (Bezugsviskosität) κκ ist ein Maß für die Güte der Schmierfilmbildung κκ < 0,4 Grenzschichtreibung: Berührung der metallischen Körper, Verschleiß überwiegt (Additive haben starken Einfluss) 0,4 < κκ < 4 Mischreibung: teilweise Berührung der metallischen Körper, bei κκ = 1 liegt Trennung vor (Additive haben anteiligen Einfluss) κκ > 4 Hydrodynamische Reibung: metallische Körper sind vollständig durch Schmierfilm getrennt, Schmierfilmdicke h > 2 RR a (Additive haben keinen Einfluss) Stephan Voigt, M.Eng. 34

35 Bezugsviskosität (erforderliche Viskosität) Funktion der Lagergröße und Drehzahl Explizite Berechnung für nn < min 1 νν 1 = nn 0,83 dd m 0,5 für nn min 1 νν 1 = nn 0,5 dd m 0,5 Stephan Voigt, M.Eng. 35

36 Bei vorgegebenem Schmierstoff ist die Viskosität bei einer Referenztemperatur von 40 C bekannt (nach DIN bzw. ISO 3448). In Abhängigkeit der Betriebstemperatur kann die tatsächliche Viskosität νν daraus ermittelt werden. Entsprechend kann auch die Wahl des Schmierstoffes anhand der erforderlichen Viskosität erfolgen. Stephan Voigt, M.Eng. 36

37 3. Grad der Verunreinigung im Lager mittels Beiwert ηη C Feste Partikel im Schmierstoff ab einer Größe von ca. 10 µm können beim Überrollen bleibende Eindrücke in den Laufbahnen hinterlassen (bei entsprechender Härte und Festigkeit). örtliche Spannungsüberhöhungen verringerte Lebensdauer Anhaltswerte nach DIN ISO 281 Beiwert ηη C Stephan Voigt, M.Eng. 37

38 Werte des Lebensdauerbeiwertes aa SKF für Radialkugel- und Radialrollenlager Stephan Voigt, M.Eng. 38

39 Werte des Lebensdauerbeiwertes aa SKF für Axialkugel- und Axialrollenlager Stephan Voigt, M.Eng. 39

40 Explizite Berechnung laut DIN ISO 281: aa SKF = aa DIN = AA BB κκ CC DD ηη C PP U GG PP EE FF Gleichung gilt für κκ > 0,1 und κκ max = 4 (auch wenn κκ > 4) Grundsätzlich ist aa SKF bzw. aa DIN auf den Wert 50 zu begrenzen. Stephan Voigt, M.Eng. 40

41 Sollten sich während der Betriebsdauer relevante Einflüsse (Temperatur, Schmierung, Sauberkeit) ändern, so gilt: LL hnm = 1 qq 1 + qq qq = n LL hnm1 LL hnm2 LL hnmn nn qq k LL hnmk k=1 1 Dabei sind LL hnmk modifizierte Lebensdauer des k-ten Abschnitts gleichbleibender Bedingungen qq k Wirkungsdauer des k-ten Abschnitts gleichbleibender Bedingungen mit k qq k = 1 Stephan Voigt, M.Eng. 41

42 3. Grenzdrehzahlen Eine ansteigende Drehzahl verursacht im Lager: Temperaturerhöhung Zunahme der Fliehkräfte mangelnde Schmierstoffversorgung der metallischen Kontaktflächen Veränderung der Kinematik der Wälzkörper unruhiger Lauf, Schwingungen, Geräusche Weitere begrenzende Elemente: Festigkeit des Käfigs Wärmeerzeugung berührender Dichtungen Definition einer thermischen und kinematischen Drehzahlgrenze Stephan Voigt, M.Eng. 42

43 3.1 Thermische Drehzahlgrenze Die thermisch zulässige Drehzahl nn zul ist die Drehzahl, bei der sich eine Lagertemperatur von 70 CC einstellt thermisches Gleichgewicht zwischen Reibungsleistung und Wärmeabfuhr Dazu ist unter streng definierten Bezugsbedingungen (nach ISO 15312) die thermische Bezugsdrehzahl nn B (bzw. Referenzdrehzahl nn r ) zu ermitteln. Quelle: Daten der Wälzlagerhersteller (WLK) Stephan Voigt, M.Eng. 43

44 Auf Basis der Referenzdrehzahl nn r erfolgt die Berechnung der thermisch zulässigen Drehzahl: nn zul = nn r ff P ff ν Dabei sind ff P Korrekturfaktor für den Einfluss der äquivalenten Lagerbelastung PP ff ν Korrekturfaktor für den Einfluss der Viskosität Quelle: Daten der Wälzlagerhersteller (WLK) Lager, für die keine Referenzdrehzahl existiert (Verfahren nach ISO nicht anwendbar): abgedichtete Lager mit berührender Dichtung Stütz- und Kurvenrollen Einstell-Nadellager Axial-Rillen- und Axial-Schrägkugellager Stephan Voigt, M.Eng. 44

45 Beispiel: Korrekturfaktoren für Radial-Kugellager Stephan Voigt, M.Eng. 45

46 3.2 Kinematische Drehzahlgrenze Die kinematische Drehzahlgrenze oder auch Grenzdrehzahl ist abhängig von Formstabilität und Festigkeit des Käfigs, Käfigführungsflächen Schmierung Lagergenauigkeit Zentrifugal- und Massenkräfte der Wälzkörper Quelle: Daten der Wälzlagerhersteller (WLK) Stephan Voigt, M.Eng. 46

47 Beispiel Auf der Kupplungsseite einer Kreiselpumpenwelle sind folgende Lager verbaut: Loslager: Zylinderrollenlager NU 314 ECP Radiallast 13 kn nn = min 1 Festlager: 2 Schrägkugellager 7314 BEP Radiallast 4,8 kn Axiallast 6,5 kn Die Betriebsviskosität des Öls kann aus Erfahrungswerten mit νν = 13 mm 2 s 1 abgeschätzt werden. Es liegen geringfügig Verunreinigungen im Öl vor. Ermitteln Sie die modifizierte Lebensdauer der Lager bei einer geforderten Ausfallwahrscheinlichkeit von PP A = 0,01! Stephan Voigt, M.Eng. 47