Dreisatzrechnung. Ein PKW verbraucht auf 100 km 10 Liter Treibstoff. Wie viel Liter benötigt er bei gleicher Fahrweise für 200 km, 300 km,...?

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1 Dreisatzrechnung Aufgabe: Analyse: Ein PKW verbraucht auf 100 km 10 Liter Treibstoff. Wie viel Liter benötigt er bei gleicher Fahrweise für 200 km, 300 km,...? Der Treibstoffverbrauch je km kann durch eine lineare Funktion der Form f(x)= mx beschrieben werden. Es gilt: f(x) = 0,1 L/km x km f(x) = 0, 1 x Die folgende Abbildung gibt den Funktionsverlauf wieder. Wir erkennen aus der Abbildung z.b. folgende Beziehungen : für eine Fahrtstrecke von 100 km benötigen wir 10 Liter Treibstoff für eine Fahrtstrecke von 200 km benötigen wir 20 Liter Treibstoff und können fragen : Wie viel Liter benötigen wir für 400 km? Damit kann der sogenannte Bedingungs- und Fragesatz formulieren: Bedingungssatz : 100 km 10 L Fragesatz: 400 km x L Rechnung: x = (400 km 10 L) / 100 km = 40 L Definition: Wenn aus mehr mehr oder weniger weniger wird, dann sprechen wir von einer direkten Proportionalität oder einem Dreisatz mit geradem Verhältnis. Es gilt allgemein bei einem Dreisatz mit geradem Verhältnis : Bedingungssatz : Fragesatz: a b c x Lösung : Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 1-

2 Merke: Die Lösung einer Dreisatzaufgabe mit geradem Verhältnis kann daher rechnerisch oder graphisch mit einer lineare Funktion durch den Ursprung bestimmt werden. Dabei folgt der Wert für den Steigungsfaktor m aus den Daten des Bedingungssatzes. Es gilt: Aufgabe: Analyse: Für die Erstellung eines Grabens benötigen 2 Arbeiter 10 Tage. Geben Sie eine Funktion an, welche die Abhängigkeit der benötigten Arbeitstage von der Anzahl der eingesetzten Arbeiter beschreibt. Damit die Arbeit in weniger Tagen erledigt werden kann, muss das Unternehmen mehr Arbeiter einsetzen. Überlegung: wenn 2 Arbeiter 10 Tage benötigen dann würde 1 Arbeiter 20 Tage benötigen wenn 1 Arbeiter 20 Tage benötigt dann benötigen 4 Arbeiter 5 Tage benötigen Damit kann der Bedingungs- und Fragesatz wie folgt formuliert werden: Bedingungssatz : 2 Arbeiter 10 Tage Fragesatz: 1 Arbeiter y Tage Rechnung: y = (2 Arbeiter 10 Tage) / 1 Arbeiter = 20 Tage Stellt man die Abhängigkeit der benötigten Tage von der Anzahl der eingesetzten Arbeiter graphisch dar, so erkennt man eine gebrochen-rationale Funktion (Hyperbel-Funktion) der Form y = h/x. Definition: Wenn aus weniger mehr oder mehr weniger wird, dann sprechen wir von einer indirekten Proportionalität oder einem Dreisatz mit ungeradem Verhältnis. Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 2-

3 Es gilt allgemein bei einem Dreisatz mit einem ungeraden Verhältnis : Bedingungssatz : Fragesatz: a b c y Lösung : Merke: Die Lösung einer Dreisatzaufgabe mit ungeradem Verhältnis kann daher rechnerisch oder graphisch mit Hilfe der Funktion y = (a b) / x erfolgen. Für unser Beispiel gilt: y = 20 / x ( y.= Tage ; x := Arbeiter). Übung: Gerader Dreisatz Ein Betrieb stellt bei 38stündiger wöchentlicher Arbeitszeit Stück Bauteile her. Wie hoch wird die Produktion bei 36 Stunden Wochenarbeitszeit sein? Ansatz: In 38 Stunden werden Stück hergestellt (Bedingungssatz) In 36 Stunden werden x Stück hergestellt (Fragesatz) Übung: Ungerader Dreisatz Ein Rohstoffvorrat reicht für 35 Maschinen 24 Arbeitstage. 7 Maschinen fallen aus. Wie lange reicht der Vorrat? Ansatz: Für 35 Maschinen reicht der Vorrat 24 Tage (Bedingungssatz) Für 28 Maschinen reicht der Vorrat x Tage (Fragesatz) Problem: Für den Neubau einer Lagerhalle müssen m³ Erde bewegt werden. Dazu benötigen 5 Maschinen 48 Arbeitsstunden. Wie viel Arbeitsstunden brauchen 6 Maschinen, wenn wegen einer Bauplanänderung m³ Erde anfallen? Analyse: Die Analyse zeigt, dass mehr als zwei Sachverhalte miteinander verknüpft sind. Wir sprechen daher auch von einem zusammengesetzten Dreisatz. Ansatz: Bedingungssatz: 5 Maschinen bewegen m³ in 48 Stunden Fragesatz: 6 Maschinen bewegen m³ in x Stunden Lösung : Man schließe von der Vielzahl auf die Einzahl, in dem man den Sachverhalt schrittweise in einfache Dreisätze auflöst. Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 3-

4 Schlussrechnung: Schritt Sachverhalt Verhältnis Stunden 3 5 Maschinen benötigen für m Maschine benötigt für m ungerade Maschine benötigt für 1 m 3 gerade 1 Maschine benötigt für m 3 gerade 6 Maschinen benötigen für m 3 ungerade Ergebnis: 61 a 61 Std und 20 Minuten Eine alternative Lösung kann wie folgt dargestellt werden: Bedingungssatz : Fragesatz: 5 Maschinen bewegen m³ in 48 Stunden 6 Maschinen bewegen m³ in x Stunden Analyse der Verhältnisse: ungerade gerade Teilbruchstrich: Lösung (Gesamtbruchstrich): Übungen zur Dreisatzrechnung: Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Für das Eindecken eines Flachdaches von 408 m² werden Platten benötigt. Infolge einer Konstruktionsänderung wird das Dach nur 381 m² groß. Wie viel Platten werden nun für das Dach bestellt? Für eine Lackiererei benötigt ein Betrieb 34,5 m eines Spezialbodens von 70 cm Breite. Der Belag ist aber nur in einer Breite von 50 cm vorrätig. Wie viel Meter müssen geliefert werden. Bei einer Lieferzeit von 21 Tagen ist ein eiserner Bestand von 861 Stück erforderlich. Die Lieferzeit erhöht sich um 9 Tage. Wie hoch muss nun der eiserne Bestand sein? Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 4-

5 Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aus 50 kg Rohkaffee erhält man 43,3 kg Röstkaffee. Wie hoch ist der Röstverlust bei einer Tagesproduktion von kg Rohkaffee? Einem Kunden wurden versehentlich gegen Barzahlung 600 Paar Socken zu 1,05 i je Paar 1. Wahl geliefert. Er bat um Lieferung 2. Wahl zu 0,75 i je Paar. Wie viel Paar müssen geliefert werden, wenn die Barzahlung voll eingesetzt werden soll? Aufgabe 6: Zur Herstellung eines Gewebes, 350 m lang, 80 cm breit, benötigt man 264 kg Garn. (1) Wie viel kg Garn müssen für ein Gewebe von 250 m Länge und 105 cm Breite angesetzt werden? (2) Wie lang wird das Gewebe, wenn es 120 cm breit sein soll und 400 kg Garn zur Verfügung stehen? Aufgabe 7: Für die Wandverkleidung einer Ausstellungshalle (15 m hoch und 24 m lang) werden 2640 Kupferplatten benötigt. Wie viel Platten müssen für eine Wand von 11 m Höhe und 22 m Länge geliefert werden? Aufgabe 8: Einen Auftrag über 56 Werkstücke erledigen 14 Facharbeiter in 12 Arbeitstagen bei achtstündiger täglicher Arbeitszeit. Ein Eilauftrag über 78 Stück soll in 9 Tagen ausgeführt werden. (1) Wie viel Überstunden müsste jeder Arbeiter täglich machen? (2) Wie viel Arbeitskräfte müßten bei den vorgesehenen 9 Arbeitstagen für den Auftrag über 78 Stücke zusätzlich eingesetzt werden, um Überstunden zu vermeiden? Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe 11: Aufgabe 12: An 8 Automaten werden in der 5-Tage-Woche bei täglicher Arbeitszeit von 9 Stunden 3780 Kegelräder gefertigt. Die tägliche Arbeitszeit wird auf 8 Stunden herabgesetzt. Eine Maschine fällt aus. Wie hoch ist die Tagesproduktion bei achtstündiger Arbeitszeit. Das Förderband einer Kiesgrube hat 3 Geschwindigkeiten. Stufe I 1,5m/Sek., Stufe II 2m/Sek., Stufe III 3m/Sek. bei gleicher Belastung. In einer Stunde können auf Stufe II 28 m³ gefördert werden. Wie viel m³ können je Stunde bei Stufe III gefördert werden? Eine Chemiefabrik will eine Abteilung mit säurefesten Fliesen zu 18 x 22 cm auslegen lassen. Erforderlich sind Platten. Ein anderer Hersteller bietet bessere Platten mit den Maßen 10 x 12 cm an. Wie viel Platten müssen bei zweiten Hersteller bestellt werden? Ein Teeimporteur packt täglich mit 12 Automaten in zwei Schichten zu je 8 Stunden Aufgussbeutel. Die Schichtarbeit wird um eine halbe Stunde gesenkt. Die Absatzerwartung steigt auf Beutel. Wie viel Automaten müssen zusätzlich aufgrund der Arbeitszeitverkürzung und der Absatzerwartung angeschafft werden? Auf den folgenden beiden Seiten finden Sie Lösungen zu den Aufgaben! Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 5-

6 Lösungen zur Dreisatzrechnung (Seite 4 und 5) Aufgabe 1: Für das Eindecken eines Flachdaches von 408 m² werden Platten benötigt. Infolge einer Konstruktionsänderung wird das Dach nur 381 m² groß. Wie viel Platten werden nun für das Dach bestellt? Aufgabe 2: Für eine Lackiererei benötigt ein Betrieb 34,5 m eines Spezialbodens von 70 cm Breite. Der Belag ist aber nur in einer Breite von 50 cm vorrätig. Wie viel Meter müssen geliefert werden. Aufgabe 3: Bei einer Lieferzeit von 21 Tagen ist ein eiserner Bestand von 861 Stück erforderlich. Die Lieferzeit erhöht sich um 9 Tage. Wie hoch muss nun der eiserne Bestand sein? Aufgabe 4: Aus 50 kg Rohkaffee erhält man 43,3 kg Röstkaffee. Wie hoch ist der Röstverlust bei einer Tagesproduktion von kg Rohkaffee? d.b. einen Verlust von 3.035,10 kg Aufgabe 5: Einem Kunden wurden versehentlich gegen Barzahlung 600 Paar Socken zu 1,05 i je Paar 1. Wahl geliefert. Er bat um Lieferung 2. Wahl zu 0,75 i je Paar. Wie viel Paar müssen geliefert werden, wenn die Barzahlung voll eingesetzt werden soll? Aufgabe 6: Zur Herstellung eines Gewebes, 350 m lang, 80 cm breit, benötigt man 264 kg Garn. (1) Wie viel kg Garn müssen für ein Gewebe von 250 m Länge und 105 cm Breite angesetzt werden? (2) Wie lang wird das Gewebe, wenn es 120 cm breit sein soll und 400 kg Garn zur Verfügung stehen? Aufgabe 7: Für die Wandverkleidung einer Ausstellungshalle (15 m hoch und 24 m lang) werden 2640 Kupferplatten benötigt. Wie viel Platten müssen für eine Wand von 11 m Höhe und 22 m Länge geliefert werden? Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 6-

7 Aufgabe 8: Einen Auftrag über 56 Werkstücke erledigen 14 Facharbeiter in 12 Arbeitstagen bei achtstündiger täglicher Arbeitszeit. Ein Eilauftrag über 78 Stück soll in 9 Tagen ausgeführt werden. (1) Wie viel Überstunden müsste jeder Arbeiter täglich machen? (2) Wie viel Arbeitskräfte müßten bei den vorgesehenen 9 Arbeitstagen für den Auftrag über 78 Stücke zusätzlich eingesetzt werden, um Überstunden zu vermeiden? Aufgabe 9: An 8 Automaten werden in der 5-Tage-Woche bei täglicher Arbeitszeit von 9 Stunden 3780 Kegelräder am Tag gefertigt. Die tägliche Arbeitszeit wird auf 8 Stunden herabgesetzt. Eine Maschine fällt aus. Wie hoch ist die Tagesproduktion bei achtstündiger Arbeitszeit. Aufgabe 10: Das Förderband einer Kiesgrube hat 3 Geschwindigkeiten. Stufe I 1,5m/Sek., Stufe II 2m/Sek., Stufe III 3m/Sek. bei gleicher Belastung. In einer Stunde können auf Stufe II 28 m³ gefördert werden. Wie viel m³ können je Stunde bei Stufe III gefördert werden? Aufgabe 11: Eine Chemiefabrik will eine Abteilung mit säurefesten Fliesen zu 18 x 22 cm auslegen lassen. Erforderlich sind Platten. Ein anderer Hersteller bietet bessere Platten mit den Maßen 10 x 12 cm an. Wie viel Platten müssen beim zweiten Hersteller bestellt werden? Aufgabe 12: Aufgabe 11 Ein Teeimporteur packt täglich mit 12 Automaten in zwei Schichten zu je 8 Stunden Aufgussbeutel. Die Schichtarbeit wird um eine halbe Stunde gesenkt. Die Absatzerwartung steigt auf Beutel. Wie viel Automaten müssen zusätzlich aufgrund der Arbeitszeitverkürzung und der Absatzerwartung angeschafft werden? Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 7-

8 Weitere Übungen zur Dreisatzrechnung: Aufgabe 1: Auf 8 Werkzeugmaschinen werden in 15 Arbeitstagen Balkenverbinder hergestellt. Dabei sind die Maschinen täglich 7 Std in Betrieb. Infolge einer Reparatur kann eine Maschine für drei Wochen nicht mehr eingesetzt werden. Dadurch können die Maschinen wegen Überlastung nur noch 6 Stunden am Tag für die Herstellung der Balkenverbinder eingesetzt werden. Kann ein Anschlussauftrag über ebenfalls Balkenverbinder pünktlich erfüllt werden, wenn dafür 20 Arbeitstage zur Verfügung stehen? Aufgabe 2: Für die Abschrift eines Schriftsatzes, der Anschläge umfasst, benötigen drei Schreibkräfte mit einer Leistung von 240 Anschlägen je Minute unter Berücksichtigung aller Pausen insgesamt 4 Stunden. Wie viel Zeit (in Stunden, Minuten und Sekunden) benötigen dann zwei Schreibkräfte für einen Schriftsatz von Anschlägen bei einer Leistung von 200 Anschlägen je Minute? Aufgabe 3: Die Fa. Taff&Co. fertigt im Monat 225 Kaffeeautomaten. Durch den Übergang von der 38- zur 40-Stunden-Woche und der Senkung der Mitarbeiterzahl von 500 auf 400 soll auf die veränderten Wettbewerbsbedingungen reagiert werden. Um welchen Faktor müßten neue Maschinen rationeller arbeiten, wenn eine Monatsproduktion von 400 Automaten angestrebt wird? Aufgabe 4: Für die Erstellung des Rohbaus einer Fertigungshalle stehen insgesamt 48 Arbeitstage zur Verfügung, wenn der Auftrag termingerecht erfüllt werden soll. Dazu waren 14 Arbeitskräfte eingeplant worden. Nach 20 Tagen konnte aber erst ein Viertel des Rohbaus fertig gestellt werden. Wie viel Arbeitskräfte müssen zusätzlich eingestellt werden, wenn der Termin eingehalten werden und durch den Einsatz weiterer Maschinen die Leistung je Arbeitskraft verdoppelt werden soll? Aufgabe 5: Die Fertigung von 48 Herrenmäntel erforderte den Einsatz von 8 Näherinnen, die bei einer täglichen Arbeitszeit von 8Std den Auftrag in 12 Tagen erledigen konnten. Damit ein dringender Anschlussauftrag über 63 Mäntel in 8 Tagen ausgeführt werden kann, wird eine tägliche Arbeitszeit von 9 Std. Vereinbart. Wie viel Näherinnen müssen zusätzlich für die Erledigung dieses Auftrages eingesetzt werden? Aufgabe 6: Für den Transport von t Schotter vom Hafen zur Industriebetrieb setzt ein Fuhrunternehmer an 5 Tagen 8 LKW ein. Dabei wird jedes Fahrzeug von zwei Fahrern abwechselnd gefahren, wobei die tägliche Arbeitszeit jedes Fahrers 6 Std. beträgt. Für einen neuen Auftrag über t kann der Fuhrunternehmer insgesamt 10 LKW einsetzten und für jeden LKW diesmal drei Fahrer einplanen (gleiche Arbeitszeit wie beim ersten Auftrag). In welcher Zeit kann der neue Transport durchgeführt werden? Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 8-

9 Lösungsbruchstriche: Aufgabe 1: ; der Auftrag kann pünktlich erfüllt werden. Aufgabe 2: ; 5,76 Std ergeben: 5 Std., 45 Minuten, 36 Sek. Aufgabe 3: ; der Faktor beträgt 2,11, das sind 111% Steigerung. Aufgabe 4: ; d.h. 1 Arbeitskraft muss zusätzlich eingestellt werden. Hinweis: Im Bedingungssatz fragen wir danach, was beabsichtigt wurde. Wenn nach 20 Tagen erst ein Viertel fertig ist, dann sind doch noch drei Viertel des Rohbaus herzustellen. Benötigen wir also für 1/4 20-Tage, dann doch für 3/4 60 Tage. Damit lautet der Bedingungssatz : 60 Tage - Leistungsfaktor 1-14 Arbeiter Im Fragesatz müssen wir dann nach den restlichen 28 Tagen fragen (48-20), da der Auftrag ja pünktlich in 48 Tagen erledigt werden soll. Damit lautet der Fragesatz : 28 Tage - Leistungsfaktor 2 - x Arbeiter. Alternativ: BS : 20 Tage - 1/4 fertig - Leistungsfaktor 1-14 Arbeiter FS : 28 Tage - 3/4 herzustellen - Leistungsfaktor 2 - x Arbeiter Aufgabe 5: ; d.h. es müssen 6 Näherinnen neu eingesetzt werden. Aufgabe 6: Tage Anmerkung : Da die tägliche Arbeitszeit gleich ist, braucht sie nicht berücksichtigt werden. Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 9-

10 Aufgabe 7: Aufgab 8: Für die Verlegung einer 10 km langen Versorgungsleitung soll ein Graben von 0,5 m Breite und 1m Tiefe ausgehoben werden. Damit der Graben in 20 Arbeitstagen fertiggestellt werden kann, wird der Einsatz von 10 Arbeitskräften mit einer täglichen Arbeitszeit von 8 Std. vorgesehen. Bevor mit den Arbeiten begonnen wird, muss die Planung geändert werden, da gleichzeitig weitere Versorgungsleitungen mit verlegt werden können. Die neuen Daten lauten: 0,9 m Breite, 1,5 m Tiefe und Fertigstellung in 18 Tagen. Durch den Einsatz weiterer Maschinen soll die Leistungsfähigkeit um 1/5 erhöht werden. Wie viel Arbeitskräfte müssen u.u. zusätzlich eingesetzt werden, wenn die tägliche Arbeitszeit weiterhin 8 Std. beträgt? In einem Industriebetrieb wird für das Zentrallager das vorhandene Lochkartensystem umgestellt. 8 Angestellte mussten dabei an 12 Tagen jeweils 2 Std arbeiten, um Lochkarten vorzubereiten. Für weitere 9000 Lochkarten können zwar 10 Angestellte für täglich drei Stunden eingesetzt werden, jedoch ist aufgrund der jetzt vorhandenen Qualifikation die Gesamtleistung der Gruppe 20% geringer als die der ersten Gruppe. In wie viel Tagen hat die 2. Gruppe den Auftrag ausgeführt? Aufgabe 9: Die Inventurarbeiten in den Abteilungen eines Industriebetriebs sollen in 8 Tagen von 12 Arbeitskräften erledigt werden. Nach 4 Tagen sind erst 2/5 der Inventurarbeiten erledigt. Wie viel Arbeitskräfte müssen ab dem 6.Tag zusätzlich eingesetzt werden, damit der vorgesehene Termin eingehalten werden kann? Aufgabe 10: Der Verwalter kaufte für eine Wohnanlage Liter Heizöl ein und hoffte, 4 Wochen damit auskommen zu können, wenn er die Heizleistung des Brenners nur zur Hälfte nutzen würde. Da aber ein harter Winter vorausgesagt wurde, rechnet er mit einem 20% höheren Verbrauch und kaufte noch Liter nach. Wie viel Wochen länger oder kürzer als ursprünglich kalkuliert, konnte er nun heizen? Aufgabe 11: Eine Kolonne mit 12 Arbeitern hebt einen Graben von 40 m Länge, 0,7 m Tiefe und 1 m Breite in 3 Tagen aus. Wie viel Arbeiter müssen eingesetzt werden, wenn ein Graben von 80 m Länge, 1 m Tiefe und 1,4 m Breite in 2 Tagen ausgehoben werden soll und die Leistungsfähigkeit der Arbeiter gleichzeitig durch den Einsatz moderner Maschinen vervierfacht wird? Aufgabe 12: Eine Schiffsladung Getreide von 700 t (Tonnen) kann mit zwei Saughebern von je 50 t Saugleistung je Stunde in 7 Stunden gelöscht werden. In welcher Zeit kann eine Ladung von 940 t gelöscht werden, wenn zusätzlich ein dritter Saugheber mit einer Leistung von 60 t/std. eingesetzt wird? Aufgabe 13: Die Projektleitung einer Unternehmung plant eine Vorgabezeit von 45 Arbeitstagen für die Herstellung einer Werkzeugmaschine. Dazu sind 18 Arbeitskräfte mit einer täglichen Arbeitszeit von 8 Std. erforderlich. Nach 9 Arbeitstagen erkrankten drei Arbeitskräfte, die nicht ersetzt werden konnten. Ihre Arbeitsunfähigkeit erstreckte sich über einen Zeitraum von 9 Arbeitstagen. Ermitteln Sie, wie viel Überstunden während der Krankheitszeit je Mitarbeiter und Arbeitstag anfielen, wenn der geplante Termin eingehalten werden soll! Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 10-

11 Aufgabe 14: Der Umbau eines Lagers kann mit drei Arbeitskräften in 10 Tagen erfolgen, wenn die tägliche Arbeitszeit 8 Stunden beträgt. a.) Wie viel Arbeitskräfte müssen hinzugezogen werden, um den Umbau in 6 Tagen bei unveränderter täglicher Arbeitszeit auszuführen? b.) Wie viel Überstunden müssen täglich gemacht werden, wenn es nicht gelingt, weitere Arbeitskräfte einzusetzen, der Umbau jedoch in 6 Tagen durchgeführt werden soll? c.) Auf wie viel Stunden muss die tägliche Arbeitszeit verändert werden, wenn der Umbau in der vorgesehenen Zeit von 6 Tagen unter Einsatz einer zusätzlichen Arbeitskraft erfolgen soll? Aufgabe 15: In einer Werkhalle wurden 48 Leuchtstofflampen installiert, die bei durchschnittlich 6- stündiger Brenndauer in 30 Tagen Stromosten in Höhe von 210,00 i verursachen. Wie hoch sind die Stromkosten für 28 Tage, wenn 6 weitere Lampen mit gleicher elektrischer Leistung eingeschaltet werden und die durchschnittliche Brenndauer auf 7 Stunden pro Tag erhöht wird? Lösungsbruchstriche: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 12 Arbeiter - 4 Tage - 2/5 12 Arbeiter - 1 Tage - x daraus folgt : x = 1/10 d.h. nach 5 Tagen haben 12 Arbeiter (2/5 + 1/10 = 5/10 = 1/2) die Hälfte geschafft. Es muss noch eine weitere Hälfte fertig gestellt werden. 1/2-5 Tage - 12 Arbeiter 1/2-3 Tage - x Arbeiter Daraus folgt : x = (5 *12) / 3 = 20 Arbeiter. Antwort: 8 Arbeiter müssen zusätzlich eingestellt werden. Aufgabe 10: Antwort: eine Woche länger. Aufgabe 11: Aufgabe 12: Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 11-

12 Aufgabe 13: vor der Krankheit : 18 Arb - 9 Tage - 8 Std. nach der Krankheit: 15 Arb - 9 Tage - x Std. daraus folgt: Aufgabe 14: a.) x daraus folgt: x = 5, d.h. 2 mehr b.) x daraus folgt: c.) x - 4 daraus folgt: x = ; d.h. 2 mehr Aufgabe 15: x daraus folgt: Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 12-

13 Prozentrechnung Mit Hilfe der Prozentrechnung werden vorgegebene, absolute Zahlen vergleichbar gemacht. Problem: In der IHK-Abschlussprüfung bestanden von 500 Auszubildenden im Ausbildungsberuf Industriekaufmann/-frau 425 Auszubildende die Prüfung, von 300 Auszubildenden im Ausbildungsberuf Bürokaufmann/-frau 240 Auszubildende. Welche Ausbildungsgruppe hat die größte Erfolgsquote? Analyse: In der ersten Gruppe haben 75 Personen, in der zweiten 60 Personen die Prüfung nicht bestanden. Diese absoluten Zahlen haben jedoch wenig Aussagekraft, da die Bezugsgröße verschieden ist. Um die Frage beantworten zu können, müssen diese Zahlen auf eine gemeinsame Bezugsgröße bezogen werden. Dabei ist es zweckmäßig, als Bezugsgröße die Zahl 100 zu wählen. Mit Hilfe des Dreisatzes erhalten wir dann: Industriekaufmann/-frau Bürokaufmann/-frau von 500 bestanden 425 von 300 bestanden 240 von 100 bestanden x von 100 bestanden x Interpretation: Von 100 Personen bestanden 85 Von 100 Personen bestanden 80 Personen. Personen. Definition : Bezieht man die Werte auf Hundert, so verwendet man hierfür die Bezeichnung Prozent (lat. Pro centum = hundert). Aussage : Von der Gruppe Industriekaufmann/-frau haben 85% der Prüflinge bestanden, während von der Gruppe Bürokaufmann/-frau nur 80% der Prüflinge bestanden haben. Nach den absoluten Zahlen ohne Berücksichtigung der unterschiedlichen Bezugsgrößen hätte sich eine andere Aussage ergeben. Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 13-

14 Beispiel: Von der Gruppe der zahnmedizinischen Fachangestellten haben 87,5% die Abschlussprüfung bestanden. Zur Prüfung hatten sich 120 Personen angemeldet. Wie viel Personen haben die Prüfung bestanden? Mit Hilfe des Dreisatzes folgt: 100 % sind 120 Personen 87,5 % sind x Personen Antwort : 105 Personen haben die Prüfung bestanden. Merke: Bsp.: Die Bezugsgröße beträgt immer 100% (Grundwert) Preissteigerung Die bisherige Miete in Höhe von 420,00 i für ein Appartement wird um 4 % erhöht. Berechnen Sie die neue Miete. Alte Miete + Mieterhöhung = Neue Miete 100 % + 4 % = 104 % 420,00 i + 16,80 i = 436,80 i Grundwert + Prozentwert = vermehrter Grundwert Bsp.: Preissenkung Der bisherige Preis für ein Bekleidungsstück wird um 20 % gesenkt. Berechnen Sie den neuen Preis. Alter Preis - Preissenkung = Neuer Preis 100 % - 20 % = 80 % 120,00 i - 24,00 i = 96,00 i Grundwert - Prozentwert = verminderter Grundwert Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 14-

15 Analyse: Diese Beispiele zeigen die wichtigen Formeln der Prozentrechnung. Beispiel: Der Preis einer Ware wurde Anfang des Jahres um 5 % angehoben. Im Rahmen eines Firmenjubiläums wurde der Preis am Jahresende um 10 % gesenkt. Berechnen Sie den ursprünglichen Preis, wenn der Artikel im Rahmen des Jubiläumsverkaufs mit 299,00 i ausgezeichnet wurde. Lösung: Preis am Anfang des Jahres vor der Erhöhung 100 % + Preiserhöhung (5%) 5 % Preis nach der Erhöhung 105 % 100 % - Jubiläumsrabatt (10%) 10 % Jubiläumspreis 299,00 i 90 % Beispiel: Der Umsatz einer Filiale betrug im Mai 4% mehr als im April. Im Juni konnte der Umsatz noch einmal um 3%, das waren ,00 i gesteigert werden. Berechnen Sie die Umsätze in den Monaten April, Mai und Juni. April Steigerung Mai 100% 4% 104% Steigerung Juni 100% 3% 103 % Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 15-

16 Eine wichtige Anwendung der Prozentrechnung stellt die Warenhandelskalkulation dar, mit deren Hilfe Einzel- und Großhändler die Verkaufspreise für ihre Waren kalkulieren können. Die folgende Tabelle zeigt das entsprechende Kalkulationsschema mit Beispielprozentsätzen.. Bsp.: Berechnen Sie den Ladenpreis für einen LCD-Fernseher bei einem Listeneinkaufspreis von 755,00 i. Bezugskosten: 14,12 i.. Listeneinkaufspreis 100 % - Liefererrabatt 20 % Zieleinkaufspreis 80 % 100 % - Liefererskonto 3% Bareinkaufspreis 97 % + Bezugskosten Bezugspreis 100 % + Handlungskosten 22 % Selbstkosten 122 % 100 % + Gewinn 7 % Barverkaufspreis 97 % 107 % + Kundenskonto 3 % Zielverkaufspreis 100 % 95 % + Kundenrabatt 5 % Verkaufspreis (netto) 100 % 100 % + Umsatzsteuer 19 % Bruttoverkaufspreis 119 % Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 16-

17 Übungen zur Prozentrechnung Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Am Gesamtumsatz einer Bäckerei in Höhe von ,00 i sind die Filialen A mit ,00 i, B mit ,00 i, C mit ,00 i und D mit ,00 i beteiligt. Berechnen Sie die prozentualen Anteile der Filialen am Gesamtumsatz. Nach einer Mieterhöhung von 4% zahlt ein Mieter die neue Monatsmiete in Höhe von 312,00 i. Berechnen Sie die Erhöhung in i und die Miete vor der Erhöhung. Nach einer Preissenkung um 45 i wurde ein Artikel im Laden mit 405,00 i ausgezeichnet. a.) Um wie viel Prozent wurde der bisherige Ladenpreis reduziert? b.) Berechnen Sie den alten Ladenpreis. Beim Kauf eines Schreibtisches gewährt ein Händler dem Kunden an der Kasse Rabatt und Skonto. Nach Abzug von 10% Rabatt und 2% Skonto zahlte der Kunde einen Betrag in Höhe von 423,36 i. Mit welchem Preis war der Schreibtisch in der Ausstellung ausgezeichnet worden. Die Umsätze einer Filiale unterlagen von Monat zu Monat bestimmten Schwankungen. So konnte der Umsatz vom November im Dezember um 12%, das waren ,00 i, erhöht werden, während er im Januar um 8% niedriger war als im Vormonat. Berechnen Sie die Umsätze im November, Dezember und Januar. Ein Wirtschaftsgut wird degressiv mit 20% vom jeweiligen Buchwert abgeschrieben. Der Abschreibungsbetrag im dritten Jahr beträgt dabei ,00 i. Wie groß war der Anschaffungswert? Eine Preiserhöhung kann indirekt dadurch erfolgen, dass man bei gleichem Verkaufspreis die Menge reduziert. Um wie viel Prozent wurde der Preis einer Ware erhöht, wenn der Packungsinhalt von 250g auf 200 g reduziert wird? Bei einer Bestellung über 135 Stück erhält der Kaufmann zusätzlich 15 Stück, die nicht berechnet werden. Welchem Rabattsatz entspricht diese Warendraufgabe? (Hinweis: gelieferte Menge = 100%) Welchem Rabattsatz entspricht eine Warendreingabe, bei der von 135 Stück nur 120 Stück berechnet werden? Aufgabe 9: Ein Artikel kostete zunächst 1.250,00 i. Dieser Ladenpreis wurde um einen bestimmen i - Betrag erhöht. Nach einiger Zeit wurde der Preis noch einmal um den gleichen Betrag erhöht. Der Ladenpreis betrug jetzt 1.350,0 i. Wie viel Prozent betrugen die jeweiligen Erhöhungen? Aufgabe 10*: Der Anschaffungswert einer Maschine betrug ,00 i. Nach dem zwei Jahre lang mit dem gleichen Abschreibungsprozentsatz degressiv abgeschrieben wurde, beträgt der Buchwert noch 8.670,00 i. Berechnen Sie den Abschreibungsprozentsatz. Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 17-

18 Aufgabe 11*: Ein Kioskbesitzer kauft 200 Liter Orangensaft und 300 Liter Apfelsaft. Er erhält auf den Orangensaft 8% Rabatt und auf den Apfelsaft 10 % Rabatt. Nach Abzug des Rabattes überweist er 1908,00 i, Wären ihm auf den Orangensaft 10% Rabatt und auf den Apfelsaft 8% Rabatt gewährt worden, so hätte er 6,00 i mehr zahlenmüssen. Wie viel i kostet ein Liter Orangensaft und ein Liter Apfelsaft? (Lö: 4,50 i und 4,00 i) Aufgabe 12*: Von zwei Rechnungen konnten wir von dem ersten 2% Skonto und von dem zweiten 3% Skonto abziehen. Der Abzug für beide Rechnungen betrug zusammen 108,00 i. Hätte man von jeder Rechnung 2,5% Skonto abziehen dürfen, so hätte die Skontoersparniss insgesamt nur 100,00 i betragen. Berechnen Sie den Rechnungsbetrag der Rechnung Nr.1 und Rechnung Nr. 2 Lösungen: Aufgabe 1: A 28%, B 52%, C 12,5%, D 7,5% Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: a.) 12 i; b.) 300 i a.) 10% ; b.) 450 i 480 i Nov i; Dez i; Jan i Anschaffungswert: ,00 i Aufgabe 7: 25% Aufgabe 8: 10% Aufgabe 9: Jede Preiserhöhung machte den Betrag von 50 i aus. Mit Hilfe des Dreisatzes folgt dann für die erste Erhöhung der Wert von 4%. Die zweite Erhöhung erfolgt von i aus auf i. Diese Erhöhung entspricht einem Aufschlag von 3,846%. 2 Aufgabe 10: = q ; q = 0,85 d.b. p = 15% (Abschreibungssatz) Aufgabe 11: Gleichungssystem aufstellen! (200 x) 0,92 + (300 y) 0,9 = 1908 (200 x) 0,9 + (300 y) 0,92 = x y = x y = 1914 Daraus folgt: x = 4,50 i und y = 4,00 i Aufgabe 12: x 0,02 + y 0,03 = 108 x 0,025 + y 0,025 = 100 x = i (Rechnung1) und y = i (Rechnung 2) Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 18-

19 Zinsrechnung Zinsen sind der Preis, den der Schuldner dem Gläubiger für das Überlassen von Kapital zu zahlen hat. Dieses Entgelt wird z.b. fällig für Bankkredite, bei Zielgeschäften, beim Zahlungsverzug und durch im Lager gebundenes Kapital. Die Höhe der Zinsen hängt ab 1. von der Höhe des überlassenen Kapitals; 2. vom Zinssatz p. a. (per annum); 3. von der Laufzeit, für die das Kapital dem Schuldner überlassen wird. Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Die Größen der Prozentrechnung heißen in der Zinsrechnung: Jahreszinsen Grundwert Kapital (K) Prozentsatz Zinssatz (p) Prozentwert Zinsen (Z) Neuer Faktor Zeit (n,t,i ) Beispiel: Wir nehmen einen Kredit bei einer Bank über ,00 i für 3 Jahre auf. Wie viel Zinsen müssen in diesem Zeitraum bei einem Zinssatz von 5% p. a. gezahlt werden. Überlegung zunächst für ein Jahr: 100 % des Kapitals = % des Kapitals = 5 % des Kapitals = Für n-jahre, in diesem Falle n = 3, gilt dann: Zinsen für 3 Jahre = Setzt man nun Platzhalter ein, so lautet die Formel allgemein: Merke: Die Jahreszinsformel kann nur dann angewandt werden, wenn z.b. ein Geldinstitut die jährlich anfallenden Zinsen von dem Sparkonto auf das Girokonto überweist, d.b. in jedem n-ten Jahr ist nur das Kapital K zu verzinsen. Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 19-

20 Monatszinsen Beispiel: Unser Kunde ist seit 2 Monaten mit der Rechnung R205-06, Betrag 4.200,00 i, in Verzug geraten. Für das notwendige Mahneschreiben sind 9% Verzugszinsen zu berechnen. Tageszinsen Sollen die Zinsen für beliebige Tage i, 0 < i <360, berechnet werden, so folgt aus der Jahreszinsformel die sogenannte Tageszinsformel wie folgt: Beispiel: Analyse: Unser Kunde ist seit dem mit der Rechnung R205-06, Betrag 4.200,00 i, in Verzug geraten. Für das notwendige Mahneschreiben am sind 9% Verzugszinsen zu berechnen. Bevor die Tageszinsformel angewandt werden kann, müssen zunächst die Tage zwischen dem und dem bestimmt werden. Dafür gelten z.z. die folgenden Regeln für Zinstage: In der Zinsrechnung sind 1 Jahr = 360 Tage und 1 Monat = 30 Tage Der 31. Tag des Monats wird nicht berechnet. Beim Errechnen der Zinstage wird der 1. Tag des Zeitraumes nicht mitgezählt. Als Zinsmonat hat der Februar 30 Tage. Für unser Beispiel folgt damit: i = 68 Tage Kaufmännische Rechenverfahren - Seite 20-