Anleitung zum Ausführen der vier Grundrechenarten mit dem japanischen Abakus ( Soroban )

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1 Grundlagen 1 1 Grundlagen Anleitung zum Ausführen der vier Grundrechenarten mit dem japanischen Abakus ( Soroban ) Abb. 1: Ein Soroban mit dem 4+1-System, 15 Stäben und einem Rückstellmechanismus Der Soroban ist die japanische Form des Abakus, eine Weiterentwicklung des chinesischen Suanpan. Typisch für diese Art von Rechenbrett sind die doppelkegelförmigen Perlen, die sich besonders gut greifen lassen und die zwei getrennten Bereiche. Im oberen, traditionell auch Himmel genannt, befindet sich auf jedem Stab eine Perle, die den Wert 5 hat, im unteren, der Erde, je nach Ausführung vier oder fünf weitere, die jeweils den Wert 1 haben. Die traditionelle Form mit 5+1 Perlen wurde von den Chinesen übernommen, nach etwa 1920 setzen sich aber das 4+1-System durch. Dies genügt auch völlig um die Ziffern von 0 bis 9 dazustellen, durch die reduzierte Anzahl an Perlen können auf dem Soroban auch sehr hohe Rechengeschwindigkeiten erreicht werden. Der Soroban wird nur mit dem Daumen und dem Zeigefinger der rechten Hand bedient: Der Daumen bewegt Perlen zur Mitte des Geräts hin, die Abwärtsbewegung wird mit dem Zeigefinger durchgeführt. Die obere Perle wird nur von dem Zeigefinger berührt. Abb. 2: Fingerhaltung beim Bedienen des Soroban: Nur die Aufwärtsbewegung im unteren Teil wird mit dem Daumen ausgeführt, für alles andere wird der Zeigefinger verwendet

2 Zahlen darstellen 2 2 Zahlen darstellen 1.1 Soroban in Grundstellung bringen Der Soroban wird, wie auf den Bildern oben, quer gehalten so, dass der Bereich mit den vier bzw. fünf Perlen unten liegt. Jeder der Stäbe stellt eine Dezimalstelle dar, zur besseren Übersichtlichkeit ist außerdem jeder dritte Stab entweder durch einen Punkt auf dem Mittelsteg oder durch eine farbige Perle markiert (s. Abb. 1). Im Gegensatz zu z.b. dem russischen Stschoty gibt es allerdings keine besondere Markierung für den Dezimalpunkt. Üblicherweise wird der erste markierte Stab rechts von der Mitte des Abakus für die Darstellung der Einer-Stelle verwendet, bei dem Abakus hier also der zehnte Stab. Ist bereits abzusehen, dass die gewünschten Zahlen so nicht dargestellt werden können, soll also z.b. mit möglichst vielen Nachkommastellen gerechnet werden, kann der Einer- Stab natürlich auch anders gewählt werden. Abb. 3: Soroban in Grundstellung Die Ziffern werden dann von links nach rechts abgelesen In der Grundstellung befinden sich die Perlen möglichst nahe am äußeren Rahmen, d.h. die Himmelsperlen werden nach oben geschoben, die Erdperlen möglichst weit nach unten. 1.2 Eine Zahl darstellen Um eine Zahl darzustellen wird für jede der Zehnerpotenzen die passende Anzahl an Perlen in Richtung der Mittelschiene geschoben. Für die Ziffern 1 bis 4 sind dies die unteren vier Perlen, wobei von der Mitte aus nach unten gezählt wird. Sobald Ziffern 5 dargestellt werden sollen wird die Perle im oberen Bereich nach unten geschoben und die entsprechende Anzahl an 1er-Perlen dazu addiert. Im untenstehenden Bild ist also die Zahl = ,426 zu sehen.

3 Zahlen addieren 3 Abb. 4: Darstellung der Zahl , 426 Das nachfolgende Beispiel zeigt, wie das Zählen von 1 bis 9 auf einem Soroban aussieht: Abb. 5: Zählen von 1 bis 9 3 Zahlen addieren Im Folgenden wird ein Beispiel für die Addition zweier Zahlen, 58,3 und 4,51, beschrieben. 2.1 Ersten Summanden darstellen Zunächst wird der erste Summand auf die oben beschriebene Weise dargestellt. Im Beispiel hier die Zahl 58,3.

4 Zahlen addieren 4 Abb. 6: Darstellung des ersten Summanden 58, Zweiten Summanden hinzufügen Abb. 7: Erste Schritte zum Addieren von 4, 51 Abb. 8: Beim Addieren der Einer tritt ein Übertrag auf Um eine Zahl zu der dargestellten zu addieren werden der Reihe nach so viele weitere Perlen zur Mittelschiene hin verschoben, wie es der Darstellung des zweiten Summanden, hier 4,51, entspricht. Um nicht durcheinander zu kommen geht man dabei am besten die Ziffern von rechts nach links durch. Im Beispiel hier addiert man also zunächst 1 Hundertstel indem eine der unteren Perlen auf dem zugehörigen Stab nach oben geschoben wird. Anschließend werden 5 Zehntel addiert, dazu bewegt man die Himmelsperle des zugehörigen Stabes nach unten in Richtung der Mittelschiene. Auf dem Einer-Stab müssen für den letzten Schritt zu den dort bereits dargestellten 8 Einer noch vier addiert werden. Da jeder Stab nur die Ziffern 0 bis 9 darstellen kann, tritt hierbei ein Übertrag auf. 2.3 Einen Übertrag verarbeiten Abb. 9: Zehner-Ausgleich beim Soroban Zunächst werden noch so viele Perlen verschoben wie es möglich ist, hier 1 (s. Abb. 8). Anschließend ist auf dem Einer-Stab eine 9 dargestellt, die größte darstellbare Ziffer. Die Perlen auf diesem Stab werden wieder in Grundstellung gebracht und zum Ausgleich 1 auf dem

5 Zahlen subtrahieren 5 Stab links davon addiert. Da im Gegensatz zu vielen anderen Abakussen, die 10 Kugeln pro Stab haben, der Soroban auf jedem Stab nur höchstens die 9 darstellen kann, zählt das Durchführen des Übertrags bereits als ein Additionsschritt, d.h. im letzten Schritt werden nur noch zwei der Erdperlen nach oben geschoben. Abb. 10: Addieren der verbleibenden 2 Einer und Ablesen des Ergebnisses Auf diese Weise wurden insgesamt 4 Einer addiert: 3 durch das Verschieben von Erdperlen und 1 Einer durch den Übertrag. Hieran wird ein weiterer Vorteil des Sorobans deutlich: Während bei vielen anderen Abakussen, z.b. dem russischen Stschoty oder dem in Deutschland verbreiteten Rechenbrett der Zehner- Ausgleich einen zusätzlichen Schritt bedeutet, zählt er hier bei den Additionsschritten mit, man spart also wieder Zeit. Der Soroban zeigt nun das Ergebnis der Rechnung, 58,3 + 4,51 = 62,81, an. Für andere Überträge verfährt man ebenso: Sobald auf einem der Stäbe eine 9 dargestellt ist, aber noch weiter addiert werden muss, bringt man die Perlen auf dem fraglichen Stab in die Grundstellung zurück, addiert auf dem Stab links davon eine 1, zählt dies als Additionsschritt mit und addiert anschließend auf dem ursprünglichen Stab weiter. 4 Zahlen subtrahieren Um eine Subtraktion durchzuführen wird auf die gleiche Weise wie oben verfahren. Als Beispiel wird hier, die Rechnung von oben umgekehrt, also 62,81 4,51 berechnet. Zunächst wird die erste Zahl der Rechnung, der Minuend, dargestellt, hier also 62,81 (s. Abb. 10, unten). Anschließend werden der Reihe nach so viele Perlen auf den Stäben subtrahiert, wie es der Darstellung des Subtrahenden, hier 4,51, entspricht. Dabei geht man in diesem Fall die Ziffern am besten von links nach rechts durch. Zunächst müssten also 4 Einer-Perlen zurück nach rechts geschoben werden.

6 Zahlen subtrahieren 6 Abb. 11: Der erste Schritt der Subtraktion Abb. 12: Verarbeiten des Übertrags beim Subtrahieren Hierbei tritt wieder ein Übertrag auf, denn auf dem Einer-Stab sind nur 2 Perlen oben. Diese werden zunächst nach unten geschoben (Anzeige: 60,81) und anschließend der Übertrag verarbeitet. Dazu wird zunächst auf dem Zehner Stab 1 subtrahiert und zum Ausgleich auf dem Einer- Stab rechts davon alle Perlen zum Mittelsteg geschoben der Soroban zeigt nun 59,81 an, auf diese Weise wurde also ein weiterer Einer subtrahiert! Zuletzt muss also nur noch eine weitere Erdperle nach unten verschoben werden. Auf diese Weise wurden die 4 Einer des Subtrahenden abgezogen: Drei direkt durch Verschieben von Einer-Perlen und eine weitere durch den Übertrag. Abb. 13: Die letzten Schritte der Subtraktion und das Ergebnis werden. Anschließend kann das Ergebnis 58,3 direkt abgelesen werden. Der Übertrag wird hier also genau umgekehrt wie bei der Addition durchgeführt: Stehen auf einem Stab keine Perlen mehr zur Verfügung wenn aber noch mehr bewegt werden müssten, wird auf dem Stab mit der nächsthöheren Potenz 1 subtrahiert und die Perlen auf dem Ausgansstab anschließend alle zum Mittelsteck verschoben, also dort eine 9 dargestellt. Anders als bei dem klassischen Rechenbrett oder z.b. dem russischen Stschoty ist dies aber nicht nur ein Mittel zum Zweck, sondern entspricht bereits einer Subtraktion von 1 auf dem Ausgangsstab! Im Anschluss daran wird dort also eine Perle weniger bewegt (s. Beispiel oben). Für die Rechenaufgabe von oben muss anschließend nur noch 0,5 durch Verschieben der Zehntel-Himmelsperle und 0,01 durch Verschieben der Hundertstel-Erdperle subtrahiert

7 Multiplikationen 7 5 Multiplikationen Eine Multiplikation zweier beliebiger natürlicher Zahlen a und b kann z.b. als wiederholte Addition einer der beiden Faktoren durchgeführt werden: a b = a + a+... +a b Summanden = b + b+... +b a Summanden Diese Vorgehensweise wird allerdings schnell aufwendig, da für a b mindestens a einzelne Additionen durchgeführt werden müssen. Eine Alternative ist es, das Standardverfahren zur schriftlichen Multiplikation auf den Abakus zu übertragen. Als Beispiel wird nun die Rechnung zu 54 7 beschrieben. Mithilfe der schriftlichen Multiplikation erhält man das Ergebnis, indem der zweite Faktor mit jeder Ziffer des ersten Faktors multipliziert und die einzelnen Zwischenergebnisse, gewichtet nach der zugehörigen Zehnerpotenz, anschließend addiert werden: Abb. 14: Ausgangsstellung für die Multiplikation Dieses Vorgehen kann auch auf einem Abakus durchgeführt werden. 4.1 Vorbereitung Zunächst wird der erste Faktor, hier die 54, dargestellt. Dabei wird allerdings die oben beschriebene Zehner-Wertung der Stäbe ignoriert und die Zahl so dargestellt, dass die höchste Stelle ganz links ist. Anschließend wird ein Stab freigelassen, der den Malpunkt darstellt und vor allem als Trennlinien zwischen den Faktoren dient. Daneben wird dann der zweite Faktor dargestellt, hier die 7. Diese Darstellung dient vor allem als Merkhilfe. Ist bereits absehbar, dass die Darstellung der beiden Faktoren, der Trennstab und das Ergebnis mehr Stäbe benötigen, als der Soroban hat, kann darauf auch verzichtet werden (s. unten). Anschließend wird, wie in der Rechnung oben, die schriftliche Multiplikation angewendet, wobei man die einzelnen Ziffern von Abb. 15: Darstellung des ersten Zwischenergebnisses

8 Multiplikationen 8 rechts nach links durchgeht. Im Beispiel hier wird also zunächst 4 7 im Kopf ausgerechnet. Das Ergebnis, 28, wird dann auf der rechten Seite des Sorobans dargestellt. Um den Platz bestmöglich auszunutzen wird die hinterste Stelle auf dem Stab ganz rechts platziert. Abb. 16: Addieren des zweiten Zwischenergebnisses und Ablesen des Ergebnisses Anschließend wird die nächste Ziffer des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor multipliziert, hier also 5 7 = 35 berechnet. Dieses Zwischenergebnis wird dann nun zu dem ersten hinzuaddiert. Genau wie bei der schriftlichen Multiplikation muss dabei aber die passende Zehnerpotenz berücksichtigt werden, d.h. es wird nicht , sondern berechnet, indem der zweite Stab von rechts zur Darstellung der Einer-Stelle verwendet wird. Tritt dabei ein Übertrag auf, wird dieser genauso verarbeitet, wie oben bei der Addition beschrieben wurde, d.h. wird auf einem Stab bereits eine 9 dargestellt, auch wenn noch weitere Perlen verschoben werden müssten, werden alle Perlen auf diesem Stab wieder in die Grundstellung gebracht und zum Ausgleich auf dem Stab links davon 1 addiert. Dieses Verfahren kann auch mit Faktoren angewendet werden, die beide mehrere Stellen haben, z.b. bei der Rechnung Die Darstellung der beiden Faktoren und des Ergebnisses würde 14 Stäbe benötigen. Um die Rechnung übersichtlich zu halten, wird daher auf die Darstellung der beiden Faktoren verzichtet und die einzelnen Zwischenergebnisse entweder im Kopf ausgerechnet, oder auf die gleiche Art und Weise bestimmt, wie oben beschrieben wurde. Abb. 17: Ausführen einer Multiplikation mit mehrstelligen Faktoren

9 Division und Modulo-Rechnen 9 Das gleiche Verfahren kann auch für Dezimalbrüche angewendet werden. Dazu multipliziert man beide Faktoren so mit einer geeigneten Zehnerpotenz k, dass keiner der beiden Faktoren mehr eine Nachkommastelle hat. Statt 1,35 2,4 rechnet man also auf die oben beschriebene Art und Weise. Abschließend teilt man das Ergebnis, 32400, durch k 2 und erhält also 1,35 2,4 = 3,24. 6 Division und Modulo-Rechnen Die Division kann, analog zum vorherigen Kapitel, als Abfolge von Subtraktionen dargestellt werden. Dazu wird von dem Dividenden wiederholt der Divisor abgezogen, bis das Ergebnis kleiner als Null werden würde. Die Anzahl der Subtraktionen wird mitgezählt und stellt dann das Ergebnis der Division dar. Im Folgenden wird das Beispiel 15: 4 beschrieben. Um dieses Verfahren mit einem Soroban durchzuführen wird der Dividend, hier die 15, auf dem Abakus dargestellt. Anschließend wird so lange, wie es möglich ist, der Divisor, hier 4, davon subtrahiert und nach jeder Subtraktion ein Zähler, z.b. der ganz rechte Stab, um 1 hochgesetzt. Abb. 18: Beispiel-Division 15:4 Das Ergebnis ist also 15: 4 = 3 Rest 3. Auf dieser Art und Weise wird also nur die Division mit Rest durchgeführt und falls der Rest nicht Null ist, nicht das exakte Ergebnis der Division bestimmt. Dafür liefert dieses Verfahren aber gleichzeitig auch 15 mod 4, den dies ist gerade der Divisionsrest, also hier 15 mod 4 3 (s. Zähler ). Als Alternative dazu kann auch das schriftliche Dividieren mit dem Soroban umgesetzt werden. Zum Beispiel das Ergebnis der Division 157: 4 erhält man nach der Standardmethode auf die folgende Weise: 157: 4 = : 4 = : 4 = 39, : 4 = 39,

10 Division und Modulo-Rechnen 10 Um dieses Vorgehen auf den Soroban zu übertragen wird der Term zunächst wieder analog zur Multiplikation auf dem Abakus dargestellt. Dabei genügt es allerdings, den Dividenden dazustellen, da die Darstellung des Divisors hier nicht benötigt wird und nur als Merkhilfe dienen würde. Ist dies gewünscht, kann alternativ die Reihenfolge der beiden Zahlen umgedreht und der Dividend rechts vom Divisor dargestellt werden. Anschließend wird auf die gleiche Weise wie oben gerechnet: 1 kann nicht ganzzahlig durch 4 geteilt werden, daher ist die erste auszuführenden Rechnung 15: 4 = 3 Rest 3. Die erste Ziffer des Ergebnisses ist also eine 3. Diese wird möglichst weit links auf dem Abakus dargestellt, da das Ergebnis von links nach rechts entsteht. Anschließend wird das Ergebnis dieser Division, hier 3, mit dem Divisor multipliziert und das Ergebnis von den ersten Ziffern des Dividenden abgezogen, hier also gerechnet. Tritt dabei ein Übertrag auf, wird dieser genauso behandelt, wie bei der Subtraktion oben. Abb. 19: Erste Schritte der schriftlichen Division mit dem Soroban Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis die verbleibende Darstellung des Dividenden nicht mehr ganzzahlig durch den Divisor geteilt werden kann, im Beispiel hier nach dem zweiten Schritt. Der Dividend ist nicht Null, daher wird nun nicht 1: 4, sondern 10: 4 berechnet und im Ergebnis an dieser Stelle ein Komma gesetzt. Dieses kann entweder durch ein paar Perlen markiert werden, oder man merkt sich die Stelle einfach. Abb. 20: Letzte Schritte der Division 157 : 4 Sobald eine der Subtraktionen dazu führt, dass der Dividend Null wird, ist die Rechnung beendet und auf der rechte Seite des Abakus kann nun das Ergebnis, hier 39,25, abgelesen werden. Wie Abb. 20 zeigen wandert die Darstellung des aktuellen Dividenden immer weiter nach rechts. Daher stellt man den Dividenden am Anfang so weit wie möglich links dar. Ist die Rechnung noch nicht beendet, wenn der Dividend rechts angekommen ist und die Darstellung des Ergebnisses überdecken würde, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder wird das bisherige Ergebnis als hinreichend genauer Näherungswert akzeptiert, oder die aktuelle Darstellung des Dividenden auf den

11 Division und Modulo-Rechnen 11 linken Bereich des Sorobans übertragen, die vorherige Darstellung wieder nach oben geschoben und anschließend weitergerechnet. Ebenso muss verfahren werden, wenn auf der rechten Seite nicht mehr genug Stäbe für die Darstellung des Ergebnisses zur Verfügung stehen. Eine Möglichkeit ist es, die bisherigen Ziffern zu notieren, alle Perlen wieder nach oben zu schieben und anschließend weiter zu rechnen. Die beiden Zwischenergebnisse werden dann anschließend zusammengefügt. Alternativ wird die bisherige Darstellung des Ergebnisses nach links übertragen. Die Anzahl der Stäbe eines Abakus begrenzt also nicht nur den Zahlenbereich, der dargestellt werden kann, sondern auch die Genauigkeit der darstellbaren Rechnungen und Zahlen.