Das P=NP-Problem. Besitzen (Entscheidungs-)Probleme mit einer Nichtdeterministischen. deterministische Polynomielle Lösung?

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1 Das P=NP-Problem Besitzen (Entscheidungs-)Probleme mit einer Nichtdeterministischen Polynimiellen Lösung immer auch eine deterministische Polynomielle Lösung? Eines der bekanntesten offenen Probleme der Informatik Nobelpreis-verdächtig

2 Das P=NP-Problem 2 Anmerkungen zum Nichtdeterminismus Manches ist nichtdeterministisch Suchen in Bereichen, unsicheres und unvollständiges Wissen, Expertensysteme, Spiele Gleichwertigkeit ist nichtdeterministisch Auswerten und Beweisen im selben Rahmen Manchmal bequem (und schadet nicht) Einschränken, wenn gewünscht und nötig

3 Das P=NP-Problem 3 Beispiel: Little-Solitaire solitaire opns: solitaire, won: {0, } BOOL move: {0, } {0, } vars: u, v, w {0, } eqns: solitaire(w) = won(move(w)) won(w) = count(, w) = move(u0v) = move(u00v) move(u0v) = move(u00v) move(w) = w

4 Probleme in NP 4 Probleme in NP SAT (Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik) Eingabe: Aussagenlogische Formel f. Ausgabe: Ja gdw eine Belegung der Variablen in f mit True oder False existiert, so dass f gilt. Lösung : Probiere alle 2 k Belegungen O(2 k ) Lösung 2: Rate richtige Belegung O(k)

5 Probleme in NP 5 Aussagenlogische Formel Sei Var eine Menge von Variablen. Menge WFF aller aussagenlogischen Formeln. v Var = v WFF 2. S, S 2 WFF = (S S 2 ), (S S 2 ), S WFF

6 Probleme in NP 6 Beispiel Ein Gerät mit vier 0/-Schaltern befindet sich in einem betriebssicheren Zustand, wenn folgende Schalterstellungen beachtet werden:. Wenn A und B gleich 0, dann C gleich 2. A oder C gleich 3. A, B, C gleich oder B, C, D gleich oder A, D gleich

7 Probleme in NP 7 P=NP-Problem Lässt sich das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik deterministisch in polynomieller Zeit lösen? Entsprechende Frage für viele praktisch relevante Probleme (Maschinenbelegung, Tourenplanung, Handelsreisende, Färbung, Lagerhaltung,... ) * P: alle polynomiell lösbaren (Entscheidungs-)Probleme NP: alle nichtdeterministisch polynomiell lösbaren (Entscheidungs-)Probleme

8 Probleme in NP 8 3SAT (Spezialfall von SAT) 3SAT Eingabe: Aussagenlogische Formel f der Form c c 2 c n, so dass c i : Klausel der Form L L 2 L 3, L j : Literal der Form x oder x x: Variable. Ausgabe: Ja gdw eine Belegung der Variablen in f mit True oder False existiert, so dass f gilt.

9 Probleme in NP 9 TSP TSP (Traveling Salesperson Problem) Eingabe: Ungerichteter Graph G mit natürlichen Zahlen als Kantenmarkierungen und eine Zahl k. 8 Beispiel für G: 40 A 40 E G 8 D H I 5 5 F B J 4 C K 75

10 Probleme in NP 0 Ausgabe: Ja gdw G einen Rundweg p besitzt, der jeden Knoten aus G genau einmal besucht und höchstens k lang ist. Beispiel: Ja für k = A 5 B 7 4 E 8 5 C D F K 5 80 G 30 H I 30 J Rundweg: 247

11 Ordnung auf NP durch Reduktion Ordnung auf NP durch Reduktion Eine Reduktion von dp : A BOOL auf dp 2 : A 2 BOOL ist eine CE-S-Operation red: A A 2, so dass. T red O(n l ) für ein l N 2. für alle w A gilt: dp (w) = dp 2 (red(w)). Schreibweise: dp dp 2

12 Ordnung auf NP durch Reduktion 2 Theorem dp dp 2 und dp 2 P impl. dp P.

13 NP-Vollständigkeit 3 NP-Vollständigkeit Definition dp 0 NP heißt NP-vollständig, falls dp dp 0 für alle dp NP. Theorem dp 0 NP-vollständig und dp 0 P impl. NP P.

14 NP-vollständige Probleme 4 NP-vollständige Probleme Theorem (Cook 7) Das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik ist NPvollständig. Beweisidee: Reduziere jedes Problem aus N P auf SAT. Theorem 3SAT ist NP-vollständig. Beweisidee: Reduziere SAT auf 3SAT.

15 NP-vollständige Probleme 5 Theorem TSP ist NP-vollständig. Beweisidee: Reduziere HAM auf TSP (HAM ist ein Spezialfall von TSP...)

16 NP-vollständige Probleme 6 HAM HAM (Hamiltonian Circuit Problem) Eingabe: Ein ungerichteter Graph G. Beispiel: A B E D C F K G H I J

17 NP-vollständige Probleme 7 Ausgabe: JA gdw G einen Rundweg besitzt, der jeden Knoten genau einmal besucht. Beispiel: A B E D C F K G H I J Beobachtung: HAM ist in NP.

18 NP-vollständige Probleme 8 Reduktion von HAM auf TSP I J C H G D E A B F K I J C H G D E A B F K k:= Anzahl der Knoten in G red(g) G red

19 NP-vollständige Probleme 9 Theorem HAM ist NP-vollständig. Beweisidee: Reduziere DHAM auf HAM...(DHAM ist HAM für gerichtete Graphen...)

20 NP-vollständige Probleme 20 DHAM DHAM (Directed Hamiltonian Circuit Problem) Eingabe: Ein gerichteter Graph G. Beispiel: A B E D C F K G H I J

21 NP-vollständige Probleme 2 Ausgabe: JA gdw G einen Rundweg (in Pfeilrichtung) besitzt, der jeden Knoten genau einmal besucht. Beispiel: A B E D C F K G H I J Beobachtung: DHAM ist in NP.

22 NP-vollständige Probleme 22 Reduktion von DHAM auf HAM. Für jeden Knoten A im Eingabegraph G von DHAM konstruiere G(A) wie folgt: G(A) A A A2 A3

23 NP-vollständige Probleme Für jede Kante von A nach B ziehe eine Kante in red(g) von A3 nach B. Skizze G red(g) A B A B red A2 B2 A3 B3

24 NP-vollständige Probleme 24 Theorem DHAM ist NP-vollständig. Beweisidee: Reduziere 3SAT auf DHAM.