DOWNLOAD. Oberfläche und Volumen von Pyramide, Differenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium. Bernard Ksiazek

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1 DOWNLOAD Bernard Ksiazek Oberfläche und Volumen von Pyramide, Kegel, Kugel Differenzierte Aufgaben zum Üben und Festigen für das Gymnasium Downloadauszug aus dem Originaltitel:

2 Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt.

3 Vorwort Dass eine der wichtigsten Ziele des Mathematikunterrichts darin besteht, die Schüler 1 dazu zu befähigen, Mathematik anzuwenden, ist wohl ebenso unumstritten wie die Tatsache, dass dies ein relativ schwieriges Unterfangen ist. Dies geht erfahrungsgemäß am besten, wenn Sie Ihren Lerngruppen Anwendungsaufgaben aus dem Alltag anbieten können. Und dies fällt bei dem Thema Flächen und Volumen von Figuren und Körpern eigentlich nicht besonders schwer, da diese Thematik fest in unseren Lebensalltag integriert ist. Wir brauchen diese Thematik, um viele alltägliche Situationen zu beschreiben bzw. zu hinterfragen. Es gibt wohl kein Thema im Mathematikunterricht, dass sich so nah an der Umwelt und am gegenwärtigen und zukünftigen Alltag der Schüler orientiert. Das Thema findet sogar seinen eigenen Platz in den mathematischen Leitideen der KMK Bildungsstandards für Mathematik. Weiterhin ist das Thema hervorragend geeignet, um die entsprechenden mathematischen Kompetenzen ( Argumentieren, Problemlösen, Modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen und Kommunizieren ) bei jedem Schüler auszubauen. Ziel der vorliegenden Veröffentlichung ist es, alle wesentlichen Inhalte der Größenthematik für die Klassen 7 bis 10 zu erarbeiten, zu üben und zu vertiefen. Dabei sollen len vor allem auch zahlreiche oben erwähnte mathematische Kompetenzen bei den Schülern ausgebaut ut werden. Bei der Konzeption der Arbeitsblätter wurde in allen Kapiteln eine besondere Akzentuierung ung auf den Aufbau von Größenvorstellungen gelegt. Diese e Größenvorstellungen ellun werden durch Übung und Anwendungen permanent ausgebaut und gefestigt. Innerhalb nerhal der vorliegenden Kopiervorlagen werden unterschiedliche Leistungsniveaus angeboten. Jeder Aufgabe wurden die drei Kompetenzklassen bzw. Anforderungsbereiche der Bildungsstandards ndards zugeordnet 2 : Anforderungsbereich I: Reproduzierenen Dieses Niveau umfasst die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden Begriffen, Sätzen und Verfahren en in einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden den Zusammenhang. Anforderungsbereich ngsbe eich II: Zusammenhänge herstellen Dieses s Niveau umfasst das Bearbeiten en bekannter Sachverhalte, indem Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten verknüpft werden, die in der Auseinandersetzung ng mit Mathematik auf verschiedenen Gebie- ten erworben wurden. Anforderungsbereich III: I: Verallgemeinern und Reflektieren Dieses Niveau umfasst das Bearbeiten komplexer Gegebenheiten u. a. mit dem Ziel, zu eigenen Problemformulierungen, ung n, Lösungen, Begründungen, Folgerungen, Interpretationen oder Wertungen zu gelangen. Die entsprechende nde Angabe befindet sich in Klammern hinter jeder Aufgabe. Dabei steht R für den Bereich Reproduzieren, Z für den Bereich Zusammenhänge herstellen und V für den Bereich Verallgemeinern und Reflektieren. Das Symbol bedeutet, dass die Schüler die Aufgabe im Heft oder auf einem Extrablatt lösen sollen. Wir wünschen Ihnen viel Freude und Erfolg beim Einsatz dieses Buches. Bernard Ksiazek Marco Bettner Erik Dinges 1 Der Einfachheit halber verwenden wir hier die verallgemeinernde Form. Selbstverständlich sind auch alle weiblichen Personen angesprochen

4 Eigenschaften Pyramiden 1 (R) a) Zeichne ein Schrägbild einer quadratischen geraden Pyramide in das Kästchen. b) Trage folgende Begriffe in das Schrägbild ein: Grundfläche, Mantelfläche, Körperhöhe h k, Höhe der Seitenflächen h s, Fußpunkt c) Besitzt eine quadratische gerade Pyramide spezielle Dreiecke bei den Seitenflächen? (Z) Wie viele Flächen, Kanten und Ecken besitzt eine quadratische Pyramide? Flächen Kanten Ecken (V) Beschreibe e mit deinen eigenen Worten die Unterschiede e zwischen einer geraden und einer schiefen Pyramide. Begründe deine e Beobachtungen. n. (Z) Aus welchen Netzen können Pyramiden entstehen? Kreise ein. 2

5 Oberflächenberechnung Pyramide 1 2 (V) Beschreibe, wie sich die Oberfläche einer quadratischen, geraden Pyramide zusammensetzt und verdeutliche die Herleitung der entsprechenden Oberflächenformel. (R) Berechne die Oberfläche. a) a = 15 cm b) a = 4,3 dm c) a = 8,6 cm d) a = 2,4 m h s = 22 cm h s = 11,1 dm h s = 17,5 cm h s = 6,1 m (Z) Berechne die Oberfläche der jeweiligen en quadratischen Pyramiden. a) b) c) d) 7,5 cm 20 cm 19 m 30 cm 44 cm 5 cm 12,6 cm 6,8 cm (Z) Die Cheops-Pyramide steht in Ägypten und ist die älteste und größte Pyramide der Welt. Sie ist 230,33 m lang und 138,75 m hoch. a) Berechne die Ober- und Mantelfläche. b) Die Höhe der Cheops-Pyramide betrug früher 146,59 m. Wie groß war ihre ursprüngliche Oberfläche? c) Um wie viel Prozent ist ihre Oberfläche nun kleiner? 3

6 Oberflächenberechnung Pyramide 2 3 (Z) Die Grundseite a einer quadratischen Pyramide ist 2 dm lang, die Mantelfläche A M beträgt 12 dm 2. Berechne den Oberflächeninhalt O P, die Länge der Seitenkante h s und die Höhe h k. (Z) Berechne die fehlenden Größen einer quadratischen Pyramide. a) b) c) d) e) f) a 132 cm 5,8 cm 4,6 m 88 m h k 60 cm 22 m h s 4,94 cm 8,5 dm 8,94 cm A M 50,6 m 2 O P 138 dm 2 366,98 cm 2 (Z) a) Skizziere ein Pyramidennetz eines regulären eders ers in das Kästchen. b) Berechne den Oberflächeninhalt eines Tetraeders mit einer Seitenlänge von a = 4 Tetra- cm. (V) Gegeben ist eine regelmäßige Sechseckpyramide mit einer Seitenlänge von a. Die Höhe der Pyramide beträgt 2a. Bestimme den Oberflächeninhalt O P in Abhängigkeit von a. 4

7 Volumenberechnung Pyramide 1 4 (R) Notiere die Volumenformel für die Pyramide. Formel: (R) Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide. a) a = 15 cm b) a = 6,5 cm c) a = 8,1 m d) a = 17 dm h k = 22 cm h k = 11 cm h k = 27,9 m h k = 14,9 dm (Z) Berechne das Volumen der jeweiligen Pyramiden. a) b) c) d) 40 cm 14,3 cm 9 m 11,8 m 16,2 dm 28,5 cm 10,9 cm 8 dm Aufgabe 4 (Z) Berechne die Höhe einer quadratischen Pyramide. a) V 24,4 cm 3 P = b) V P = 660 m 3 c) V P = 572,3 dm 3 d) V P = 5203 m 3 a = 4 cm a = 12 m a = 14,6 dm a = 24 m Aufgabe 5 (Z) Wie verhält sich das Pyramidenvolumen einer quadratischen Pyramide, wenn a) sich die Grundseite a verdoppelt? b) sich die Grundseite a verdreifacht? c) sich die Körperhöhe h k verdoppelt? 5

8 Volumenberechnung Pyramide 2 5 (Z) Berechne das Volumen für eine aus vier gleich großen und gleichseitigen Dreiecken bestehenden Pyramide mit einer Kantenlänge von 5 cm aus. (Z) Berechne die Grundseite einer quadratischen Pyramide. a) V = 131,04 m 3 b) V = 1933 cm 3 c) V = cm 3 d) V = 156 dm 3 h = 8 m h = 17,9 cm h = 21,2 cm h = 13 dm (Z) Vergleiche das Volumen der großen Pyramide und das der kleinen Pyramiden. Beachte, dass alle Pyramiden eine Höhe von 95 cm haben. a) b) h k 36 cm 72 cm 36 cm 36 cm 36 cm (Z) Eine gerade Pyramide besitzt eine rechteckige Grundfläche. Die Seitenlängen betragen a = 4 cm und b = 6,5 cm. Die Spitze der Pyramide befindet sich in einem Abstand von 9 cm über der Grundfläche. Berechne das Volumen der Pyramide. Aufgabe 5 (Z) Ein quadratisches Viermannzelt hat eine Seitenlänge von 2,2 m. Die vier Dreieckswände haben die Form gleichseitiger Dreiecke. a) Bestimme die Höhe des Zeltes. b) Bestimme das Volumen des Zeltinnenraumes. 6

9 Vermischte Aufgaben Pyramide 6 (Z) Berechne von einer quadratischen Pyramide O P und/oder V P. a) A M = 216 dm 2 b) A M = 1056 cm 2 c) V P = 24 m 3 d) V P = cm 3 h s = 9 cm h s = 22 cm h k = 8 m h k = 33,9 cm (V) In einem Würfel befindet sich eine quadratische Pyramide. Die Mittelpunkte der Würfelkanten sind die Ecken der Pyramidengrundfläche. Ihre Spitze befindet sich im Mittelpunkt der oberen Würfelfläche. Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide. Die Kantenlänge des Würfels beträgt 8 cm. (Z) Bei einer quadratischen Pyramide sind die Seitenflächen h s = 41 dm hoch und die Oberfläche O P = 2943 dm 2. Berechne die Kanten der Grundfläche. (Z) Gegeben sind zwei Tetraeder. a) Berechne das Volumen und die Kantenlänge von einem Tetraeder mit einem Oberflächeninhalt von 561,18 cm 2. b) Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen von einem Tetraeder mit einer Kantenlänge von 4 dm. 7

10 Eigenschaften Kegel 7 (R) a) Beschrifte den Kegel mit den folgenden Begriffen: Grundfläche, Mantelfläche, Mantellinie s, Körperhöhe h k, Radius r. b) Zeichne ein Kegelnetz in das Kästchen und beschrifte dieses mit denselben Begriffen aus Aufgabe a). h r (Z) Wo findest du in deiner Umwelt Gegenstände, die die Form eines Kegels besitzen. Gib min- destens drei Beispiele an. (V) Tim behauptet, dass er, wenn er den Umfang des Mantelbogens von einem Kegel kennt, immer korrekt rekt den Umfang der Grundfläche im Kopf berechnen kann. Ist das ohne Taschenrechner möglich? Wenn ja, wie? Begründe deine Antwort. (R) Gib die Formeln für die Oberflächen- und Volumenberechnung an. Oberflächenformel: Volumenberechnung: 8

11 Oberflächenberechnung Kegel 1 8 (R) Berechne die Größe der Mantel- und Oberfläche eines Kegels. a) r = 4 cm b) r = 18 dm c) r = 2,4 cm d) r = 87 m s = 7 cm s = 24,5 dm s = 6,8 cm s = 123 m (Z) Berechne die Oberfläche des Kegels. a) r = 25 dm b) r = 4,7 cm c) r = 5,9 cm d) r = 31 cm h = 95 dm h = 5,2 cm h = 43,5 cm h = 77 cm (Z) Das kegelförmige Dach eines Turmes soll erneuert werden. Der Durchmesser des Daches beträgt 3,5 m und die Seitenläge 720 cm. Berechne, wie viel Quadratmeter Dachbedeckung eckun für die Sanierung benötigt werden. (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) c) d) e) f) r 7 dm 5,6 cm 8 m h 4 dm 22 m s 14,3 m 4,4 cm 8,6 dm A M 512 m dm 2 O K 334 cm 2 68 cm 2 9

12 Oberflächenberechnung Kegel 2 9 (Z) Die Oberfläche eines Kegels beträgt 590,82 dm 2. Der Radius ist 70,36-mal kleiner als die Oberfläche. Berechne s, h, und A M. (Z) Berechne für jeden Kegel die Oberfläche und die Mantelfläche. a) b) c) d) 65 cm 49,5 m 28 cm 29,7 m 3,6 m 21 cm 39 cm 1,5 m (Z) Ein Zirkuszeltdach hat die Form eines Kegels und ist 12 m hoch. Der Durchmesser der Grundfläche beträgt 42 m. Berechne die Fläche der Zeltplane. (Z) Über ein Förderband wird Salz kegelförmig aufgeschüttet. (r = 0,7 m, h K = 380 cm) Im Anschluss soll das Salz mit einer Plane vor Regen geschützt werden. Wie groß muss die Plane mindestens sein? Aufgabe 5 (Z) Die Mantelfläche eines Kegels beträgt 1570,80 dm 2. Wie groß ist die Mantellinie, wenn der Durchmesser 40 dm groß ist? 10

13 Volumenberechnung Kegel 1 10 (R) Berechne das Volumen vom Kegel. a) r = 7 cm b) r = 50 cm c) r = 13,2 m d) r = 4,6 dm h k = 17 cm h k = 86 cm h k = 21,1 m h k = 8,8 dm (Z) Berechne von einem Kegel, dessen Radius und Höhe mit 6,5 cm gleich lang sind, das Volumen. (R) Berechne die Höhe der jeweiligen Kegel. a) V = 112 dm 3 b) V = 811 cm 3 c) V = 413 cm 3 d) V = m 3 d = 12 dm r = 14 cm r = 4,4 cm d = 44 m (Z) Berechne das Gesamtvolumen der abgebildeten Figur. s = 3,91 cm s = 4,72 cm h = 3 cm h = 4 cm r = 2,5 cm Aufgabe 5 (V) Wie verändert sich das Volumen des Kegels, wenn a) die Höhe sich vervierfacht wird? b) der Radius geviertelt wird? c) der Radius halbiert und die Höhe verdoppelt wird? 11

14 Volumenberechnung Kegel 2 11 (Z) Ein Kegel hat den Durchmesser von 10 m und eine Mantellinie von 9 m. Berechne sein Volumen. (Z) Berechne das Volumen vom Kegel. a) b) c) d) 11 cm 82 cm 36 m 18 m 8 m 6,5 cm 55 cm 24,8 m (Z) Ein Trichter soll 3 Liter Wasser fassen können. Wie hoch muss der Trichter mindestens sein, wenn sein Durchmesser er 24 cm groß ist? Runde sinnvoll auf. (Z) Berechne die fehlenden end Größen. a) b) c) d) e) f) r 9,9 cm 3,5 dm 6 cm 1,6 m h k 12 m 15 cm 22 cm s 18 dm 3 m V k 444 m cm cm 3 Aufgabe 5 (Z) Die Mantellinie eines Kegels ist 16 dm lang. Der Flächeninhalt des Mantels beträgt 503 dm 2. Berechne das Volumen. 12

15 Stumpfe Körper 12 (R) Zeichne in die Kästchen je ein Schrägbild eines a) Pyramidenstumpfes und eines b) Kegelstumpfes. Gib die Volumenformel der beiden Körper an. a) b) Formel: Formel: (Z) Berechne die fehlenden enden Größen der jeweiligen geraden, quadratischen Pyramidenstümpfe. a) b) c) d) e) f) a 12 cm 14 m 5 m 8,8 cm 30 cm 12 dm b 8 cm 5 m 4 m 2,4 cm 24 cm 3 dm h 7 cm 6m 13 dm O PS V PS 776 m 3 521,6 cm cm 3 S (Z) Der untere Durchmesser eines kegelstumpfartigen Eimers beträgt 18 cm, der obere Durchmesser beträgt 22 cm. Die Gesamthöhe des Eimers beträgt 32 cm. Welches Volumen fasst der Eimer? Gib dein Ergebnis auch in Litern an. Runde auf. (Z) Ein Kegelstumpf ist 7cm hoch. Sein Volumen beträgt V KS = 2441,02 cm 3 und der Grundkreisradius ist r 1 = 12 cm. Wie groß ist der Deckkreisradius r 2? 13

16 Eigenschaften Kugel 13 (R) Gib die Volumen- und Oberflächenformel für die Kugel an. (Z) Nenne mindestens fünf Gegenstände aus deiner Umwelt, die die Form einer Kugel haben. (R) a) Ergänze den Kreis zu einem Schrägbild einer Kugel. b) Setze die Begriffe zur Kugel in der Zeichnung an die richtige Stelle. Radius, Durchmesser, Mittelpunkt (V) Versuche, mit deinen n eigenen Worten eine Definition für die Kugel zu notieren. Orientiere dich dabei an der Definition für einen Kreis. Aufgabe 5 (V) Emine und Lukas sind unterschiedlicher Meinung. Sie können sich nicht darauf einigen, wie ein Kugelnetz aussehen muss. Kannst du ihnen helfen? Ist dies überhaupt möglich? Wenn nicht, begründe. 14

17 Oberflächenberechnung Kugel 14 (R) Berechne den Oberflächeninhalt der jeweiligen Kugeln. a) r = 3 cm b) r = 42 m c) d = 72 m d) r = 19 dm (R) Berechne den Radius der jeweiligen Kugeln. a) O K = 200 dm 2 b) O K = 195 cm 2 c) O K = 437 cm 2 d) O K = 72 m 2 (Z) Wie groß ist die Oberfläche der Erde, wenn ihr Radius 6378 km beträgt und die Erde als kugelförmig angenommen wird? (Z) Aus einem Würfel mit einer Kantenlänge von 16 dm soll eine möglichst große Kugel hergestellt werden. Berechne die größtmögliche Oberfläche der Kugel. Aufgabe 5 (Z) Bei einem Parfümzerstäuber werden ca. 10 cm 3 Parfüm zerstäubt. a) Wie viele einzelne Tröpfchen entstehen bei diesem Vorgang, wenn jedes einzelne einen Durchmesser von 0,04 mm besitzt? b) Wie groß ist die Gesamtoberfläche aller Tröpfchen? 15

18 Volumenberechnung Kugel 15 (R) (1) Berechne das Volumen der Kugel. a) r = 12,6 m b) r = 4,1 cm c) r = 255 cm d) r = 51,8 dm (2) Berechne den Durchmesser der Kugel. a) V = 624 cm 3 b) V = 333 m 3 c) V = 6044 dm 3 d) V = 1899 cm 3 (Z) a) Berechne das Volumen von einem Basketball (U = 76 cm), einem Fußball (d = 22 cm) und einem Handball (r = 9,5 cm) b) Um wie viel Prozent sind die Bälle im Volumen untereinander kleiner? (Z) Aus einem tropfenden Wasserhahn fällt alle 5 Sekunden ein kugelförmiger Wassertopfen von ungefähr 4 mm Durchmesser. Wie viel Liter Wasser entweichen in a) 12 Stunden b) einer Woche? Runde sinnvoll. (Z) Wie groß ist das Volumen einer Kugel a) mit einem Durchmesser von 1 cm? b) mit einem Umfang von 1 cm? c) mit einem Radius von 1 cm? 16

19 Vermischte Aufgaben Kugel 16 (Z) Das Gebäude eines Kraftwerks besteht aus einem 26 m hohen Zylinder mit einem Durchmesser von 20 m. Oben drauf befindet sich eine halbe kugelförmige Kuppel. Berechne das Volumen des zur Verfügung stehenden Raumes. (Z) Um wie viel Prozent würde das Volumen einer Kugel abnehmen, wenn der Radius um 25 Prozent verkleinert würde? (Z) Berechne die fehlenden Größen. a) b) c) d) e) f) r 2,4 cm 5 dm O K 630 dm m m 2 V m 3 (Z) Eine Kugel, ein Zylinder und ein Kegel haben dieselben Abmessungen. Alle Körper besitzen einen Radius von 5 cm und/oder eine h k von 10 cm. Berechne und vergleiche deren Volumina und deren Oberflächen. Aufgabe 5 (Z) Ein Heißluftballon hat ein Fassungsvermögen von 5000 m 3. Welche Fläche hat seine Hülle? Aufgabe 6 (Z) 5 Kugeln aus Knetmasse (r = 4,5 cm) werden zu einer großen Kugel geformt. Welchen Radius hat die große Kugel? 17

20 Lösungen Oberflächen- und Volumenberechnung Pyramide, Kegel, Kugel 1. Eigenschaften Pyramide a) O P = ,15 m 2 ; A M = 83065,24 m 2 b) O P = ,14 m 2 c) Sie ist um 2,02 % kleiner. a) + b) Höhe der Seitenfläche h S 3. Oberflächenberechnung Pyramide 2 h s = 3 dm; h k = 2,828 dm; O P = 16 dm 2 Körperhöhe h K Mantelfläche Fußpunkt Grundfläche c) Sie besitzt gleichschenklige Dreiecke. 5 Flächen, 8 Kanten, 5 Ecken Bei einer geraden Pyramide ist die Verbindungsstrecke zwischen dem Mittelpunkt M der Grundfläche und der Spitze gerade (Lot). Somit sind auch alle Kanten, die von der Spitze ausgehen, gleich lang. Bei einer schiefen Pyramide sind die Seitenkanten unterschiedlich lang. Dadurch kann sich der Fußpunkt des Lotes sowohl innerhalb, als auch außerhalb der Pyramidengrundfläche befinden. Aus den Netzen a) d) und e) lassen sich Pyramiden falten. 2. Oberflächenberechnung enberechnu Pyramide 1 Die Oberfläche setzt sich aus einer Grundfläche mit n Ecken und der Anzahl der anliegenden Seitenflächen zusammen ebenfalls n. a) b) c) d) e) f) a 132 cm 5,8 cm 6 dm 4,6 m 88 m 12,2 cm h k 60 cm 4 cm 7,95 dm 5 m 22 m 6,54 cm h s 89,2 cm 4,94 cm 8,5 dm 5,5 m 49,19 m 8,94 cm A M , ,06 218,14 57,30 cm cm dm 2 50,6 m 2 2 m 2 cm 2 O P , ,06 366,98 90,94 cm cm 138 dm 2 71,76 m 2 2 m 2 cm 2 a) b) O Tetraeder = 27,71 cm 2 er = 3 O 2 a2 P a ( ) 4. Volumenberechnung Pyramide 1 V P = 1 3 A G h K h S a a a h S a h S O P = a a h S h S a) O P = 885 cm 2 b) O P = 113,95 dm 2 c) O P = 374,96 cm 2 d) O P = 35,04 m 2 a) O P = 100 cm 2 b) O P = 687,17 cm 2 c) O P = 308,75 m 2 d) O P = 9 808,90 cm 2 a) V P = 1650 cm 3 b) V P = 154,92 cm 3 c) V P = 610,17 m 3 d) V P = 1 435,37 dm 3 a) V P = 10119,45 cm 3 b) V P = 566,33 cm 3 c) V P = 698,88 m 3 d) V P = 344,90 dm 3 a) h K = 4,57 cm b) h K = 13,75 m c) h K = 8,05 dm d) h K = 27,1 m Aufgabe 5 a) Das Volumen vervierfacht sich. b) Das Volumen verneunfacht sich. c) Das Volumen verdoppelt sich. 18

21 Lösungen 5. Volumenberechnung Pyramide 2 V Tetraeder = 14,73 cm 3 a) a = 7,01 m b) a = 18 cm c) a = 48 cm d) a = 6 dm Zum Beispiel: Eishörnchen, Hütchen im Straßenverkehr, Pfeilspitze, Brettspielfigur Ja, das ist ohne Taschenrechner möglich, da die Länge vom Umfang des Mantelbogens genauso groß ist, wie der Umfang der Grundfläche. a) Die beiden Volumina sind gleich. V P = cm 3 O K = π r 2 + π r s V K = 1 3 π r 2 h V P = 78 cm 3 Aufgabe 5 a) h K = 1,5556 m b) V P = 2,5098 m 3 6. Vermischte Aufgaben Pyramide a) O P = 360 cm 2 ; V P = 322 cm 3 b) O P = 1632 cm 2 ; V P = 3540 cm 3 c) O P = 57,8 m 2 d) O P = cm 2 O P = 128 cm 2 ; V P = 85,33 cm 3 Die Kantenlänge beträgt 27 dm. a) V 687,31 cm 3 Tetraeder = ; a = 18 cm b) O P = 27,71 dm 2 ; V Tetraeder 7,54 dm 3 = 7. Eigenschaften Kegel 8. Oberflächenberechnung ng Kegel 1 a) A M = 87,97 cm 2 b) A = 1 385,44 dm 2 M O K = 138,23 cm 2 O 2 403,32 dm 2 K = c) A M = 51,2711 cm 2 d) A ,18 m 2 M = O K = 69,37 cm 2 O K = ,90 m 2 a) O K = 9 678,81dm b) O K = 172,89 cm 2 c) O 923,03 cm 3 K = d) O K = ,98 cm 2 Insgesamt werden 39,58 m 2 an Dachbedeckungen ckunge für die Sanierung benötigt. a) b) c) d) e) f) r 7 dm 11,4 m 5,6 cm 2,9 cm 7,37 dm 8 m h 4 dm 8,64 m 12,2 cm 3,3 cm 4,4 dm 22 m s 8,06 dm 14,3 m 13,4 cm 4,4 cm 8,6 dm 23,41 m A M 177,3 dm m 2 235,5 cm 2 40,7 cm dm 2 588,34 m 2 O K 331,24 dm 2 920,05 m cm 2 68 cm 2 369,44 dm 2 789,4 m 2 O K a) Mantellinie s 9. Oberflächenberechnung Kegel 2 Mantelfläche r = 8,4 dm; s = 14,0 dm; A M = 369,30 dm 2 b) Körperhöhe h K Radius Grundfläche a) O K = 3 694,51 cm 2 b) O K = ,3 cm 2 A M = 2 309,07 cm 2 A M = 7 963,94 cm 2 c) O K = ,67 m 2 d) O K = 25,45 m 2 A M = 6 158,15 m 2 A M = 18,38 m 2 Die Zeltplane hat eine Fläche von A M = 1 595,69 m 2. Mantelfläche Radius Grundfläche Die Plane muss eine Größe von A M = 8,5 m 2 haben. Aufgabe 5 Sie ist 25 dm lang. Körperhöhe Mantellinie s 19

22 Lösungen 10. Volumenberechnung Kegel 1 a) V K = 872,32 cm 3 b) V K = ,47 cm 3 c) V K = 3849,98 m 3 d) V K = 195 dm 3 b) Formel: V KS = 1 3 h (r 12 + r r 1 r 2 ) Deckfläche φ V K = 287,59 cm 3 Mantelfläche h r m a) h K = 2,97 dm b) h K = 3,95 cm c) h K = 20,37 cm d) h K = 2,54 m V K = 45,81 cm 3 Aufgabe 5 a) Das Volumen vervierfacht sich. b) Das Volumen verringert sich um c) Das Volumen verringert sich um Volumenberechnung Kegel 2 Sein Volumen beträgt 195,91 m 3 a) V K = 1206,37 m 3 b) V K = 392,63 cm 3 c) V K = ,04 cm 3 d) V = 807,1 m 3 K 1680 h K = 19,89 cm. Der Trichter sollte 20 cm hoch sein. a) b) c) d) e) f) r 5,94 m 9,9 cm 3,5 dm 7,48 cm 6 cm 1,6 m h K 12m 15 cm 17,66 dm 22 cm 10,64 cm 2,54 m s 13,39 m 17,97 cm 18 dm 23,24 cm 12,21 cm 3 m V K 444 m ,54 cm 3 226,5 dm 1288 cm cm 3 6,8 m 3 R Grundfläche a) b) c) d) e) f) a 12 cm 14 m 5 m 8,8 cm 30 cm 12 dm b 8 cm 5 m 4 m 2,4 cm 24 cm 3 dm h 7 cm 8 m 6 m 15 cm 3,79 cm 13 dm O PS 499,2 cm 2 569,84 m m 2 426,82 cm ,65 cm 2 565,70 dm 2 V PS 709,3 cm m m 3 521,6 cm cm 819 dm 3 V KS = cm 3. Der Eimer fasst ca. 10,1 l Wasser. S Der Deckkreisradius beträgt r = 9 cm. 13. Eigenschaften Kugel 4 V 3 Kugel π r 2 Kugel = π r 3 ; O = 4 Zum Beispiel: Murmel, Fußball, Globus, Lampe, Billardkugel, Orange Aufgabe 5 Das Volumen beträgt 1 309,17 dm Stumpfe Körper a) Formel: V PS = 1 3 h (G + G G + G ) Radius Durchmesser Mittelpunkt Eine Kugel ist der Ort aller Punkte im Raum, die zu einem festen Punkt M (Mittelpunkt) den gleichen Abstand (Radius) besitzen. 20

23 Lösungen Aufgabe 5 Es ist möglich ein Netz von einer Kugel zu zeichnen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten. a) Basketball: V Kugel = 7 412,93 cm 3 Fußball: V Kugel = 5 575,28 cm 3 Handball: V Kugel = 3 591,36 cm 3 b) Der Handball ist 51,56 % kleiner als der Basketball und 35,58 % kleiner als der Fußball. Der Fußball ist 24,79 % kleiner als der Basketball. a) Nach 12 Stunden sind ,4 mm 3 = 0,29 l Wasser entwichen. b) Nach 1 Woche sind ,6 mm 3 = 4,05 l Wasser entwichen. a) V Kugel = 0,52 cm 3 b) V Kugel = 0,02 cm 3 c) V Kugel = 4,19 cm Oberflächenberechnung Kugel 16. Vermischte Aufgaben Kugel Insgesamt stehen ,54 m 3 zur Verfügung. g. a) A O = 113,10 cm 2 b) A O = ,08 m 2 c) A O = ,02 m 2 d) A O = 4 536,46 dm 2 a) r = 3,99 dm b) r = 3,94 cm Das Volumen würde sich um ca. 57,8 % verringern. c) r = 5,90 cm d) r = 2,39 m a) b) c) d) e) f) r 2,4 cm 10,2 m 7,1 dm 8,3 m 5 dm 7,9 m Die Oberfläche e beträgt ,5 km 2. O K 72 cm 2 m dm m dm m 2 = 804,25 2 A O dm Aufgabe 5 V dm m3 524 dm m 3 K 58 cm m V Kugel 523,6 cm 3 ; O Kugel = 314,16 cm 2 =5 V Zylinder = 785,4 cm 3 ; O Zylinder = 471,24 cm 2 a) Insgesamt entstehen ,8 Tröpfchen. V Kegel = 261,8 cm 3 ; O Kegel = 254,16 cm 2 b) Die Gesamtoberfläche beträgt 1,5 m 2. Bei der Kugel und dem Zylinder wird verhältnismäßig wenig Oberfläche benötigt, um ein großes Volumen bereitzustellen. 15. Volumenberechnung ung Kugel (1) a) V Kugel = 8 379,16 m 3 b) V Kugel = 288,70 cm 3 c) V Kugel = ,18 cm 3 d) V Kugel = ,62 dm 3 (2) a) d = 10,60cm b) d = 8,6 m c) d = 22,6 dm d) d = 15,36 cm Aufgabe 5 O K = 1 414,0 m 2 Aufgabe 6 r = 7,69 cm 21

24 Bergedorfer Weitere Downloads, E-Books und Print-Titel des umfangreichen Persen-Verlagsprogramms finden Sie unter Hat Ihnen dieser Download gefallen? Dann geben Sie jetzt auf direkt bei dem Produkt Ihre Bewertung ertung ab und teilen Sie anderen Kunden Ihre Erfahrungen mit Persen Verlag, Hamburg AAP Lehrerfachverlage age GmbH Alle Rechte vorbehalten. en. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berech gt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gesta et, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dri e oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schri lichen Zus mmung des Verlages. Sind Internetadressen in diesem Werk angegeben, wurden diese vom Verlag sorgfäl g geprü. Da wir auf die externen Seiten weder inhaltliche noch gestalterische Einflussmöglichkeiten haben, können wir nicht garan eren, dass die Inhalte zu einem späteren Zeitpunkt noch dieselben sind wie zum Zeitpunkt der Drucklegung. Der Persen Verlag übernimmt deshalb keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Internetseiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind, und schließt jegliche Ha ung aus. Grafik: Julia Flasche, Marion El-Khalafawi, Fotolia S. 3, 9, 10, 15, 16, 17 Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH, Bayreuth Bestellnr.: 23372DA4