Rechnen ohne Algorithmen
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- Walther Heidrich
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1 Rechnen ohne Algorithmen Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
2 Algorithmen 2/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
3 Algorithmen Was ist ein Algorithmus? Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen. Algorithmen bestehen aus endlich vielen, wohldefinierten Einzelschritten. 1 Algorithmen sind toll, weil man damit eigentlich alles (Berechenbarkeit?) machen kann... Sie implizieren gleichzeitig die Idee speicherprogrammierter Computer. Ohne Algorithmen geht in unserer technisierten Welt schlicht gar nichts mehr Stand /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
4 Speicherprogrammiert 4/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
5 Algorithmen Andererseits sind Algorithmen auch doof... Sie beschreiben die Lösung eines Problems auf Basis von Einzelschritten! Programme werden aus Speichern gelesen, was Engpässe schafft (von Neumann-Flaschenhals), Caches erforderlich macht (das wird bei Multiprozessorsystemen kompliziert, wenn Cacheeinträge prozessorübergreifend invalidiert werden müssen) etc. Parallelisierung ist oft eine Kunst und stößt ebenso oft auch an Grenzen (Amdahls Law). Häufig muss man sich bei der Implementation eines Algorithmus um Dinge kümmern, die wenig bis gar nichts mit dem zugrunde liegenden Problem zu tun haben (Speicherverwaltung, Pointer-Orgien, grundlegende Datenstrukturen wie Bäume, Skiplisten etc., die explizit konstruiert werden müssen usf.)... 5/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
6 Probleme Compiler und Interpreter erstellen in der Regel Parse-Trees. Beispielsweise wird das Statement x=(7 + 3) * (5-2) in einen einfachen Baum umgewandelt, auf dessen Basis dann Code erzeugt wird (Compiler) bzw. die Ausführung stattfindet: _images/meparse.png, Stand /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
7 Code Ein Compiler könnte daraus z. B. folgenden Assemblercode erzeugen: 1 MOVE 0x0007, R0 2 MOVE 0x0003, R1 3 ADD R1, R0 4 MOVE 0x0005, R1 5 MOVE 0x0002, R2 6 SUB R1, R2 7 MULT R2, R0 Beispel Beispel... das eigentlich zu lösende Problem ist hier schon ein wenig in den Hintergrund gerückt man muss sich um Registerallokation und andere Maschineneigenheiten kümmern. 7/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
8 Keine Algorithmen :-) 8/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
9 Idee Was wäre, wenn man die Idee des Algorithmus über Bord würfe? Könnte man nicht einfach drei Rechenelemente (einen Addierer, einen Subtrahierer und einen Multiplizierer) in Form dieses Parse-Trees miteinander verschalten? Man kann, und das bringt einen zu einer ganz neuen Klasse von Maschinen, den sogenannten Analogrechnern (hier gibt es starke Überschneidungen mit Datenflussmaschinen). Ein Analogrechner lässt sich wie folgt darstellen: 9/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
10 Analog 10/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
11 Analogrechnen Wodurch sind Analogrechner gekennzeichnet? Spezialrechner, die hauptsächlich für das Lösen von Differentialgleichungssystemen geeignet sind Basieren auf Modellen (Analogien), nicht auf klassischen Algorithmen Programmierung in der Regel nicht speicherbasiert, sondern durch Strukturänderung Analogelektronische und digitale Implementationen möglich Extrem hoher Grad an Parallelität möglich In der Regel geringer Energiebedarf 11/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
12 Analogien Bei Analogiebildungen ist allgemein zwischen zwei grundlegenden Ausprägungen zu unterscheiden: Direkte Analogien: Diese basieren auf gleichen oder zumindest ähnlichen physikalischen Effekten wie das zu untersuchende Problem. Indirekte Analogien: Analogelektronische Analogrechner sind ein schönes Beispiel hierfür alle zu untersuchenden Fragestellungen werden als elektronische Modellschaltungen abgebildet, ungeachtet des eigentlich zu modellierenden Effektes. 12/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
13 Direkte Analogien Ein typisches Beispiel für eine direkte Analogie ist die Bestimmung von Minimalflächen mit Hilfe von Seifenfilmen oder Geweben etwas, das es bis heute beispielsweise als Spielzeug gibt: 3 3 Siehe https: // Stand sowie [Jacobi 2008] und [Singer 1995]. 13/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
14 Direkte Analogien Praktisch wurde derlei aber auch eingesetzt z.b. bei der Entwicklung des Daches des Münchner Olympiastadions (siehe z. B. [Dressler 1972, S. 52]): 14/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
15 Extreme Analogs Die NASA hat sogar ein Extreme Analogs genanntes Forschungsprogramm: (Siehe 15/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
16 Indirekte Analogien Ein Beispiel für eine indirekte Analogie ist das folgende Setup einer RA 770 zur Simulation der Umströmung eines Joukowski-Profils: 16/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
17 Implementationstechniken Was sind typische Implementationsvarianten von Rechenelementen für Analogrechner? mechanische Rechenelemente, hydraulische Elemente, analogelektronische Rechenglieder sowie auch rein digitale Techniken. Aus heutiger Sicht sind selbstverständlich analogelektronische Rechenelemente bzw. rein digitale Implementationen am interessantesten und erfolgversprechendsten. 17/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
18 Rechenelemente Typische Rechenelemente eines Analogrechners: Koeffizientenglieder (Spannungsteiler / Multiplizierer bei digitaler Implementation) Summierer U 1 U 2 U S (U 1 + 5U U 3 ) 18/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
19 Rechenelemente Integrierer Multiplizierer (analogelektronische Implementation ist nicht trivial).. 19/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
20 Rechenelemente Funktionsgeber (einfach mit Lookup-Tables, schwer mit rein analogelektronischer Implementation) f (x) Entscheidungsglieder (Komparatoren) und Schalter a b 20/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
21 Beispiel Beispiel: Räuber-Beute-System 21/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
22 Räuber-Beute-System Das im Folgenden dargestellte Beispiel ist ein klassisches Räuber-Beute-System. Betrachtet wird ein abgeschlossenes Ökosystem, bestehend aus einer Luchs- (l) und einer Hasenpopulation (r), für das ṙ = α 1 r α 2 rl und l = β 1 l + β 2 rl gelten. Hierbei ist α 1 die Geburtsrate der Hasen, α 2 die Rate der von Luchsen getöteten Hasen, β 1 die Sterblichkeitsrate der Luchse und β 2 der durch Futterzufuhr erzeugte Zuwachs der Luchspopulation. 22/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
23 Berechnung von r ṙ +1 r 0 α 1 r rl α 2 ( α 1 r + α 2 rl) = α 1 r α 2 rl 23/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
24 Berechnung von l rl β 2 +1 l 0 β 1 l 24/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
25 Die Gesamtschaltung +1 r 0 +1 l 0 α 2 α 1 β 2.. r l β 1 25/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
26 Realisierung 26/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
27 Ergebnisse 27/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
28 Beispiel Beispiel: Chaotische Systeme 28/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
29 Rössler-Attraktor ẋ = (y + z) ẏ = x + ay ż = b + z(x c), x y z /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
30 Rössler-Attraktor 30/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
31 Beispiel Beispiel: Strömungssimulation 31/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
32 Mit Hilfe einer konformen Abbildung der Form λ2 w(z) = (z z 0 ) + z z 0 kann ein Einheitskreis in ein sogenannntes Joukowski-Profil verwandelt werden. Nach Aufspaltung dieser Gleichung in einen Real- und einen Imaginärteil ergibt sich Folgendes: u(x(t), y(t)) = (x(t) x 0 (t)) + v(x(t), y(t)) = (y(t) y 0 (t)) λ 2 (x(t) x 0 (t)) (x(t) x 0 (t)) 2 + (y(t) y 0 (t)) 2 λ 2 (y(t) y 0 (t)) (x(t) x 0 (t)) 2 + (y(t) y 0 (t)) 2 Die Rechenschaltung für die konforme Abbildung hat folgende Gestalt: 32/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
33 Konforme Abbildung x 3 x 1 resp. x y 1 resp. y y 3 33/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
34 Strömung Der Weg eines Stromfadens um einen rotierenden Zylinder lässt sich durch ein komplexes Geschwindigkeitspotenzial der folgenden Form beschreiben: f (z) = v 0 ( e iδ z + e iδ r 2 z ) i Γ 2π ln(z), Die Umsetzung dieser Funktion in eine Rechenschaltung zeigt folgendes Bild: 34/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
35 Strömung x tan(δ) log(100x) y ε 35/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
36 Strömungssimulation 36/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
37 Klassische Systeme Klassische Systeme 37/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
38 Beckman Richard FitzHugh löst die Hodgkin-Huxley- Gleichungen mit Hilfe eines Beckman Analogrechners. a a Source: Izhikevich E. M., FitzHugh R. 38/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
39 EAI EAI 231R-Installation am Deutschen Elektronensynchrotron Hamburg 4 : 4 Quelle: Inge Borchardt 39/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
40 EAI EAI-Installation am DLR : 5 5 Quelle: Dr. Jessika Wichner, DLR, Signatur FF /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
41 MADDIDA Bereits 1949 wurde der erste digitale (!) Analogrechner, der Magnetic Drum Differential Analyzer, kurz MADDIDA, von Northtrop entwickelt: 6 6 Quelle: Navy Electronics Laboratory, File Number E /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
42 Bendix D-12 In den frühen 1950er Jahren kam die Bendix D-12 auf den Markt: 7 7 Siehe. [Bendix][p. 2]. 42/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
43 TRICE Während MADDIDA und die D-12 sequentiell arbeiteten, war die TRICE von Packard Bell ein vollparalleler digitaler Analogrechner (frühe 1960er Jahre): 8 : 8 Siehe [Ameling 1963][p. 30]. 43/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
44 Zukunft Zukunft 44/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
45 Zukunft Das Wichtigste zuerst: Analogrechner sind Spezialmaschinen! Sie werden nicht klassische speicherprogrammierte Digitalrechner ablösen können. Sie haben aber in einigen Anwendungsgebieten durchaus ernstzunehmende Vorteile, die im Folgenden kurz aufgelistet werden: 45/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
46 Ausbildung und Lehre Vorteile in Ausbildung und Lehre: Hohe Anschaulichkeit Extrem hohes Maß an Interaktivität Vermittlung eines Gefühls für das Verhalten von DGLs und Systemen aus DGLs Brückenschlag zwischen Mathematik und Regelungstechnik etc. 46/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
47 Ausbildung und Lehre 47/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
48 Ausbildung und Lehre Der Anfang eines Lorenzattraktors: 48/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
49 Industrielle Applikationen Unangreifbarkeit, da keine Software (kein Stuxnet o. ä. möglich) Robustheit Nahezu stateless behaviour Geringer Energiebedarf Geringer Wartungsaufwand Vergleichsweise geringe Entwicklungs-/Herstellungskosten Langer Life Cycle 49/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
50 HPC Hybridrechner Monte-Carlo-Simulationen im Finanzwesen Simulation dynamischer Systeme Hardware in the loop-simulationen Geringer Energiebedarf/MFLOPS, siehe z. B. Cowans Chip 50/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
51 VLSI Analogrechner 2005 entwicklte Glenn Edward Russel Cowan einen analogelektronischen VLSI Analogrechner (kurz für Very Large Scale Integration) für den Einsatz als Co-Prozessor für herkömmliche speicherprogrammierte Rechner: 9 9 See [Cowan 2005]. 51/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
52 VLSI Analogrechner Der Chip weist eine Fläche von 100 mm 2 auf, enthält 416 Rechenelemente mit der zugehörigen Verbindungselektronik und wurde zur Lösung gewöhnlicher, partieller und stochastischer Differentialgleichungen eingesetzt. 10 In [Cowan et al. 2009][pp. 13 f.] werden einige Ansätze zur Lösung solcher stochastischer Differentialgleichungen hinsichtlich der benötigten Energie betrachtet. Verglichen wurden eine traditionelle Implementation auf einem typischen Mikroprozessor, eine Lösung auf einem DSP (kurz für Digital Signal Processor) sowie eine Lösung mit Hilfe des VLSI Analogrechners von Cowan: 10 Siehe [Cowan 2005][abstract]. 52/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
53 VLSI Analogrechner Die Resultate sind beeindruckend: Der traditionelle Lösungsansatz auf einem Mikroprozessor erforderte etwa 400 MFLOPS, was einer Leistungsaufnahme von 1.2 bis 40 J entspricht. Der DSP benötigt hierfür zwischen 0.04 und 0.4 J. Der VLSI Analogrechner benötigt für die gleiche Aufgabe lediglich J! Die VLSI-Implementation erzielt etwa 6.4 GFLOPS (bei zugegebenermaßen eingeschränkter Genauigkeit und einem Spezialproblem) bei einer Leistungsaufnahme von lediglich 300 mw! 53/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
54 Effizienz Bezüglich Performance per Watt bietet sich ein Blick auf green500.org an. Der gegenwärtig (Juni 2016) energieeffizienteste Supercomputer, RIKEN erreicht ca. 6.7 GFLOPS/Watt. Cowans VLSI Analogrechner liegt (zugegeben bei einer Spezialanwendung, aber dennoch) mit 21 GFLOPS/Watt um einen Faktor 3 vorne, verglichen mit einem Rechner, der zehn Jahre später gebaut wurde! 54/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
55 Und... Und nicht zuletzt... An analog computer is a thing of beauty and a joy forever Siehe [McLeod (1958)]. 55/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
56 Vielen Dank! Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! (Der Autor kann unter erreicht werden.) 56/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
57 Bibliographie 57/59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
58 Bibliographie [Ameling 1963] Walter Ameling, Aufbau und Arbeitsweise des Hybrid-Rechners TRICE, in Elektronische Rechenanlagen, 5 (1963), Heft 1 [Bendix] Bendix Computer, Digital Differential Analyzer D-12 [Cowan 2005] Glenn Edward Russell Cowan, A VLSI Analog Computer / Math Co-processor for a Digital Computer, Columbia University, 2005 [Cowan et al. 2009] Glenn Edward Russell Cowan, Y. Tsividis, Analog and Digital Continuous-Time Computation and Signal Processing, CMOSET 2009 [Dressler 1972] Fritz Dressler, Das Dach in hobby Das Magazin der Technik, Nr. 8/72, pp /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
59 Bibliographie [Jacobi 2008] Johanna Jacobi, Minimalflächen, Universität Köln, 2008 [McLeod (1958)] Suzette McLeod, John H. McLeod, The Simulation Council Newsletter, in Instruments and Automation, Vol. 31, March 1958, S [Singer 1995] P. Singer, Die Berechnung von Minimalflächen, Seifenblasen, Membrane und Pneus aus geodätischer Sicht, Dissertation, Stuttgart, Juli /59 Prof. Dr. Bernd Ulmann 9. Oktober 2016
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