10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen

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1 i i i 10 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 10.1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen Die 4B und die 4C werden zum Abschluss des Schuljahres gemeinsam eine mehrtägige Reise unternehmen. Nach einer langen Planungsphase sind das Reiseziel, die Unterkunft und die Organisation der Anreise festgelegt. In der Unterkunft werden für die Schülerinnen und Schüler Dreibettzimmer und Vierbettzimmer zur Verfügung stehen. Nun geht die Planerei von neuem los: Wer geht mit wem in ein Zimmer? Schließlich soll niemand überbleiben und kein Zimmer unterbelegt sein. Wie geht sich das für die 24 Mädchen und 23 Burschen der beiden Klassen gut aus? In diesem Kapitel lernst du 1. lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten kennen, 2. wie man ihre Lösungsmenge angibt und grafisch darstellt, 3. dass zwei zusammengehörige lineare Gleichungen ein Gleichungssystem bilden, 4. wozu man solche Gleichungssysteme brauchen kann und 5. wie man sie sowohl grafisch als auch rechnerisch lösen kann. I2 ) Dreibettzimmer und 0 Vierbettzimmer, 4 Dreibettzimmer und 3 Vierbettzimmer, 0 Dreibettzimmer und 6 Vierbettzimmer 901 Welche Möglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer gibt es für die 24 Mädchen? Löse durch Probieren und versuche alle Möglichkeiten anzugeben! In Aufgabe 901 konntest du die Lösungen durch Probieren finden. Werden bei vergleichbaren Aufgabenstellungen die Zahlen größer oder sind auch andere Zahlen als nur natürliche Zahlen im Spiel, wird es schnell schwierig, alle Lösungen durch Probieren zu finden. Probieren, vor allem systematisches Probieren, ist bereits eine wichtige mathematische Tätigkeit. Eine mathematische Darstellung hilft, nun tatsächlich alle Lösungen zu erfassen. Dazu schreiben wir die (unbekannte) Anzahl der Dreibettzimmer mit x an und die (unbekannte) Anzahl der Vierbettzimmer mit y. i i i

2 10.1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 185 Dann ist die Anzahl der in Dreibettzimmern untergebrachten Mädchen 3x, die Anzahl der in Vierbettzimmern untergebrachten Mädchen 4y. Da es insgesamt 24 Mädchen sind, lässt sich der Sachverhalt durch die Gleichung 3x + 4y = 24 darstellen. Eine solche Gleichung heißt eine lineare Gleichung mit zwei Variablen (x und y). Die Lösung einer solchen Gleichung wird als geordnetes Zahlenpaar (x y) angeschrieben. Z. B. ist das Zahlenpaar (4 3) eine Lösung der Gleichung 3x + 4y = 24, weil es die Gleichung erfüllt. Es gilt nämlich = 24 und das ist eine wahre Aussage. Die Menge aller Zahlenpaare, die beim Einsetzen in die Gleichung eine wahre Aussage liefern, heißt die Lösungsmenge der Gleichung. Da wir die Mädchen nicht zerteilen können, lassen wir für die Lösungen der Gleichung nur natürliche Zahlen zu, die Grundmenge G besteht daher aus den natürlichen Zahlen: G = N. Für G = N besteht die Lösungsmenge aus den drei Zahlenpaaren: L = {(8 0); (4 3); (0 6)} Denn nur diese drei Zahlenpaare (G = N) liefern eingesetzt in die Gleichung eine wahre Aussage. Damit ist die Aufgabe gelöst. Lässt man aber, losgelöst von der ursprünglichen inhaltlichen Aufgabenstellung, die reellen Zahlen als Lösungen der Gleichung zu, also G = R, so hat die Gleichung unendlich viele Lösungen. Denn zu jedem beliebigen Wert für x R lässt sich der zugehörige y-wert berechnen: z. B. x = 4,2 eingesetzt in die Gleichung: 3 4,2 + 4y = 24 4y = 11,4 y = 2,85 Das Zahlenpaar (4,2 2,85) ist daher eine Lösung der Gleichung (für die Grundmenge G = R). Analog kann man zu jedem anderen x-wert den zugehörigen y-wert berechnen bzw. auch umgekehrt zu jedem y-wert den zugehörigen x-wert. Allgemein gilt: 4y = 3x + 24 y = 3 4 x + 6 Die Lösungsmenge für G = R besteht daher aus unendlich vielen Zahlenpaaren. Da man sie nicht alle auflisten kann, wird die Lösungsmenge in folgender Mengenschreibweise angegeben: L = {(x y) y = 3 x + 6, x R, y R} 4 Das bedeutet Die Lösungsmenge L besteht aus allen Zahlenpaaren (x y), für die der Zusammenhang y = 3 x + 6 besteht. x und y sind reelle Zahlen. 4

3 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen Grafische Interpretation der Lösungsmenge Eine Gleichung der Form y = kx + d ist die Funktionsgleichung der linearen Funktion. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade (vgl. Kapitel 9.6 auf S. 171). Daher lässt sich die Lösungsmenge jeder linearen Gleichung mit zwei Variablen für die Grundmenge G = R grafisch als Gerade darstellen. Für das Beispiel 3x + 4y = 24, umgeformt y = 3 x + 6, ist die Gerade in 4 der Zeichnung dargestellt x + 4y = 23; (1 5), (5 2) 903 Das Zahlenpaar (3 5) meint x = 3 und y = 5. Das Zahlenpaar (5 3) meint x = 5 und y = a) x: Anzahl der 2 -Lose, y: Anzahl der 5 -Lose; 2x + 5y = 30 b) (0 6); (5 4); (10 2); (15 0) c) Die 4 Zahlenpaare aus b) als Punkte im Koordinatensystem eingezeichnet. 902 Lineare Gleichung mit zwei Variablen Eine Gleichung mit zwei Variablen x, y R der Gestalt ax + by = c mit a, b, c R, a 0, b 0 heißt eine lineare Gleichung. a und b heißen die Koeffizienten von x bzw. y. Jede lineare Gleichung kann man durch Umformen auch in der Gestalt y = kx + d darstellen. Die Lösungsmenge der Gleichung besteht aus allen geordneten Zahlenpaaren (x y), x, y R, welche die Gleichung erfüllen. Grafisch dargestellt ergeben diese Zahlenpaare eine Gerade. Welche Möglichkeiten der Aufteilung auf Dreibettzimmer und Vierbettzimmer gibt es für die 23 Burschen der beiden vierten Klassen? Schreibe die zur Aufgabenstellung passende Gleichung an und schreibe alle Möglichkeiten in Form von zur Gleichung passenden, geordneten Zahlenpaaren auf! H4 903 Erkläre, warum die Lösung einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten als geordnetes Zahlenpaar angegeben werden muss, also die Reihenfolge wichtig ist! Worin liegt der Unterschied z. B. zwischen (3 5) und (5 3)? K2 904 Bei einem Schulfest organisiert die 4A gemeinsam mit der 7A eine Tombola. Es werden Lose zu 2 und 5 angeboten. Da der Erlös der Tombola einem guten Zweck zugutekommt, ist Toms und Saras Mutter bereit, 30 in den Loskauf zu investieren. Welche Möglichkeiten für die Zusammensetzung aus 2- -Losen und 5- -Losen hat sie? a) Stelle eine passende Gleichung auf! b) Gib die Lösung in Form von Zahlenpaaren an! c) Stelle die Lösung grafisch im Koordinatensystem dar! Beachte Tipp 10.1!

4 10.1 Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen 187 Tipp 10.1 Achte bei der grafischen Darstellung der Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Variablen darauf, ob die Grundmenge N oder R ist. Für G = R ist die grafische Darstellung der Lösungsmenge eine Gerade, während sie für G = N nur aus einzelnen Punkten besteht. K2 905 Bei einem Laufbewerb haben sich insgesamt 841 Läufer angemeldet. Es gibt einen Teambewerb für Teams mit jeweils vier Läufern und einen Bewerb für Einzelläufer. Wie viele Teams und wie viele Einzelläufer haben sich angemeldet? (1) Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen dar! (2) Gib mindestens 3 Lösungen an! (3) Zeichne die drei Lösungen aus (2) in einem geeigneten Koordinatensystem ein! (4) Beschreibe in Worten, wo im Koordinatensystem alle weiteren Lösungen liegen! 906 (1) Gib die Lösungsmenge der linearen Gleichung für G = R an! (2) Stelle die Lösungsmenge grafisch dar! (3) Gib mindestens 3 ganzzahlige Zahlenpaare an, die Lösungen der Gleichung sind! a) 4x + 9y = 27 b) 30x + 20y = 40 c) x + 1 y = d) x +y = Stelle den Text durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen dar und gib mindestens zwei Lösungen für G = N an: Auf einer Berghütte gibt es Zimmerlager für je 4 Personen und Matratzenlager für je 10 Personen. Insgesamt können 64 Personen in dieser Hütte übernachten. Wie viele Zimmerlager und wie viele Matratzenlager gibt es? 4x + 10y = 64; (6 4) oder (1 6) 908 Wie Aufgabe 907 für den Text: a) Ein Veranstaltungssaal ist für 200 Personen zugelassen. Wie viele Tische für 6 Personen und wie viele Tische für 8 Personen können insgesamt höchstens aufgestellt werden? b) Sara kauft Stifte zu je 1,50 und Hefteinbände zu je 0,60. Insgesamt bezahlt sie In eine Klasse gehen doppelt so viele Burschen wie Mädchen. a) Welche der Gleichungen beschreibt/beschreiben den Sachverhalt richtig? 2b = m b = 2m m = b b = m 2 2 b) Wie viele Mädchen bzw. Burschen gehen in diese Klasse, wenn sie insgesamt 24 Schüler/innen hat? 910 Erfinde zu der Gleichung jeweils einen passenden Text und gib mindestens zwei ganzzahlige Lösungen an! a) x + y = 30 b) 2x + 3y = 11 c) x = 3y d) x = 1 y (1) 4x + y = 841 (2)(50 641); ( ); ( ) (3) (4) Sie liegen alle auf jener Geraden, die durch die in (3) eingezeichneten Punkte verläuft. Nur natürliche Zahlen kommen als Koordinaten der Punkte in Frage. 906 a) (1) L = {(x y) y = 4 x + 3, 9 x,y R} (3) (0 3),(9 1),( 9 7) b) (1) L = {(x y) y = 3 x + 2, x,y R} 2 (3) (0 2),(2 5),(4 8) c) (1) L = {(x y) y = 6x + 2, x,y R} (3) (0 2),( 1 8),(1 4) d) (1) L = {(x y) y = x, x,y R} (3) (0 0),(1 1),(2 2) 908 a) 6x + 8y =200; (25 0), (22 4), (19 8), (16 12), (13 16), (10 20), (7 24), (4 28) oder (1 32) b) 1,50x + 0,60y = 9; (2 10) oder (4 5) 909 a) b = 2m und m = b 2 b) 8 Mädchen, 16 Burschen

5 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 10.2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme Zu Beginn des letzten Abschnitts hast du über die geplante Reise der 4B und der 4C erfahren. Die 24 Mädchen mussten überlegen, wie sie sich auf die Drei- und Vierbettzimmer aufteilen werden. Endlich haben sie sich geeinigt! Wie viele Dreibettzimmer und wie viele Vierbettzimmer soll ich denn nun für euch bestellen?, fragt die Lehrerin, die den Schlussausflug leitet. Dürfen wir Ihnen ein Rätsel stellen?, fragen die Mädchen grinsend zurück. Eigentlich wollte ich ja rasch die Organisation abschließen, aber wenn es ein gutes Rätsel ist, dann her damit, antwortet die Lehrerin. Wir haben die Zimmer so eingeteilt, dass wir insgesamt 7 Zimmer brauchen, sagt Sara.??? Dreibettzimmer und 3 Vierbettzimmer 912 Das Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfüllen, d. h., eingesetzt muss für beide Gleichungen eine wahre Aussage entstehen. 911 Wie viele Dreibett- und Vierbettzimmer muss die Lehrerin nun tatsächlich für die Mädchen bestellen, wenn es insgesamt 7 Zimmer sein sollen? Wenn du die Ergebnisse aus Aufgabe 901 verwendest, ist die Lösung besonders einfach. Ursprünglich hatten die Mädchen drei Möglichkeiten, die Zimmer einzuteilen. Durch die neue Information, dass die Mädchen insgesamt 7 Zimmer benötigen, bleibt nur eine Möglichkeit als Lösung über. Auch diese neue Information lässt sich als lineare Gleichung anschreiben, man erhält so zwei lineare Gleichungen zu einem Sachverhalt: Ursprüngliche Information: Für 24 Mädchen stehen Dreibett- und Vierbettzimmer zur Verfügung: 3x + 4y = 24 (vgl. mit Seite 185) Neue Information: Die Mädchen benötigen insgesamt 7 Zimmer: x + y = 7 Insgesamt erhält man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen: I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 H4 K3 912 Überlegt zu zweit: Welche Bedingungen muss ein Zahlenpaar (x y) erfüllen, damit es Lösung eines Gleichungssystems, also von beiden Gleichungen, eine Lösung ist? Lineares Gleichungssystem Zwei zusammengehörende lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem: I: a 1 x + b 1 y = c 1 II: a 2 x + b 2 y = c 2 Ein Zahlenpaar (x y) ist Lösung des Gleichungssystems, wenn es beide Gleichungen erfüllt.

6 10.2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme Welches der Zahlenpaare ist Lösung des gegebenen Gleichungssystems? Kreuze an! 4x y = -6 3x + 2y = 1 Zeige durch Einsetzen in die beiden Gleichungen, dass das Zahlenpaar ( 1 3) Lö- 914 sung des Gleichungssystems ist: I: 10x + 7y = 31 II: 8x + 5y = 7 (1 10) (0,5 8) ( 1 2) (5 7) 915 Weise durch Einsetzen in die beiden Gleichungen des Gleichungssystems I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 nach, dass die Lösung, die du in Aufgabe 911 gefunden hast, tatsächlich eine Lösung des Gleichungssystems ist! Grafisches Darstellen von linearen Gleichungssystemen Da sich eine lineare Gleichung als Gerade grafisch darstellen lässt, kann man auch ein lineares Gleichungssystem grafisch darstellen: Im Koordinatensystem werden zwei Geraden eingezeichnet. Schneiden die beiden Geraden einander, dann Erfüllen die Koordinaten des Schnittpunktes S(x s y s ) beide Gleichungen. Das Zahlenpaar (x s y s ) ist daher Lösung des Gleichungssystems. K2 916 Welches lineare Gleichungssystem ist hier grafisch dargestellt? (1) Bestimme für beide Geraden die Steigung k und den Achsenabschnitt d und gib die zugehörigen Gleichungen in der Form y = kx + d an! (2) Gib beide Gleichungen auch in der Form ax + by = c an! (3) Entnimm der Zeichnung die Koordinaten x s und y s des Schnittpunktes S und überprüfe durch Einsetzen in beide Gleichungen, ob (x s y s ) eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist! 917 Gegeben ist das lineare Gleichungssystem I: 2x + y = 4 II: x + 2y = 3 (1) Forme die Gleichungen in die Form y = kx + d um! (2) Stelle die beiden Gleichungen im Koordinatensystem grafisch dar! (3) Bestimme die Koordinaten x s und y s des Schnittpunktes S der beiden Geraden! (4) Zeige, dass die beiden Werte x s und y s die beiden Gleichungen aus der Angabe erfüllen! Setze sie dazu in die Gleichungen ein! 913 ( 1 2) 914 I: 10 ( 1) = 31 w.a. und II: 8 ( 1)+ 5 3 = 7 w. A. 915 I: = 24 w.a. und II: = 7 w. A. 916 (1) I: k = 2, d = 1, y = 2x 1 II: k = 1, d = 5, y = x + 5 (2) I: 2x + y = 1, II: x + y = 5 (3) (x s y s ) = (2 3) 917 (1) I: y = 2x + 4, II: y = 1 2 x (2) (3) S( 1 2) (4) I: 2 ( 1) + 2 = 4, II: ( 1) = 3

7 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen Grafisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme I: x + 2y = 6 II: x y = 3 1. Forme die beiden Gleichungen um und stelle sie in der Form y = kx + d dar: I: y = 1 2 x + 3 II: y = x 3 2. Zeichne die zu den Gleichungen gehörenden Geraden im Koordinatensystem ein! 3. Entnimm aus der Zeichnung die Koordinaten x s und y s des Schnittpunktes S der beiden Geraden. Das Zahlenpaar S(x s y s ) ist die Lösung des Gleichungssystems: Schnittpunkt S(4 1) L = {(4 1)} Probe: Das Zahlenpaar muss beide Gleichungen erfüllen. Eingesetzt in die beiden Ausgangsgleichungen liefern x s und y s für beide Gleichungen eine wahre Aussage: I: = 6 6 = 6 w.a. II: 4 1 = 3 3 = 3 w.a. I2 918 a) L = {(4 2)} K2 918 Bestimme grafisch die Lösung des linearen Gleichungssystems! b) L = {(0 4)} Führe auch die Probe durch! a) I: y = x + 6 b) I: y = 1 x + 4 II: y = 1 x II: y = 2x I2 919 a) L = {(1 3)} K2 919 Löse das lineare Gleichungssystem grafisch und führe rechnerisch die Probe durch! b) L = {(3 0)} a) I: y = 3x b) I: y = 1 x 1 3 II: y = 3x + 6 II: y = 5 x a) L = {( 2 4)} b) L = {(0 1)} c) L = {( 3 0)} d) L = {(2 5)} K2 920 Tipp 10.2 Computerunterstütztes Arbeiten hilft den Zeitaufwand des grafischen Lösungsverfahrens zu reduzieren. Das kostenlos erhältliche Programm GeoGebra ( eignet sich dafür besonders (siehe S. 14.5). Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems grafisch! Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die beiden Gleichungen! a) I: 1 x + 2y = 9 b) I: 3x + y = 1 2 II: 3x + 2y = 2 II: 4x + 2y = 2 c) I: 5x + 3y = 15 II: x + 3y = 3 d) I: 1 x 2y = 11 2 II: x y = 3

8 10.2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme 191 H4 K3 921 In den bisherigen Aufgaben hatten wir es nur mit Gleichungssystemen zu tun, die eindeutig lösbar waren, die beiden Geraden hatten einen Schnittpunkt. Überlegt zu zweit: Muss das immer so sein? Kann es Gleichungssysteme geben, die mehr als eine Lösung oder gar keine Lösung haben? Tipp: Überlegt, welche Lagebeziehung zwei Geraden in der Ebene haben können! H4 K2 922 Weise mit Hilfe des grafischen Lösungsverfahrens nach, dass folgendes Gleichungssystem keine Lösung hat! I: 2x + y = 5 II: 4x 2y = 1 H4 K2 923 Wende das grafische Lösungsverfahren auf folgendes Gleichungssystem an! Welcher besondere Fall liegt vor? Beschreibe in Worten! Was kannst du daher über die Lösung des Gleichungssystems aussagen? I: 4x + 2y = 2 II: 2x y = 1 Lösungsfälle bei linearen Gleichungssystemen Bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Gleichungen und zwei Variablen gibt es drei verschiedene Lösungsfälle: 1. Fall: Das Gleichungssystem hat genau ein Zahlenpaar (x y), x, y R als Lösung: L = {(x y)}. Grafische Interpretation: Die Lösungen der beiden Gleichungen stellen Geraden dar, die einander im Punkt (x y) schneiden. 2. Fall: Das Gleichungssystem hat keine Lösung: L = {}. Grafische Interpretation: Die Lösungen der beiden Gleichungen stellen parallele Geraden dar und haben daher keinen Punkt gemeinsam. 3. Fall: Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: z. B. L = {(x y) y = 2x + 4, x, y R} Grafische Interpretation: Die Lösungen der beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar. Jeder Punkt, der auf dieser Geraden liegt, ist Lösung des Gleichungssystems. 921 Nein, ein Gleichungssystem kann auch gar keine Lösung haben (die beiden Geraden sind parallel) oder unendlich viele Lösungen (die beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar). 922 Die beiden Geraden haben dieselbe Steigung, aber unterschiedliches d, sind daher parallel und haben keinen Punkt gemeinsam. 923 Die beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar. Unendlich viele Zahlenpaare, nämlich jene Punkte, die auf der Geraden liegen, erfüllen beide Gleichungen und sind daher Lösung des Gleichungssystems. 924 Nein, denn zwei Geraden können nur genau einen oder gar keinen Schnittpunkt haben.

9 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen H4 K3 924 Ist es möglich, dass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen genau Sind k und d Lösungen hat? Begründe deine Antwort! gleich, dann fallen die beiden Geraden zusammen: unendlich viele Lösungen. Sind die Steigungen gleich, aber die Achsenabschnitte unterschiedlich, dann sind die beiden Geraden parallel: keine Lösung. Sind die Steigungen unterschiedlich, so schneiden die Geraden einander: genau eine Lösung. 926 a) gleiches k, unterschiedliches d keine Lösung b) unterschiedliches k eine Lösung c) gleiches k, gleiches d unendlich viele Lösungen d) gleiches k, unterschiedliches d keine Lösung 927 a) keine Lösung b) unendlich viele Lösungen c) L = {( 2 0)} d) keine Lösung 928 Richtlinien dazu siehe Lösung von Aufgabe I: x + y = 5 II: -2x + y = 2 S(1 4) ist die Lösung. H4 K2 925 Überlegt zu zweit: Wie kann man aus den beiden Gleichungen eines Gleichungssystems, die in der Form y = kx + d gegeben sind, direkt ablesen (das heißt, ohne die Zeichnungen anzufertigen), welcher Lösungsfall vorliegt? Vergleicht dazu jeweils die Steigungen k bzw. die Achsenabschnitte d der beiden Gleichungen! K2 926 Welcher Lösungsfall liegt bei den gegebenen Gleichungssystemen vor? Untersuche durch Vergleich der Steigungen k und der Achsenabschnitte d, ob das Gleichungssystem genau eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat! a) I: y = 2x + 6 b) I: y = 1 x II: y = 2x + 1 II: y = 2x + 4 c) I: 2y = 6x + 12 II: y = 3x + 6 d) I: y = 1 3 x 1 II: y = 1 3 x + 5 K2 927 Forme die Gleichungen jeweils auf die Gestalt y = kx + d um! Vergleiche dann die Steigungen und die Achsenabschnitte der beiden Gleichungen und bestimme, welcher Lösungsfall vorliegt! Für den Fall, dass es genau eine Lösung gibt, ermittle diese Lösung graphisch! a) I: 3x + 2y = 9 II: 3x + 2y = 1 c) I: x + 2y = 2 II: x 2y = 2 K3 928 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an, das (1) genau eine Lösung (2) keine Lösung (3) unendlich viele Lösungen hat! K3 929 Sara hat ein Gleichungssystem grafisch gelöst. Rechts siehst du die Zeichnung. Wie lautet die Angabe? Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt? Welche Bedeutung hat er für das Gleichungssystem? I: x + y = 5 II: -2x + y = 2 Schnittpunkt Bedeutung: S(1 4) ist die Lösung. 3 b) I: x + 4y = 2 2 II: 3x + 8y = 4 d) I: 1 2 x y = 11 II: 2x 4y = 3

10 10.3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme Im letzten Abschnitt hast du viele Gleichungssysteme grafisch gelöst. Durch dieses Lösungsverfahren kann man sehr viel über lineare Gleichungssysteme lernen, z. B. warum es niemals genau 2 Lösungen haben kann. Wie jedes grafische Verfahren hat es aber den Nachteil, dass man sehr von der eigenen Zeichengenauigkeit abhängig ist. Selbst wenn man sich noch so bemüht, Lösungen wie (0,345 2,61) wird man einer händischen Zeichnung nur unter großem Aufwand entnehmen können. Aber selbst wenn die Lösung ganzzahlig ist, können Schwierigkeiten auftreten. Überlege am Beispiel des Zahlenpaares (1 100)! Beim computerunterstützten Arbeiten können durch Verschieben des Bildschirmausschnittes und Zoomen diese Probleme bewältigt werden, aber in Sachen Genauigkeit stößt man auch da an Grenzen. Ein klarer Fall also, dass auch rechnerische Lösungsmöglichkeiten gefragt sind! Wir kommen ein letztes Mal auf die Abschlussreise der 4B und der 4C zurück, die am Anfang dieses Kapitels (siehe S. 184) vorgestellt wurde: Über die Zimmereinteilung für die 24 Mädchen weiß man, dass sie insgesamt 7 Zimmer benötigen und dass diese Zimmer Dreibett- und Vierbettzimmer sind. Daraus ergibt sich das Gleichungssystem: I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 Ein Zahlenpaar (x y), das Lösung des Gleichungssystems ist, muss beide Gleichungen erfüllen. Das heißt, der Zusammenhang zwischen den Variablen x und y, der sich aus einer Gleichung ergibt, muss auch für die andere Gleichung gelten! Im Gleichungssystem oben ergibt sich aus Gleichung II x + y = 7 bzw. x = 7 y Das muss auch für Gleichung I gelten! Daher dürfen wir in Gleichung I für x den Term 7 y einsetzen: 3 (7 y) + 4y = 24 und erreichen damit, dass wir y aus einer linearen Gleichung mit einer Variable bestimmen können: 21 3y + 4y = 24 y = 3 Wegen x = 7 y erhalten wir für x = 7 3 = 4 und damit als Lösung des Gleichungssystems das Zahlenpaar (4 3). Beide Gleichungen sind erfüllt, wie die Probe zeigt: I: = = 24 II: = 7

11 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen Die beschriebenen Überlegungen begründen das so genannte Einsetzungsverfahren. Im folgenden Musterbeispiel im gelben Kasten sind die einzelnen Durchführungsschritte zusammengefasst. Einsetzungsverfahren (= Substitutionsverfahren) I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 1. Drücke in einer der beiden Gleichungen x durch y aus! (Du kannst auch umgekehrt y durch x ausdrücken. Mach das, was einfacher ist!) Gleichung II: x = 7 y 2. Durch Einsetzen des Terms in die andere Gleichung erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen: Gleichung I: 3 (7 y) + 4y = Löse diese Gleichung! 21 3y + 4y = 24 y = 3 4. Setze die Lösung in den Term ein und ermittle die zweite Variable! x = 7 3 = 4 L = {(4 3)} Probe: I: = = 24 II: = 7 Es gibt für lineare Gleichungssysteme noch weitere Lösungsverfahren, zwei davon werden in den folgenden beiden Musterbeispielen vorgestellt. Gleichsetzungsverfahren (= Komparationsmethode) I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 1. Drücke in beiden Gleichungen x durch y aus! (Ebenso könntest du wahlweise auch y durch x ausdrücken.) I: 3x = 4y + 24 x = 4 3 y + 8 II: x = 7 y 2. Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhältst du eine Gleichung mit einer Variablen: 4 3 y + 8 = 7 y 3. Löse diese Gleichung! 1 3 y = 1 y = 3 4. Setze die Lösung in einen der beiden Terme aus 1. ein und ermittle die zweite Variable! x = 7 3 = 4 L = {(4 3)} Vergiss die Probe nicht!

12 10.3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssysteme 195 Additionsverfahren 1. Multipliziere die Gleichungen mit geeigneten Faktoren so, dass bei einer Variable entgegengesetzt gleiche Koeffizienten entstehen: I: 3x + 4y = 24 II: x + y = 7 ( 4) 2. Durch Addieren der beiden Gleichungen erhältst du eine Gleichung mit einer Variable: I: 3x + 4y = 24 II: 4x 4y = 28 x = 4 3. Löse diese Gleichung! x = 4 4. Setze die Lösung in eine der beiden Gleichungen ein und berechne die zweite Variable! 4 + y = 7 y = 3 L = {(4 3)} Vergiss die Probe nicht (siehe Seite 194)! 930 Führe auch die Probe durch! a) I: x + 2y = 3 II: 2x + y = 4 Löse das Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren! b) I: x + 4y = 16 II: 2x + y = 4 c) I: x y = 3 d) I: 7x + y = 90 II: 1 x 2y = 11 II: 12x + 5y = Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren! Führe auch die Probe durch! a) I: x y = 3 b) I: 1 x + y = 1 4 II: x + 2y = 6 II: x + y = 6 c) I: x + 2y = 3 II: x 3y = 53 d) I: x + 3y = 35 II: 5x + 3y = Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren! Führe auch die Probe durch! a) I: 3x + 2y = 155 b) I: 7x y = 56 II: 2x 5y = 549 II: 8x + 3y = 38 c) I: 5x + 11y = 40 II: 6x 12y = 48 d) I: 10x 3y = 117 II: 20x + 4y = Löse das Gleichungssystem mit jenem Lösungsverfahren, das am besten (für dich) passt! Vergiss die Probe nicht! a) I: x + y = 2 II: x + 6y = 11 c) I: 6x + y = 20,2 II: 7x 3y = 18,1 b) I: 5x + 2y = 14 II: 5x 3y = 17 d) I: x + 11y = 5,1 II: x 10y = 5,4 930 a) L ={( 1 2)} b) L ={(0 4)} c) L ={(2 5)} d) L ={(10 20)} 931 a) L ={(4 1)} b) L ={(4 2)} c) L ={( 23 10)} d) L ={( 35 0)} 932 a) L ={(17 103)} b) L ={(10 14)} c) L ={(8 0)} d) L ={(18 21)} 933 a) L ={(0,2 1,8)} b) L ={(1,6 3)} c) L ={(1,7 10)} d) L ={( 0,4 0,5)}

13 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 934 (1)1 (1 4) (2) (5 8) (3) ( 0,5 3) (4) ( 2,5 0) 934 Ordne den Gleichungssystemen die richtige Lösung zu! (1) 7x + y = 3 ( 0,5 3) x + 5y = 21 (2) x = y 3 (5 8) x 2y = 11 (3) y = 4x 1 ( 2,5 0) y = 2x 4 (4) 4x + 7y = 10 (1 4) 2x 3y = (2 5) 935 Gleichungssystem: Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: I: x + 2y = 12 II: 2x + 5y = 29 Löse dieses Gleichungssystem! 936 c = 3, d = Zwei Gleichungen: Löse das Gleichungssystem: I: 3c 4d = 7 II: c = d 1 I2 937 a) L = {} K2 937 Gib die Lösungsmenge des Gleichungssystems an! b) L = {(13 5,5)} Achtung: Nicht jedes der Gleichungssysteme ist eindeutig lösbar! c) L = {(x y) y = 1 x a) I: 3x 10y = 0 b) I: 8x 7y = 142,5 2 7, x,y R} II: 1,5x + 5y = 1 II: 9x + 2y = d) L = {} c) I: 2x 4y = 7 II: 6x + 12y = 21 d) I: 0,6x + 1,2y = 0,8 II: 1,8x 3,6y = 2,8 K3 938 Gib ein lineares Gleichungssystem an, das a) die Lösung (4 1) b) die Lösung ( 2 5) c) keine Lösung hat. I2 939 Alle beruhen H4 K3 939 Erkläre, was der Hintergrund der drei Verfahren ist! darauf, dass sowohl der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen, der sich aus Gleichung I ergibt, als auch der Zusammenhang, der sich aus Gleichung II ergibt, erfüllt sein muss.

14 10.4 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen Verwende beim Lösen der in den folgenden Aufgaben auftretenden Gleichungssysteme jenes Lösungsverfahren, das dir am geeignetsten erscheint! 940 Der Eintritt zu einer Greifvogelschau kostet für Schüler/innen 5,00, für Erwachsene 6,50. Das Verwaltungsbüro der Greifvogelstation möchte wissen, wie die Aufteilung der Zuschauer auf Erwachsene und Schüler/innen war. An der Kassa hat man aber nur die Gesamtanzahl an verkauften Karten und die Einnahmen registriert. Berechne aus diesen Aufzeichnungen, wie viele Erwachsene bzw. Schüler/innen die Flugshow besucht haben! a) Vormittagsvorstellung: 158 Karten, Einnahmen: 955, b) Nachmittagsvorstellung: 196 Karten, Einnahmen: 1118,. 941 Bei der Aufführung eines Schultheaters werden an der Abendkassa Karten zu 6,50 für Erwachsene und Karten zu 4 für Schüler/innen verkauft. Insgesamt wurden 270 Karten verkauft und 1485 eingenommen. Wie viele Schüler/innenkarten und wie viele Karten für Erwachsene wurden verkauft? 942 Wie Aufgabe 941 für insgesamt 171 verkaufte Karten und 879 Einnahmen. Welches Gleichungssystem passt zum Text? Kreuze an! I: e + 4s = 171 I: e + s = 171 II: 6,50e + s = 879 II: 6,50e + 4s = 879 I: e + s = 879 II: 6,50e + 4s = 171 I: 4s + s = 171 II: 6,50e + e = Während des Langstreckenfluges Wien Tokio werden den Passagieren über Bildschirme Reiseinformationen geboten. Zu Beginn der Reise wird die Distanz zwischen Wien und Tokio mit 9164 km angegeben, die voraussichtliche Flugzeit mit 11:10 h. Frau Schindler vergleicht mit ihren Fluginformationen für den Rückflug: Dort wird die Flugzeit für Tokio Wien mit 12:00 h angegeben, obwohl sie wieder mit demselben Flugzeugtyp fliegen wird. (1) Warum unterscheiden sich die Flugzeiten zwischen Hinflug und Rückflug so deutlich? Ist das auch bei anderen Langstreckenflügen so? Frage im Internet die Flugzeiten für den Transatlantikflug von einem europäischen Flughafen nach New York, hin und zurück, ab! (2) Berechne die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit für die angegebenen Flugzeiten Wien Tokio bzw. Tokio Wien! (3) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die (durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit, die der Angabe der Flugzeit zugrunde liegen! 940 a) x + y = 158 5x + 6,5y = Schüler/innen und 110 Erwachsene b) 104 Schüler/innen und 92 Erwachsene 941 x + y = 270 6,5x + 4y = Karten für Erwachsene und 108 Schüler/innen- Karten Gleichungssystem 943 (1) Der Hinflug erfolgt mit Rückenwind, der Rückflug mit Gegenwind. Ja, denn bei allen Langstreckenflügen wirken sich die Luftströmungen auf die Flugzeit aus. Wien New York: 9:10 h, New York Wien: 8:45 (Abfrage ) (2) Wien Tokio: 821 km/h; Tokio Wien: 764 km/h (3) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges: 792,5 km/h, Windgeschwindigkeit: 28,5 km/h

15 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 944 (1) Hinflug: 764 km/h, Rückflug: 836 km/h (2) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges: 800 km/h, Windgeschwindigkeit: 36 km/h 944Die Flugzeit für den Flug Frankfurt Chicago wird im Internet von einer Fluglinie mit 9:08 h angegeben, die Flugzeit für den Rückflug mit demselben Flugzeugtyp mit 8:21 h. Die Entfernung zwischen Frankfurt und Chicago beträgt 6978 km. (1) Berechne die durchschnittlichen Fluggeschwindigkeiten für die angegebenen Flugzeiten für Hinund Rückflug! (2) Berechne die (durchschnittliche) Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges und die (durchschnittliche) erwartete Windgeschwindigkeit, die der Angabe der Flugzeit zugrunde liegen! Kommen zwei Systeme (z. B. Flüssigkeiten) mit unterschiedlicher Temperatur zusammen, so gleichen sich ihre Temperaturen durch Wärmeaustausch an. Wärme fließt dabei immer vom wärmeren zum kälteren System, so lange, bis beide Systeme die gleiche Temperatur haben. Mischt man einen Liter Wasser mit einer Temperatur von 10 mit einem Liter Wasser mit einer Temperatur von 20, so entstehen 2 Liter Wasser mit der mittleren Temperatur von 15. I In einem Niedrigenergiehaus steht ein solarbeheizter Wasserboiler zur Verfügung. Nach einem 66 Liter aus dem Wasserboiler und sonnigen Tag wird eine Wassertemperatur von Liter aus dem angezeigt. Eine Badewanne soll mit 150 Litern Wasser gefüllt werden, die erwünschte Temperatur ist Kaltwasserzufluss. 37. Wie viele Liter müssen aus dem solarbeheizten Boiler und wie viele Liter aus einem Kaltwasserzufluss (16 ) zufließen? Runde auf ganze Liter! I Liter 946 An einem heißen Sommertag ist die Temperatur in einem 100-Liter-Aquarium auf 27 angestiegen. Wie viel Liter Wasser muss man entnehmen und durch 10 kaltes Wasser ersetzen, damit wieder die für die Fische passende Temperatur von 25 erreicht wird? (Tipp: Wenn von den 100 Litern x Liter entnommen werden, so ist das genau jene Wassermenge mit 10, die zur verbleibenden Wassermenge (y Liter) hinzukommt.) 947 a) x + y = 131 und x v = 43 b) x = y + 5 und 2v + x = Zahlenrätsel Übersetze den Text jeweils in zwei lineare Gleichungen und löse das Gleichungssystem, um die beiden gesuchten Zahlen zu ermitteln! Führe auch die Probe durch! a) Die Summe zweier Zahlen ist 131. Ihre Differenz beträgt 43. b) Eine Zahl ist um 5 größer als die andere. Addiert man zum Doppelten der kleineren Zahl die größere Zahl, erhält man 83.

16 10.4 Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen Wie Aufgabe 947: a) Eine Zahl ist dreimal so groß wie eine zweite Zahl. Die Differenz der beiden Zahlen beträgt 100. b) Die Differenz zweier Zahlen ist 20. Addiert man zum Dreifachen der kleineren Zahl das Doppelte der größeren Zahl, erhält man Die Differenz zweier Zahlen beträgt 4. Verringert man die größere der beiden Zahlen um 1 und vergrößert die kleinere um 2, so wird das Produkt um 15 größer. Wie lauten die beiden Zahlen? 950 Die Summe zweier Zahlen ist 69. Vergrößert man eine Zahl um 3 und verringert die andere um 5, so wird das Produkt um 24 kleiner. Berechne die beiden Zahlen! 948 a) 150 und 50 b) 8 und und und 42 Aufgaben aus der Geometrie 951 Die längere Seite eines Parallelogramms ist a) um 10 cm länger als die kürzere Seite. b) doppelt so lang wie die kürzere Seite. Der Umfang des Parallelogramms ist 72 cm. Berechne die Seitenlängen des Parallelogramms! b f a e 951 a) a = 23 cm, b = 13 cm b) a =24 cm, b = 12 cm 952 In einem gleichschenkligen Dreieck ist ein Basiswinkel (α = β, vergleiche mit der Skizze) um 54 kleiner als der Winkel γ. Ermittle die Größe der Winkel des gleichschenkligen Dreiecks! Führe auch die Probe durch! 953 Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks ist um 11 cm länger als die Schenkellänge. Der Umfang des Dreiecks ist 7,4 dm. Wie lang sind Basis und Schenkel dieses gleichschenkligen Dreiecks? 954 Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 60 cm. Die Basis ist um 3 cm kürzer als eine Schenkellänge. Berechne die Länge der Basis und der Schenkel! 955 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 3:5. Der Umfang des Rechtecks ist 11,2 cm. Wie breit und wie lang ist das Rechteck? 956 Erfinde eine ähnliche Aufgabenstellung wie die in 955! Deine Nachbarin/dein Nachbar soll sie lösen! 957 Die Seiten eines Rechtecks verhalten sich wie 4:9. Verlängert man die kürzere Seite um 4 cm und verkürzt die längere Seite um 6 cm, so bleibt der Flächeninhalt unverändert. (1) Wie lang und wie breit ist das ursprüngliche Rechteck? (2) Wie lang sind die Seiten des veränderten Rechtecks? Welche besondere Form liegt vor? A b C c a B 952 I: α + 54 = γ; II: 2α + γ = 180; α = β = 42 ; γ = Basis: 32 cm; Schenkel: 21 cm 954 Basis: 18 cm, Schenkel: 21 cm 955 b = 2,1 cm, l = 3,5 cm 957 (1) b = 8 cm, l = 18 cm (2) ein Quadrat mit s = 12 cm

17 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 958 a) y = x +3 b) y = 13 5 x a) y = 2 5 x + 2 b) y = 7 4 x + 5 c) y = 10 9 x d) y = 5 6 x Wie lautet die Gleichung jener Geraden g, die durch die beiden gegebenen Punkte geht? A( 2 5), B(3 1) Da beide Punkte auf der Geraden g liegen, erfüllen sie die Gleichung y = kx + d. Wir setzen daher die Koordinaten der Punkte für x und y ein und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen k und d: A liegt auf g I: 5 = 2k + d ( 1) B liegt auf g II: 1 = 3k + d + ( 1) I: 5 = 2k d 4 = 5k k = eingesetzt in Gleichung I ergibt: 5 = d d = = 17 5 Die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Punkte A und B verläuft, lautet daher: g: y = 4 5 k a) A(2 1), B( 1 4) b) R( 3 7), S(2 6) 959 Stelle die Gleichung jener Geraden auf, die durch die gegebenen beiden Punkte geht! a) A( 20 10), B(5 0) b) C(0 5), D(4 2) c) E(8 9), F( 1 1) d) G(6 0), H(0 5) 10.5 Ausblick und Exercises Ausblick 960 (1) 960 In einem Dreieck verhalten sich eine Seite und ihre Höhe wie 4:3. Der Flächeninhalt a = 10,4 cm, des Dreiecks beträgt 40,56 cm 2. h a = 7,8 cm (2) Es (1) Berechne die Seitenlänge und die Höhe! handelt sich nicht (2) Inwiefern unterscheidet sich das Gleichungssystem in (1) von den anderen bis um ein lineares jetzt behandelten? Welche Lösungsverfahren können zur Anwendung kommen, welche Gleichungssystem. nicht? Einsetzungsverfahren und Wie Aufgabe 960 zeigt, gibt es auch andere als nur lineare Gleichungssysteme. Mit dem Einsetzungsverfahren kann man auch diese lösen. Das Additionsverfahren ist dafür Gleichsetzungsverfahren können zur nicht geeignet. Bei komplexen Sachverhalten mit hoher Anwendungsrelevanz kommt man in der Regel Anwendung nicht mit einem Gleichungssystem, das nur zwei Gleichungen enthält, aus. Beispielsweise führen Messreihen in der Chemie oder Physik häufig auf Gleichungssysteme, die kommen. Additionsverfahren aus mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen bestehen. und grafisches Die Lösungsverfahren, wie du sie kennengelernt hast, sind auch für solche Gleichungssysteme erweiterbar. In der Praxis wird der oft hohe Rechenaufwand mit geeigneter Lösungsverfahren nicht. Software am Computer (siehe Kap. 14.5, S. 265) bewältigt.

18 10.5 Ausblick und Exercises Exercises vocabulary system of linear equations lineares Gleichungssystem solution Lösung graphing zeichnen substitution das Ersetzen, Einsetzen addition method hier: Additionsverfahren to solve lösen infinitely-many unendlich viele K2 961 Determine whether either of the points (1 5) and ( 5 1) is a solution to the given system of equations! 6x + y = 31 5x + 7y = Fill in: infinitely-many (2x) two three (2x) one (2x) no solution none For systems of linear equations (two variables, two equations) there are possible types of solutions: The system may have one solution (a specific point (x y)), no solution infinitely-many at all or solutions. There is no such system with two or three solutions. You will always have one, none or infinitely-many solutions. K2 963 Solve the following system by graphing! x + 4y = 12 10x + 5y = 15 K2 964 Solve the following system by substitution! 3x + y = 250 7x + 10y = 650 K2 965 Solve the following system using the addition method! 6x + 11y = 67 8x 3y = 52 three K2 966 The difference of two numbers is 57. The sum of these two numbers is 139. Which numbers are we referring to? 967 Which are correct solutions to the equation 5x + 4y = 5? (1,2 1) (2 + 1,2) (0,4 0,5) (1 0) 961 ( 5 1) is a solution of the given equation. 963 L = {(0 3)} 964 L = {( )} 965 L = {(3,5 8)} and (1,2 1) and (1 0)

19 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit zwei Variablen 968 Richtig sind m + b = 21 und m 2b. 971 (1) ( 0,5 3) (2) (5 0) (3) (1 7) (4) (0 4) 972 a) (6 5) b) (0,4 1) Mathe: fit und kompetent Kompetenzcheck In einer Klasse mit 21 Kindern gibt es doppelt so viele Mädchen wie Buben. Die Anzahl der Mädchen wird mit m bezeichnet, die Anzahl der Buben mit b. Kreuze jene Gleichung(en) an, die zur beschriebenen Klasse passen! 969 2m + b = 21 m + 2b = 21 m + b = 21 m = 2b b = 2m Schreibe den Text in Form eines linearen Gleichungssystems an: a) Bei einer Flugreise wiegt Deryas Koffer um 7 kg mehr als ihr Handgepäck. Insgesamt haben die beiden Gepäckstücke 23 kg. I: k = h + 7 II: k + h = 23 b) Eine Zahl ist um 7 größer als die andere. Subtrahiert man vom Doppelten der größeren Zahl die kleinere, erhält man 20. I: x = y + 7 II: 2x y = 20 K3 970 Erfinde einen kurzen Text, der sich durch eine lineare Gleichung mit zwei Variablen darstellen lässt! 971 Verbinde die Gleichungssysteme mit der jeweils richtigen Lösung! (1) 2x + y = 2 (1 7) 8x 2y = 2 (2) 4x + 6y = 20 (0 4) x + y = 5 (3) 2x + y = 5 ( 0,5 3) 8x 2y = 6 (4) x + 2y = 8 (5 0) 10x y = Löse das Gleichungssystem und führe auch die Probe durch! a) I: 3x + 4y = 2 b) I: 5x 4y = 2 II: x y = 11 II: 2x + 6y = 5,2 I2 973 L = {( 2 1)} K2 973 Löse das Gleichungssystem (1) graphisch und (2) rechnerisch! I: 3x + 2y = 8 II: 2x + 4y = 0

20 10.6 Mathe: fit und kompetent Kompetenzcheck 203 K2 974 (1) Welches Gleichungssystem ist in der Grafik dargestellt? Kreuze an! I: y = 3 4 x 4 II: y = 1 3 x + 1 I: y = 4 3 x + 4 II: y = 1 x 1 3 I: y = x 4 II: y = 1 x I: y = 4 x 4 3 II: y = 1 x (2) Wie lautet die Lösung dieses Gleichungssystems? (3 0) H4 K2 975 Wie viele Lösungen hat das angeschriebene Gleichungssystem? Versuche zu antworten, ohne ein Lösungsverfahren anzuwenden! Begründe deine Antwort! I: x + y = 1 II: 2x + 2y = 3 H4 K3 976 Erkläre: Warum hat ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen? 977 In einem Rechteck verhalten sich die Seiten wie 4 7. Der Umfang ist 55 cm. Zwei der folgenden Gleichungssysteme beschreiben den Sachverhalt richtig. Kreuze an, welche! I: b l = 4 7 II: 4b + 7l = 55 I: 4l = 7b I: b l = 4 7 II: b + l = 55 II: 2b + 2l = 55 I: 4l = 7b II: 2(b + l) = 55 K2 978 Tom kauft 2 kg Mehl und 1 kg Zucker und bezahlt dafür 4 Euro, Anna kauft 1 kg Mehl und 3 kg Zucker und bezahlt dafür 4,5 Euro. Wie viel kostet 1 kg Mehl? Wie viel kostet 1 kg Zucker? 979 Im Folgenden steht jeweils k für die Anzahl der Kinder und e für die Anzahl der Erwachsenen, die eine Ausstellung besucht haben. Schreibe in Worten, was die Gleichungen über den Ausstellungsbesuch von Erwachsenen und Kindern aussagen! (1) Montag: e = 4k (2) Dienstag: k + e = 680 (3) Mittwoch: e = k K2 980 Ein Flugzeug erreicht mit Rückenwind eine Geschwindigkeit von 870 km/h, bei (gleichstarkem) Gegenwind kommt es nur auf 720 km/h. Berechne die Eigengeschwindigkeit des Flugzeugs und die Windgeschwindigkeit! K3 981 Schreibe ein lineares Gleichungssystem an, das die Lösung (2 5) hat! 975 Keine Lösung. Die beiden Gleichungen stellen parallele Geraden dar, daher gibt es kein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt. 976 Siehe Zusammenfassung der Lösungsfälle auf Seite und 4. Gleichungssystem kg Mehl kostet 1,5, 1 kg Zucker kostet (1) Es besuchten viermal so viele Erwachsene wie Kinder die Ausstellung. (2) Insgesamt besuchten 680 Personen die Ausstellung. (3) Es haben um 240 mehr Kinder als Erwachsene die Ausstellung besucht km/h, 70 km/n

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