Statistische Methoden der Datenanalyse. Kapitel 2: Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
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1 Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 1 Statistische Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Professor Markus Schumacher Freiburg / Sommersemester 2009 Basiert auf Vorlesungen und Folien von Glen Cowan und Abbildungen von L Feld, S, Zech, H. Kalinowski.
2 Binomial distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 2 Consider N independent experiments (Bernoulli trials): outcome of each is success or failure, probability of success on any given trial is p. Define discrete r.v. n = number of successes (0 n N). Probability of a specific outcome (in order), e.g. ssfsf is But order not important; there are ways (permutations) to get n successes in N trials, total probability for n is sum of probabilities for each permutation.
3 Binomial distribution (2) Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 3 The binomial distribution is therefore random variable parameters For the expectation value and variance we find:
4 Binomial distribution (3) Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 4 Binomial distribution for several values of the parameters: Example: observe N decays of W, the number n of which are W is a binomial r.v., p = branching ratio.
5 Binomial distributions for different parameters p and N Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 5 Lutz Feld
6 Multinomial distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 6 Like binomial but now m outcomes instead of two, probabilities are For N trials we want the probability to obtain: n 1 of outcome 1, n 2 of outcome 2, n m of outcome m. This is the multinomial distribution for
7 Multinomial distribution (2) Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 7 Now consider outcome i as success, all others as failure. all n i individually binomial with parameters N, p i for all i One can also find the covariance to be Example: represents a histogram with m bins, N total entries, all entries independent.
8 Poisson distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 8 Consider binomial n in the limit n follows the Poisson distribution: Example: number of scattering events n with cross section found for a fixed integrated luminosity, with
9 Poisson distributions for different values of Lutz Feld Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 9
10 Poisson distributions for different values of Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 10 Frodesen et al.
11 Quantiles of Possion Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 11 Lutz Feld
12 Exponential distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 12 The exponential pdf for the continuous r.v. x is defined by: Example: proper decay time t of an unstable particle Glen Cowan ( = mean lifetime) Lack of memory (unique to exponential):
13 Exponential Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 13 Glen Cowan
14 Uniform distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 14 Consider a continuous r.v. x with < x <. Uniform pdf is: N.B. For any r.v. x with cumulative distribution F(x), y = F(x) is uniform in [0,1]. Example: for 0, E is uniform in [E min, E max ], with Glen Cowan
15 Gaussian distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 15 The Gaussian (normal) pdf for a continuous r.v. x is defined by: (N.B. often, 2 denote mean, variance of any r.v., not only Gaussian.) Special case: = 0, 2 = 1 ( standard Gaussian ): Glen Cowan If y ~ Gaussian with, 2, then x = (y ) / follows (x).
16 Normal / Gaussian Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 16 Lutz Feld
17 Normal / Gaussian Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 17 Frodesen et al.
18 Normal / Gaussian Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 18 Frodesen et al.
19 Probability Contents of Gaussian distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 19 Frodesen et al.
20 Probability Contents Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 20 Frodesen et al.
21 Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 21 Gaussian pdf and the Central Limit Theorem The Gaussian pdf is so useful because almost any random variable that is a sum of a large number of small contributions follows it. This follows from the Central Limit Theorem: For n independent r.v.s x i with finite variances i2, otherwise arbitrary pdfs, consider the sum In the limit n, y is a Gaussian r.v. with Measurement errors are often the sum of many contributions, so frequently measured values can be treated as Gaussian r.v.s.
22 Central Limit Theorem (2) Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 22 The CLT can be proved using characteristic functions (Fourier transforms), see, e.g., SDA Chapter 10. For finite n, the theorem is approximately valid to the extent that the fluctuation of the sum is not dominated by one (or few) terms. Beware of measurement errors with non-gaussian tails. Good example: velocity component v x of air molecules. OK example: total deflection due to multiple Coulomb scattering. (Rare large angle deflections give non-gaussian tail.) Bad example: energy loss of charged particle traversing thin gas layer. (Rare collisions make up large fraction of energy loss, cf. Landau pdf.)
23 The CLT at Work Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 23 Lutz Feld
24 Multivariate Gaussian distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 24 Multivariate Gaussian pdf for the vector are column vectors, are transpose (row) vectors, For n = 2 this is where = cov[x 1, x 2 ]/( 1 2 ) is the correlation coefficient.
25 Two Dimensional Gaussian Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 25 Lutz Feld
26 Cauchy (Breit-Wigner) distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 26 The Breit-Wigner pdf for the continuous r.v. x is defined by = 2, x 0 = 0 is the Cauchy pdf.) E[x] not well defined, V[x]. x 0 = mode (most probable value) = full width at half maximum Glen Cowan Example: mass of resonance particle, e.g., K *, 0,... = decay rate (inverse of mean lifetime)
27 Cauchy / Breit Wigner Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 27 Lutz Feld
28 Cauchy / Breit Wigner Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 28 Frodesen et al.
29 Chi-square ( 2 ) distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 29 The chi-square pdf for the continuous r.v. z (z 0) is defined by n = 1, 2,... = number of degrees of freedom (dof) For independent Gaussian x i, i = 1,..., n, means i, variances i 2, follows 2 pdf with n dof. Glen Cowan Example: goodness-of-fit test variable especially in conjunction with method of least squares.
30 Chi Square distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 30 Lutz Feld
31 Chi Square distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 31 Frodesen et al.
32 Quantiles of Chi Square Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 32 Lutz Feld
33 Quantiles of chi square distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 33 Frodesen et al.
34 Gamma distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 34 Often used to represent pdf of continuous r.v. nonzero only in [0, ]. Also e.g. sum of n exponential r.v.s or time until nth event in Poisson process ~ Gamma
35 Log-Weibull-Distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 35 Distribution of Minimum (+) and Maximum (-) from a Sample of n RVs (n large) following a Gaussian, Poisson, Exponential and related distributions.
36 Landau distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 36 For a charged particle with = v /c traversing a layer of matter of thickness d, the energy loss follows the Landau pdf: d L. Landau, J. Phys. USSR 8 (1944) 201; see also W. Allison and J. Cobb, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 30 (1980) 253.
37 Landau distribution (2) Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 37 Long Landau tail all moments Mode (most probable value) sensitive to, particle i.d.
38 Connection between PDFs Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 38 Lutz Feld
39 Survey of PDFS Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 39
40 Connection between pdfs Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 40 Frodesen et al.
41 More distributions Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 41 For a more complete catalogue see e.g. the handbook on statistical distributions by Christian Walck from
42 Student's t distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 42 = number of degrees of freedom (not necessarily integer) = 1 gives Cauchy, gives Gaussian.
43 Student's t distribution (2) Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 43 If x ~ Gaussian with = 0, 2 = 1, and z ~ 2 with n degrees of freedom, then t = x / (z/n) 1/2 follows Student's t with = n. This arises in problems where one forms the ratio of a sample mean to the sample standard deviation of Gaussian r.v.s. The Student's t provides a bell-shaped pdf with adjustable tails, ranging from those of a Gaussian, which fall off very quickly, (, but in fact already very Gauss-like for = two dozen), to the very long-tailed Cauchy ( = 1). Developed in 1908 by William Gosset, who worked under the pseudonym "Student" for the Guinness Brewery.
44 Student s t-distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 44
45 Beta distribution Prof. M. Schumacher Stat. Meth. der Datenanalyse Kapi. 2: Spezielle Wkt.-Verteilungen Uni. Freiburg / SoSe09 45 Often used to represent pdf of continuous r.v. nonzero only between finite limits.
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