Statistische Methoden der Datenanalyse Wintersemester 2011/2012 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
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1 Statistische Methoden der Datenanalyse Wintersemester 2011/2012 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Prof. Markus Schumacher Physikalisches Institut Westbau 2 OG Raum 008 Telefonnummer Markus.Schumacher@physik.uni-freiburg.de Vorlesung basiert in weiten Teilen auf der von Glen Cowan.
2 Kapitel 2 Katalog von ausgewählten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (Fortsetzung) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
3 Multinomialverteilung Wie Binomial aber nun m verschiedene Ausgänge des anstelle von zwei, Mit Wahrscheinlickieten für die einzelnen Ausgänge: Für N Versuche suchen wir die Wahrscheinlichkeit das folgende Ergebnis zu erhalten: n 1 von Möglichkeit 1, n 2 von Möglichkeit 2, n m von Möglichkeit m. Die Wktdichtefunktion ist die Multinomialverteilung für M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
4 Multinomialverteilung II Nun betrachte Möglichkeit i as Erfolg, alle anderen als Misserfolg. alle individuellen n i binomialverteilt mit Parametern N, p i für alle i Für die Kovarianzen (I ungleich j) ergibt sich: cov[n i,n j ] = E[(n i E[n i ])(n j E[n j ])] = E[n i n j ] E[n i ]E[n j ] = N(N 1)p i p j (Np i )(Np j ) = Np i p j. Negative Korrelation: wenn in einer Klasse mehr Ereignisse müssen irgendwo welche fehlen ρ ni n j = cov[n i,n j ] σ ni σ nj p = i p j (1 p i )(1 p j ). M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
5 Multinomialverteilung (III): Beispiele repräsentiert ein Histogram mit m bins, N (bekannt) Gesamteinträgen Zerfall eines instabilen Teilchens A: (1) Aà BC, (2) Aà DE, (3) Aà FG Mit bekannten Zerfallswahrscheinlichkeiten für alle drei Modi. (nbc, nde, nfg) folgte Multinomialverteilung. Textanalyse: Auftreten der einzelnen Bustaben des Alphabets. (na,,nz) folgt Multinomialverteilung. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
6 Poissonverteilung: Herleitung 1 Betrachte Grenzfall der Binomialverteilung mit konstant n folgt der Poissonverteilung: E[n] = V [n] = n=0 n λn n! exp( λ) =λ, (n λ) 2 λn exp( λ) =λ. n! n=0 M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
7 Poissonverteilung (i) Betrachte Grenzfall der Binomialverteilung mit konstant n folgt der Poissonverteilung: Example: number of scattering events n with cross section σ found for a fixed integrated luminosity, with M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
8 Poissonverteilung (i) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
9 Gleichverteilung Betrachte kontinuierliche Zv x mit - < x <. Gleichverteilung lautet: Bemerkung: für beliebige ZV x mit Kumulativerteilung F(x), gilt, dass die ZV y = F(x) geichverteilt in [0,1] ist. Example: for p 0 gg, E g is uniform in [E min, E max ], with M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
10 Exponentialverteilung Die Exponential-WDF für kontinuierliche ZV x ist definiert als: Beispiel: Zerfallszeit eines unstabilen Teilchens (τ = mittlere Lebesndauer) Kein Gedächtnis (einzigartg für Exp-WDF) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
11 Gauss- oder Normalverteilung Dies Gauss- oder Normal-WDF für eine kontinuierliche ZV x ist definiert als: Spezialfall: µ = 0, σ 2 = 1 ( Standard-Gauss ): Wenn y aus Gauss-WDF mit µ, σ 2, dann folgt x = (y - µ) /σ der ϕ (x). M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
12 Gauss- oder Normalverteilung M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
13 Gauss- oder Normalverteilung
14 Gauss- oder Normalverteilung
15 Gauss-WDF und Zentraler Grenzwertsatz Die Gaussverteilung ist von so großer Bedeutung weil jede ZV, die die Summe aus einer großen Anzahl kleiner Zahlenbeiträge ist gemäß ihr verteilt ist. Die folgt aus dem Zentralen Grenzwertsatz : Gegeben n unabhängige ZV x i mit endlicher Varianzen σ i2, aber ansonsten beliebigen WDFs. Betrachte die ZV y als Summe Im Grenzfall n gilt, dass y einer Gaussverteilung folgt mit Messfehler sind oft die Summe aus vielen kleinen Beiträgen. Daher können häufig gemesse Werte als gaussverteilt angenommen werden. Der ZGS kann unter Verwendung der charakteristischen Funktionen bewiesen werden (siehe z.b. Cowan Kapitel 10). M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
16 Zentraler Grenzwertsatz (ZGS) (II) Für endliche n, gilt der ZGS in guter Näherung wenn die Fluktuationen der Summe der ZV nicht durch einen (oder wenige) Beiträge dominiert wird. Vorsicht vor Messungen mit nicht-gausschen Fehlern Gutes Beispiel: Geschwindigkeitskomponente v x von Luftmolekülen OK -Beispiel: totale Ablenkung durch Coulomb-Vielfachstreung (Seltende Ablenkungen unter gr. Winkeln ergeben nicht-gaussche Ausläufer) Schlechtes Beispiel: Energieverlust von geladenem Teilchen in dünner Gasschicht. (Seltende Kollisionen tragen Großteil des Energieverlustes à Landau-WDF). Gutes Beispiel: Größe des Menschen. Viele Faktoren beinflussen Größe. Schlechtes Beispiel: Gewicht des Menschen. Dominiert durch Essverhalten. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
17 Central Limit Theorem (2) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
18 Mehrdimendionale Gaussverteilung Mehrdimensionale Gauss-WDF für Vektor von ZV sind Spaltenvektoren sind transponierte (Zeilen-)Vektoren Für n = 2 ist die WDF gegeben durch: wobei ρ = cov[x 1, x 2 ]/(σ 1 σ 2 ) der Korrelationskoeffizient ist. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
19 Mehrdimendionale Gaussverteilung
20 Chi-Quadrat-(χ 2 )-Verteilung Die Chi-Quadrat-WDF für kontinuierliche ZV z (z 0) ist definiert als: n = 1, 2,... = Anzahl der Freiheitsgrade FG Für unabhängige Gauss-ZV x i, i = 1,..., n, mit Mittewerten µ i, Varianzen σ i2, folgt einer χ 2 WDF mit n FG. Beispiel: Test der Güte der Anpassung im besonderen im Zusammenhang mit der Methode der kleinsten Quadrate. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
21 Quantiles of chi square distribution Frodesen et al. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
22 Quantiles of chi square distribution Frodesen et al. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
23 Quantiles of chi square distribution Frodesen et al. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
24 Cauchy- und Breit-Wigner-Verteilung Die Breit-Wigner-WDF für eine kontinuierliche ZV x ist definiert als (Spezialfall: Cauchy-Verteilung für Γ = 2 und x 0 = 0) E[x] nicht wohldefiniert, V[x]. x 0 = Modalwerte (wahrscheinlichster Wert) Γ = volle Breite auf halber Maximalhöhe Beispiel: Massenverteilung eines instabilen Teilchens z.b. ρ, K *, f 0,... Γ = Zerfallsbreite (Reziproke der mittleren Lebensdauer) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
25 Cauchy / Breit Wigner Distribution Frodesen et al. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
26 Landau distribution Der Energieverlust Δ eines geladenen Teilchens mit Geschwindigkeit β = v /c, welches eine Materialschicht der Dicke d durchquert, folgt der Landau-Verteilung. Δ β d L. Landau, J. Phys. USSR 8 (1944) 201; see also W. Allison and J. Cobb, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 30 (1980) 253. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
27 Landau distribution (II) Lange Landau-Ausläufer alle Momente Modalwert sensitiv auf Geschwindigkeit β, Teilchenidentifikation M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
28 Beta-Verteilung Die Beta-WDF für eine kontinuierliche ZV x im Intervall [0,1 ist definiert als Wird oft verwendet um WDF zu approximieren, die eine kontinuierliche ZV in eine gewissen Bereich beschrieben [a,b] beschreiben. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
29 Gamma-Verteilung Die Gamma-WDF für eine kontinuierliche ZV x im Intervall [0, ] ist definiert als Oft benutzt um eine WDF im Bereich [0, ] zu parametrisieren. Beschreibt auch z.b. - Summe von n ZV aus Exponentialverteilung - Zeit bis zum r.v.s or time until nten Ereignis in einem Poisson-Prozess M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
30 Studentsche t-verteilung ν = Anzahl der Freiheitsgrade (nich notwendigerweise ganzzahlig) ν = 1 ergibt Cauchy-WDF ν ergibt Gauss-WDF M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
31 Log-Weibull-Distribution Distribution of Minimum (+) and Maximum (-) from a Sample of n RVs (n large) following a Gaussian, Poisson, Exponential and related distributions. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 1: Grundlegende Konzepte WiSe 2011/2012
32 Studentsche t-verteilung
33 Studentsche t-verteilung (II) If x ~ Gaussian with µ = 0, σ 2 = 1, and z ~ χ 2 with n degrees of freedom, then t = x / (z/n) 1/2 follows Student's t with ν = n. This arises in problems where one forms the ratio of a sample mean to the sample standard deviation of Gaussian r.v.s. The Student's t provides a bell-shaped pdf with adjustable tails, ranging from those of a Gaussian, which fall off very quickly, (ν, but in fact already very Gauss-like for ν = two dozen), to the very long-tailed Cauchy (ν = 1). Developed in 1908 by William Gosset, who worked under the pseudonym "Student" for the Guinness Brewery. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
34 Studentsche t-verteilung (II) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
35 Studentsche t-verteilung (II) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
36 Studentsche t-verteilung (II) M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 2: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
37 Kapitel 3 Die Monte-Carlo-Methode für Erstellung von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
38 Die Monte-Carlo-(MC)-Methode MC-Methode ist eine numerische Technik zur Bestimmung von - Wahrscheinlichkeitsdichtefuntionen - Transformation von Zufallsvariablen - Bestimmung von Integralen - Erwartunsgwerte - Faltungen mit Hilfe von Zufallszahlen Anwendungen: - Generierung von Ereignissen/Messungen gemäß eines theoretischen Modells - Simulation des Ansprechverhaltens eines Nachweisapparates/ einer Messapratur -. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
39 The MC-Methode (II) Die einzelnen Schritte sind: (1) Generiere eine Sequenz von Zufallszahlen r 1, r 2,..., r m gemäß Gleichberteilung im Intervall [0, 1]. (2) Verwende diese um eine weitere Sequenz x 1, x 2,..., x n zu erzeugen, die gemäß einer vorgegebenen WDF f (x) verteilt sind. (x kann Vektor sein). (3) Verwende x i Werte um Eigenschaften von f (x) zu bestimmen, z.b. Erwartunsgwerte oder Anteil x Werten mit a < x < b ergibt MC-Berechung = integration (zumindest formal) MC generierte Werte = simulierte Daten oft verwendet um Gültigkeit statistischer Methoden Besondern nützlich bei:- vieldimensionalen f(x) - komplizierten Unterräumen des x n M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
40 Zufallszahlengenerator Ziel: Erzeugung gleichmäßig verteilter Werte im Intervall [0, 1]. Werfe Münze für z.b. 32 Bitnummer... (too tiring). Zufallszahlengenerator = Computeralgorithmus zur Erzeugung von r 1, r 2,..., r n. Beispiel: Multiplikativer linear kongruenter Generator (MLCG) n i+1 = (a n i ) mod m, = ganze Zahl n i a m n 0 = Multiplikator = Modulus/Rest wobei = Seed = Saatzahl (Startwert) Bemerkung: mod = modulus (Reste), z.b. 27 mod 5 = 2. Diese Regel erzeugt eine Sequenz von Zahlen n 0, n 1,... M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
41 Zufallszahlengenerator (2) Die Sequenz ist (unglücklicherweise) periodisch! Beispiel: (siehe Brandt Kapitel 4): a = 3, m = 7, n 0 = 1 Folge wiederholt sich Wähle a, m so, dass eine lang Periode (Maximum = m - 1) erreicht wird; m normalerweise nahe an der größten Integer -Zahl, die auf dem Computer repräsentiert werden kann. Verwende nur ein Untermenge der einzelnen Periode der Sequenz. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
![Zufallszahlengenerator (3) sind [0, 1] aber sind sie zufällig?](/docs-images/71/64848094/images/42-2.jpg "Wähle a, m so, dass die r i eine Reihe von test für Zufälligkeit erfüllen: gleichförmig verteilt in [0, 1], alle Werte unabhängig (keine Korrelationen zwischen Paaren), z.b. L Ecuyer, Commun.")
42 Zufallszahlengenerator (3) sind [0, 1] aber sind sie zufällig? Wähle a, m so, dass die r i eine Reihe von test für Zufälligkeit erfüllen: gleichförmig verteilt in [0, 1], alle Werte unabhängig (keine Korrelationen zwischen Paaren), z.b. L Ecuyer, Commun. ACM 31 (1988) 742 schlägt a = m = Es gibt weit bessere Generatorens, e.g. TRandom3, basierend auf Mersenne twister Algorithmus, Periode = (a Mersenne prime ). Siehe F. James, Comp. Phys. Comm. 60 (1990) 111; Brandt Ch. 4 M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsverteilungen WiSe 2011/2012
43 Die Transformationsmethode Anwendung der Transformationsmethode für Zufallsvariablen bisher: f(x) a(x) à g(a) WDF für x Funktion WDF für a gegeben gegeben gesucht jetzt: g(r) x(r) à f(x) Gleichverteilung Transformation WDF für x in r gegeben gesucht gegeben Ziel: gegeben Sequenz r 1, r 2,..., r n gleichförmig in [0, 1], erzeuge x 1, x 2,..., x n die f (x) folgen durch Auffinden einer geigneten Transformation x (r). M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
44 The transformation method Verlange: Wkt, dass r in ][r,r+dr] = g(r)dr = Wkt., dass x in [x(r), x(r)+dx(r)] = f(x) dx Oder äquivalent: Da g(r)=1 gilt: d.h. x = F -1 (r) Benötigt: Kumulativfuntion analytisch bestimmbar und invertierbar. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
45 Beispiel für die Transformationsmethode Exponential-WDF: Setze und löse nach x (r) auf. -e (-x/ξ) +1 = r geht auch) Vorteil: 100% Effizienz, d.h. aus jedem r i wird ein x i erzeugt. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
46 Weitere Beispiele für die Transformationsmethode f(x) = 1 b a f(x) =2x [0, 1[ z [0, 1[ [a, b[ x =(b a) z + a x = max(z 1,z 2 ) x = p z f(x) x r 1 [a, b[ x = [(b r a r ) z + a r ] 1/r f(x) 1 x [a, b[ a (b/a) z f(x) = 1 x 2 ]1, 1] x =1/z f(x) = 1 k e x/k ]0, 1] x = k ln z f(x) =xe x ]0, 1] x = ln(z 1 z 2 ) f(x) = ln x [0, 1[ x = z 1 z 2 f(x) = 1 p 2 2 exp x2 2 2 [ 1, 1] x = p ln z 2 1 cos(2 z 2 ) f(x) = 2 1 [ 1, 1] x = [tan (z 0.5)] /2+µ (x µ) 2 +( /2) 2 M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
47 Die von-neumannsche-zurückweisungsmethode Enclose the pdf in a box: (1) Generate a random number x, uniform in [x min, x max ], i.e. r 1 is uniform in [0,1]. (2) Generate a 2nd independent random number u uniformly distributed between 0 and f max, i.e. (3) If u < f (x), then accept x. If not, reject x and repeat. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
48 Die von-neumannsche-zurückweisungsmethode Wenn Punkt unterhalb der Kurve, dann behalte ihn und Fülle x-wert in Histogramm. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
49 Effiizienzerhöhung für Zurückweisungmethode The fraction of accepted points is equal to the fraction of the box s area under the curve. For very peaked distributions, this may be very low and thus the algorithm may be slow. Improve by enclosing the pdf f(x) in a curve C h(x) that conforms to f(x) more closely, where h(x) is a pdf from which we can generate random values and C is a constant. Generate points uniformly over C h(x). If point is below f(x), accept x. M. Schumacher Stat. Methoden der Datenanalyse Kapitel 3: Die MC-Methode WiSe 2011/2012
50 Monte Carlo event generators Simple example: e + e - µ + µ - Generate cosθ and φ: Less simple: event generators for a variety of reactions: e + e - µ + µ -, hadrons,... pp hadrons, D-Y, SUSY,... e.g. PYTHIA, HERWIG, ISAJET... Output = events, i.e., for each event we get a list of generated particles and their momentum vectors, types, etc. G. Cowan Lectures on Statistical Data Analysis Lecture 5 page 50
51 Monte Carlo detector simulation Takes as input the particle list and momenta from generator. Simulates detector response: multiple Coulomb scattering (generate scattering angle), particle decays (generate lifetime), ionization energy loss (generate Δ), electromagnetic, hadronic showers, production of signals, electronics response,... Output = simulated raw data input to reconstruction software: track finding, fitting, etc. Predict what you should see at detector level given a certain hypothesis for generator level. Compare with the real data. Estimate efficiencies = #events found / # events generated. Programming package: GEANT G. Cowan Lectures on Statistical Data Analysis Lecture 5 page 51
52 Wrapping up lecture 5 We ve now seen the Monte Carlo method: calculations based on sequences of random numbers, used to simulate particle collisions, detector response. So far, we ve mainly been talking about probability. But suppose now we are faced with experimental data. We want to infer something about the (probabilistic) processes that produced the data. This is statistics, the main subject of the following lectures. G. Cowan Lectures on Statistical Data Analysis Lecture 5 page 52
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