Standortplanung und Geometrie

Standortplanung und Geometrie

Jana Kreckler Standortplanung und Geometrie Mathematische Modellierung im Regelunterricht

Jana Kreckler Technische Universität Kaiserslautern Deutschland Vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universität Kaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades Doktor der Naturwissenschaften (Doctor rerum naturalium, Dr. rer. nat.) genehmigte Dissertation, 2014 D 386 Erstgutachter: Prof. Dr. Horst W. Hamacher Zweitgutachter: Prof. Dr. Hans-Stefan Siller Tag der Disputation: 19. Dezember 2014 ISBN 978-3-658-09260-3 DOI 10.1007/978-3-658-09261-0 ISBN 978-3-658-09261-0 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliogra e; detaillierte bibliogra sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 2015 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikrover lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Fachmedien Wiesbaden ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Danksagung Ich möchte mich an dieser Stelle bei allen Personen, die mich bei der Erstellung dieser Arbeit unterstützt haben, ganz herzlich bedanken. Mein erster und größter Dank gilt Prof. Dr. Horst W. Hamacher, der mir die Möglichkeit gab an seinem Lehrstuhl zu promovieren und mich stets in der Umsetzung meiner Ziele unterstützt hat. Ich möchte mich dafür bedanken, dass ich die Chance wahrnehmen durfte mit großer Unterstützung in diesem interessanten Themengebiet zu forschen. Ich möchte mich ebenfalls bei Prof. Dr. Hans-Stefan Siller für das Interesse an meiner Arbeit und die Bereitschaft als Zweitgutachter tätig zu werden herzlich bedanken. Ein großer Dank geht an die zahlreichen Lehrerinnen und Lehrer sowie Schülerinnen und Schüler, welche an der im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Studie teilgenommen und mich mit ihrem Engagement und Interesse tatkräftig unterstützt haben. Ohne sie wäre diese Arbeit nicht möglich gewesen! Meinen wissenschaftlichen Kollegen der Arbeitsgruppe Optimierung und des Fachbereiches Mathematik möchte ich für die aktive Unterstützung und die anregenden Diskussionen bezüglich meiner Arbeit danken. Besonders hervorheben möchte ich hierbei Florentine Kämmerer und Helmut Hürter, die sich viel Zeit genommen haben, um mit mir über konkrete Inhalte mathematischer und didaktischer Natur zu diskutieren. Der gesamten Arbeitsgruppe Optimierung möchte ich für die nette Arbeitsatmosphäre und die vielen schönen Momente danken. Dank euch habe ich mich an meinem Arbeitsplatz immer sehr wohlgefühlt! Florentine, Sabine und Xenia möchte ich außerdem herzlich dafür danken, dass sie sich die Zeit genommen haben Teile meiner Arbeit ausführlich Korrektur zu lesen. Einen besonderen Dank möchte ich auch meiner Familie, meinen Freunden und insbesondere meinem Ehemann Klaus aussprechen, die mich in allen Phasen meiner Arbeit und bei der Verwirklichung meiner Ziele motiviert, unterstützt und immer an mich geglaubt haben. Danke!

Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I Geometrie und Optimierung 5 1 Was ist Geometrie, was ist Optimierung? 7 2 Geometrie und Optimierung: Ein Einblick 9 2.1 Lineare Optimierung... 9 2.2 Ganzzahlige Optimierung... 12 2.3 Nichtlineare Optimierung... 15 2.4 Multikriterielle Optimierung... 20 3 Standortplanung 27 3.1 Grundlagen der Standortplanung... 28 3.2 Das Fermat Problem... 32 3.2.1 Das ungewichtete Fermat Problem... 33 3.2.2 Das gewichtete Fermat Problem... 42 3.3 Das Euklidische Botenproblem... 45 3.4 Kreisringprobleme... 55 3.4.1 Anwendung... 55 3.4.2 Kreisringprobleme mit Euklidischer Distanz... 57 3.5 Planung von Haltestellen... 61 3.5.1 Modellbildung... 62 3.5.2 Lösungsverfahren... 64 4 Kompetitive Standortplanung 69 4.1 Grundlagen kompetitiver Standortplanung... 69 4.2 Hotelling s Beach: Eisverkäufer am Strand.... 71 4.3 Konkurrenz zweier Unternehmen... 76

VIII INHALTSVERZEICHNIS 4.3.1 Das Medianoid-Problem... 77 4.3.2 Das Centroid-Problem... 81 4.4 Voronoi-Diagramme... 86 4.4.1 Gewöhnliche Voronoi-Diagramme... 87 4.4.2 Gewichtete Voronoi-Diagramme.................... 88 4.4.3 Voronoi-Diagramme mit Manhattan-Metrik............. 95 4.4.4 Voronoi-Diagramme der entferntesten Punkte...106 4.4.5 Überlappende Voronoi-Diagramme...112 5 Analyse des Lehrplans 117 II Mathematische Modellierung in der Schule 123 6 Einführung 125 7 Stand der aktuellen Forschung 129 7.1 Motivation und Interesse im Unterricht...129 7.2 Authentischer Mathematikunterricht...131 7.3 Modellierung...134 7.3.1 Was ist Modellierung?...134 7.3.2 Modellierung im Mathematikunterricht................ 139 7.3.3 Modellierungskompetenzen messen und bewerten...146 8 Modellierung im Regelunterricht 151 8.1 Ziele...151 8.2 Unterrichtskonzept...152 8.3 Umsetzung der Unterrichtseinheit...155 8.4 Jahrgangsübergreifende Modellierungsspirale...159 9 Studiendesign 163 9.1 Hypothesen...163 9.2 Design und Ablauf...164 9.3 Test der globalen Modellierungskompetenz...166 9.4 Test der Motivation...167 10 Auswertung der Studie 169 10.1 Globale Modellierungskompetenz...169 10.1.1 Bewertungsschema...169 10.1.2 Interrater Reliabilität...174 10.1.3 T-Test...178 10.1.4 Graphische Auswertung...180 10.1.5 Einflussfaktoren: Geschlecht, Thematik, Zeugnisnote... 184 10.1.6 Die Rolle der Lehrkraft...191 10.2 Motivation...192 10.2.1 Auswertungsschema...193

INHALTSVERZEICHNIS 10.2.2 T-Test...194 10.2.3 Graphische Auswertung...195 11 Zusammenfassung und Fazit 207 Literaturverzeichnis 215 Index 223 Anhang 225