Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie
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- Heidi Weiner
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1 Springer-Lehrbuch
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3 Dietlinde Lau Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie Aufgaben mit Lösungen Zweite, überarbeitete und ergänzte Auflage 123
4 Prof. Dr. Dietlinde Lau Institut für Mathematik Universität Rostock Ulmenstraße 69, Haus Rostock Deutschland dietlinde.lau@uni-rostock.de ISSN ISBN e-isbn DOI / Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 15-01, 65Fxx c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (
5 Vorwort zur zweiten Auflage Im Unterschied zur ersten Auflage enthält die vorliegende zweite Auflage 16 statt 15 Kapitel mit Lösungen der Übungsaufgaben aus D. Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Dritte, korrigierte und ergänzte Auflage, Springer 2011 (nachfolgend kurz Buch genannt). Die dritte Auflage des Buches unterscheidet sich von der zweiten Auflage, auf die sich die erste Auflage des Übungsbuchs bezog, durch ein Ergänzungskapitel über die Grundlagen der Kombinatorik, zu denen im Buch auch Übungsaufgaben zu finden sind. Die Lösungen der neuen Aufgaben zeigen anhand von Beispielen, wie man gewisse Abzählbarkeitsprobleme der Linearen Algebra mit kombinatorischen Methoden lösen kann und wie Sätze der Lineare Algebra in der Kombinatorik nutzbar sind. Dank der Hinweise aufmerksamer und kritischer Leser, die ich mir natürlich auch für die zweite Auflage wünsche, konnten einige Fehler aus der ersten Auflage korrigiert werden. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen Dr. Walter Harnau und Dr. Karsten Schölzel sowie den Diplommathematikern Matthias Böhm und Konrad Sperfeld, die dafür gesorgt haben, daß mein erster Entwurf für das Kapitel mit den Kombinatorik-Aufgaben überarbeitet und Schreibfehler korrigiert wurden. Rostock, im Januar 2011 Dietlinde Lau
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7 Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Übungsbuch ist eine Ergänzung zu D. Lau: Algebra und Diskrete Mathematik Auflage, Springer 2007 (nachfolgend kurz Buch genannt) 1 in dem im Teil IV (Kapitel 16 18) Übungsaufgaben zu den Teilen I III ohne Lösungen angegeben sind. Dem Wunsch einer Reihe von Lesern der ersten Auflage folgend, sind im Übungsbuch nun die Lösungen (oft mit ausführlichen Lösungswegen) der Übungsaufgaben aus dem Buch zu finden. Dieses Übungsbuch macht natürlich nur Sinn, wenn die Leser zunächst selbständig versuchen, die entsprechenden Aufgaben bei der Vorlesungsnachbereitung und bei der Prüfungsvorbereitung zu lösen. Da im Buch in den Kapiteln 1 15 auch einige weggelassene Beweise als Übungsaufgaben aufgegeben wurden, enthält das Übungsbuch zu einigen dieser Aufgaben ebenfalls Lösungen. Die Aufteilung des Übungsbuches in einzelne Kapitel folgt der Aufteilung des Buches. Innerhalb eines Kapitels sind die Aufgaben nach ihrem mathematischen Inhalt sortiert. Kurze Informationen über die in den Aufgaben zu übenden mathematischen Fakten findet man direkt hinter den Aufgabennummern. Sämtliche Angaben zu Kapiteln, Abschnitten, Sätzen und Lemmata beziehen sich auf das Buch. Bei einigen Rechenaufgaben, zu denen es bereits einige Beispiele im Buch gibt, sind nur die Endergebnisse (eventuell mit Zwischenergebnissen) angegeben. Nebenrechnungen (wie z.b. das Lösen von Gleichungssystemen oder die Berechnung von Determinanten), die bereits in vorangegangenen Aufgaben behandelt wurden, werden nicht mehr ausführlich angegeben. 1 Man kannnatürlichauchdieerste AuflagedesBuchesbenutzen,wennmanbeachtet, daß sich durch Ergänzungsaufgaben die Nummern einiger Aufgaben geändert haben.
8 VIII Vorwort zur ersten Auflage Falls nach der Lösung einer Aufgabe nicht sofort ein Aufgabentext kommt, ist das Ende der Lösung durch gekennzeichnet. Im Literaturverzeichnis dieses Übungsbuches sind nur solche Werke zu finden, die ebenfalls Übungsaufgaben mit Lösungen enthalten, Quellen einiger Aufgaben sind und auf die verwiesen wird. Eine vollständige Liste der für dieses Übungsbuch benutzten Literatur und weitere Literaturverweise findet man im Buch. Für die technische Hilfe bei der Herstellung der Latex-Fassung dieses Buches möchte ich mich bei meinen Kolleginnen Frau Susann Dittmer und Frau Heike Schubert bedanken. Für das Korrekturlesen und die Änderungsvorschläge gilt mein Dank den Mathematik-Studenten Antje Samland und Karsten Schölzel. Sehr hilfreich waren auch die Hinweise meiner Kollegen Prof. Dr. F. Pfender und Dr. M. Grüttmüller, die mir noch kurz vor dem Fertigstellungstermin dieses Buches beim Korrekturlesen geholfen haben. Bei den Mitarbeitern des Springer-Verlages möchte ich mich für die sehr angenehme Zusammenarbeit bedanken. Rostock, im Juni 2007 Dietlinde Lau
9 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgaben zu: Mathematische Grundbegriffe Aufgaben zu: Klassische algebraische Strukturen Aufgaben zu: Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Matrizen Aufgaben zu: Vektorräume über einem Körper K Aufgaben zu: Affine Räume Aufgaben zu: Vektorräume mit Skalarprodukt Aufgaben zu: Euklidische und unitäre affine Punkträume Aufgaben zu: Eigenwerte, Eigenvektoren und Normalformen von Matrizen Aufgaben zu: Hyperflachen 2. Ordnung Aufgaben zu: Lineare Abbildungen Aufgaben zu: Affine Abbildungen Aufgaben zu: Einführung in die Numerische Algebra Aufgaben zu: Gleichungsauflösung Aufgaben zu: Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung Aufgaben zu: Interpolation Aufgaben zu: Grundlagen der Kombinatorik Literaturverzeichnis...245
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