Ergänzung zum MIT Skript: OFDM und verwandte Blockübertragungssysteme

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1 Ergänzung zum MIT Skript: OFDM und verwandte Blockübertragungssysteme Universität Dortmund AG technik Otto-Hahn-Str. 4 D-44 Dortmund

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung Systemmodell 3 Blockzerlegungen 4 3. Cyclic Prefixing Zero Padding Effiziente schätzung und Übertragungsverfahren 8 4. Zirkulante Untermatrizen Rechteckige Untermatrizen Vermeidung von Schutzzeiten 5. Verfahren Simulationen i

3 Einleitung Bei der schnellen übertragung über den Mobilfunkkanal, der im Allgemeinen stark zeitdispersiv ist, spielt die durch den in den empfangenen Symbolen verursachte Interferenz eine wesentliche Rolle. Aufgrund der schnellen Übertragung steht nur ein sehr kurzer Zeitraum zur Verfügung die Berechnungen durchzuführen, die zur Beseitigung der Interferenz nötig sind. Da die Leistung einer Recheneinheit im Sender bzw. Empfänger begrenzt ist, gilt es diese Berechnungen möglichst effizient durchzuführen. Es stellt sich heraus, das Blockübertragungssystem für diese Anforderung besonders geeignet sind. Diese Zerlegen den zu sendenden vektor in viele kleine blöcke, die duch Schutzzeiten voneinander getrennt sind. Anschließend wird jeder block einzeln verarbeitet. In diesem Teil des Skriptes untersuchen wir verschiedene Methoden der Blockzerlegung anhand eines linearen Gleichungssystems, das eine Punkt-zu-Punkt-Übertragung über einen Mobilfunkkanal beschreibt. Anschließend wird auf Basis dieses Gleichungssystems die blockweise Least Square (LS) bzw. Minimum Mean Square Error (MMSE) Schätzung der gesendeten behandelt. Unter Verwendung geeigneter Matrixzerlegungen, hier die Eigenwertzerlegung zirkulanter Matrizen und die Cholesky Zerlegung, können eine Reihe von Blockübertragungssystemen angegeben werden, die für die schnelle übertragung über den Mobilfunkkanal geeignet sind. Das in vielen Standards (W-LAN, DVB-T, DRM,...) eingesetzte OFDM Verfahren ist ein Spezialfall der hier behandelten Blockübertragungssysteme. DieseBlockübertragungsverfahren erfordern das senderseitige Einfügen von Schutzzeiten, was die spektrale Effizienz der Übertragung deutlich verringern klann. Basierend auf der bereits behandelten Overlapping-Methode werden Blockübertragungssysteme entwickelt, die das senderseitige Einfügen von Schutzzeiten vermeiden können.

4 Systemmodell Wir betrachten die übertragung über einen zeitdispersiven anhand von Abbildung.. Ausgehend von diesem Übertagunsmodell, können wir ein Glei- n(n) Empfangene x(n) quelle d(n) h(n) L Abbildung.: Zeitdiskretes Basisbandmodell einer übertragung. chungssystem aufstellen, das die emfangenen aus den gesendeten, dem und dem Rauschen im Symboltakt berechnet: x() h n x().. h.. d n = h L. h d. h L h. +. (.) d N..... x(r) h n R L Die empfangenen symbole befinden sich im vektor x C R, die Sendesymbole im vektor d C N, der wird durch die faltungsmatrix H C R N beschrieben und das Rauschen durch den Rauschvektor n C R. Der vektor hat die Dimension L, der Sendedatenvektor die Dimension N. Daher besitzt der empfangene Vektor die Dimension R = N + L. Dieses Gleichungssystem lässt sich auch in folgender Schreibweise angeben: x = Hd + n. (.) Es beschreibt eine Punkt-zu-Punkt-Übertragung eines endlichen vektors über einen zeitdiskreten, zeitvarianten, linearen, zeitdispersiven. Dieses Modell

5 Systemmodell lässt sich aus dem Modell ableiten, das bei der Behandlung von synchronen CD- MA Empfängern unter Einfluss eines FIR s verwendet wurde. Dazu müssen die Einschränkungen, dass nur ein Nutzer betrachtet wird und keine Spreizung der Sendedaten durchgefuehrt wird berücksichtigt werden. Aufgabe eines linearen Schätzers ist es nun aus Kenntnis der empfangenen x, demh und ggf. aus der Kenntnis der Rauschleistung σ des zugrunde liegenden Rauschprozesses möglichst gute Schätzwerte ˆd der gesendeten d zu erhalten. Unter Verwendung des Minimum Mean Square Error Kriteriums erhalten wir folgenden MMSE-Schätzer: ˆd =(H H H + σ I) H H x. (.3) } {{ } MMSE Schaetzer Wenn die Rauschleistung σ nicht bekannt ist, kann diese zu null gesetzt werden. Wir erhalten dann den Least Square Schätzer: ˆd =(H H H) H H x. (.4) } {{ } LS Schaetzer Für die Berechnung der Schätzer und Schätzwerte sind also Matrixinversionen, Matrix-Matrix-Produkte und Matrix-Vektor-Produkte zu bestimmen. Je länger der vektor d ist, desto größer sind die im Schätzer enthaltenen Matrizen. Damit sind auch der Berechnungsaufwand des Schätzers und der Schätzwerte und der Speicherbedarf von der Länge des vektors d abhängig. Die Zeit, nach der Schätzwerte der gesendeten zur Verfügung stehen, vergrößert sich mit zunehmender Länge von d, weilzunächst der gesammte Vektor x empfangen sein muss, bevor mit der Berechnung der Schätzwerte ˆd begonnen werden kann. 3

6 3 Blockzerlegungen Bei einer schnellen übertragung steht aber nur sehr wenig Zeit zur Verfügung die nötigen Berechnungen durchzuführen. D.h., ab einer bestimmten Länge des Vektors d ist der beschriebenen Ansatz zur schätzung für die schnelle übertragung über den Mobilfunkkanal ungeeignet. Eine grundlegender Ansatz diesem Problem zu begegnen besteht in der Zerlegung des Sendedatenvektors in blöcke. Wenn die zugehörigen empfangenen blöcke unabängig sind, d.h. wenn keine Interferenz zwischen den empfangenen Blöcken vorhanden ist, kann die schätzung auf Basis kleiner blöcke und damit auch auf Basis kleiner matrizen berechnet werden. Wenn der Schätzer für einen block bestimmt ist, kann der selbe Schätzer für alle weiteren blöcke verwendet werden, die zu dem selben vektor gehören. Damit sind der Berechnungsaufwand, die Speicheranforderungen und auch die Verzögerungzeit wesentlich reduziert. Wir betrachten nun zwei unterschiedliche Ansätze solche unabhänigen blöcke zu erzeugen: Cyclic Prefixing and Zero Padding. 3. Cyclic Prefixing Der vektor d C N wird zunächst in J blöcke d (j) C B der Länge B zerlegt (N = JB). Am Anfang eines jeden Blocks wird ein zyklisches Präfix der Länge L (länge minus eins) eingefügt. D. h., die letzten L Symboleeines blocks werden an den Anfang dieses blocks kopiert. Dadurch ist der Sendevektor um J(L ) Symbole verlängert worden. Nachdem der Vektor über den übertragen worden ist, werden die ersten L Symbole eines jeden enpfangenen blocks x (j) (C) B+L der Länge B +L wieder entfernt. Im Folgenden untersuchen wir den Effekt dieser Vorgenhensweise auf das Gleichungssystem (.). Ein zyklische Präfix wird in einen block d (j) eingefügt, indem er von links mit der (B + L ) B Matrix [ ] IL P CB = (3.) multipliziert wird. Die Matrix I B beschreibt die Einheitsmatrix der Größe B B. Nachdem der block den durchlaufen hat, werden die ersten L I B 4

7 3 Blockzerlegungen Symbole gelöscht. D.h. der empfangene Block x (j) wird von links mit der Matrix P DB = [ I B ]. (3.) multipliziert. Das Einfügen von Symbolen auf der Senderseite und das Löschen der entsprechenden Symbole auf der Empfangsseite wird für jeden der J blöcke des Vektors d durchgeführt. D.h., die Matrizen P CB und P DB müssen in größere Matrizen eingebettet werden. Diese Matrizen P C und P D,diedasJ-fache Einfügen und Löschen bewirken lassen sich unter Verwendung des Kronecker Produktes wie folgt beschreiben: P C = I J P CB, und P D = I J P DB. (3.3) Wenn wir diese Methode auf das Gleichungssystem (.) anwenden erhalten wir: x C = P D H C P C d + n C. (3.4) Die matrix H C der Größe J(B + L ) J(B + L ) erhält man, indem die ursprüngliche matrix H an die Länge des vektors mit zyklischen Präfixen P C d angepasst wird und dann die letzten L Zeilen gestrichen werden. Die Vektoren x C und n C sind entsprechend angepasst. Der wesentliche Vorteil dieser Methode wird an der folgenden Gleichung deutlich: P D H C P C = I J H B. (3.5) Die grosse matrix H C ist in J unabhängige zirkulante matrizen H B der Größe B B umgewandelt worden. Damit lässt sich das ursprüngliche Gleichungssystem angeben als ) x C = (I J H B d + n C. (3.6) Diese Gleichungssystem besteht aus J Untergleichungssystemen mit jeweils B Gleichungen, die unabhängig voneinander gelöst werden können: x (j) C = H B d (j) + n (j) C. (3.7) Diese Zerlegung des ursprünglichen Gleichungssystems (.) wird nun nochmal anhand eines Beispiels verdeutlicht. Die verwendeten Parameter tragen die Werte L = B = J =. Der Rauschvektor wird zu null gesetzt: 5

8 3 Blockzerlegungen x C = P D H C P C d = P D = = h h h h h h h h h h d () d () d () d (). d () d () d () d () d () d () d () d () d () d () (3.8) Die Berechnung der LS- bzw. MMSE-Schätzer auf Basis eines kleinen Teilsystems muss nur einmal durchgeführt werden. Dieser Schätzer kann dan verwendet werden, um alle blöcke d (j) auf Basis der J Gleichungssysteme (4.) zu schätzen. 3. Zero Padding Die Zero Padding Methode hängt an jeden der J blöcke L Nullen an bevor die über den gesendet werden. Dadurch kann die ursprüngliche matrix H in J rechteckige matrizen der Größe (B + L ) B zerlegt werden. Dies wird nun näher betrachtet. Zero Pads werden an jeden der J blöcke angehängt, indem jeder block d (j) von links mit der (B + L ) B Matrix [ ] IB P ZB = (3.9) multipliziert wird. Die Matrix P Z,dieL NullenanjedenderJ blöcke anhängt kann ebenfalls mit Hilfe des Kronecker Produktes beschrieben werden: P Z = I J P ZB. (3.) 6

9 3 Blockzerlegungen Wenn wir diese Art der Blockzerlegung auf das ursprüngliche Gleichungssystem (.) anwenden, erhalten wir die Gleichung: x R = H R P Z d + n R. (3.) Die matrix H R entspricht der vorherigen matrix H, mitdemunterschied, dass sie an die neue Länge des Sendevektors P Z d angepasst ist. Entsprechendes gilt für die Vektoren x R und n R. Die Spalten in H R,diewährend der Matrix-Vektor-Multiplikation H R d Z (mit d Z = P Z d) mit Nullen gewichtet werden, können aus der Matrix entfernt werden, ebenso die entsprechenden Nullen im Vektor d Z. Auf diese Weise ist das Ergebnis des Matrix-Vektor-Produktes nicht verändert worden und wir erhalten: x R = H R P Z d + n R = ( I J H B ) d + nr. (3.) Die neue matrix besteht aus J kleinen unabhängignen, rechteckigen Toeplitzmatrizen H B der Größe (B + L ) B. Die LS- bzw. MMSE-Schätzwerte können also blockweise auf Basis der kleinen Gleichungssysteme x (j) R = H B d (j) + n (j) R. (3.3) bestimmt werden. Diese Zerlegung des ursprünglichen Gleichungssystems (.) wird nochmal anhand eines Beispiels erläutert. Die verwendeten Parameter tragen die Werte L = B = J =. Der Rauschvektor wird zu null gesetzt: x R = H R P Z d = = h h h h h h d () d () d () d () d () d () d () d () (3.4). (3.5) Ähnlich dem Cyclic Prefixing, muss der LS- bzw MMSE- Schätzer auf Basis der kleinen Matrix H B nur einmal berechnet werden und kann dann für alle anderen blöcke die zum selben vektor gehören wiederverwendet werden. 7

10 4 Effiziente schätzung und Übertragungsverfahren Unter Verwendung der Blockzerlegungen, die im vorangehenden Kapitel beschrieben sind, kann in einem Übertragungssystem, das die Aufgabe hat lineare Schätzwerte (LS oder MMSE) der gesendeten zu ermitteln, folgendermaßen vorgegangen werden. Zunächst wird, z.b. basierend auf einer Trainingssequenz, eine Schätzung des vektors h und ggf. die Rauschleistung σ ermittelt. Basierend auf diesen Schätzwerten wird dann der LS- bzw MMSE-Schätzer berechnet. Mit diesem Schätzer und den empfangenen blöcken, können dann die Schätzwerte der gesendeten bestimmt werden. Die entsprechenden Blockübertragungssysteme, die diese schätzung durchführen sind in Abbildung 4. dargestellt. Bei den Blockübertra- CP-SC: Blockzerlegung Zirkulante matrix CP CPR LS/MMSE- Schaetzer H B,(ls,mmse) ZP-SC: Blockzerlegung Rechteckige matrix ZP LS/MMSE- Schaetzer H + B,(ls,mmse) Abbildung 4.: Single Carrier Übertragung mit Blockbildung durch Cyclic Prefixing bzw. Zero Padding und blockbasierter LS/MMSE- schätzung. CPR: Cyclic Prefix Removal gungsverfahren müssen einerseits die Schätzer bestimmt werden und andererseits die Schätzung mittles Matrix-Vektor-Multiplikation durchgefuehrt werden. Der hierfür nötige Berechnungsaufwand lässt sich erheblich verringern wenn geeignete Matrixzerlegungen angewendet werden. Hier bieten sich z.b. die Eigenwertzerlegung zirkulanter matrizen und die Choleskyzerlegung an, die bereits im Rahmen der Detektion von CDMA-Signalen betrachtet worden sind. Diese Zerlegungen werden 8

11 4 Effiziente schätzung und Übertragungsverfahren nun im Rahmen der blockbasierte schätzung angewendet. 4. Zirkulante Untermatrizen Wir möchten die LS/MMSE-Schätzung auf Basis des zirkulanten Untersystems (siehe auch Gleichung (4.)) x (j) C = H B d (j) + n (j) C. (4.) und unter Verwendung der Eigenwertzerlegung zirkulanter Matrizen durchführen. Die zirkulante Untermatrix H B lässt sich folgendermaßen zerlegen: H B = F H B D BF B. (4.) Die Matrizen F B bzw. F H B sind die DFT- bzw IDFT-Matrizen der Größe B B. Die Diagonalmatrix D B enthält die Eigenwerte der zirkulanten Matrix H B.Diese können leicht berechnet werden, indem eine DFT der ersten Spalte H B (, :) von H B durchgeführt wird: F B H B (:, ) = D B. (4.3) Der Vektor enhält ausschließlich Einsen und hat die Länge B. Wenn wir die Eigenwertzerlegung in die Berechnung der MMSE-Schätzwerte eines blocks einsetzen erhalten wir ( ) D ˆd (j) C,mmse = F H B D H B D B + σ H I B F B x (j) C. (4.4) } {{ } D B,mmse Ein Übertragungssystem, das diese schätzung durchführt (CP-SC), ist in Abbildung 4. dargestellt. Wenn B als eine Potenz von zwei gewählt wird, kann der Radix- Algorithmus zur schnellen Berechnung der DFT bzw IDFT angewendet werden. Dieser benötigt B/ld(B/) komplexe Multiplikationen. Die Multiplikation eines blocks mit D B,mmse erfordert B komplexe Multiplikationen. D.h., dieses Übertragungssystem benötigt B( + ld(b/)) komplexe Multiplikationen zur Berechnung der Schätzwerte eines blocks. Das entsprechende Übertragunssystem nach Abbildung 4. würde B komplexe Multiplikationen benötigen. Die Reihenfolge der durchzuführenden Berechnungen kann unter Berücksichtigung der Rechenregeln für Matrizen teilweise verändert werden. Wird z.b. die IDFT im Sender durchgeführt und die LS-Schätzung anstelle der MMSE-Schätzung verwendet, erhalten wir das Übertragungsverfahren CP-OFDM (siehe Abbildung 4.). Es zeigt exakt die selbe Rechenkomplexität zur Berechnung der schätzwerte wie das zuvor behandelte CP-SC System. Es ist bekannt als CP-OFDM basierte Übertragung und wird heute in vielen Standards angewendet, bei denen schnell und drahtlos uebertragen werden sollen. 9

12 4 Effiziente schätzung und Übertragungsverfahren CP-SC: Zirkulante matrix Blockzerlegung CP CPR FFT D B,mmse IFFT CP-OFDM: Zirkulante matrix Blockzerlegung IFFT CP CPR FFT D B,ls Abbildung 4.: übertragung mit Blockbildung durch Cyclic Prefixing und blockbasierter LS/MMSE-schätzung unter Verwendung der Eigenwertzerlegung. CPR: Cyclic Prefix Removal. 4. Rechteckige Untermatrizen Hier führen wir die LS/MMSE-Schätzung auf Basis der rechteckigen Teilsysteme (siehe Gleichung (3.3)) x (j) R = H B d (j) + n (j) R. (4.5) durch und verwenden die Cholesky-Zerlegung der Korrelationsmatrix: ( H H B H B + σ I)=R H B R B. (4.6) Die obere Dreiecksmatrix R B beschreibt den sogenannten Choleskyfaktor. Unter Verwendung dieser Zerlegung können die LS/MMSE-Schätzwerte eines blocks wie folgt berechnet werden ˆd (j) R,(ls,mmse) = R B R H B H H B x(j) R. (4.7) Ein Blockübertragungssystem, das die schätzung entsprechend der beschriebenen Vorgehensweise bestimmt, ist in Abbildung 4.3 dargestellt. Die Multiplikation ZP-SC: Rechteckige matrix Vorwaerts-/Rueckwaertssubstitution Blockzerlegung ZP H H B R H B R B Abbildung 4.3: Single Carrier Übertragung mit Blockbildung durch Zero Padding und blockbasierter LS/MMSE-schätzung unter Verwendung der Choleskyzerlegung. eines empfangenen blockes mit H H B erfordert LB komplexe Multiplikationen. Die Rückwärts- und Vorwärtssubstitution benötigen zusammen weniger als LB Multiplikationen. Insgesamt benötigt dieses Übertragungssystem also weniger als

13 4 Effiziente schätzung und Übertragungsverfahren 3LB komplexe Multiplikationen zur Berechnung der schätzwerte eines blocks. Die Multiplikation eines empfangenen blocks mit dem LS/MMSE- Schätzer (siehe Abbildung 4.) würde hingegen B(B + L ) komplexe Multiplikationen erfordern.

14 5 Vermeidung von Schutzzeiten Die eingefügten Schutzzeiten, die Cyclic Prefixes bzw. die Zero Pads, ermöglichen die blockweise Berechnung von LS/MMSE-Schätzwerten der gesendeten auf sehr recheneffiziente Weise. Wenn kein Rauschen vorhanden ist und die zirkulante matrix invertierbar ist, entsprechen die Schätzwerte den tatsächlich gesendeten. Allerdings ist die spektrale Effizienz der Übertragung vermindert, da die Schutzzeiten auf der Senderseite eingefügt werden müssen. Ferner wird für die Übertragung des Cyclic Prefixes zusätzlich Sendeenergie benötigt. Am Empfänger werden die Symbole, die zum Cyclic Prefix gehören einfach weggeworfen, obwohl sie Informationen über die gesendeten enthalten. Das legt den Wunsch nahe, auf die senderseitig eingefügten Schutzzeiten zu verzichten. Allerdings soll die Möglichkeit der Blockverarbeitung und die geringe Rechenkomplexität beibehalten werden, da sie bei der schnellen übertragung über zeitdispersive Kanäle unerlässlich ist. 5. Verfahren Ein Ansatz, der zur Behandlung dieses Problems ebenfalls möglich ist, ist die Verwendung des sogenannte Overlapping, das bei dem Empfang von CDMA-Signalen bereits vorgestellt worden ist. Anstelle der Zerlegung der Matrix H des Ausgangsproblems in Gleichung (.) in unabhängige zirkulante bzw. rechteckige matrizen wie es durch Cyclic Prefixing bzw Zero Padding geschehen ist, können wir die matrix H auch in viele überlappende zirkulante bzw. rechteckige Teilmatrizen zerlegen. Das ist in den Abbildungen 5. und 5. dargestellt. Die Lösung bzw. schätzung auf Basis der überlappenden Teilsysteme kann dann ebenfall unter Verwendung der Eigenwertzerlegung bzw. der Choleskyzerlegung geschehen. Dies führt ebenfalls zu einer blockweisen und recheneffizienten schätzung. Da mehr überlappende Teilsystem pro vektor existieren als bei der Methode, die auf dem Einfügen von Schutzzeiten beruht, ist die Rechenkomplexität entsprechend erhöht. Die Qualität der schätzung ist in der Mitte eines Blocks höher als am Rand. Daher entscheiden wir uns bei mehrfach vorliegenden geschätzten Symbolen für dasjenige, das näher zur Mitte des jeweiligen Blocks liegt. Die Übertragungsverfahren, die auf dieser Methode beruhen (COL-SC und ROL- SC), sind in Abbildung 5.3 mit den entsprechenden Verfahren, die senderseitig

15 5 Vermeidung von Schutzzeiten Blocking of received vector x () COL x () COL Blocking of channel matrix Used symbols Prelap Postlap h Blocking of transmitted vector d () COL d () COL x (3) COL x = d d (3) COL H N H N H N Abbildung 5.: Zerlegung der großen matrix H in viele überlappende, zirkulante Teilmatrizen. Der Rauschvektor ist zu null gesetzt. Blocking of received vector x () ROL Blocking of channel matrix Used symbols Prelap Postlap Blocking of transmitted vector d () ROL x () ROL d () ROL x (3) ROL x = H N d d (3) ROL H N H N Abbildung 5.: Zerlegung der großen matrix H in viele überlappende, rechteckige Teilmatrizen. Der Rauschvektor ist zu null gesetzt. Schutzzeiten einfügen, verglichen. 5. Simulationen Neben dem Vergleich der erforderlichen Rechenkomplexität der Verfahren ist auch ein Vergleich der zu erreichenden Bitfehlerraten bei unterschiedlichen E B /N -Werten sinnvoll. In Abbildungen 5.4 und 5.5 sind simulierte Bitfehlerraten für einige exemplarische Übertragungssysteme dargestellt. Die Referenzsysteme CP-64 und ZP-64 beschreiben die CP-SC bzw. ZP-SC Übertragung bei einer Blockgröße von B = 64. Die anderen Verfahren verwenden zirkulantes (COL) bzw rechteckiges (ROL) Overlapping. Die Parameter in der Legende geben folgendes an: Methode - Block- 3

16 5 Vermeidung von Schutzzeiten CP-SC: Zirkulante matrix Blockzerlegung CP CPR FFT D B,mmse IFFT COL-SC: Overlap FFT D N,mmse IFFT Select ZP-SC: Rechteckige matrix Blockzerlegung ZP H H B R H B R B ROL-SC: Overlap H H N R H N R N Select Abbildung 5.3: Blockübertragung mit und ohne Schutzzeiten. CPR: Cyclic Prefix Removal. größe - Prelap - Postlap. Es wurde ein Rayleigh-Fading- mit L = 7 Taps verwendet, die im Symboltakt auseinander liegen. Die wurden mit einem Faltungscoder der Coderate / codiert und interleaved bevor sie nach der schätzung und Entscheidung deinterleaved wurden und einem Viterbidecoder zugeführt worden sind. Die E B /N - Werte beschreiben das mittlere Signal-Rauschverhältnis der empfangenen Symbole. Hierbei ist zu beachten, dass die Systeme, die Schutzzeiten einfügen mehr Sendeenergie benötigen um am Empfänger die gleichen E B /N -Werte zu erhalten. Im betrachteten Bereich der E B /N -Werte können die überlappenden System demnach die selbe Bitfehlerrate wie die Systeme mit eingefügten Schutzzeiten erreichen. Sie benötigen allerdings nicht das senderseitige Einfügen von Schutzzeiten, sind also spektral effizienter und sie benötigen weniger Sendeenergie um die gleiche simulierte Bitfehlerrate zu erziehlen. Allerdings ist durch die Überlappung die Rechenkomplexität im Vergleich zu den Systemen min Schutzzeiten erhöht worden. 4

17 5 Vermeidung von Schutzzeiten Bit error rate CP 64 COL 64 COL COL 8 COL E /N in db B Abbildung 5.4: Simulierte Bitfehlerrate über E B /N der Übertragungsverfahren, die auf zirkulanten Untermatrizen beruhen (Legende: Methode -Blockgröße - Prelap - Postlap). ZP 64 ROL 64 ROL ROL 8 ROL Bit error rate E /N in db B Abbildung 5.5: Simulierte Bitfehlerrate über E B /N der Übertragungsverfahren, die auf rechteckigen Untermatrizen beruhen (Legend: Methode -Blockgröße - Prelap - Postlap). 5