Über relative Normgleichungen in algebraischen Zahlkörpern

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1 Über relative Normgleichungen in algebraischen Zahlkörpern vorgelegt von Diplom-Mathematiker Claus Fieker aus Haan Vom Fachbereich 3 Mathematik der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation Berlin 1997 D83

2 ii Promotionsausschuß Vorsitzender: Professor Dr J Becker Berichter: Professor Dr M E Pohst Berichter: Professor Dr G M Ziegler Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 29 April 1997

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Kapitel I Grundlagen 3 1 Bezeichnungen 3 2 Bewertungen und Primideale 4 3 Matrizen 5 Kapitel II Einheiten 7 1 Struktur der Einheitengruppe in Relativerweiterungen 8 2 Eine untere Regulatorabschätzung 15 3 Konstruktion von Einheiten 21 Kapitel III Gitter 25 1 Gitter über Z 26 2 Gitter über o E 29 iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 3 Auszählalgorithmen für o E -Gitter Duale Basis 32 Ellipse 33 Simplex 34 Mischformen 4 Ein Reduktionsalgorithmus für o E -Gitter 44 Kapitel IV Normgleichungen 51 1 Grundlagen 51 2 Nenner von nicht ganzen Lösungen 56 3 Lösen von Normgleichungen (in Relativerweiterungen) 58 Kapitel V Beispiele 69 1 Reduktion Schönere Polynome 12 Schnelleres Auszählen 2 Normgleichungen 76 Symbolverzeichnis 81 Literaturverzeichnis 83 Zusammenfassung 87

5 Einleitung Eine der ältesten Diophantischen Gleichungen ist die Normgleichung; für Zahlkörper F/E/Q sowie eine Zahl θ E := Q(α) wird eine Zahl x F := E(β) mit N F/E (x) = θ gesucht oder der Nachweis, daß es keine solche gibt Anwendungen hiervon gibt es zb in der Algebren Theorie ([1, Chapter 7] und [44, Lemmata 61, 62]) In speziellen Situationen ist schon lange bekannt, daß obiges Problem in endlich vielen Schritten gelöst werden kann; zb führt dies für F reell quadratisch über Q auf Pell sche Gleichungen, die schon Gauss behandelt hat Für (relativ-) Galois sche Erweiterungen F/E hat Siegel [48] Schranken für den Nenner und alle Koeffizienten einer Lösung angegeben und damit gezeigt, daß die Gleichung konstruktiv gelöst werden kann Später hat Bartels [3] diese Ergebnisse auf beliebige Erweiterungen verallgemeinert Mit anderen Methoden als Siegel hat Garbanati [25] für (absolut) Abel sche Körper ebenfalls Schranken erhalten Allen drei Arbeiten ist jedoch gemeinsam, daß die Schranken viel zu groß sind, um damit in der Praxis Lösungen zu finden Bei diesen drei Ansätzen wird zunächst der Nenner einer möglichen Lösung beschränkt In einem zweiten Schritt werden dann (endlich viele) Normgleichungen in den ganzen algebraischen Zahlen gelöst Der Spezialfall, Normgleichungen in Ordnungen oder allgemeiner in Moduln zu lösen, ist jedoch auch aus anderen Gründen von Interesse: Um Thue-Gleichungen zu lösen, sind wir an den Lösungen interessiert, die in der Gleichungsordnung o E [β] über der Maximalordnung o E von E liegen [5], genauer gesagt an einer Parametrisierung all dieser Lösungen Für Hauptidealtests (im Falle E = Q) muß x ein Element des zu testenden Ideals 1

6 2 EINLEITUNG sein [20, (17) Lemma] Hier ist es ausreichend, bis auf Vorzeichen zu lösen N F/E (x) = θ ist auch zulässig; auch reicht es hier, eine Lösung zu finden Weitere Spezialfälle ergeben sich aus Einschränkungen an θ, iallg wird θ ganz algebraisch sein Wenn θ eine Torsionseinheit ist, ist das Lösen der Normgleichung äquivalent zum Bestimmen der Relativ-Einheiten In dieser Arbeit ist der von Fincke im Rahmen seiner Dissertation entwickelte Algorithmus zum Lösen von Normgleichungen in Ordnungen absoluter Zahlkörper (E = Q, [20]) verallgemeinert, wobei die Arbeit von Jurk [31] fortgesetzt und erweitert wird Ferner werden Methoden von Garbanati [24] verallgemeinert, um im Fall von relativ Galois schen Körpern einen Algorithmus zu erhalten, der Normgleichungen in Körpern löst Nachdem im ersten Kapitel zunächst einige Notationen vereinbart werden, untersuchen wir im zweiten Kapitel die Wirkung der Normabbildung auf die Einheitengruppe Die hier gewonnenen Ergebnisse werden einerseits für die Parametrisierung der Lösungsmenge benötigt und andererseits, um das Problem auf ein endliches zu reduzieren Ferner wird dort eine für die Komplexität des Verfahrens wichtige Invariante, der relative Regulator, eingeführt Im dritten Kapitel wird die nötige Gittertheorie für Gitter über Zahlkörpern eingeführt, die benötigt wird, um das Ellipsoidverfahren entwickeln zu können Speziell stellen wir eine Verallgemeinerung des LLL-Algorithmus zur Gitterreduktion und des Fincke-Pohst-Algorithmus zum Auszählen von Ellipsoiden vor Im vierten Kapitel werden dann die in den letzten beiden Kapiteln gewonnenen Ergebnisse dazu benutzt, das Ellipsoid-Verfahren zur Lösung von Normgleichungen auf Relativerweiterungen zu verallgemeinern Für relativ Galois sche Erweiterungen entwickeln wir dann ein Verfahren, um die Lösbarkeit im Körper zu entscheiden und ggf eine Lösung zu finden Zusätzlich geben wir dort ein Verfahren an, welches nicht auf dem Auszählalgorithmus beruht, um Normgleichungen mittels S-Einheiten zu lösen Zum Schluß geben wir einige Beispiele an, die sowohl die Mächtigkeit der vorgestellten Verfahren als auch deren Grenzen demonstrieren An dieser Stelle möchte ich mich bei Herrn Professor Dr M E Pohst herzlich für die Betreuung während der Arbeit danken Ferner bedanke ich mich bei Herrn Professor Dr G M Ziegler für die Übernahme des Koreferats sowie bei Martin, Klaus und Jürgen für die Durchsicht einer vorläufigen Fassung dieser Arbeit Schließlich möchte ich mich an dieser Stelle auch bei allen Mitgliedern der Kant- Gruppe bedanken, ohne deren Kooperation eine Arbeit wie diese nicht entstehen kann

7 KAPITEL I Grundlagen Hier werden wir zunächst die (wichtigsten) in dieser Arbeit verwendeten Bezeichnungen festlegen und einige theoretische Vorbemerkungen machen 1 Bezeichnungen Wir wollen Normgleichungen in Relativerweiterungen algebraischer Zahlkörper untersuchen, dazu betrachten wir die folgende Situation (alle angegebenen Eigenschaften können zb in [10, 35, 42, 46] nachgelesen werden) F = E(β) Es sei f Z[t] ein normiertes, irreduzibles Polynom vom Grad m und α eine Nullstelle hiervon in einem geeigneten Erweiterungskörper Dann ist E := Q(α) ein algebraischer Zahlkörper n vom Grad m über Q Den Ring der ganzen Zahlen von E bezeichnen wir mit o E Ferner sei nun g o E [t] normiert, irreduzi- E = Q(α) bel vom Grad n und β eine Nullstelle von g in einem passenden m Erweiterungskörper, dann setzen wir F := E(β) Bezeichne o F den Ring der ganzen Zahlen, o E ist dann ein Dedekindring und Q freier Z-Modul vom Rang m, o F ist ebenfalls Dedekind sch und ein o E -Modul von Rang n Falls die Klassenzahl von o E größer als 1 ist, ist o F jedoch iallg nicht mehr frei über o E Später werden wir Kriterien angeben, um entscheiden zu können, ob o F frei über o E ist Analoges gilt auch für die (gebrochenen) Ideale von E und F: Ideale von E sind frei vom Rang m über Z, Ideale von F sind iallg nicht frei über o E Hier, wie auch in der ganzen Arbeit, sind Ideale stets von {0} verschieden 3

8 4 I GRUNDLAGEN N F/E : F E : x N F/E (x) sei die gewöhnliche Normabbildung, ebenfalls mit N F/E sei die Idealnorm bezeichnet Es gilt dann (N F/E (x)) := N F/E (x)o E = N F/E (xo F ) =: N F/E ((x)) N F/Éund N E/Éseien die entsprechenden Normabbildungen nach Q, es gilt N F/É= N E/É N F/E Seien nun α (1),, α (r 1) R die reellen Nullstellen von f und α (r 1+1) = α (r 1+r 2 +1),,α (r 1+r 2 ) = α (r 1+2r 2) C \ R die komplexen Nullstellen (r 1, r 2 N 0 geeignet) Die Fortsetzungen der Abbildungen () (i) : α α (i) auf E liefern dann Einbettungen von E nach E (i) := (E) (i) C in die Konjugiertenkörper von E Nun setzen wir die Abbildungen noch auf den zugehörigen Polynomring E[t] fort, indem wir sie auf den Koeffizienten operieren lassen Die Nullstellen der Polynome g (i) E (i) [t] seien β (i,j) mit 1 j n Da g (i) R[t] für 1 i r 1 gilt, können wir β (i,j) R für 1 j s i und β (i,j) = β (i,j+t i) C mit n = s i + 2t i, s i < j s i + t i annehmen (s i, t i N 0 geeignet) Wegen f (i) = f (i+r 2) können wir zusätzlich noch β (i,j) = β (i+r 2,j) für r 1 < i r 1 + r 2 und 1 j n erreichen Nach Jurk [31, Bemerkung 34] nennen wir (s i, t i ) 1 i r1 die relative Signatur von F/E In [49] ist ein Algorithmus angegeben, um ein Polynom g Z[t] mit L := Q[t]/g Q[t] = F zu bestimmen, so daß wir F auch als einfache Erweiterung von Q zur Verfügung haben Ferner liefert dieser Algorithmus auch Einbettungen von E nach L, von F nach L und von L nach F, so daß wir beide Darstellungen (L und F ) benutzen können, um bei Bedarf die geeignetere zu wählen Dieser Algorithmus, sowie Algorithmen für Operationen mit Ordnungen, Idealen, Zahlkörpern, algebraischen Zahlen und alle in dieser Arbeit vorgestellten und benutzten Algorithmen sind in KANT implementiert und können über KASH [32] aufgerufen werden 2 Bewertungen und Primideale Sei VÉ= VÉ V fin Édie kanonische Menge exponentieller Bewertungen auf Q, dh, zu jeder Primzahl p PÉgibt es genau ein v = v p VÉmit fin v p (p) = 1 Für jedes VÉ fin v v p ist v(p) = 0, und es gilt V É= { log } Für einen beliebigen Zahlkörper k sei Vk fin die Menge der diskreten Bewertungen auf k, die eine Bewertung aus VÉfortsetzen, fin dh, für jedes V Vk fin gibt es genau ein v VÉmit fin V É= v Analog sei Vk die Menge der Bewertungen, die V Éfortsetzen Für jedes v Vk fin definieren wir den folgenden p-adischen Betrag:

9 3 MATRIZEN 5 Sei p PÉdiejenige Primzahl mit v(p) 0, dann setzen wir v := p v( ) Für v V k sei v := exp( v( )), ferner sei 0 v := 0 für jedes v V k Sei nun K eine endliche Erweiterung von k Aufgrund unserer Normierung besteht V K ausschließlich aus Fortsetzungen von Elementen aus V k Wir schreiben V v falls V V K eine Fortsetzung von v V k ist In diesem Fall sei n V v := n V,k := [K V : k v ] = n V,É n v,é, wobei K V wie Vervollständigung von K bzgl der von V induzierten Topologie ist und k v die Vervollständigung von k bzgl v Es gilt der für diese Arbeit wichtige Zusammenhang zwischen den Beträgen, ihren Fortsetzungen und der Norm: N K/k (x) v = ( oder (additiv geschrieben) V V K V v x V,É n V ) 1/n v,é= (1-1) v(n K/k (x)) = n V,k V (x) V V K V v für x K und v V k Ferner gilt die Produktformel: x n v V k v,é v = 1 V V K V v x n V,k V 3 Matrizen Da wir im nächsten Abschnitt viel mit Matrizen arbeiten werden, wollen wir einige Abkürzungen und Schreibweisen vereinbaren Sei R ein Ring Für eine beliebige Matrix M R n m ist M i,j das j-te Element der i-ten Zeile, es gilt M = (M i,j ) 1 i n M tr := (M i,j) 1 i m mit M i,j = M j,i 1 j m 1 j n Für ein Ringelement r R sei R n n r n := (r) 1 i n die Matrix, bei der alle 1 j n Einträge gleich r sind, für R unitär bezeichne I n R n n die Einheitsmatrix, dh 1 i = j m (I n ) i,j = δ i,j := Sei nun N Rn eine weitere Matrix Mit (M N) 0 sonst bezeichnen wir die Matrix aus R n (m +m ), deren Spalten durch Anhängen der

10 6 I GRUNDLAGEN M i,j j m Spalten von N an die von M entstehen, (M N) i,j = N i,j m sonst Analog ( ) M tr ist = (M N) tr Für Matrizen M N tr i R n i m i (1 i o) ist M o diag(m 1,, M o ) := R n o i m i M o

11 KAPITEL II Einheiten in Relativerweiterungen Obwohl Relativerweiterungen schon länger untersucht werden, gibt es bisher kaum Ansätze, die besondere Struktur dieser Körper bei der Berechnung der Einheiten auszunutzen Im Gegensatz zu zb der Berechnung der Maximalordnung oder der Galoisgruppe gibt es hier kaum Eigenschaften, die sich mit relativen Methoden untersuchen lassen Die wesentliche Schwierigkeit liegt darin begründet, daß die Eigenschaft einer Zahl x o F, eine Einheit zu sein, nicht von der Struktur von o F als o E -Modul oder Z-Modul abhängt und, daß es im wesentlichen diese Strukturinformation ist, die wir zusätzlich benutzen wollen Für die Struktur der Einheitengruppe U k in beliebigen Zahlkörpern k gilt zunächst einmal der Dirichlet sche Einheitensatz: Satz 21 Sei k ein Zahlkörper Dann gibt es Einheiten ǫ i o k (1 i #Vk 1 =: r) und ζ o k mit U k = ζ ǫ 1 ǫ r, wobei das Produkt direkt ist und ǫ i unendliche zyklische Gruppen sind Für die Gruppe der Torsionseinheiten TU k von k gilt: TU k = ζ Hieraus erhalten wir eine Darstellung von U F, die völlig unabhängig von der Struktur von o F als o E -Modul ist In diesem Kapitel werden wir eine andere Darstellung von U F finden, die die zusätzliche Strukturinformation berücksichtigt Speziell die Einheiten, deren Norm Torsionseinheiten sind, werden dort eine entscheidende Rolle spielen Diese Einheiten sind auch für das Lösen von Normgleichungen wichtig Schon sehr früh hat sich Artin [2] mit Einheiten der Norm 1 in relativ-galoisschen Zahlkörpern beschäftigt Er zeigte, daß ein maximales unabhängiges Einheitensystem im wesentlichen durch die Anwendung der Galois-Automorphismen auf eine 7

12 8 II EINHEITEN kleine Menge von Einheiten aus E erhalten werden kann In diesem Spezialfall erhält er so auch den nachfolgenden Satz 25 Es gibt verschiedene Ansätze, die Einheitengruppe U k oder wenigstens eine Untergruppe U U k von endlichem Index (U k : U) dadurch zu erhalten, daß die Einheiten geeigneter Teilkörper entsprechend geliftet werden Für bestimmte Typen von Abel schen Zahlkörpern hat zb Leopoldt [37, 38] ein maximales System unabhängiger Einheiten aus zyklischen Teilkörpern bestimmt Für den Fall, daß F die Galois sche Hülle eines nicht Abel schen quartischen Körpers ist, hat Holzberg [27] gezeigt, daß eine Untergruppe von endlichem Index immer aus den Einheiten der Teilkörper erhalten werden kann In diesem Fall gibt es auch Abschätzungen für den Index Für CM-Körper ist schon lange bekannt, daß die Einheitengruppe einfach aus der Einheitengruppe des maximalen reellen Teilkörpers konstruiert werden kann, da die Einheitenränge identisch sind Weiter ist bekannt, daß der Index (im wesentlichen) maximal 2 ist [52, Theorem 412] Im Fall von Kreisteilungskörpern gibt es auch Kriterien, um den Index zu bestimmen Hier werden wir genauer untersuchen, wie die Einheitengruppe von F von der von E beeinflußt wird Die hier vorgestellten Ergebnisse sind von zentraler Bedeutung für das Lösen von Normgleichungen in Relativerweiterungen Ähnliche Konstruktionen sind von Klebel [33] zum Lösen von bestimmten Einheitengleichungen benutzt worden Es ist zu erwarten, daß mit Hilfe dieser Ergebnisse sich zumindest die Theorie zum Lösen von Thue-Gleichungen auf den relativen Fall übertragen läßt Der nachfolgend definierte relative Regulator unterscheidet sich von der in [14] gegebenen Definition dadurch, daß hier keine absoluten Invarianten von F/Q in der Definition benutzt werden In der hier gegebenen Definition 28 werden ausschließlich relative Invarianten benutzt In [4] wird eine Variante von Satz 29 als Definition verwendet 1 Struktur der Einheitengruppe in Relativerweiterungen Für das Lösen von Normgleichungen ist die Kenntnis der Einheiten aus F, deren Normen bestimmte Eigenschaften haben, wichtig Im folgenden werden wir daher die Operation der Normabbildung auf der Einheitengruppe untersuchen Für das ganze Kapitel fixieren wir eine endliche Menge V E (2-1) S F := {V V F v S E : V v} S E V E und setzen

13 Für jedes v V E sei 1 STRUKTUR 9 P v := {V V F V v} Fixiere nun ein beliebiges V v P v ( v V E ) und setze (2-2) P v := P v \ {V v }, r v := #P v Ferner seien r E := #S E, r F := #S F und S F := v S E P v Definition 22 Seien S E und S F wie oben gegeben Dann nennen wir die Elemente von U E,SE := {x E v V E \ S E : v(x) = 0} bzw U F,SF := {x F V V F \ S F : V (x) = 0} die S E -Einheiten von E bzw S F -Einheiten von F Für eine Untergruppe A U E,SE definieren wir U A F,S F := N F/E 1 (A) U F,SF Bemerkung 23 (1) Für S E = V E (und S F = V F ) gilt U E = U E,SE und U F = U F,SF (2) Es gilt der Dirichlet sche Einheitensatz: U E,SE = ζ ǫ 1 ǫ re 1 [35, V, 1], wobei ζ eine geeignete Einheitswurzel ist (es gilt TU E = TU E,SE = ζ ) und ǫ 1,, ǫ re 1 Grundeinheiten sind (dh, sie haben unendliche Ordnung, das Produkt ist direkt und sie erzeugen die ganze Gruppe) (3) Nach (2-1) und (1-1) gelten N F/E (U F,SF ) U E,SE und U E,SE U F,SF (4) Offenbar gilt A U A F,S F, da N F/E (A) = A n ist Als nächstes wollen wir die Struktur von UF,S A F bestimmen Dazu benötigen wir folgendes Lemma: Lemma 24 Für A TU E gilt: U A F,S F /TU F ist frei vom Rang r F r E Beweis Nach Bemerkung 23(2) sind U F,SF /TU F und daher auch jede Untergruppe hiervon frei Es bleibt daher noch die Dimensionsaussage zu zeigen: Da Ñ F/E : U F,SF /TU F U E,SE /TU E : xtu F N F/E (x)tu E ein Modulhomomorphismus ist, folgt aus dem Isomorphiesatz für freie Z-Moduln und aus N F/E (x) = x n für jedes x E: ( bezeichnet hier Z-Modulisomorphien) U E,SE/TUE Bild ÑF/E U F/TU F / Kern Ñ F/E, und daher rg Kern ÑF/E = r F r E Mit TUE s dann die Behauptung A für ein geeignetes s N folgt

14 10 II EINHEITEN Satz 25 Sei U UF,S A F eine Untergruppe von endlichem Index Dann gibt es unabhängige Einheiten ǫ i U (1 i r F r E + rg A =: r) sowie eine Torsionseinheit ζ, so daß U = ζ ǫ 1 ǫ r Seien A TU E beliebig, U U F,SF von endlichem Index Dann gibt es Einheiten ǫ i U (1 i r F r E ), ǫ i U (1 i r E 1) sowie eine Torsionseinheit ζ, so daß UF,S A F U = ζ ǫ 1 ǫ rf r E und gelten U F,SF U = (U A F,S F U) ǫ 1 ǫ re 1 Beweis Direkte Konsequenz aus Bemerkung 23(4) und Lemma 24 Für den Fall E = Q und A = {±1} = TUÉerhalten wir wieder den Dirichlet schen Einheitensatz als Spezialfall Im weiteren seien A TU E beliebig und U U F,SF, von endlichem Index fixiert Wir werden im folgenden einen Regulator für UF,S A F U erklären, der die klassische Definition erweitert Dies ermöglicht uns dann, Abschätzungen für den Index (U TU E F,S F : (U TU E F,S F U)) anzugeben, um U TU E F,S F auszurechnen, ohne zunächst U F,SF zu bestimmen, was speziell im letzten Schritt (Aufstieg zu Fundamentaleinheiten) wegen der hohen Körpergrade sehr aufwendig ist [55] Ferner wird dieser Regulator ein Maß für die Komplexität des später vorgestellten Algorithmus zum Lösen von Normgleichungen darstellen Seien nun (2-3) L F : U F,SF R S F : ǫ (n V,E V (ǫ)) V SF, (2-4) L F : U F,SF R S F : ǫ (n V,E V (ǫ)) V S F definiert Nach [35, V, 1] ist L F (U F,SF ) ein Gitter vom Rang r F 1 im R S F ; daher ist dann L F (U A F,S F ) ein Gitter vom Rang r F r E Lemma 26 (1) Sei B R n n mit B i,j = a + δ i,j b i, a, b i R Dann gilt n 1 det B = ( b i )(a + 1) b i n

15 1 STRUKTUR 11 ( ) (2) Seien B R n n, C R m n B beliebig Für B := gelten dann CB B tr B = B tr (I n + C tr C)B und det(b tr B ) = det 2 B det(i n + C tr C) Speziell gilt für m = 1, dh C = (c 1,, c n ): det(i n + C tr C) = 1 + c 2 i n Beweis (1): Siehe [46, 56 Exercise 1] (2): Es gilt: (B tr B ) i,j = n +m l=1 n B l,ib l,j = B l,i B l,j + (CB) l,i (CB) l,j l=1 m l=1 = (B tr B) i,j + ((CB) tr (CB)) i,j = (B tr (I n + C tr C)B) i,j Da alle Matrizen quadratisch sind, folgt die Aussage über die Determinanten Sei nun m = 1 und D := diag(c 1,, c n ) Wir erhalten: I n + C tr C = I n + ((1,, 1)D) tr (1,, 1)D = D(D n )D Mit (1) angewendet auf a = 1, b i = c 2 i folgt daher: det(i n + C tr C) = det 2 (D) = n c 2 i + 1 n c 2 n i ( c 2 i + 1) Wir fixieren nun ein maximales unabhängiges Einheitensystem ǫ i U TU E F,S F (1 i r F r E ), ǫ i U (1 i r E 1) und ζ TU F mit U = ζ ǫ 1 ǫ rf r E ǫ 1 ǫ re 1 Nach Satz 25 gibt es solche Einheiten Definiere ι : U TU E F,S F U Z r F r E : ǫ = ζ r F r E ǫ n i i (n i ) 1 i rf r E, U

16 12 II EINHEITEN sowie mit {v 1,, v re } = S E, {V 1,, V rv 1} = P v eine Anordnung i 1 l=1 τ : S F N : V (r v l 1) + j 1 für V = V j P vi r F r E + i für V = V vi wie in (2-2) Damit ist τ(s F ) = [1, r F ] und τ( S F ) = [1, r F r E ] Für x R S F sei R r F τ(x) := (x τ(i) ) 1 i rf Mit und L := (n τ 1 (i),e τ 1 (i)(ǫ j )) 1 i rf 1 j r F r E R r F (r F r E ) L := (n τ 1 (i),e τ 1 (i)(ǫ j )) 1 i rf r E 1 j r F r E R (r F r E ) (r F r E ) erhalten wir dann die beiden kommutativen Diagramme: U TU E F,S F U ι Z r F r E L F R S F τ L R r F und Lemma 27 Sei Γ := [0, 1] r F r E Dann gelten: U TU E F,S F U ι Z r F r E L F R S F τ L R r F r E (1) vol rf r E (LΓ) = v S E r v vol( LΓ) (2) vol( LΓ) ist unabhängig von der Anordnung der Bewertungen und dem speziell gewählten Einheitensystem Beweis (1): Sei (2-5) C := r v1 1 { }} { 1,, 1 0 r v2 1 { }} { 0 1,, 1 0 r vre 1 { }} { 0 1,, 1 Dann gilt: C tr C = diag(1 rv1 1,, 1 rvre 1) Nach Lemma 26(1) und [23, 5 (67)] gilt dann: (2-6) det(i rf r E + C tr C) = r v v S E

17 1 STRUKTUR 13 Aus (1-1) zusammen mit Definition 22 und Bemerkung 23(3) folgt für jedes v S E und jedes ǫ U TU E F,S F : (2-7) n V,E V (ǫ) = v(n F/E (ǫ)) = 0 V P v ( ) L Aus L = CL, (2-6) und Lemma 26(2) erhalten wir daher det(l tr L) = det( L tr L) r v v S E Wegen vol 2 r F r E (LΓ) = det(l tr L) [34, Appendix II] und vol 2 ( LΓ) = det( L tr L) = det 2 ( L) ist dann (1) bewiesen (2): Da die entsprechenden Transformationen unimodular bzw unitär sind, folgt die Behauptung Definition 28 Wir nennen reg F/E (U) := vol( LΓ) den (S F -)Regulator von U (bezüglich F/E) Ferner sei reg F/E (F) := reg F/E (U TU E F,S F ) Satz 29 Es gilt: r E reg F/É(U) = ( n rv i 1 v i,é) reg F/E (U) reg E/É(N F/E (U)) Beweis Setze L := (L τl F ( ǫ 1 ),, τl F ( ǫ re 1)) Da rg L = r F r E gilt, gibt es ein S GL(r F 1, R) mit ( ) 0 L = rf r L E S, B wobei (wie in (2-7)) für jedes v S E und V P v n V,E V (ǫ i ) = v(n F/E (ǫ i )) = 0 V P v n V,E V ( ǫ i ) = v(n F/E ( ǫ i )) gelten und daher obda B von folgender Form ist: B = (v i (N F/E ( ǫ j ))) 1 i re 1 j r E 1

18 14 II EINHEITEN Seien L, L und B durch Streichen der letzten Zeile von L, L und B definiert Dann gelten: ( L 0 L 0 = L )S B = S B * Sei D 1 := diag( n τ (1),É 1,, n τ 1 (r F 1),É) R r F 1 r F 1 n τ 1 (1),E n τ 1 (r F 1),E sowie D 2 := diag(n v1,é,, n vre 1,É) R r E 1 r E 1 Dann sind definitionsgemäß und Daher folgt: reg F/É(U) = det(d 1 ) det( L ) r F 1 n τ (i),é = 1 n τ 1 (i),e und mit V,É n n V,E det(d 2 B ) = reg E/É(N F/E (U)) det(d 1 L ) = reg F/É(U) = det(d 1 ) det( L) det(b ) = det(d 1) det(d 2 ) reg F/E(U) reg E/É(N F/E (U)) r E 1 1 n vi,éreg F/E (U) reg E/É(N F/E (U)), = n v,éfür jedes V v können wir weiter schließen: = = r E r E n rv i 1 v i,én vre n τ 1 (r F ),E n τ 1 (r F ),Éreg F/E (U) reg E/É(N F/E (U)) n rv i 1 v i,éreg F/E (U) reg E/É(N F/E (U)) Bemerkung 210 (1) Für E = Q und S E = VE erhalten wir wieder die alte Definition des Regulators, dh, es gilt: (2) Für S E = V E gilt reg(u) = reg F/É(U) reg(u) = 2 r 2(n 1) reg F/E (U) reg E/É(N F/E (U)) = 2 r 2(n 1) reg F/E (U)(U E : TU E N F/E (U)) reg(u E )

19 2 EINE UNTERE REGULATORABSCHÄTZUNG 15 (3) Bei der in [14] gegebenen Definition entfällt der Faktor 2 r2(n 1) Die dort gegebene Definition unterscheidet sich von unserer in der Normierung der Funktion L F (2-3); dort wird statt mit n V,E mit n V,Émultipliziert Ferner wird dort nur der Fall S E = VE betrachtet 2 Eine untere Regulatorabschätzung In diesem Abschnitt seien A := TU E und S E := VE Wir wollen eine untere Abschätzung für reg F/E (F) herleiten, die es uns ermöglicht, mit den in [55] dargestellten Methoden, ausgehend von einer Untergruppe von endlichem Index, zu der vollen Einheitengruppe aufzusteigen Im Gegensatz zu unteren Schranken wie zb in [22, 14] werden wir keine a-priori-schranken erhalten; dafür wird unsere iallg größer, dh schärfer, sein Lemma 211 Die Abbildung: m n q : U TU E F R 0 : ǫ log( ǫ (i,j) ) 2 j=1 ist eine positiv definite quadratische Form mit Determinante d q = 2 r 2(n 1) r 1 t i n r 1+r 2 reg 2 F/E(F) Beweis Sei ǫ 1,, ǫ rf r E ein unabhängiges Erzeugendensystem für U TU E F Dann gilt für x U TU E F mit x = ζ µ 0 r F r E ǫ µ i i : r F r E q(x) = q( ǫ µ l l ) l=1 m n = ( = j=1 r F r E k,l=1 r F r E l=1 m µ k µ l ( µ l log ǫ (i,j) l ) 2 n j=1 = (µ l ) tr 1 l r F r E (log ǫ (i,j) k log ǫ (i,j) k log ǫ (i,j) l ) ) tr 1 i m,1 j n 1 k r F r E (log ǫ (i,j) k ) 1 i m,1 j n 1 k r F r E (µ l ) 1 l rf r E =: (µ l ) tr 1 l r F r E B tr B (µ l ) 1 l rf r E

20 16 II EINHEITEN Da q(x) als Summe nicht negativer Zahlen nicht negativ ist, haben wir q als positivsemidefinit nachgewiesen Da q(x) = 0 äquivalent zu x TU F ist, ist der erste Teil der Aussage gezeigt Weil definitionsgemäß det(b tr B ) = d q gilt, müssen wir nun det B tr B berechnen Um die Lemmata 26(1) und 26(2) anwenden zu können, benötigen wir zunächst einige Hilfsmatrizen: Für 1 i r 1 betrachten wir die folgenden Matrizen: log ǫ (i,1) 1 log ǫ (i,1) r F r E B i log ǫ (i,s i +t i ) 1 log ǫ (i,s i +t i ) log ǫ (i,s i +t i ) 1 log ǫ (i,s i +t i ) r r B i F r E F r E := log ǫ (i,s i +2t i ) 1 log ǫ (i,s i +2t i ) r F r log ǫ (i,s i +2t i ) 1 log ǫ (i,s i +2t i ) r E =: F r E log ǫ log ǫ (i,s i +t i +1) 1 log ǫ (i,s i +t i +1) r F r (i,s i +t i +1) 1 log ǫ (i,s i +t i +1) r F r E E und log ǫ (i,s i +2t i 1) 1 log ǫ (i,s i +2t i 1) r F r E C i := s i { }} { 1/2 1/2 1/2 1/2 ( ) 1 1 } {{ } n 1 Für r 1 < i r 1 + r 2 definieren wir analog: log ǫ (i,1) 1 log ǫ (i,1) r B i := F r E =: log ǫ (i,n) 1 log ǫ (i,n) r F r E und Damit gilt für 1 i r 1 + r 2 : 0 C i := ( log ǫ (i,s i +2t i 1) 1 log ǫ (i,s i +2t i 1) r F r E t i 1 { }} { I ti 1 n 1 { }} { 1 1 ) ( ) B i = Bi C i B i t i > 0 B i t i = 0 log ǫ (i,n) 1 log ǫ (i,n) r F r E

21 2 EINE UNTERE REGULATORABSCHÄTZUNG 17 und B = S B 1 B r 1 +r 2 B r 1 +1 B r 1 +r 2 = S B 1 B r1 +r 2 C 1 B 1 C r1 +r 2 B r1 +r 2 B r1 +1 B r1 +r 2 C r1 +1B r1 +1, C r1 +r 2 B r1 +r 2 wobei S, S die notwendigen Zeilenvertauschungen darstellen und deswegen unitär sind Schließlich seien noch C C C r B C B := und C := r1 +r I n B r1 +r I n C r C r1 +r 2 Damit folgt ( ) B B = S CB Nach Lemma 26(2) gilt det(b tr B ) = det 2 (B) det(i + C tr C) Offensichtlich haben wir r 1 2 max(0,ti 1) det(b) = reg F/E (F) und (mit [23, 5 (67)]) det(i + C tr C) = r 1 (I si +t Ci tr C i ) r 1 +r 2 i=r 1 +1 (I n 1 + 2Ci tr C i + I n 1 )

22 18 II EINHEITEN Es verbleibt also nur noch det(i si +t i 1 + C tr i C i ) bzw det(2i n 1 + 2C tr i C i ) zu bestimmen Für 1 r 1, t i = 0 folgt aus Lemma 26(2): Mir Lemma 26(1) folgt: n 1 det(i si +t i 1 + c tr i c i ) = (c i ) 2 l + 1 = n l=1 n 1 det(2i + 2c tr i c i ) = 2n 1 ( 1 + 1) = 2 n 1 n Schließlich sei 1 i r 1 und t i > 0 Mit und folgt dann l=1 s i t i 1 { }} { 1 D := diag( 2,, 1 { }} { 2, 1,, 1) C i = ( I ti 1 det(i si +t i 1 + Ci tr c) = det2 (D) det(d 2 tr + C i C i ) ( ) 1 si = 4 s i 2 ti 1 s i si+ti 1 1 ( ) ) l=1 = 2 t i ( s i 4 + t i ) l=s i +1 aus C tr i = 2 t i n 4 s i t i 1 { }} { { }} { C i = diag( 0,, 0, 1,, 1) + 2 si +t i 1 Insgesamt gilt d q = r 1 und die Behauptung folgt r 1 4 max(0,ti 1) reg 2 F/E (F) n t i =0 r 1 t i >0 = 2 r 1 t i n r 1 2 (n 1)r 2 n r 2 reg 2 F/E(F) = 2 r 2(n 1) r 1 t i n r 1+r 2 reg 2 F/E (F) 2 t i 2 n r 1 +r 2 i=r n 1 n

23 Lemma 212 Für x, y R 0, λ 1 gelten: 2 EINE UNTERE REGULATORABSCHÄTZUNG 19 (1) h 1 (x + y) h 1 (x) + h 1 (y), (2) h 1 (λx) λh 1 (x), (3) h 1 ist streng monoton wachsend h 1 : R 0 R : x cosh( x) 1, Beweis (1): Es gilt cosh(x) = k=0 x 2k (2k)! und daher: h 1 (x + y) = k=1 k=1 1 (x + y)k (2k)! 1 (2k)! (xk + y k ) = h 1 (x) + h 1 (y) (2): Da λ λ k gilt, folgt die Behauptung wie in (1) (3): Da sowohl cosh( ) als auch streng monoton wachsend sind, folgt die Aussage unmittelbar Lemma 213 Seien n N, n K R und n x 2 i h 2 : R n R : x = (x 1,, x n ) gegeben Für das Minimum M von h 2 unter den Nebenbedingungen (1) n e 2x i K, (2) n e 2x i K gilt: M 1 4 arcosh2 (K n + 1) Beweis Durch Addition der Bedingungen (1) und (2) erhalten wir (cosh(x) = 1 2 (ex + e x )): (3) n cosh(2x i) K

24 20 II EINHEITEN Nach Lemma 212(3) reicht es, das Minimum von cosh( 4h 2 ) abzuschätzen Mit Lemma 212(1) gilt: cosh 4h 2 (x) 1 = cosh( n (2x i ) 2 ) 1 = n (cosh( 2x i ) 1) woraus die Behauptung dann unmittelbar folgt n (cosh(2x i ) 1) K n, Lemma 214 Sei U U F eine Untergruppe von endlichem Index mit U E < U Dann gilt: (U E : TU E N F/E (U F )) (U E : TU E N F/E (U)) n r 1+r 2 Beweis Unmittelbare Folge aus N F/E (U E ) = U n E und dem Satz von Lagrange [40, Satz 177] Analog [55, Kapitel 2] erhalten wir nun aus Lemma 211 und Lemma 213 eine untere Schranke für reg F/E (F): Seien r := r 1 (s i + t i ) + r 2 n 1, M 1,, M r die sukzessiven Minima von q und γr r die r-te Hermitesche Konstante Dann gilt: 2 r 1 t i r 2 (n 1) r M i (2-8) n r 1+r 2γ reg r F/E (F) r Nun können wir mit Hilfe einer modifizierten Version von [55, Algorithmus 27] eine untere Regulatorschranke bestimmen Dort werden mittels des Auszähl- Algorithmus 36 die sukzessiven Minima teilweise bestimmt und gleichzeitig eine untere Schranke für die fehlenden Minima ermittelt Alternativ hierzu können wir auch den ungeänderten Algorithmus verwenden, um eine Schranke für reg F (F) zu erhalten Nachdem wir die n-maximale Obergruppe (dh p-maximal für jedes p PÉmit p n) von U E in U F bestimmt haben, können wir mit Hilfe von Satz 29 eine untere Schranke erhalten In der Praxis sollten beide Schranken parallel berechnet werden, was einfach zu implementieren ist, da die Hauptarbeit im Auszählen und Testen einer großen Menge von algebraischen Zahlen liegt

25 3 KONSTRUKTION VON EINHEITEN 21 Bemerkung 215 In [45] wird das Minimum von R n x n x2 i zusätzlich zu den in Lemma 213 gegebenen Nebenbedingungen noch unter n x i = 0 abgeschätzt Die dort angegebene untere Schranke erfordert iallg noch das Lösen mehrerer algebraischer Gleichungssysteme Für den Fall n = 5 ist die Schranke explizit, es gilt h arcosh2 ( K ) 2 Wegen arcosh (x) 0 für x gilt arcosh 2 ( K n+2 2 ) arcosh 2 (K n + 1) 1, dh, unsere Regulatorschranke ist für große K etwa halb so groß wie die in [45] Im Gegensatz zu der in [45] ist unsere Schranke jedoch explizit gegeben 3 Konstruktion von Einheiten Hier wollen wir kurz darauf eingehen, wie die in den letzten Abschnitten vorgestellten Ergebnisse für praktische Berechnungen genutzt werden können Zunächst benötigen wir jedoch noch ein Lemma 216 (1) Für jedes x o F gilt: N F/E(x) o x F (2) Seien c > 0 und M c := {x o F v V E Dann enthält M c nur endlich viele bezüglich U 1 F : v(n F/E (x)) c} nicht assoziierte Elemente Beweis (1): Konsequenz aus (1-1) (2): Analog [46, 5 (23)]: Setze M c := {x o E v V E : v(x) c} Dann ist offensichtlich # M c <, und es reicht zu zeigen, daß für jedes µ M c die Menge N µ := {x o F v VE : N F/E (x) = µ} nur endlich viele nicht assoziierte Elemente enthält Wir fixieren ein µ M c und setze T := o F /(µ) Wir zeigen nun, daß α/β UF 1 aus α β mod µ folgt Seien dazu α β mod µ beliebig aus N µ gegeben und γ o F mit α β = γµ Dann gilt: α = 1 + γ µ o β β F

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