x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

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1 Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 + x x + 1 = 4 (x 1) = (x 1) = 0 ((x 1) ) ((x 1) + ) = 0 x 1 = x 1 = x = 3 x = 1 Welche Eigenschaften der reellen Zahlen haben Sie dabei benutzt? (4.) Allgemeine Formulierung : Die Lösung x einer Gleichung zu finden, ist folgendes Problem: Gegeben Sei eine Funktion f : R R, dann suchen wir ein x R mit f(x) = 0. Je nachdem, wie f aussieht, unterscheidet man verschiedene Arten von Gleichungen: (4.3) Lineare Gleichungen : Sei f : R R, f(x) := ax + b mit gegebenen a, b R, dann heißt f(x) = 0 bzw. ax + b = 0 eine lineare Gleichung. Ob und wie man eine Lösung bekommt, kann man sich graphisch veranschaulichen: a) Ist a 0, so ist G := { (x, y) R R y = ax + b } eine Gerade, mit einer Steigung a 0 : y b Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt x

2 ax + b = 0 ax = b x = b a. Für a = 0 geht das natürlich nicht: b) Für a = 0, b 0 ist G = { (x, y) R y = b } eine zur x Achse parallele Gerade, aber nicht die x Achse selber. y b G x G hat keinen Schnittpunkt mit der x Achse, die Menge { x R 0 x + b = 0 } ist leer, es gibt keine Lösung. c) Für a = 0 und b = 0 hat ax + b = 0, also 0 = 0, jedes x R als Lösung, die Menge { x R 0 x + 0 = 0 } ist ganz R. Insgesamt : ax + b = 0 mit a, b R hat genau eine Lösung, falls a 0 keine Lösung, falls a = 0 und b 0 jedes x R als Lösung, falls a = b = 0 ist. (4.4) Quadratische Gleichungen : Eine Gleichung der Form ax + bx + c = 0 mit a, b, c R heißt eine quadratische Gleichung. Dabei können wir a 0 annehmen, denn bx + c = 0 ist eine lineare Gleichung, und die haben wir in (4.3) schon behandelt. Für f(x) := ax + bx + c mit a 0 gilt dann f(x) = 0 x + b a x + c a = 0, und wenn wir p := b a, q := c a setzen, haben wir die Gleichung x + p x + q = 0.

3 Das ist gleichbedeutend mit ( p ) ( p ) x + p x + = q, also mit ( x + p ) ( p ) = q. ( p ) ( p ) Für q < 0 erhalten wir keine Lösung in R, aber für q 0 ist das gleichbedeutend mit x + p = ± (p ) q, also mit (1) x = p ± (p ) q Als Lösungsmenge L := { x R x + p x + q = 0 } erhalten wir also { p (p ) } + p (p ) ( p ) q, q, falls q > 0, { L = p } ( p ), falls q = 0, ( p ), falls q < 0 ist. Die Formel (1) heißt auch p, q Formel. Setzt man wieder b c für p und für a a q ein, so erhält man () x 1, = b ± b 4ac a als Lösungen von ax + bx + c = 0. Eine der beiden Formeln (1) oder () sollten Sie auf jeden Fall kennen, auch wenn Sie mitternachts aus dem Schlaf gerissen werden. () heißt daher Mitternachtsformel. (Es gibt schon noch ein paar mehr Formeln, die Sie auf jeden Fall auswendig können müssen.) Dass es für die Lösungsmenge L von x + p x + q = 0 drei Möglichkeiten gibt, sieht man, wenn man { (x, y) R y = x + p x + q } zeichnet :

4 y S = x ) p (, p 4 + q Im Punkt S hat f(x) := x + p x + q ein Minimum, und je nachdem, ob p q > 0, = 0 oder < 0 ist, hat f zwei, eine oder keine Nullstelle. 4 (4.5) Betragsgleichungen : Für reelle Zahlen a definiert man den Betrag von a durch a := ist. Damit kann man Funktionen wie definieren: { a für a 0 a für a < 0 f : R R, f(x) := x 1 y x Es gilt dann f(x) = { x 1, falls x 1 oder x 1 ist, 1 x, falls 1 < x < 1 ist.

5 - 1 - Bei der Lösung von Gleichungen muss man also Fallunterscheidungen machen: (4.6) Beispiel : Gesucht sind die Lösungen x von x 1 = x. Wie wir gesehen haben, müssen wir zwei Fälle unterscheiden: Ist x 1, so ist x 1 = x 1, wir suchen x R mit x 1 = x und x 1, also x x 1 = 0 und x 1, das ergibt x = 1 1 ± = 1 5 ± x Nun ist = < = 3 1 = 1, also haben wir (wegen > = 3 1 ) nur x 1 := als Lösung. Ist x < 1, so ist x 1 = 1 x, wir suchen x R mit 1 x = x und x < 1, also x + x 1 = 0 und x < 1, also x = ± = 1 ± und x < Nun ist = < = 3 < 1, also haben wir nur x := = als Lösung (überzeugen Sie sich davon, dass x < 1 ist!). Insgesamt ist { } 5 ± 1 L = die Lösungsmenge von x 1 = x. (4.7) Gleichungssysteme: Manchmal sucht man Zahlen, die gleichzeitig Lösungen mehrerer Gleichungen sind, also von Gleichungssystemen. Beispiele: a) Wir suchen die Paare (x, y) R mit (1) { x y = 1 3x + 4y = 3 Das sind zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten. Geometrisch sind das die Gleichungen zweier Geraden, und der Punkt (x, y), der beide Gleichungen erfüllt, ist der Schnittpunkt. Zum Lösen addieren wir das ( 3) fache

6 - - der 1. zur. Gleichung Da wir dann wieder das 3 fache der 1. zur.gleichung addieren könnten, ist das eine Äquivalenzumformung, ändert also nichts am Ergebnis: (1 ) { x y = 1 10y = 0 also y = 0, x = 1, und (1, 0) ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. b) Wir suchen die (x, y) R mit () { x 6y = 4 3x + 9y = 6 und stellen fest: Wenn wir das 3 fache der 1.Gleichung zur. addieren, erhalten wir { x 6y = 4 ( ) 0 = 0 und alle Punkte auf der Geraden x 6y = 4 sind Lösungen. Der Unterschied zu a) ist: Für die Vektoren (, 6, 4) und ( 3, 9 6) gilt 3 (, 6, 4) + ( 3, 9, 6) = (0, 0, 0), man sagt: Das Paar ((, 6, 4), ( 3, 9, 6)) ist linear abhängig.wir werden darauf in 5 noch eingehen. (4.8) Gleichungen vom Grad 3: Definition : Sei n N 0. Die Funktion f : R R heißt (polynomiell) vom Grad n, wenn es a 0,..., a n R gibt mit a n 0 und x R : f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Für n = 3 und n = 4 gibt es Lösungsformeln für f(x) = 0, die aber so kompliziert sind, dass man sie heutzutage nicht mehr lernt, weil man die Lösungen schnell mit beliebig vorgegebener Genauigkeit auf dem Computer berechnen kann. Für n 5 kann man beweisen: Es gibt keine für alle Fälle gültigen Lösungsformeln. (4.9) Biquadratische Gleichungen haben die Form f(x) = 0 mit x R : f(x) = ax 4 + bx + c, es sind also Gleichungen 4.Grades, in denen aber x und x 3 nicht vorkommen. Man löst sie, indem man z := x setzt und dann z R mit az + bz + c = 0 bestimmt. Hat man dann eine Lösung z mit z 0, so kann man x aus z = x berechnen. So erhält man insgesamt 0, 1,, 3 oder 4 Lösungen.

7 - 3 - (4.10) Beispiel : Gesucht sind die Lösungen x R von x 4 3x = 4. Lösung: Für z := x ergibt sich z 3z 4 = 0, also z = 3 9 ± = 3 ± 5 x = z {4, 1}. x = 1 kann für x R nicht gelten, also, also Hier hat man also Lösungen. x = 4, x {±}. Hat man Gleichungen, die nicht von der beschriebenen Form sind, so kann man versuchen, sie auf eine Form zu bringen, die man lösen kann: (4.11) Beispiel: Gesucht sind die x R mit x + + x + 3 3x = 0. Ehe man quadriert, sollte man so umstellen, dass sich nach dem Quadrieren die Anzahl der Wurzeln verringert: x + + x + 3 = 3x = x + + x (x + )(x + 3) = 3x = x + 5x + 6 = x 5 = 4(x + 5x + 6) = x 10x + 5 3x + 30x 1 = 0 x + 10x 1 = x 1, = 5 ± Es ist x 1 = 5 > 5 = = 0, x < 0. Beachten Sie dabei: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, es gilt nur: a = b = a = b. Man muss also die Probe machen und sehen, ob das gefundene x tatsächlich eine Lösung ist. Hier ist nur x 1 nichtnegativ, 3x ist nicht definiert, wir haben nur eine Lösung. (4.1) Rechnen mit Ungleichungen : In der Analysis lernt man: Für reelle Zahlen ist eine Anordnung < definiert, mit folgenden Regeln: (A1) Für jedes a R gilt genau eine der drei Aussagen 0 < a, a = 0, a < 0, (A) a, b R : (0 < a 0 < b = 0 < a+b ), (A3) a, b R : (0 < a 0 < b = 0 < a b ).

8 - 4 - Man definiert : a < b : 0 < b a, b > a : a < b, a b : (a < b a = b), b a : a b und kann dann folgende Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen beweisen, die man sich merken muss: Für alle a, b, c R gilt (1) a < b a + c < b + c () falls c > 0 ist: a < b ac < bc (3) falls c < 0 ist: a < b ac > bc (4) falls a, b > 0 sind: a < b a < b (4.13) Beispiel : Gesucht ist die Lösungsmenge L von (1) 5 + x + 3x <. Zur Lösung müssen wir eine Fallunterscheidung machen: a) Ist + 3x > 0, so ist (1) 5+x < (+3x) +3x > 0 8x < 9 3x > x < 9 8 x > 3, aber wegen 3 > 9 8 gibt es solche x nicht : b) Ist + 3x < 0 so ist (1) 5+x > (+3x) +3x < 0 8x > 9 3x < x > 9 8 x < 3, also ist L = { x R 9 8 < x < 3 }. Bemerkung 4.14 : Es ist wichtig zu wissen,dass man sich die Lösungsmenge von Ungleichungen im R anschaulich machen kann: G := { (x, y) R y = x + 1 } ist eine Gerade, L := { (x, y) R y x + 1 } besteht aus den Punkten auf und unterhalb der Geraden:

9 - 5 - y L G x (4.15) Beispiel : Veranschaulichen Sie die Menge L := { (x, y) R x + y < 1 }. Lösung: Man muss für x und y Fallunterscheidungen machen: a) Ist x 0 und y 0 ( 1.Quadrant ), so gilt x + y < 1 x + y < 1 y < 1 x : y 1 1 x b) Entsprechend erhält man für x < 0 y 0 : (x L y < 1 + x), x 0 y < 0 : (x L y > x 1), x < 0 y < 0 : (x L y > 1 x),

10 - 6 - und insgesamt sieht L so aus : y 1 1 L x (4.16) Weitere Aufgaben: (1) Veranschauliche M := { (x, y) R y < x + 3 y > x }. () Zeichne L := { (x, y) R y > x 3 y < x 3 + }. (3) Zeichne L := { (x, y) R x 1 y 1 }. (4) Zeichne L := { (x, y) R x + y 1 }. (5) Zeichne für a, b, c R : E := { (x, y) R a + y b = c }. (6) Durch welche Ungleichung wird die Kreisscheibe mit Mittelpunkt (3, 5) und Radius beschrieben? 5 Der R n als euklidischer Vektorraum x Definition 5.1 : Sei n N. Dann besteht R n aus den n tupeln (x 1,..., x n ) mit x 1,..., x n R. Wie bei Paaren definiert man für (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) R n : (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) : j {1,..., n} : x j = y j. Definition 5. : Man kann Elemente von R n addieren : (x 1,... x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ), und von links mit einem λ R multiplizieren : λ (x 1,..., x n ) := (λx 1,..., λx n ), für x 1,..., x n, y 1,..., y n R. Wir nennen die Elemente von R n Vektoren und die Zahlen aus R Skalare. Für n = und n = 3 kann man sich

11 - 7 - diese Rechenoperationen veranschaulichen: Im R : x x + y y x x 1 x λx x x 1 Noch zur Schreibweise: Man hat die reelle Zahl 0, und 0 := (0,..., 0) R n, wir schreiben für beide Elemente dasselbe Zeichen. Zu x = (x 1,..., x n ) R n hat man Für x, y R n x := ( x 1,..., x n ) R n, dafür gilt schreiben wir kurz x + ( x) = 0. x y := x + ( y). Bemerkung 5.3 : Sie werden es in der Linearen Algebra lernen: R n + und der Skalarmultiplikation ist ein R Vektorraum. Aber man hat für Vektoren im R n noch eine weitere Rechenoperation: Definition 5.4 : Für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n nennen wir < x, y > := x 1 y x n y n das kanonische Skalarprodukt von x und y. Man hat also die Abbildung d.h. zwei Vektoren x, y R n <, > : R n R n R, (x, y) < x, y >, wird der Skalar < x, y > R zugeordnet. Behauptung 5.5 : Für alle x, x, y R n, λ R gilt (S1) < x + x, y > = < x, y > + < x, y >, < λx, y > = λ < x, y >, (S) < x, y > = < y, x >, (S3) < x, x > 0 (x 0 = < x, x > > 0). mit

12 - 8 - Beweisen kann man diese Aussagen direkt mit der Definition. Zum Beweis von (S3) braucht man noch die Anordnungsaxiome (A1) - (A3) aus (4.1). Wegen (S3) ist die folgende Definition sinnvoll: Definition 5.6 : Für x = (x 1,..., x n ) R n nennen wir x := < x, x > = x x n die Norm ( Länge ) von x. Den Winkel zwischen zwei Vektoren wollen wir jetzt nicht definieren, dazu fehlen uns Kenntnisse aus der Analysis. Aber wir können definieren, wann zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen: Definition 5.7 : Seien x, y R n. Wir sagen, x und y stehen senkrecht aufeinander, oder: x und y sind zueinander orthogonal, in Zeichen: x y, wenn gilt < x, y > = 0. Ganz einfach zu beweisen (aber letztlich nur eine Folge davon, dass wir unsere Definitionen passend gewählt haben) ist Satz 5.8 (Pythagoras) : Seien x, y R n, x y, dann gilt y x + y = x y x y x Beweis : x y 5.6 = < x y, x y > 5.5 = < x, x y > < y, x y > 5.5 = < x, x > < x, y > < y, x > + < y, y > 5.7 = < x, x > + < y, y > = x + y. Definition 5.9 : Sei n N und seien p, a R n, a 0. Dann heißt die Menge G p,a := { p + λa λ R } die Gerade durch p, mit der Richtung a. Die Schreibweise G p,a Gerade heißt eine Parameterdarstellung für diese Gerade. für eine Bemerkung 5.10 : p und a sind bei dieser Schreibweise nicht eindeutig bestimmt. Man überlege sich: Für p, q, a, b R n, a, b 0, gilt G p,a = G q,b q G p,a µ R \ {0} : b = µ a. Man kann mit dieser Parameterdarstellung durchaus rechnen, z.b. kann man Schnittpunkte ausrechnen, wenn sie existieren. Im R kann man Geraden auch anders, als Lösungsmenge einer linearen Gleichung, angeben:

13 - 9 - Satz 5.11 : Seien p, a R, a = (a 1, a ) 0, c := ( a, a 1 ) und α := < p, c >, dann ist G p,a = H c,α mit H c,α := { x R < c, x > = α }. Statt < c, x > = α kann man ausführlicher c 1 x 1 + c x = α schreiben, deshalb heißt H c,α auch eine Gleichungsdarstellung dieser Geraden. Beweis : 1) Sei x G p,a, dann folgt λ R : x = p + λa, also für c = ( a, a 1 ) : < c, x > = < ( a, a 1 ), p + λa > = < ( a, a 1 ), p > + λ < ( a, a 1 ), (a 1, a ) > = < p, c > +λ ( a a 1 + a 1 a ) = α, also ist x H c,α. ) Sei x H c,α, also < c, x > = α mit α = < p, c >, dann gilt < c, x > < p, c > = 0, also < x p, ( a, a 1 ) > = 0, und wenn wir y := x p setzen, y = (y 1, y ) : ( ) a y 1 + a 1 y = 0. Ist nun a 1 0, so erhalten wir mit λ := y 1 a 1 : y 1 = λ a 1 y = a y 1 a 1 = λ a, also y = λ a, und ist a 1 = 0, so ist wegen a 0 : a 0, aus ( ) folgt y 1 = 0, also y = (0, y ) = y a (0, a ) = λ a mit λ := y a, in jedem Fall: Es gibt ein λ R mit x p = y = λ a, x = p + λ a, also x G p,a. Im R 3 (und im R n mit n 3 ) gilt der Satz nicht mehr, eine Gerade ist niemals die Lösungsmenge zu einer linearen Gleichung.

14 Bemerkung 5.1 : Im R 3 seien drei Vektoren p, a, b gegeben, wie kann man sich die Menge E p,a,b := { p + λ a + µ b λ, µ R } veranschaulichen? a) Für a = b = 0 ist E p,a,b = {p} die Menge mit dem einen Element p. b) Für a 0, b = 0 ist E p,a,b = { p + λ a λ R } nach Definition 5.9 eine Gerade, ebenso für a = 0, b 0. c) Im Fall a 0, b 0 kann es sein, dass gilt: γ R : b = γa, dann ist E p,a,b = { p + λa + µγa λ, µ R } = { p + (λ + µγ)a λ, µ R } G p,a, sogar G p,a = E p,a,b, denn für λ R ist p + λa = p + λa + 0b E p,a,b. Ebenso gilt: Sind a, b 0 und δ R : a = δ b, so ist E p,a,b = G p,b. Jedenfalls: In den Fällen a) - c) ist E p,a,b ein Punkt oder eine Gerade. Die Voraussetzung für die Fälle a) -c) kann man allgemein formulieren als (λ, µ) R \ {0} : λ a + µ b = 0. Das Paar (a, b) heißt in diesem Fall linear abhängig: Definition 5.13 : Seien a, b R n. Das Paar (a, b) heißt linear unabhängig, wenn gilt (λ, µ) R : (λ a + µb = 0 = λ = µ = 0).

15 Folgerung 5.14 : (1) Für zwei Vektoren a, b R n (a, b) ist linear abhängig gilt also: (λ, µ) R : (λ a + µ b = 0 (λ, µ) (0, 0)) (λ, µ) R : (λ 0 a = µ λ b) (λ, µ) R : (µ 0 b = λ µ a), (a, b) ist also genau dann linear abhängig, wenn a ein Vielfaches von b oder b ein Vielfaches von a ist. () Dass (a, b) linear unabhängig ist, bedeutet nach (1) also, dass a und b verschiedene Richtungen haben, und { λa + µb λ, µ R } ist die von a und b aufgespannte Ebene durch den Nullpunkt: x a b x 1 Definition 5.15 : Seien p, a, b R n, a und b seien linear unabhängig. Dann heißt E p,a,b = { p + λa + µb λ, µ R } die von den Vektoren a und b aufgespannte Ebene durch p. Im R 3 kann man sich E p,a,b vorstellen: x 3 b a p x x 1 E p,a,b heißt die Parameterdarstellung der Ebene. Man kann sich überlegen, dass eine Ebene im R 3 die Lösungsmenge einer Gleichung < x, c > = α mit einem c R 3 \ {0} ist.

16 - 3 - Uns geht es hier um den Begriff der linearen Unabhängigkeit, man kann die Definition 5.13 verallgemeinern: Definition 5.16 : Seien v 1,..., v k R n, k, n N. Dann heißt das k tupel (v 1,..., v k ) linear unabhängig, wenn gilt: (λ 1,..., λ k ) R k : (λ 1 v λ k v k = 0 = j {1,..., k} : λ j = 0). (5.17) Beispiele : a) Im R 3 sei v 1 := (1, 0, 1), v := (1, 1, ), v 3 := (, 1, 1), dann ist (v 1, v, v 3 ) linear unabhängig, denn aus (1) λ 1 v 1 + λ v + λ 3 v 3 = 0 1 λ 1 +1 λ + λ 3 = 0 1 λ +1 λ 3 = 0 1 λ 1 + λ +1 λ 3 = 0 und wenn wir die 1. zur 3. Gleichung addieren: λ 1 +λ +λ 3 = 0 (1 ) λ +λ 3 = 0 3λ +3λ 3 = 0 folgt Nun addieren wir das 3-fache der. zur 3. Gleichung : λ 1 +λ +λ 3 = 0 (1 ) λ +λ 3 = 0, 6λ 3 = 0 woraus nacheinander λ 3 = 0, λ = 0, λ 1 = 0 folgt. b) Im R 3 sei v 1 := (, 1, 3), v := ( 1, 1, ), v 3 := (4, 3, 1). λ 1 v 1 + λ v + λ 3 v 3 = 0 ist gleichbedeutend mit λ 1 λ +4λ 3 = 0 () λ 1 +λ 3λ 3 = 0. 3λ 1 +λ λ 3 = 0 Wir addieren das -fache der. zur 1. und das 3-fache der. zur dritten Gleichung, und vertauschen die ersten beiden Gleichungen: λ 1 +λ 3λ 3 = 0 ( ) λ λ 3 = 0 5λ 10λ 3 = 0,