DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

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1 DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal Christian

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Pflichtteil... 3 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Lösungen Pflichtteil... 5 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 005 Pflichtteil... 9 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 005 Lösungen Pflichtteil... Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 006 Pflichtteil... 6 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 006 Lösungen Pflichtteil... 8 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 007 Pflichtteil... Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 007 Lösungen Pflichtteil... 4 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 008 Pflichtteil... 9 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 008 Lösungen Pflichtteil... 3 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 009 Pflichtteil Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 009 Lösungen Pflichtteil Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 00 Pflichtteil... 4 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 00 Lösungen Pflichtteil Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 0 Pflichtteil 5 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 0 Lösungen Pflichtteil..54 Inhaltsverzeichnis

3 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Pflichtteil Aufgabe Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit f() = und vereinfachen Sie f / (). + 3 Aufgabe Geben Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit f() = + sin() an. Aufgabe 3 (VP) (VP) 4 Lösen Sie die Gleichung e - e +8 = 0. (3VP) Aufgabe 4 Gegeben ist die Funktion f mit f ()= + ; 0. Das Schaubild von f hat im Punkt P(/v) die Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Die Tangente t schneidet die -Achse im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S. (3VP) Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion f / einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder unentscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten. () f ist streng monoton wachsend für () Das Schaubild von f hat mindestens einen Wendepunkt. (3) Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-achse. (4) Es gilt f () > 0 für alle { 3; 3 }. (6VP) Aufgabe 6 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: = + t - ; 0 t R und E: = Prüfen Sie nach, ob der Punkt A(3/0/) auf der Geraden g liegt. Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E. Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes der Ebene E, welcher vom Punkt A den kleinsten Abstand hat. (4VP) Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Pflichtteil 3

4 Aufgabe 7 Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der dargestellten Ebene. (3VP) Aufgabe 8 Gegeben sind im Raum eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Abstandes von A zu g (3VP) Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Pflichtteil 4

5 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Lösungen Pflichtteil Aufgabe f() = mit der Quotientenregel + 3 f () = ( + 3) ( + 3) f () = u v u v f() = v 3 f () = ( + 3) ( + 3) + u = und v = 3 Aufgabe f() = sin() + zum Besseren Aufleiten zuerst mal Umschreiben: f() = + sin( ) F() = Aufgabe 3 cos() F() = cos() 6 e 4 e = e + 8 = 0 ist nur mit einer Substitution machbar: u u u + 8 = 0 Dies ist eine allseits beliebte quadrat. Gleichung, die man mit der Mitternachtsformel löst. Da dies der Pflichtteil ist, muss man die Formel auswendig können. (zur Erinnerung: / b ± b 4ac = ). a Also: ± = 7 u ± = 49 u ± 7 = u u / / / / = 9 Rücksubstitution: Gleichung : e = 9 lne = ln9 = ln9 = ln3 = ln3 = ln3 Gleichung : e = lne = ln = ln = ln oder Aufgabe 4 f () = + ; 0. P(/4) Allgemeine Geradengleichung bzw. Tangentengleichung: t: y = m + c. m= f (), c wird durch Einsetzen des Punktes P ermittelt. = ln. + f() = f () = f () = f () und P ( / 4) in t: Also f () = 4 = + c c = 6 t : y = + 6 Schnittpunkt von t mit der -Achse hat die Bedingung y=0: 0 = + 6 = 3 der Punkt S hat also die Koordinaten S(3/0). Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Lösungen Pflichtteil 5

6 Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt das Schaubild der Ableitungsfunktion / f einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f sind wahr, falsch oder unentscheidbar? Begründen Sie Ihre Antworten. () f ist streng monoton wachsend für 3 3. Antwort: Richtig, da f () 0 ist. ( f () läuft ja komplett oberhalb der -Achse.) () Das Schaubild von f hat mindestens einen Wendepunkt. Antwort: Richtig, da ein Etremwert bei f () ein Wendepunkt bei f () bedeutet. (3) Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-achse. Antwort: Falsch. Die Funktion ist komplett monoton steigend (siehe ()). (4) Es gilt f () > 0 für alle { 3; 3 }. Antwort: Unentscheidbar. Das kann so sein, muss aber nicht. Man kann durch f () keine Rückschlüsse auf Funktionswerte von f () ziehen. Nicht nur hier, sondern immer. Aufgabe 6 g: = + t ; 0 t R und E: = Punkt A(3/0/) liegt dann auf der Geraden, wenn er deren Gleichung erfüllt. Also eine Punktprobe. in der Gleichung wird durch den Punkt A ersetzt: 3 0 = + t ; t R dies liefert 3 Gleichungen für t, die jeweils für das gleiche t erfüllt 0 sein müssen. Im anderen Fall liegt A nicht auf g: ) 3 = + t t = ) 0 = t t = 3) = t t = Treffer. Punkt A liegt auf g. Orthogonalität: Ist eine Gerade orthogonal zu einer Ebene E, dann muss Ihr Richtungsvektor und der Normalenvektor der Ebene E linear abhängig sein. Einfacher gesagt: Der eine Vektor ist ein Vielfaches vom Anderen: k r = n 4 k = dies ist für k= erfüllt, somit auch orthogonal. 4 Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Lösungen Pflichtteil 6

7 Kleinster Abstand: Den kleinsten Abstand zu einem Objekt erhält man immer durch senkrechte Projektion auf dieses. Also stellt man eine Lotgerade l zu E durch A auf und schneidet diese mit E: 3 l: = 0 + t ; in E eingesetzt: 4 (3 + t) ( t) + 4( + t) = +8t+t+8+8t= 8t=-9 3 = 0 + ( ) = 0,5 t = wieder in l zurück: Punkt P(/0,5/) hat also kleinsten Abstand zu E. Aufgabe 7 Zuerst Ablesen der Spurpunkte: S (5 /0 /0) S (0 /4 /0) S 3 (0 /0 /3) Am Einfachsten geht es mit der Achsenabschnittsform, wenn Spurpunkte bekannt sind: a b c = a,b und c stehen für die Zahlen der zugehörgen Spurpunkte. Und rechts des Gleichheitszeichens steht immer eine. 3 Also: + + = fertig. Wen die Brüche stören, kann das Ganze auch mit multiplizieren: = 60. Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Lösungen Pflichtteil 7

8 Aufgabe 8 Gerade g Skizze: H S A Beschreibung:. Hilfsebene H orthogonal zu g, durch A, aufstellen. Dadurch ist Richtungsv ektor = Normalenvektor.. Schnitt von g und H liefert Punkt S. g 3. Betrag des Vektors [ AS] = gesuchter Abstand Punkt A zur Geraden g. H Originalprüfung Haupttermin Mathematik Abi BW 004 Lösungen Pflichtteil 8

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