Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen"

Transkript

1 Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x) dx = F ( g(x) )+c (einfache Substitution) f(x) g(x)dx = F (x)g(x) F (x)g (x)dx (Partielle Intergation) In den Aufgaben ist y stets die gesuchte Funktion (mit x als Variablen), d.h. gesucht wird stets die Funktion y(x), die die gegebene Gleichung erfüllt. Trennung der Variablen Aufgabe. Lösen Sie die folgenden Differential-Gleichungen mittels Trennung der Variablen : a) y = x y mit y 0 b) y = x e y c) y (x + ) xy = 0 Aufgabe. Substituieren Sie in der folgenenden Differentialgleichung z = x + y. Lösen Sie die entstehende Gleichung dann mittels Trennung der Variablen. y + = x + y Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Aufgabe. (Homogen): Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: a) y y = 0 b) y y = 0 c) y y = 0 d) y y + y = 0 e) y 6y + 9y = 0 f) y y = 0 Aufgabe. (Inhomogene Differentialgleichungen): Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: a) y y = b) y y = x c) y y = e x Verwenden Sie dazu die homogenen Lösungen aus Aufgabe. a) bis c). Bestimmen Sie dann die partikuläre Lösung bei a) & b) mit einem Polynom-Ansatz, bei c) mittels eines Ansatzes mit e x. Aufgabe.3 (Anfangswertproblem): Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem a) y y = mit y(0) = b) y y = x mit y(0) = c) y y = e x mit y(0) = 3 Verwenden Sie dazu die Lösungen aus Aufgabe. a) bis c). 3 Allgemeine lineare Differentialgleichungen Aufgabe 3. (lineare Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten): Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: a) y (x + )y = x + b) y + x y = x für den Bereich x > 0. Verwenden Sie für die homogene Lösung den Ansatz Trennung der Variablen und für die partikuläre Lösung den Ansatz Variation der Konstanten.

2 4 Lösungen Lösung für Aufgabe. a) y (x) = x y(x) y(x) y (x) = x y(x) y (x) dx = x dx y(x) = x + c y(x) = ± x + c b) Zur Lösung: Die Funktion x (für c = 0) macht als reelle Funktion nicht viel Sinn, man kann sie nur am Punkt x = 0 auswerten, ansonsten ergibt sich eine komplexe Zahl. Genauer gesagt gilt: x = x i, wobei der Betrag daraus resultiert, dass für negative Zahlen wie beispielsweise 3 das folgende gilt: ( 3) = 9 = 3. Gilt jedoch c > 0, so ist die Funktion c x auf dem Intervall [ c, c] definiert und der Graph der Funktion beschreibt einen Kreisbogen mit Radius c. y = x e e y y = x y e y(x) y (x)dx = x dx e y(x) = x + c y = ln (x + c) c) y (x + ) xy = 0 y y = x x + y(x) y (x) dx = x (x + ) dx ln(y) = ln(x + ) + c y = (x + ) e c Für die letzte Umformung in c) benutzt man: ln(x + ) + c = ln(x + ) + ln(e c ) = ln((x + ) e c ). Lösung für Aufgabe. In y + = x+y soll z = x + y substituiert werden. Man beachte: Da das gesuchte y eigentlich eine Funktion in x ist (also y(x)), ist z ebenso eine Funktion in x, nämlich z(x) = y(x) + x. Entprechend erhält man die Gleichungen y(x) = z(x) x und y (x) = z (x) +, die y und z sowie y und z in ein Verhältnis setzen. In kurz ergibt sich also das Folgende: Nebenrechnung: Es folgt: z = x + y y = z x y = z y + = x + y z + = x + z x z = z z z = Die letzte Differentialgleichung in z lösen wir nun per Trennung der Variablen: z z = z dz = dx z = x + c z = ± x + c Um nun wieder eine Lösung für y zu erhalten, benutzen wir unser Wissen y = z x aus der Nebenrechnung beim Resubstituieren. Man erhält: y = ± x + c x. Lösung für Aufgabe.

3 zu Lösen zugehörige Gleichung Lösung a) y y = 0 λ λ 0 = 0 λ = 0 λ = y(x) = c e x b) y y = 0 λ λ 0 = 0 λ = 0 λ {, } y(x) = c e x + c e x c) y y = 0 λ 3 λ 0 = 0 λ 3 = 0 λ {, + i 3, i 3 } y(x) = c e x + c cos( x) + c 3 sin( 3 x) d) y y + y = 0 λ λ + λ 0 = 0 (λ ) = 0 λ =, λ = } {{ } y(x) = c e x + c xe x doppelte Nullstelle e) y 6y + 9y = 0 λ 6λ + 9λ 0 = 0 (λ 3) = 0 λ = 3, λ = 3 } {{ } y(x) = c e 3x + c xe 3x doppelte Nullstelle f) y y = 0 λ 3 λ = 0 λ(λ ) = 0 λ {0,, } y(x) = c e 0 + c e x + c 3 e x Lösung für Aufgabe. = c + c e x + c 3 e x Aufg.. a) Zu lösen ist: y y =. Der Grad des Polynoms auf der rechten Seite ist 0, entsprechend nutzen wir einen Polynomansatz vom Grad 0: Ansatz: y p (x) = y p(x) = 0 Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: y p(x) y p (x) = 0 a 0 = a 0 =. Lösung: Entsprechend ist y p (x) = die partikuläre Lösung der Differnetialgleichung. Die Homogene Lösung lautet y h = c e x (s. Aufgabe.) und damit lautet die allgemeine Lösung der DGL: y(x) = + c e x Aufg.. b) Zu lösen ist: y y = x. Der Grad des Polynoms x auf der rechten Seite ist, entsprechend nutzen wir einen Polynomansatz vom Grad : Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: Ansatz: y p (x) = a x +a x +a 0 y p(x) = a x +a y p (x) = a y p (x) y p (x) = a (a x + a x + a 0 ) = a x a x a 0 + a = x () Gleichungen: Der Gleichung () entnehmen wir die drei gültigen Gleichungen für x, x und x 0 : a = ( Gleichung für x ) a = 0 ( Gleichung für x ) a 0 + a = 0 ( Gleichung für x 0 a =, a = 0, a = a 0 / = /. ) Lösung Entsprechend ist y p (x) = ( ) x + (0) x + = x die partikuläre Lösung der Differnetialgleichung. Die Homogene Lösung lautet y h = c e x + c e x (s. Aufgabe.) und damit lautet die allgemeine Lösung der DGL: y(x) = x + c e x + c e x Aufg.. c) Zu lösen ist: y y = e x. Die Rechte Seite lautet e x, wir verwenden hier als Ansatz also ein Polynom, das mit e x multipliziert wird. Der Grad des Polynoms, 3

4 mit dem e x multipliziert wurde ist 0, entsprechend nutzen wir einen Polynomansatz vom Grad 0: Ansatz: y p (x) = a 0 e x y p(x) = a 0 x e x y p (x) = a 0 x e x y p (x) = a 0 x e x Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: y p (x) y p (x) = a 0 e x a 0 e x = e x () Gleichungen: Der Gleichung () entnehmen wir a 0 =. Lösung Entsprechend ist y p (x) = e x die partikuläre Lösung der Differnetialgleichung. Die Homogene Lösung lautet y h = c e x + c cos( x) + c 3 sin( 3 x) (s. Aufgabe.) und damit lautet die allgemeine Lösung der DGL: y(x) = e x Lösung für Aufgabe.3 + c e x + c cos( 3 x) + c 3 sin( x). Aufg.3 a) Zu lösen ist: y y = mit y(0) =. Die allgemeine Lösung der DGL lautet (s. Aufgabe.): y allg (x) = + c e x mit Einsetzen des Anfangspunktes x = 0 erhält man: y allg (0) = + c e 0 = + c = c = = Die Lösung des Anfangswertes lautet also: y(x) = e x. Aufg.3 b) Zu lösen ist: y y = x mit y(0) =. Die allgemeine Lösung der DGL lautet (s. Aufgabe.): y allg (x) = x + c e x + c e x mit Einsetzen des Anfangspunktes x = 0 erhält man: y allg (0) = 0 + c + c = c = 5 c Die Lösung des Anfangswertes lautet also: y(x) = x + c e x + ( 5 c ) e x. Alternative Lösung: Löst man die Gleichung y allg (0) = nach c auf, so erhält man c = 5 c. Die hierzugehörige Lösung y(x) = x + ( 5 c ) e x + c e x ist auch richtig und identisch zur ersten Lösung, denn die Mengen an möglichen koeffizienten sind gleich: {(c, 5 c : c R} = {( 5 c, c ) : c R}. Für c = erhält man beispielsweise (, 3 ) in der ersten Menge. Und für c = 3 das gleichen Koeffizientenpaar: ( 5 3, 3 ) = (, 3 ). erält man Aufg.3 c) Zu lösen ist y y = e x mit y(0) = 3 Die allgemeine Lösung der DGL lautet (s. Aufgabe.): y allg (x) = e x + c e x + c cos( 3 x) + c 3 sin( x) mit Einsetzen des Anfangspunktes x = 0 erhält man: y allg (0) = + c + c cos(0) + c 3 sin(0) = 3 c = 7 c Die Lösung des Anfangswertes lautet also: y(x) = e x + c e x + ( 7 c ) cos( x) + c 3 sin( 3 x) Hätte man nach c aufgelöst ergäbe sich: y(x) = e x + ( 7 c )e x + c cos( x) + c 3 sin( 3 x). Beide Lösungen sind richtig und in dem Sinne äquivalent, dass sich jeweils die gleichen Koeffizienten ergeben, wenn man in die Zweite Lösung c = ( 7 c ) einsetzt. 4

5 Lösung für Aufgabe 3. Aufg 3. a) Zu lösen ist: y (x + )y = x + Lösen der homogenen Gleichung mit Trennung der Variablen: y (x + ) y = 0 y y = (x + ) y dy = x + dx ln(y) = x + x + d y = }{{} e d =c e x +x Die Lösung der homogenen Gleichung lautet also y h (x) = c e x +x. Für die Bestimmung der partikulären Lösung verwenden wir das Verfahren der Variation der Konstanten, d.h. wir ersetzen die Konstante c der Lösung der homogenen DGL durch eine Funktion c(x). Die neugewonnene Funktion benutzen wir als Ansatz und setzen sie in die DGL ein: Ansatz: y p (x) = c(x)e x +x y p(x) = c (x)e x +x + c(x)(x + )e x +x Wir eralten beim Einsetzen in die linke Seite der DGL: y p(x) (x + ) y p (x) = c (x)e x +x + c(x)(x + )e x +x (x + ) c(x)e x +x = c (x)e x +x Die DGL sieht mit diesem Ansatz also wie folgt aus: y p(x) (x + )y p (x) = x + c (x)e x +x = x + c (x) = (x + ) e (x +x) Integration auf beiden Seiten der letzten Gleichung nach x liefert c(x): c(x) = (x + ) e (x +x) dx = e (x +x) Wir erhalten also als Lösung y p (x) = c(x)e x +x = ( e (x +x) ) e x +x = Und in der Tat löst die Funktion y p (x) = die Differentialgleichung (die Probe ist erschreckend einfach). Die Gesamtlösung lautet also: y allg (x) = + c e x +x Aufg 3. b) Zu lösen ist: y + y x = x (wobei x > 0 gilt). Lösen der homogenen Gleichung mit Trennung der Variablen: y + y x = 0 y y = x y dy = x dx ln(y) = ln(x) + }{{} d = ln(c x ) y = c x =ln(c) Die Lösung der homogenen Gleichung lautet also y h (x) = c x. Für die Bestimmung der partikulären Lösung verwenden wir das Verfahren der Variation der Konstanten, d.h. wir ersetzen die Konstante c der Lösung der homogenen DGL durch eine Funktion c(x). Die neugewonnene Funktion benutzen wir als Ansatz und setzen sie in die DGL ein: Ansatz: y p (x) = c(x)x ( ) y p(x) = c (x)x + c(x) x 3 Wir eralten beim Einsetzen in die linke Seite der DGL: y p(x) + yp(x) x = c (x)x + c(x) ( x 3 Die DGL sieht mit diesem Ansatz also wie folgt aus: ) + c(x)x x = c (x)x y p(x) + y p(x) x = x c (x)x = x c (x) = x x = x 5

6 Integration auf beiden Seiten der letzten Gleichung nach x liefert c(x): Wir erhalten also als Lösung Die Gesamtlösung lautet also: c(x) = x dx = x y p (x) = c(x)x = x x = x 3 y allg (x) = x 3 + c x 6

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 7 4.5.7 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik

Mehr

Differentialgleichungen

Differentialgleichungen Differentialgleichungen Eine einfache Differentialgleichung löst man bereits beim Integrieren in der Oberstufe. Sie hat die Form y (x) = f(x) und y wird gesucht. Beispiel: y (x) = 6x² - 4x + 1 fl y(x)

Mehr

Lineare Differenzialgleichung und verwandte Fälle

Lineare Differenzialgleichung und verwandte Fälle Lineare Differenzialgleichung und verwandte Fälle 1. Die lineare Differenzialgleichung Eine lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung besitzt die Form y + g(x)y = h(x), wobei g(x) und h(x) stetig sind.

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016

Serie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der

Mehr

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen

4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4.1 Einleitung Definition 4.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3

Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine

Mehr

2. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB

2. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lang Dipl.-Math. C. Schönberger Dipl.-Math. L. Kamenski WS 007/08 6.Oktober 007. Übungsblatt zur Mathematik III für MB/MPE, LaB/WFM, VI, WI/MB Gruppenübung Aufgabe G4

Mehr

Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4

Aufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4 Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) 4.3.5 Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b)

Mehr

Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen

Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph

Mehr

7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sei die Differentialgleichung 7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen y x) 2 x y x) + 5 x 2 y x) 5 x yx) = 0 für x > 0. Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Lineare DGL. Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3

Lineare DGL. Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3 Lineare DGL Bei linearen Problemen liegt eine typische Lösungsstruktur vor. Betrachten wir hierzu die Gleichung 2x+y = 3 Die zugehörige homogene Gleichung ist dann 2x+y = 0 Alle Lösungen (allgemeine Lösung)

Mehr

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3

, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3 Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen

Mehr

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x

Mehr

Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker

Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker SS 04. 09. 004 Klausur zur Mathematik für Maschinentechniker Apl. Prof. Dr. G. Herbort Aufgabe. Es sei f die folgende Funktion f(x) = 4x 4x 9x 6 x (i) Was ist der Definitionsbereich von f? Woistf differenzierbar,

Mehr

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0. Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ

Mehr

Kernfach Mathematik Thema: Analysis

Kernfach Mathematik Thema: Analysis Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang

Mehr

MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE

MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof.

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Lösungen zu Mathematik I/II

Lösungen zu Mathematik I/II Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW

Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6

Mehr

Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche. Studiengänge) Beispiele

Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche. Studiengänge) Beispiele Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. 1 DETERMINANTEN 1

Mehr

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael

Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung. Christopher Schael Gewöhnliche inhomogene Differentialgleichungen der 1. und. Ordnung 1.1.) Anleitung DGL der 1. Ordnung 1.) DGL der 1. Ordnung In diesem Abschnitt werde ich eine Anleitung zur Lösung von inhomogenen und

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt.

Aufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt. Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N j 2 j n(n + )(2n + ) gilt. Der Beweis wird mit Hilfe vollständiger Induktion geführt. Wir verifizieren daher zunächst den Induktionsanfang,

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1. Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Analysis I & II Lösung zur Basisprüfung

Analysis I & II Lösung zur Basisprüfung FS 6 Aufgabe. [8 Punkte] (a) Bestimmen Sie den Grenzwert ( lim x x ). [ Punkte] log x (b) Beweisen Sie, dass folgende Reihe divergiert. n= + n + n + sin(n) n 3 + [ Punkte] (c) Finden Sie heraus, ob die

Mehr

Gewöhnliche Dierentialgleichungen

Gewöhnliche Dierentialgleichungen Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 4 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt Aufgabe 37

Mehr

Klausur Mathematik I

Klausur Mathematik I Klausur Mathematik I E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). März 007 Hans-Georg Rück) Aufgabe 6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z z = und z ) z ) =.

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,...,

Mehr

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen . Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Sei I R ein Intervall. Geben Sie Beispiele für Differentialgleichungen für Funktionen y = y in I mit den folgenden Eigenschaften an: Beispiel separabel, nicht

Mehr

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen

Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser SoSe 7 7.7.7 Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen.

Mehr

Musterlösungen Serie 9

Musterlösungen Serie 9 D-MAVT D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 9 1. Frage 1 Gegeben ist eine lineare und homogene Differenzialgleichung, welche y : x sin x als Lösung besitzt. Welche der folgenden

Mehr

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt

Mathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt Prof. Dr. T. Apel J. Mihael Mathematishe Methoden in den Ingenieurwissenshaften. Übungsblatt Wintertrimester 5 Aufgabe 4 : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik

Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 202/203 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Aufgabe 6 Bei allen Aufgabenteilen handelt es sich um (homogene bzw. inhomogene) lineare Differentialgleichungen

Mehr

Klausur-Übungen Gewöhnliche Differentialgleichungen - Analysis 2. x (t) = tx(t), t R

Klausur-Übungen Gewöhnliche Differentialgleichungen - Analysis 2. x (t) = tx(t), t R Tutor: Martin Friesen, martin.friesen@gm.de Klausur-Übungen Gewöhnliche Differentialgleichungen - Analysis 1. Man berechne alle Lösungen der Differentialgleichung: (t) = t(t), t R Wir benutzten hier den

Mehr

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen

6 Gewöhnliche Differentialgleichungen 6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind Gleichungen in denen nicht nur eine Funktion selbst sondern auch ihre Ableitungen vorkommen. Im einfachsten Fall gibt es eine unabhängige

Mehr

y hom (x) = C e p(x) dx

y hom (x) = C e p(x) dx Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)

Mehr

Mathematik 3 für Informatik

Mathematik 3 für Informatik Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4

Mehr

Prof. Dr. Rolf Linn

Prof. Dr. Rolf Linn Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1

Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil 1 Trennung der Variablen, Aufgaben, Teil -E -E Trennung der Variablen Die Differenzialgleichung. Ordnung mit getrennten Variablen hat die Gestalt f ( y) dy = g (x) dx Satz: Sei f (y) im Intervall I und g

Mehr

6 Differentialgleichungen

6 Differentialgleichungen 93 6 Differentialgleichungen Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion y = y(x) und Ableitungen (die erste oder auch höhere) von y vorkommen. Lösungen einer Differentialgleichung

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall;

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (

Mehr

Gleichungen Aufgaben und Lösungen

Gleichungen Aufgaben und Lösungen Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................

Mehr

13 Differentialgleichungen

13 Differentialgleichungen 3 Differentialgleichungen 282 3. Einführung Unter einer Differentialgleichung (=: DGL) versteht man eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion, in der die Funktion selbst und ihre Ableitungen

Mehr

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung

Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 7. Juni 2017 Höhere Mathematik II für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele zur 10. Übung Wenn

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 10: Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 10. Diff. Gl. 1 / 59 1 Differentialgleichungen

Mehr

Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Wa

Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Wa 103 Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können: Was beschreibt der Differenzenquotient? Wie kann man sich die Steigung im vorstellen? Was bedeutet das für die Ableitungen? Was ist eine

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Die Differentialgleichung :

Die Differentialgleichung : Die Differentialgleichung : Erstellt von Judith Ackermann 1.) Definition, Zweck 1.1) verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2.) Beispiele und Lösungswege 2.1) gewöhnliche Differentialgleichungen

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen Eine Kurzeinführung im Rahmen der Vorlesung Mathematik und Statistik für Molekularbiologen Stefan Boresch stefan @ mdy.univie.ac.at, http://www.mdy.univie.ac.at/en/sbhome.html

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA

Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................

Mehr

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 ( )

Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 ( ) TU München Prof. P. Vogl Beispiel 1: Übungen Theoretische Physik I (Mechanik) Blatt 5 (26.08.11) Nach Gompertz (1825) wird die Ausbreitung von Rostfraß auf einem Werkstück aus Stahl durch eine lineare

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

1 Einführung, Terminologie und Einteilung

1 Einführung, Terminologie und Einteilung Zusammenfassung Kapitel V: Differentialgleichungen 1 Einführung, Terminologie und Einteilung Eine gewöhnliche Differentialgleichungen ist eine Bestimmungsgleichung um eine Funktion u(t) einer unabhängigen

Mehr

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung I. Grundlegendes Eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung besitzt die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) +... + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 Eine

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

6.3 Exakte Differentialgleichungen

6.3 Exakte Differentialgleichungen 6.3. EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 6.3 Exakte Differentialgleichungen Andere Bezeichnungen: Pfaffsche Dgl., Dgl. für Kurvenscharen, Nullinien Pfaffscher Formen. 1. Definitionen Pfaffsche Dgl, Dgl.

Mehr

Dierentialgleichungen 2. Ordnung

Dierentialgleichungen 2. Ordnung Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:

Mehr

f(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y

f(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y 7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem

Mehr

Lösung zur Klausur zur Analysis II

Lösung zur Klausur zur Analysis II Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes

Mehr

Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem

Implizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0,

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 15

D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 15 D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 15 1. Der Wert einer Funktion f : R R fällt am schnellsten in die Richtung (a) (b) (c) der minimalen partiellen Ableitung. entgegengesetzt

Mehr

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS

Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS Musterlösung der Präsenzaufgaben zu Mathematik I für ET/IT und ITS WS 0/0 Blatt 7. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von sinx 4 und für alle n N π π sin nxdx. Lösung. Die Rekursionsformel lautet sinx n

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002

Mehr

Musterlösungen Online Zwischentest - Serie 10

Musterlösungen Online Zwischentest - Serie 10 D-MAVT, D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Online Zwischentest - Serie 10 Frage 1 [Prüfungsaufgabe Frühling 2011)] Sei das Vektorfeld in R 3, ( x v(x,y,z) = 2, x+y ),0 2 und der

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis II

Übungen zum Ferienkurs Analysis II Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4. Umkehrbarkeit I Man betrachte die durch g(s, t = (e s cos(t, e s sin(t gegebene Funktion g : R R. Zeigen Sie, dass

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Differentialgleichungen erster Ordnung

Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen 1996 Peter Senn, Ph.D. Differentialgleichungen erster Ordnung Aufgabe M-DG-1: Bestimme die Lösung von x dy + (1 - x)y = x ex für welche y(1) = 0. Aufgabe M-DG-2: Bestimme die Lösung

Mehr

3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet.

3. Berechnen Sie auch die Beschleunigung a als Funktion der Zeit t. 4. Erstellen Sie ein SIMULINK Modell, das x(t) numerisch berechnet. unit 1 / Seite 1 Einführung Differenzialgleichungen In physikalischen Anwendungen spielt oft eine Messgrösse in Abhängigkeit von der Zeit die Hauptrolle. Beispiele dafür sind Druck p, Temperatur T, Geschwindigkeit

Mehr

Lösungsvorschläge zur Klausur

Lösungsvorschläge zur Klausur Prüfung in Höhere Mathematik 3 5. September 3 Lösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, IuI, mach, tema, umw, verf, geod und so weiter ; Aufgabe : Punkte Im R 3 wird eine Fläche T durch die Abbildung

Mehr

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Kapitel 4 Integration 4. Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation: zu einer gegebenen Funktion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung

Mehr

Serie 4: Gradient und Linearisierung

Serie 4: Gradient und Linearisierung D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die

Mehr

Formelanhang Mathematik II

Formelanhang Mathematik II Formelanhang Mathematik II Mechatronik 2. Sem. Prof. Dr. K. Blankenbach Wichtige Formeln: - Euler: e j = cos() + j sin() ; e -j = cos() - j sin() - Sinus mit Phase: Übersicht Differentialgleichungen (DGL)

Mehr