Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen 1. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a)

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1 Übungen lineare Gleichungssysteme - Lösungen. Bestimme die Lösungsmenge und führe eine Probe durch! a) b) c) 2x5y=23 2x 3y= 6x0y=64 6x 2y=6 2x3y=20 5x y=33 2x5y=23 2x 3y= 2x5y=23 2x3y= 8y=24 : 8 y=3 6x0y=64 6x 2y=6 8y=80 : 8 y=0 2x3y=20 5x y=33 3 2x3y=20 5x 3y=99 7x=9 : 7 x=7 d) 2x5 3=23 2x5=23 5 2x=8 : 2 x= =23 23= = = L={4 ;3} 0,7 x2,5 y=3,9 0,35 x=4,8 y 4, 0,7 x2,5 y=3,9 0,35 x =4,8 y 4, 4,8 y 0,7 x2,5 y=3,9 0,35 x 4,8 y= 4, 2 0,7 x2,5 y=3,9 0,7 x9,6 y=8,2 2, y=2, :2, y= 0,7 x2,5 =3,9 0,7 x2,5=3,9 2,5 0,7 x=,4 :0,7 x=2 0,7 22,5 =3,9 3,9=3,9 0,35 2=4,8 4, 0,7=0,7 L={2; } e) 6x 2 0=6 6x 20=6 20 6x=36 : =64 64= =6 6=6 L={6 ;0} 4y=3x 4 4y=5x 20 4y=4y 3x 4=5x x6=5x 3x 6=2x : 2 x=8 4y= y=20 : 4 y=5 4 5= =20 4 5= =20 L={8;5} f) 5 7 y=33 35 y=33 35 y= 2 y= =20 20= =33 33=33 L={7; 2} 4x2y=46 5x4y=74 4x2y=46 2 5x4y=74 8x 4y= 92 5x4y=74 3x= 8 : y=46 242y= y=22 : 2 y= 4 62 =46 46= =74 74=74 L={6; }

2 g) j) 9x7y=27 3x 6y=9 9x7y=27 3x 6y=9 3 9x7y=27 9x8y= 27 25y=0 : 25 y=0 3x 6 0=9 3x=9 :3 x= =27 27= =9 9=9 L={3;0} 5x7y=2 3x 2y=90 5x7y=2 3 3x 2y=90 45x2y=6 3x 2y=90 48x=96 : 48 x=2 5 27y=2 307y=2 30 7y= 28 : 7 y= =2 2= =90 90=90 L={2 ; 4} h) k) x 4 y= 4x5y=76 x y= x5y=76 20x 5y=20 4x5y=76 6x=96 : y=76 245y= y=00 : 5 y= = = =76 76=76 L={6; 20} 3y x=50 y 0,5 x =2,5 3y x=50 y 0,5 x=2,5 2 3y x=50 2yx= 25 y= x=50 75 x =50 75 x= 25 x= =50 50= ,5 25=2,5 2,5=2,5 L={25 ; 25} i) l) 4x2y=22 3x y =4 4x2y=22 3x y=4 2 4x2y=22 6x 2y=8 0x=30 : 0 x=3 4 32y=22 22y=22 2 2y=0 : 2 y= =22 22= =4 4=4 L={3; 5} 0,8 xy,2=0 x0,4 y0,2=0 x0,4 y0,2=0 0,4 y 0,2 x= 0,4 y 0,2 0,8 0,4 y 0,2 y,2=0 Kl 0,32 y 0,6y,2=0 Zsf 0,68 y,36=0,36 0,68 y =,36 :0,68 y=2 x = 0,4 2 0,2 x= 0,8 0,2 x= L={ ;2} 0,8 2,2=0 0=0 0,4 20,2=0 0=0

3 m) p) 3x 5=2y 2y=4x 2y=4x 2y=4x 2 2y 3x 5=4x 2 3x 5=4x 2 3x 5=4x 3x 5=x x= 4 2y= y= 6 2 2y= 8 : 2 y= =2 9 7= 7 2 9=4 4 7= 7 L={ 4 ; 9} 2 3 x 5y=0 x= y 3 x= y x=2y2 2y2 5y=0 Kl 2 3 x 2y2 5y=0 Zsf 3y3=0 3y 3=3y :3 y= 3 x= x=2 3 3 n) q) 26x 75y=29 25y=77 3x 26x 75y=29 25y=77 3x 3x 26x 75y=29 3x25y= x 75y=29 26x 50y= 54 25y= 25 : 25 y= 26x 75 =29 26x 75= x=04 : 26 x=4 L={4 ;} y=2x 2 6x2y= y =29 29=29 25 = =25 6x22x 2= Kl. 6x4x 4= Zsf 0x 4= 4 0x=5 :5 x=,5 y=2,5 2=3 2= y= = L={,5;} =2,5 2 = 6,52 = o) r) 6x0y=64 6x 2y=6 6x0y=64 6x 2y=6 8y=80 :8 y=0 6x 2 0=6 6x 20=6 20 6x=36 : =64 64= =6 6=6 L={6; 0} 2x3=4y 2x=5y 2x 5y 3=4y Kl. 5y 3=4y Zsf 5y2=4y 2 4y y= 2 2x=5 2 = 0 = 2x= : 2 x= 5,5 2 5,53=4 2 8= 8 2 5,5=5 2 = L={ 5,5; 2} L={6 ;} =0 4 5=0 0=0 3 6= 2=2

4 s) 5y x=38 x= y2 x 5y y2=38 Kl. 5y y 2=38 Zsf. 4y 2=38 2 4y=40 : 4 y=0 x=02=2 x=2 t) 2 4 x4 5 y=60 y= x x2 y= x3 y= x84y= x 84y= x= 3560 : 445 x=8 u) 2x 4y=4 2x=4y 8 2x 4y 8 4y=4 Kl. 4y 8 4y=4 Zsf. 8=4 f.a. Es existiert keine Lösung L= 5 0 2=38 38=38 2=02 2=2 L={2 ;0} y= y= y=840 : 84 y= =60 842=60 60= =34 L={8;0} =34 286=34 34=34

5 v) 2. a) 3 y= 2 x 4 y= y= x y= 2 x 4 5 y= 3 2 x 3 y= 8 5 x4 0= 3 2 x 8 5 x 0=,5 x,6 x 0= 0, x 0, x 0, x= 0 x=0 y= =5 3=2 y=2 L={0; 2} 3 2 = 2 0 4=4 4 2 = =3 43x4y 7 x2y=6 34xy 23x2y=26 5x2y=6 6x y=26 x=4 y= 2 w) x6y= 6 y=2x x6y= 6 6y x= 6y 6 y=2 6y 6 Kl. x y= 2y 32 2y y= 32 y= 33 : y= 3 x= 6 3 6=2 x=2 26 3= 6 6= 6 3=2 2 2=2 L={2 ; 3} b) x) 32x7y44x 5y 2=6 6x y 5 53x2y 8=5 22x y 5=6 9x 4y0=5 x= y= 2x3y=,25,2 x,6 y=,8 2x3y=,25 6,2 x,6 y=,8 0 2x8y=7,5 2x6y=8 34y=25,5 : 34 y=0,75 2x3 0,75=,25 2x2,25=,25 2,25 2x= : 2 x= 0,5 2 0,53 0,75=,25,25=,25,2 0,5,6 3=,8,8=,8 L={ 0,5;0,75} 3. Ein Rechteck hat den Umfang 40cm. Verdoppelt man die beiden längeren Seiten, so entsteht ein neues Rechteck mit dem Umfang 64cm. Berechne die Seitenlängen des alten Rechtecks. Es sollen die Kantenlängen des alten Rechtecks berechnet werden, also werden für diese Kantanlängen zwei Variablen a und b gewählt. Nun kann man sich den Sachverhalt mit einer Skizze verdeutlichen. Die Vorgaben für die Kantenlängen und den Umfang werden in die Skizze übertragen. Es ist dadurch möglich, für jedes Rechteck eine entsprechende Umfangformel aufzustellen, die die Kantenlängen a und b enthalten. Diese beiden Umfangformeln bilden ein Gleichungssystem, das gelöst werden kann. a lange Rechteckseite b kurze Rechteckseite 2a2b=40 Umfang des alten Rechtecks 2 2a2b=64 Umfang des neuen Rechtecks 2a2b=40 4a2b=64 a=2 b=8

6 4. Ein Rechteck hat den Umfang 75cm. Eine Seite ist 3cm länger als die benachbarte Seite. Berechne die Seitenlängen. Auch hier kann eine Skizze hilfreich sein. Es sollen wieder die Seitenlängen des Rechtecks bestimmt werden, also werden die Variablen a und b für die beiden Seitenlängen reserviert. Die Kantenlänge a soll die um 3cm längere Kante sein. Wenn die kurze Kante also b ist und a um 3cm länger sein soll, dann ergibt sich, dass b+3cm=a sein muss. Diese Gleichung beschreibt also den Zusammenhang zwischen den Kantenlängen des Rechtecks und liefert damit die erste Gleichung des Gleichungssystems. Die zweite Gleichung kann über die Aussage zum Umfang des Rechtecks aufgestellt werden. a lange Rechteckseite b kurze Rechteckseite 2a2b=75 Umfang des Rechtecks a=b3 Dielange Seite aist 3cm länger als b 2a2b=75 a=b3 a=25,25 b=2,25 5. Lena und Lisa sind zusammen 34 Jahre alt. Lisa ist 6 Jahre jünger als Lena. Wie alt ist Lena, wie alt ist Lisa? Es soll das Alter von Lena und Lisa berechnet werden, also legen wir zuerst zwei Variablen für die beiden gesuchten Größen fest. Das Alter von Lena soll x Jahre sein und das Alter von Lisa y Jahre. Im Text sind nun zwei Aussagen über das Alter der beiden enthalten. Die erste Aussage lautet: Lena und Lisa sind zusammen 34 Jahre alt. Beide zusammen sollen 34Jahre alt sein, also lautet die erste Gleichung x+y=34, denn die beiden Alter x und y sollen ja zusammen diesen Wert ergeben. Die zweite Aussage lautet: Lisa ist 6 Jahre jünger als Lena. Um das Alter y von Lisa zu erhalten, müssen wir also von Lenas Alter x die 6 Jahre abziehen, also y=x-6. Genauso gut könnten wir auch sagen, zu Lisas Alter y müssen wir 6Jahre dazuzählen, um Lenas Alter x zu erhalten. Die Gleichung würde dann x=y+6 lauten. Beide Gleichungen sind äquivalent zueinander und welche man letztendlich im Gleichungssystem verwendet, ist egal. x Alter von Lena y Alter von Lisa xy=34 zusammen34jahre alt y=x 6 Lisaist 6 Jahre jünger als Lena x y=34 y=x 6 x=20 y=4 6. Eine alte chinesische Aufgabe: In einem Käfig befinden sich insgesamt 35 Hühner und Kaninchen. Zusammen haben sie 94 Beine. Wie viele Kaninchen, wie viele Hühner sind im Käfig? Es wird nach der Anzahl der Hühner und der Anzahl der Kaninchen gefragt. Wir legen also wieder zwei Variablen fest, die diesen gesuchten Größen entsprechen sollen. Die Anzahl der Hühner soll h sein und k die Anzahl der Kaninchen. Es werden wieder zwei Aussagen getroffen. Die erste Aussage lautet: In einem Käfig befinden sich insgesamt 35 Hühner und Kaninchen. Die Gesamtzahl an Hühnern und Kaninchen soll 35 sein, also muss die Summe der noch unbakannten Anzahlen der Hühner h und Kaninchen k zusammen 35 ergeben. Die erste Gleichung lautet also h+k=35. Die zweite Aussage lautet: Zusammen haben sie 94 Beine. Wenn die Hühner und Kaninchen nicht behindert oder invalid sind, kann man davon ausgehen, das jedes Huhn 2 Beine und jedes Kaninchen 4 Beine hat. Alle Hühner zusammen müssen also 2*h Beine besitzen, denn wenn man die Anzahl der Hühner mit zwei multipliziert, ergibt sich die Anzahl der Beine aller Hühner. Für die Kaninchen gilt das ähnlich, sie müssen zusammen 4*k Beine haben. Diese Anzahlen zusammen sollen 94 ergeben, also lautet die zweite Gleichung 2h+4k=94. h Anzahl der Hühner k Anzahl der Kaninchen hk=35 Gesamtanzahl der Tiere 2h4k=94 Gesamtzahl der Beine 2h4k=94 hk=34 h=23 k =2

7 7. Die Kosten für eine Taxifahrt setzen sich aus einer Grundgebühr und den Kosten für die gefahrenen Kilometer zusammen. Ein Fahrgast zahlt für eine 7km lange Taxifahrt 8,40. Die Rückfahrt ist wegen eines Umweges 0km lang und kostet,25. Berechne die Kosten pro km und die Grundgebühr. Die gesuchten Größen werden wieder mit Variablen beschrieben. G soll die Grundgebühr in Euro sein und K der Preis pro gefahrenen Kilometer. Im Text werden nun zwei Fahren beschrieben, die wieder durch Gleichungen dargestellt werden. Die erste Aussage lautet: Ein Fahrgast zahlt für eine 7km lange Taxifahrt 8,40. Der Fahrgast hat also den Grundpreis G bezahlt und für jeden gefahrenen Kilometer den Preis K. Für die gefahrenen 7 Kilometer ergibt sich damit ein Preis von 7*K und dazu noch der Grundpreis G, also 7*K+G und das waren insgesamt Die erste Gleichung lautet also 7*K+G=8,40. Die zweite aussage lautet: Die Rückfahrt ist wegen eines Umweges 0km lang und kostet,25. Diese Fahrt war also teurer, da eine längere Strecke gefahren wurde. der Preis ergibt sich also aus dem Preis für 0 gefahrene kilometer, also 0*K plus die Grundgebühr G. Die zweite Gleichung lautet also 0*K+G=,25. G Grundgebühr K Kosten pro Kilometer G7 K =8,4 Preis der ersten Fahrt G0 K =,25 Preis der zweiten Fahrt G0K=,25 G7K=8,4 G=,75 K=0,95 8. Fuhrunternehmer Renner hat zur Finanzierung seiner Fahrzeuge zwei Darlehen aufgenommen. Sie betragen zusammen Das erste Darlehen ist mit 8%, das zweite mit 9% zu verzinsen. Die Zinsen belaufen sich in einem Jahr auf Wie hoch ist jedes Darlehen? Berechnet werden soll die Höhe der beiden Darlehen, also legen wir wieder zwei Variablen fest. K soll die Höhe des Darlehens mit dem kleineren Zinssatz von 8% und H die Höhe des Darlehens mit dem höheren Zinssatz von 9% sein. Die beiden Aussagen im Text beziehen sich nun auf die Gesamtsumme und die insgesamt zu zahlenden Zinsen in einem Jahr. Die erste Aussage lautet: Sie betragen zusammen Die beiden Darlehen in Höhe von K Euro und H Euro betragen also zusammen Die erste Gleichung lautet damit K+H= Die zweite Aussage lautet: Die Zinsen belaufen sich in einem Jahr auf Die Zinsen für beide Darlehen zusammen betragen also Wir kennen aber die Zinsen noch nicht, da die Kreditbeträge K und H noch unbekannt sind, wir müssen sie also durch Terme ausdrücken. Schauen wir uns das für den ersten kredit K mit einem Zinssatz von 8% an. Wenn die Bank nach einem Jahr die Zinsen Z K für diesen Kredit berechnet, dann entspricht die Kreditsumme K 00%, von denen 8% berechnet werden müssen, also K 00 % Z K 8% K = 00 % Z K 8% Z K= 8% K 00 % = 8 stel der Kreditsumme. Ähnliches gilt für den anderen Kredit, die Zinsen betragen hier 00 K=0,08 K. Die Zinsen für den Kredit sind also 9 00 stel der Kreditsumme H, also i 9 H =0,09 H. Diese Zinsen zusammen müssen 2500 ergeben, also 0,08K+0,09H= K Darlehenssumme mit dem kleinen Zinssatz 8 % H Darlehenssumme mit dem hohen Zinssatz 9 % K H =50000 gesamte Darlehenssumme 8 00 K 9 00 H =2500 Summe der Zinsen K H = ,08 K 0,09 H =2500 K =00000 H =

8 9. Aus Schokoladenkeksen und Butterkeksen soll eine Keksmischung hergestellt werden. kg Schokoladenkekse kostet 0, kg Butterkekse 7. Beim Mischen sollen die Mengen so gewählt werden, dass kg der Keksmischung 9 kostet. Wie viel kg jeder Kekssorte braucht man zur Herstellung von 2kg Keksmischung? Gesucht sind die benötigten Mengen an Schokokeksen S und Butterkeksen K in Kilogramm. Es sollen insgesamt 2kg von der Mischung hergestellt werden, allso müssen die Mengen S der Schokokekse und B der Butterkekse zusammen 2kg ergeben. Die erste Gleichung lautet also S+B=2. Die Mischung soll einen Preis von 9 pro Kilogramm besitzen. Die 2kg Mischung muss also einen Gesamtpreis von 9 *2=08 haben. Da die Mischung S Kilogramm Schokokekse enthält und jedes Kilogramm Schokokekse 0 kostst, beträgt der Preis für die Schokokekse in der Mischung 0 *S. Für die Butterkekse gilt das ähnlich. die Mischung enthält B Kilogramm und jedes Kilo kostet 7, also kosten die Butterkekse in der Mischung 7 *B. Die Preise für die Schoko- und Butterlkekse in der Mischung müssen nun zusammen den geforderten Gesamtpreis der Mischung von 9 *2=08 ergeben. Die zweite Gleichung lautet also 0*S+7*B=9*2. S Menge der Schokokekse inkg B Menge der Butterkekse in kg SB=2 SB=2 Gesamtmenge an Keksmischung 0S7B=08 S=8 B=4 0S7B=2 9 Gesamtpreis der Keksmischung 0. In einem Labor sollen 000ml einer 30%igen Natronlauge durch Mischen einer 0%igen und einer 60%igen hergestellt werden. Wie viel ml der 0%igen, wie viel ml der 60%igen Natronlauge werden benötigt? Gesucht sind die Menge an 0%iger Lauge Z in Milliliter und die Menge an 60%iger Lauge S in Milliliter. Beide Mengen zusammen sollen 000ml ergeben, also lautet die erste Gleichung Z+S=000. Die neue Lauge soll 30%ig sein, das bedeutet, von den 000ml sind 30% Natriumhydoxid und der Rest ist Wasser. Die Lauge enthält also 300ml Natriumhydroxid und diese Menge muss aus den beiden Ausgangslaugen stammen. Da die erste Lauge 0%ig ist, sind 0% der Laugenmenge Z Natriumhydroxid, also 0 Z =0, Z. 00 In der anderen Lauge beträgt der Anteil 60%, also von der Laugenmenge S sind S=0,6 S natriumhydroxid. Beide Mengen zusammen müssen 300ml Natriumhydroxid ergeben, also 0,*Z+0,6*S=300. Z Menge der 0 %igen Lauge S Menge der 60 %igen Lauge Z S=000 Gesamtmenge an30 %iger Lauge 0 00 Z S= Mengen an NaOH inden Laugen Z S=000 0,Z0,6 S=300 Z =600 S=400

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