Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungen

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1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungen. Bestimme rechnerisch und grafisch die Lösungsmenge L der folgenden Gleichungssysteme. a) b) c) I. x y I. 5y (x ) 5 II. x y II. x y I. 5y (x ) 5 II. x y I. y x II. y x III. x x 5 5 x y 5 L {( / 5)} I. x y II. x y I. y x II. y x III. x x x y L {( /)} I. x : y : II. x y I. x : y : II. x y I. y x II. y x III. x x x y L /. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. Welche Bedingungen müssen gelten, damit die Nenner der Brüche nicht den Wert 0 annehmen und damit bei den Äquivalenzumformungen nicht durch Null dividiert wird? a) b) c) I. ax by ab I. x y b x y I. II. ax by ab II. ax by a² b² a b x y b II. a b L {(x / y) x b y a} Lösung a) a 0 b 0 Lösung b) L {(x / y) x a b y a b} a b 0 (b 0 a 0) L {(x / y) x a y b} Lösung c) a 0 b 0

2 . Addiert man zum Zähler eines Bruches die Zahl und zum Nenner die Zahl, so ist sein Wert. Subtrahiert man jedoch vom Zähler des ursprünglichen Bruches die Zahl 5 und von seinem Nenner die Zahl, so ist sein Wert 5 7. Wie heißt der Bruch? x sei der ursprüngliche Bruch y I. II. x y x 5 5 y 7 L {(5 / 5)} 5 ist der ursprüngliche Bruch. 5. Bei einem Vergleich verhalten sich die Forderungen zweier Gläubiger A und B 7 wie :. Nachdem bei A 00 und bei B 600 gestrichen wurden, verhalten sich die Forderungen wie :. Wie hoch waren die ursprünglichen For- 5 0 derungen? Forderung A: x Forderung B: y 7 I. x : y : 5 0 II. (x 00) : (y 600) : x 00 y 700 A hatte eine Forderung über 00, B hatte eine Forderung über Ein Kaufmann mischt 50 kg Jamaikakaffee mit 0 kg Guatemalakaffee und verkauft die Mischung mit einem Zuschlag von 57,50 zum Kilopreis von 8,50. Ein anderes Mal mischt er 0 kg Jamaikakaffee und 0 kg Guatemalakaffee und verkauft die Mischung mit einem Zuschlag von 60 zum Kilopreis von 9. Wie viel bezahlte er beim Einkauf für kg Jamaikakaffee und für kg Guatemalakaffee? Einkaufspreis je kg Jamaikakaffee: x Einkaufspreis je kg Guatemalakaffee: y I. 50x 0y 80 8,50 57,50 II. 0x 0y L = { (7,5/8,5) } 7,5 pro kg für Jamaikakaffee, 8,5 kg pro kg für Guatemalakaffee.

3 6. Ein Kaufmann bestellte 60 Flaschen Apfelsaft und 0 Flaschen Traubensaft zum Gesamtpreis von 78. Da der Preis für eine Flasche um 0,0 und für eine Flasche Traubensaft um 0,0 gesenkt wurde, erhielt er für den gleichen Betrag 70 Flaschen Apfelsaft und 50 Flaschen Traubensaft geliefert. Wie viel kostete ursprünglich eine Flasche Apfelsaft und wie viel eine Flasche Traubensaft? ursprünglicher Preis je Flasche A: x ursprünglicher Preis je Flasche T: y I. 60x 0y 78 II. 70(x 0,) 50(y 0,) 78 L {(0,5 /,)} ursprünglicher Preis je Flasche Apfelsaft: 0,50 ursprünglicher Preis je Flasche Traubensaft:,0 7. Ein Antiquitätenhändler ersteigert aus einem Nachlass zwei antike Schränke. Er bezahlt für beide zusammen 800. Den einen Schrank verkauft er mit 5% Preisaufschlag, den anderen mit 5% Aufschlag. Der Verkaufspreis ist für beide Schränke zusammen 68 als der Einkaufspreis. Wie viele hat der Händler für jeden der beiden Schränke bezahlt? Einkaufspreis. Schrank: x Einkaufspreis. Schrank: y I. x y 800 II. (x 0,5x) (y 0,5y) x 80 y 0 Der erste Schrank kostete 80, der zweite Zwei Darlehen verhalten sich wie :. Das erste Darlehen wird zu 7%, das zweite zu 6% ausgeliehen. Wie groß sind die Darlehen, wenn die vierteljährlichen Zinsen insgesamt 60 betragen? Erstes Darlehen: x Zweites Darlehen: y I. x : y : x 7 y 6 II L {(6000 /000)} erstes Darlehen 000 zweites Darlehen

4 9. Ein Kaufmann erhält für ein von ihm gewährtes Darlehen jährlich 880 Zinsen. Hätte er den Darlehensvertrag um 000 erhöht, würden ihm jährlich 70 Zinsen mehr zufließen. a) Welcher Darlehensvertrag war gewährt worden? b) Wie hoch war der Zinssatz? ursprüngliches Darlehen: x Zinsfuß: y x y I (x 000) y II L {(000 / 9) Das ursprüngliche Darlehen war 000 ; der Zinsfuß betrug 9%. 0. Ein Kapital brachte in 5 Tagen 89 Zinsen. Wäre der Zinssatz % niedriger gewesen, so hätten die Zinsen in der gleichen Zeit 7 weniger betragen. Berechne das Kapital und den ursprünglichen Zinssatz. Kapital: x ursprünglicher Zinsfuß: y% x y 5 I x (y ) 5 II Kapital: 7 00, 7% ursprünglicher Zinsfuß. Frau Behrend hat Kapitalien zu %, 5% und 6% ausgeliehen. Die Jahreszinsen des ersten und zweiten betragen zusammen 0, die des zweiten und dritten zusammen 70 und die des ersten und dritten zusammen 80. Wie groß sind die Kapitalien? Erstes Kapital: x Zweites Kapital: y Drittes Kapital: z I. x y II. y 5 z III. x z L {(000 / 5000 / 000)} Erstes Kapital: 000 ; zweites Kapital: 5000 ; drittes Kapital: 000.

5 . Ein Bauherr nimmt für die Erstellung eines Reihenhauses bei seiner Hausbank ein Darlehen von und bei seiner Bausparkasse ein Darlehen von auf und zahlt im ersten Jahr insgesamt Zinsen. Am Ende des Jahres muss er für die Anlage seines Gartens bei seiner Bank noch ein Darlehen von aufnehmen, so dass er im nächsten Jahr trotz einer Senkung des Zinssatzes um 0,5% bei seiner Bank und gleichbleibendem Zinssatz bei der Bausparkasse Zinsen zahlen muss. Welche Zinssätze fordern Hausbank und Bausparkasse? Zinsfuß bei H: x Zinsfuß bei B: y x y I (x 0,5) y II L {(7,5 / 5)} Im ersten Jahr: 7,5% bei H und 5% bei B. Im zweiten Jahr: 7,5% bei H und 5% bei B.. Eine Autovermietung hat für die Bereitstellung eines Personenwagens der Mittelklasse folgende Tarife zur Auswahl: Tarif I: 5 tägliche Grundgebühr und 0,5 je km. Tarif II: 0 tägliche Grundgebühr und 0,60 je km. a) Stelle für jeden Tarif die Funktionsgleichung auf, wobei die Fahrtstrecke mit x km und die täglichen Kosten mit y angesetzt werden. b) Zeichne den Grafen beider Funktionen in ein Achsenkreuz ( cm 0 km Fahrtstrecke; cm 0 Kosten). c) Lies aus der Zeichnung ab, bei welcher Fahrtstrecke beide Tarife gleiche Kosten ergeben. In welchem Bereich ist Tarif I bzw. Tarif II günstiger? d) Wie hängt die Preisdifferenz k der beiden Tarife von der Fahrtstrecke x ab? Bestimme die Funktionsgleichung. Lösung a) I. y 0,5x 5 II. y 0,60x 0 Lösung b) x y = 0,5x + 5 y 5 90,5 y = 0,60x + 0 y S(00/90) Lösung c) Bei 00 km Fahrtstrecke sind die Kosten nach beiden Tarifen gleich groß, nämlich 90. Unter 00 km ist Tarif II günstiger, über 00 km Tarif I. Lösung d) k = 0,5x + 5 (für Differenz Tarif I Tarif II)

6 . Ein Reisender hat die Wahl zwischen zwei Verträgen: Vertrag A: 000 festes Gehalt + 8% Provision vom Umsatz Vertrag B: 600 festes Gehalt + 5% Provision vom Umsatz a) Stelle die zugehörigen Funktionsgleichungen auf, wenn der Umsatz mit x und das Einkommen des Reisenden mit y angesetzt wird. b) Zeichne die Funktionsgrafen in ein Koordinatensystem (I. Quadrant), dessen positive x Achse mindestens 5 cm und dessen positive y Achse mindestens cm lang sein soll. ( cm 000 Umsatz; cm 00 Einkommen) c) Bei welchem Umsatz sind beide Verträge gleich günstig? In welchem Bereich ist Vertrag A günstiger, in welchem Vertrag B? Lösung a) I. y 0,08x 000 II. y 0,05x 600 Lösung b) x y = 0,8x y y = 0,05x y S(0 000/ 600) Lösung c) Bei Umsatz beträgt nach beiden Verträgen das Einkommen 600. Vertrag A ist bei mehr als Umsatz günstiger, Vertrag B bei weniger als Umsatz 5. Eine Maschine I wird für angeschafft. Sie soll jährlich mit 6 % vom Anschaffungswert abgeschrieben werden. Eine Maschine II wird für angeschafft und soll jährlich mit,5% abgeschrieben werden. a) Stelle die Funktionsgleichungen (y Buchwert nach x Jahren) auf und zeichne den Grafen des Gleichungssystems ( Jahr cm; 000 cm). b) Nach wie vielen Jahren haben die beiden Maschinen denselben Buchwert? c) Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssystems rechnerisch. d) Nach wie vielen Jahren hätten die beiden Maschinen denselben Buchwert, wenn Maschine II nicht mit,5%, sondern auch mit 6 % vom Anschaffungswert (0 000 ) abgeschrieben worden wäre? I. y 500x 5000 a) II. y 50x 0000 x 0 6 y = 500x y y = 50x y b) Nach Jahren haben beide Maschinen den Buchwert c) 500x = 50x d) L = {(/5000)} x 5000 x 0000 x 6 y 0 L {(6/0)} Nach 6 Jahren haben beide Maschinen den Buchwert 0.

7 6. Die fixen Kosten eines Industriebetriebes betragen monatlich Die variablen Kosten von 80 je Stück verlaufen proportional. Die Erzeugnisse können zu 0 je Stück abgesetzt werden. a) Bestimme die Funktionsgleichungen für die Kosten und Ertragsgeraden. b) Ermittle rechnerisch und zeichnerisch, bei welcher Fertigungsmenge der Gesamtertrag die Gesamtkosten übersteigt. c) Berechne, wie viele Stück mindestens produziert werden müssen, damit der Gesamtgewinn übersteigt. Maßstab: cm; 000 Stück cm I. y 80x a) II. y 0x b) x y = 80x y y = 0x y x 80x x 9000 y Bei mehr als Stück Fertigungsmenge übersteigt der Gesamtertrag die Gesamtkosten. c) 0x (80x 60000) x 500 Bei einer Produktionsmenge von mehr als 500 Stück übersteigt der Gesamtgewinn