Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen Definition Eigenschaften Steigungsdreieck 3

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1 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen Definition Eigenschaften Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen Definition Eigenschaften Anleitung zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion Lage der Geraden zueinander 5 5 Probe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt 5 6 Gerade durch zwei Punkte 5 7 Übungen - Teil I Graphen zeichnen; Lage beschreiben weitere Aufgaben zur Übung Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c Seite 74 - Aufgabe Seite 74 - Aufgabe Seite 78 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 91 - Aufgabe Lösungsskizzen (Graphen zeichnen; Lage beschreiben) Lösungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Übung Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c Seite 74 - Aufgabe Seite 74 - Aufgabe Seite 78 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 91 - Aufgabe

2 8 Geraden durch Punktwolken 11 9 Schnittpunkte von zwei Geraden zwei Handy-Verträge Schnitt von Geraden Beispiel-Aufgabe: Schnitt von Geraden Übungen - Teil II Seite Aufgabe Seite Aufgabe Seite Aufgabe Lösungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Übung Seite Aufgabe Seite Aufgabe Seite Aufgabe Achtung! die Lösungen sind z.t. wirklich nur Lösungsskizzen und keine vollständigen Lösungen! Falls ihr Fehler entdeckt: Bitte schicht mie eine Mail (friedrich@hattendoerfer.de) 2

3 1 Proportionale Funktionen 1.1 Definition Eine Zuordnung mit der Funktionsgleichung y = m x (1) heißt eine proportionale Funktion. Die Definitionsmenge ist Q m heißt sowohl Proportionalitätsfaktor, als auch Steigung. 1.2 Eigenschaften Proportionale Funktionen erkennt man an einer der folgenden Eigenschaften: die Funktionsgleichung lautet : f(x) = y = m x der Graph ist eine Ursprungsgerade wenn man den x-wert verdoppelt (verdreifacht,..., halbiert, drittelt,... usw), so wird auch der y-wert verdoppelt (verdreifacht,..., halbiert, drittelt,... usw). hat im- zusammengehörende Wertepaare sind quotientengleich, d.h. y x mer den gleichen Wert m 2 Steigungsdreieck Die Gerade zu der Funktion mit der Gleichung x = m x steigt, wenn m positiv ist fällt, wenn m negativ ist ist steiler als die Winkelhalbierende des Quadranten. wenn m > 1 ist. ist flacher als die Winkelhalbierende des Quadranten. wenn m < 1 ist. Man nennt m die Steigung der Geraden. Die Steigung kann man mit Hilfe der Steigungsdreiecks berechnen: m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 (2) Die Koordinaten sind die von zwei (gegebenen oder abgelesenen) Punkten 3

4 3 Lineare Funktionen 3.1 Definition Eine Zuordnung mit der Funktionsgleichung y = m x + b (3) heißt eine lineare Funktion. Die Definitionsmenge ist Q m heißt Steigung, b heißt Achsenabschnitt (auch y-achsenabschnitt) 3.2 Eigenschaften Lineare Funktionen erkennt man an einer der folgenden Eigenschaften: die Funktionsgleichung lautet : f(x) = y = m x + b der Graph ist eine Gerade die Gerade schneidet die y-achse im Punkt P (0 b) wenn x um 1 vergrößert (verkleinert) wird, vergrößert (verkleinert) sich y um m 3.3 Anleitung zum Zeichnen des Graphen einer linearen Funktion Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = y = m x + b (Beispiel: m = 3 2 und b = 2, also f(x) = y = 3 2 x 2) Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt; es reicht also zwei Punkte zu ermitteln. Der Punkt P 1 (0 b) (im Beispiel: P (0 2)) liegt auf dem Graphen vom Punkt P 1 (0 b) gehen wir eine Einheit nach rechts und m Einheiten nach oben und erhalten einen zweiten Punkt (im Beispiel: P 2 (1 0.5)) Wir zeichnen die Gerade durch diese beiden Punkte. Anmerkungen wenn m negativ ist gehen wir eine Einheit nach rechts und m Einheiten nach unten. meist liegen P 1 und P 2 so dicht zusammen, dass sich die Gerade in der Praxis nur recht ungenau zeichnen lässt. Man wiederholt das Verfahren mit dem Steigungsdreieck mehrmals (im Beispiel: P 3 (2 1); P 4 (3 2, 5) 4

5 4 Lage der Geraden zueinander Zwei Geraden können: parallel sein: Man erkennt dies daran, dass m bei beiden gleich ist. identisch sein : m und b sind gleich sich schneiden: die beiden Funktionsgleichungen haben verschiedene Werte von m Anmerkung: Ist nur b gleich, so ist P (0 b) der Schnittpunkt. 5 Probe, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt Um zu prüfen, ob der Punkt P 1 (x 1 y 1 ) auf der Geraden mit der Gleichung y = m x + b liegt, setzen wir x 1 und y 1 ein, und prüfen, ob y 1 = m x 1 + b ist. Beispiel: Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung y = 2 3 x + 4. Teste, ob die Punkte P 1 ( 9 2) und P 2 (3 5) auf der Geraden liegen! P 1 : 2 3 ( 9) + 4 = = 2 P 2 : = = 6 5 P 1 liegt auf der Geraden, P 2 nicht 6 Gerade durch zwei Punkte Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Wenn die Koordinaten der beiden Punkte P 1 (x 1 y 1 ) und P 2 (x 2 y 2 ) bekannt sind, kann man die zugehörige Funktionsgleichung rechnerisch bestimmen. (Beispiele: Die Gerade g p ist durch die Punkte P 1 ( 3 3) und P 2 (4 11), die Gerade g p durch die Punkte Q 1 ( 3 2) und Q 2 (4 2) gegeben 1. Schritt: Bestimmung der Steigung m Die Steigung wird durch m = y 2 y 1 x 2 x 1 (4) bestimmt. 11 ( 3) g p : m = 4 ( 3) = 14 7 = 2 g q : m = ( 3) = Schritt: Bestimmung des Achsenabschnittes b Der für m ermittelte Wert und die Koordinaten eines Punktes werden in die Funktionsgleichung eingesetzt. in dieser ist dann nur noch b unbekannt. Sie wird nach b aufgelöst. g p : (mit P 2 ) 11 = b 11 = 8 + b b = 3 g q : (mit Q 1 ) 2 = 4 7 ( 3) + b 2 = b b = = 2 7 also: g p : y = 2x + 3 g q : y = 4 7 x

6 7 Übungen - Teil I 7.1 Graphen zeichnen; Lage beschreiben Jede der Gleichungen beschreibt eine lineare Funktion. Zeichne jeweils die beiden Graphen in ein Koordinatensystem und beschreibe ihre Lage zueinander! 1. g 1 : y = 2 3 x 2 g 2 : y = 3 2 x 2 2. g 1 : 2y 4x = 8 g 2 : y = 2x g 1 : y = 5 3 x + 3 g 2 : y = 4 3 x g 1 : 2y = 3x + 3 g 2 : 4y = 6x weitere Aufgaben zur Übung Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c Seite 74 - Aufgabe Seite 74 - Aufgabe Seite 78 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe Seite 91 - Aufgabe Lösungsskizzen (Graphen zeichnen; Lage beschreiben) Verschiedene Steigung; gleicher Achsenabschnitt; Schnittpunkt S(0 2) Punkte auf g 1 : ( 6 6); (0 2); (3 0); (6 2) Punkte auf g 2 : ( 4 8); (0 2); (1 1 0) ;(6 7) Die Gleichung zu g 1 sollte zuerst in die Normalform gebracht werden: g 1 : 2y 4x = 8 y 2x = 4 y = 2x + 4 g 2 : y = 2x + 3 Gleiche Steigung; verschiedene Achsenabschnitte; keine gemeinsamen Punkte Punkte auf g 1 : ( 6 8); ( 2 0);(0 4); (2 8) Punkte auf g 2 : ( 6 9); ( 2 0);(0 3); (2 7) 3 6

7 7.1.3 Verschiedene Steigung; gleicher Achsenabschnitt; Schnittpunkt S(0 3) Punkte auf g 1 : ( 3 8); (0 3); (1 4 0); (6 7) 5 Punkte auf g 2 : ( 3 7); (0 3); (2 1 0); (6 5) Die Gleichungen sollten zuerst in die Normalform gebracht werden: g 1 : 2y = 3x + 3 y = 3 2 x g 2 : 4y = 6x + 3 y = 3 2 x Gleiche Steigung; verschiedene Achsenabschnitte; keine gemeinsamen Punkte Punkte auf g 1 : ( 5 6); ( 1 0);(0 3 ); (5 9) 2 Punkte auf g 2 : ( ); ( 1 2 0);(0 3 4 ); (31 2 6) 7.2 Lösungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Übung Lösungen zu den folgenden Aufgaben werde ich hier am Sonnabend einstellen Seite 69 - Aufgabe 9a; 9c Aufgabe 9a: Für alle Wertepaare gilt: y = 1, 2 Die Wertetabelle gehört zu einer proportionalen Funktion. Die Funktionsgleichung lautet: y = 1, 2 x x Aufgabe 9c: y x x y 4 3,2 0,8 3 2,4 0,8 2 1,6 0,8 1 0,4 0,4 Nicht alle Wertepaare sind quotientengleich; es liegt keine proportionale Funktion vor. Daran ändert auch nichts, dass fast alle gleich sind; es müssen wirklich alle gleich sein. 7

8 7.2.2 Seite 74 - Aufgabe 9 Abbildung 1: Seite 74 - Aufgabe 9 (die in den Aufgaben angegebenen Stücke sind dicker gezeichnet) Seite 74 - Aufgabe 12 a: y = 1 x Bereiche A und E 2 b: y = 2 x Bereiche C und G c: y = 2 x Bereiche B und F d: y = 3 x Bereiche D und H 4 8

9 7.2.4 Seite 78 - Aufgabe 5 Als Hilfsmittel stelle ich zuerst die Wertetabelle auf: t in h ,5 l in cm 21 19,8 18,6 17, ,6 9 6,6 3 0,6 0 Abbildung 2: Seite 78 - Aufgabe 5 b: y = 21 1, 2 y = 1, 2 x + 21 c: entweder dem Graphen entnehmen: 15 cm [12 cm; 6 cm] oder mit der Funktionsgleichung berechnen: f(5h) = 1, 2 5cm = 15cm f(5h) = 1, 2 7, 5cm = 12cm f(5h) = 1, 2 12, 5cm = 6cm d:entweder dem Graphen entnehmen: 14,3 Stunden oder mit Hilfe der Funktionsgleichung: 3, 8 = 1, 2 x , 2x 3, 8 1, 2x = 17, 2 : 1, 2 x = 14, 3 e:entweder dem Graphen entnehmen: 17,5 Stunden oder mit Hilfe der Funktionsgleichung: 0 = 1, 2 x , 2x 1, 2x = 21 : 1, 2 x = 17, Seite 81 - Aufgabe 24 Im rechtwinkligen Dreieck ist - wie auch in jeden anderen Dreieck - die Winkelsumme 180. Sei o.b.d.a. γ der rechte Winkel. Dann ist: 9

10 α + β + 90 = 180 (5) α + β = 90 (6) α = β + 90 (7) (8) Abbildung 3: Seite 81 - Aufgabe Seite 81 - Aufgabe 27 a: verschiedene Steigungen - schneiden sich b: 2y + 3x = 4 y = 3 x 2; 3y + 4, 5x = 21 y = 1, 5x gleiche Steigung; Achsenabschnitt verschieden; parallel c: y x = 19 y = x 19; y 1 3 x = 15 y = 1 3 x + 15 verschiedene Steigungen - schneiden sich d: 1, 5y + x = 0, y = x y = 2 3 x ; 3y = 1 2x y = x gleiche Steigung; Achsenabschnitt gleich; identisch Seite 81 - Aufgabe 28 a: y = 3x + 2 b: y = mx 6 mit m < 0, also z.b. y = 7x 6 c: zuerst muss ich den Abschnitt auf der x -Achse bestimmen: 0 = 3x 6 6 = 3x x = 2 nun muss gelten: 0 = m 2 + b b = 2m oder m = b 2 man kann entweder m oder aber b vorgeben. falls wir m vorgeben: y = m x 2m, also z.b. (für m=2) y = 2x 4 falls wir b vorgeben: y = b x + b, also z.b. (für b=2) y = x

11 7.2.8 Seite 91 - Aufgabe 4 Man sieht an der Graphik, dass es eine Gerade durch den ersten, den dritte und den vierten Punkt gibt. Der zweite Punkt liegt nicht auf ihr. Um die Gleichung der Geraden zu bestimmen wähle ich den ersten und den vierten Punkt (vgl. Seite 89). m = y 4 y 1 238, 6 271, 1 = x 4 x = 12, 5 5 = 2, 5 (9) Diesen Wert setze ich ein: y 1 = 2, 5 x 1 + b (10) 271, 1 = 2, b (11) b = 18, 6 (12) Die Gerade hat also die Gleichung: y = 2, 5x + 18, 6. Setze ich hier für x den Wert x 2 = 102, 4 ein, so erhalte ich y 2 = 274, 6. 8 Geraden durch Punktwolken In der letzten Übungsaufgabe hatten wir den Fall, dass ein Punkt durch einen Abschreibefehler nicht auf der Geraden lag. In der Praxis ist es meist so, dass bei Experimenten die Werte nur ungefähr eine Gerade beschreiben, und eine möglichst gut passende Gerade gefunden werden muss. Ein Beispiel dazu findest Du in der Einstiegsaufgabe auf Seite 90. Graphisch ergibt sich - etwa - folgendes: Zuerst werden die Punkte zu den Messwerten (rot) eingetragen; dann zeichnet man die Ausgleichsgerade (blau). Auf ihr wurden zwei Punkte (grün) markiert, die möglichst weit auseinander liegen. Diese Punkte haben die Koordinaten P 1 (16 90) und P 2 (31 210). Damit errechnet man die Gleichung der Geraden: m = y 2 y = x 2 x = = 8 (13) 11

12 Diesen Wert setze ich ein: y 1 = 8 x 1 + b (14) 90 = b (15) b = 38 (16) y = 8x 38 (17) Anmerkung : eine richtige Regressionsanalyse liefert: y = 7, 93x 36, 56 (18) 9 Schnittpunkte von zwei Geraden 9.1 zwei Handy-Verträge Claudia hat die Auswahl zwischen zwei Handy-Verträgen. Beim Hobby-Tarif zahlt sie 9,95 Grundgebühr sowie 12 cent für die Minute; Im Profi-Tarif 29,95 bzw. 0,08. Bei wie viel Minuten zahlt sie das gleiche? Beide Tarife lassen sich durch lineare Gleichungen beschreiben: Hobby-Tarif: p h = 0, 12 m + 9, 95 (19) Profi-Tarif: p p = 0, 09 m + 29, 95 (20) Wenn Claudia bei beiden Tarifen das gleiche bezahlt, ist p h = p p ; die linken Seiten der beiden Gleichungen sind gleich. Dann müssen auch die rechten Seiten gleich sein: 12

13 0, 12 m + 9, 95 = 0, 09 m + 29, 95 0, 09 m 9, 95 (21) 0, 03 m = 20, 00 : 0, 03 (22) m = 666, 6 (23) Bei 666, 6 Minuten (11 h 6 2/3 min) muss man bei beiden Tarifen das gleiche bezahlen. Um zu ermitteln, wie viel sie dann zahlt setzen wir m in die beiden Anfangsgleichungen ein: p h = 0, , 6 + 9, 95 = 89, 95 (24) p p = 0, , , 95 = 89, 95 (25) Der letzte Schritt ist bereits die Probe. Da wir für beide Tarife die gleichen Kosten berechnet haben, muss m richtig bestimmt worden sein. 9.2 Schnitt von Geraden Gleichwertig zur obigen Aufgabe ist die Frage, in welchem Punkt sich die beiden zu den Gleichungen gehörigen Geraden schneiden. Hier ist offensichtlich, das die graphischen Lösung zwar anschaulicher ist, aber nur ein ungefähres Ergebnis liefern kann, während die rechnerische Lösung ein exaktes Ergebnis liefert. 9.3 Beispiel-Aufgabe: Schnitt von Geraden Gesucht ist der Schnittpunkt zu den Geraden mit den Gleichungen: g 1 : y = 3x 2 (26) g 2 : y = 1 2 x + 3 (27) Auch diese Aufgabe lösen wir graphisch und rechnerisch: 13

14 3x 2 = 1 2 x (28) 6x 4 = x + 4 x + 6 (29) 5x = 10 : 5 (30) x = 2 (31) y 1 = = 6 2 = 4 (32) y 2 = = = 4 (33) 9.4 Übungen - Teil II Seite Aufgabe Seite Aufgabe Seite Aufgabe Lösungsskizzen zu den weiteren Aufgaben zur Übung Lösungen zu den folgenden Aufgaben werde ich hier am Sonnabend einstellen. 14

15 9.5.1 Seite Aufgabe 10 a) y 2x = 0 y = 2x; 2y 6 = 2x y = x + 3 Stefan hat bei der Geraden zur ersten Gleichnung das Vorzeichen der Steigung falsch L = {(3 6)} b) y + x = 4 y = x + 4; 2y 4x = 2 y = 2x + 1 Stefan hat bei der Geraden zur zweiten Gleichnung den Achsenabschnitt falsch (Vermutung: nicht alle Terme durch 2 dividiert) L = {(1 3)} c) 3y + 2x = 6 y = 2 3 x + 2; 2y + x = 4 y = 1 2 x 2 korrekt gezeichnet die Geraden sind nicht parallel; es gibt einen Schnittpunkt; es ist sinnvoll, ihn zu berechnen 2 3 x + 2 = 1 2 x 2 6 (34) 4x + 12 = 3x x + 12 (35) 24 = x (36) y = = 14 (37) 3 y = = 14 (38) 2 L = {(24 14)} Seite Aufgabe 11 hier gibt nur Lösungsskizzen! Insbesondere lasse ich die Zeichnungen weg; damit Du Deine Lösungen kontrollieren kannst, gebe ich aber immer zwei Punkte (P 1 ; P 2 ) an, die auf der Geraden liegen Zur vollständigen Lösung gehört aber auch die Zeichnung! a) 6y 3x = 9 y = 1 2 x ; P 1(0 3 2 ); P 2( 3 0) 8y + 4x = 10 y = 1 2 x ; P 1(0 5 4 ); P 2( 5 2 0) Parallele Geraden; kein Schnittpunkt 15

16 b) 4x + 2y = 5 y = 2x ; P 1(0 5 2 ); P 2(5 4) 2x y = 5 2 y = 2x ; P 1(0 5 2 ); P 2(5 4) identische Geraden c) 2x + y = 6 y = 2x + 6; P 1 (0 6); P 2 (3 0) 3x + 2y = 8 y = 3 2 x + 4; P 1(0 4); P 2 ( ) L = {(4 2)} d) 3x 6y = 2 y = 1 2 x 1 3 ; P 1(0 1 3 ); P 2( 2 3 0) 1.5x + 3y = 1 y = 1 2 x 1 3 ; P 1(0 1 3 ); P 2( 2 3 0) Parallele Geraden; kein Schnittpunkt e) 3x 6y = 9 y = 1 2 x 3 2 ; P 1(0 3 2 ); P 2(3 0) 4x 9y = 12 y = 4 9 x 4 3 ; P 1( ); P 2(3 0) L = {(3 0)} f) x 9 = 0 parallel zur y-achse; P 1 (9 0); P 2 (9 9) 2x 3y = 6 y = 2 3 x 2; P 1(0 2); P 2 (3 0) L = {(9 4)} g) 3u v = 6 v = 3u 6; P 1 (0 6); P 2 (2 0) u 3v = 6 v = 1 3 u 2; P 1(0 2); P 2 (6 0) L = {( )} h) s + 3t = 6 t = 1 3 s + 2; P 1(0 2); P 2 (6 0) 2s + 6t = 9 t = 1 3 s ; P 1( ); P 2( ) Parallele Geraden; kein Schnittpunkt 16

17 9.5.3 Seite Aufgabe 4 a) b) 4y = 3x 4 (39) 4y = 5x 20 (40) 3x 4 = 5x x (41) 16 = 2x : 2 (42) x = 8 (43) 4y = 3x 4 = = 20 (44) y = 5 (45) 4y = 5x 20 = = 20 (46) y = 5 (47) 1y = 4x 6 11 (48) 11y = 9x 41 (49) 11y = 44x 66 (50) 11y = 9x 41 (51) 44x 66 = 9x x (52) 35x = 25 : 35 (53) x = 5 7 y = 4x 6 = = = 22 7 y == y = 9x 41 = = = y = = 22 7 = 31 7 (54) (55) (56) (57) (58) (59) e) v = 3u 4 2 (60) 2v = 5u + 3 (61) 2v = 6u 8 (62) 2v = 5u + 3 (63) 6u 8 = 5u u (64) u = 11 (65) v = 3u 4 = = 33 4 = 29 (66) 2v = 5u + 3 = = 58 : 2 (67) v = 29 (68) 17

18 f) 6y = 3x 2 (69) 2y = 2x + 2 cot 3 (70) 6y = 3x 2 (71) 6y = 6x + 6 (72) 3x 2 = 6x x (73) 3x = 8 : ( 3) (74) x = 8 3 6y = 3x 2 = = 8 2 = 10 y = 5 3 y = y = 2x + 2 = = y = y = 5 3 (75) (76) (77) (78) (79) 18