Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

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1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra

2 . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen Exponentialfunktionen

3 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program Elemente der Algebra, Gleichungen und Gleichungssysteme Dr. Jürgen Roth.

4 . Inhaltsverzeichnis Kapitel :, Gleichungen und Gleichungssysteme.1. Gleichungen. Gleichungssysteme

5 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program, Gleichungen und Gleichungssysteme.1 Dr. Jürgen Roth.

6 Handy-Tarif: Kostenfunktion Monatliche Grundgebühr g:,0 Preis pro Einheit, Minutenpreis m: 0,0 Telefoneinheiten (Minuten) x Monatliche Kosten: k(x) = mx + g Dr. Jürgen Roth.6 Telefonierte Einheiten/min Monatliche Kosten/ 0, , , , ,0 +0, +0, +0, +0, Wie ändern sich die Kosten bei gleichen Zuwächsen der telefonierten Einheiten (Minuten)? Lösung: Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumssummand.

7 .7 Handy-Tarif: Kostenfunktion

8 Dr. Jürgen Roth.8 Definition: Eine Funktion f : R R, x ax + b mit a, b R heißt lineare Funktion. Sonderfälle (genaueres später): Eine lineare Funktion mit b = 0, also eine Funktion f : R R, x ax mit a R\{0} heißt proportionale Funktion. Eine lineare Funktion mit a = 0, also eine Funktion f : R R, x b mit b R heißt konstante Funktion. Charakteristische Eigenschaft linearer : Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumssummand. f ( x + c ) = a ( x + c ) + b = 1 a x + b + { a c = f ( x ) d x R + = f ( x ) : = d

9 .9 + d + d + c + c

10 .10 x x 1

11 .11 tanϕ = f ( x x ) f ( x1 ) x 1 x x 1

12 .1 Funktion x x 1

13 .1 Sonderfall: Konstante Handy-Tarif: Flatrate Monatlicher Pauschalbetrag: 0 Preis pro Einheit: 0,00 Telefoneinheiten x Monatl. Kosten: k(x) = 0 Definition: Eine lineare Funktion mit a = 0, also eine Funktion f : R R, x b mit b R heißt konstante Funktion. Telefonierte Einheiten/min Monatliche Kosten/

14 Sonderfall: Proportionale Dr. Jürgen Roth.1 Wurstaufschnitt einkaufen 100 g Wurstaufschnitt kosten 1,0 Was muss man für 00 g, 10 g, 600 g bzw. 10 g Aufschnitt bezahlen? Aufschnitt/g Preis/ 100 1,0 00,60 : : 10 1, ,0 : : 00,0 Lösung Zur doppelten (dreifachen, vierfachen, ) Menge gehört der doppelte (dreifache, vierfache, ) Preis. Kauft man nur die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel, ) dann bezahlt man nur die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel, ).

15 .1 Sonderfall: Proportionale x = Aufschnitt/g f ( x ) = Preis/ 100 1,0 00, , ,0 00,0 f ( x ) = a = const. x a R x R ) f ( x ) x f ( x = a x Preis/ = Aufschnitt/ g 1, = 100 0,6 = ,8 = , = 600 0, = 00 0

16 .16 Sonderfall: Proportionale Der Graph ist eine Ursprungsgerade.

17 .17 Sonderfall: Proportionale Definition: Eine lineare Funktion mit b = 0, also eine Funktion f : R R, x ax mit a R\{0} heißt proportionale Funktion. Der Koeffizient a wird Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.

18 Sonderfall: Proportionale Dr. Jürgen Roth.18 Charakteristische Eigenschaften: Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Ursprungsgerade durch den Punkt (1 a). Eine Addition (Subtraktion) von Argumenten bewirkt eine Addition (Subtraktion) von Funktionswerten. x x R 1, f ( x ± x ) = a ( x ± x ) 1 = a x1 ± a x = f ( x ) ± f ( x ) 1 1 Wird das Argument ver-rfacht (verdoppelt, verdreifacht, halbiert, ), dann wird auch der Funktionswert ver-r-facht (verdoppelt, verdreifacht, halbiert, ). r R f ( r x ) = a ( r x ) = r ax = r f ( x ) Quotientengleichheit: Der Quotient aus Funktionswert f(x) und zugehörigem Argument x ist für alle x R konstant gleich der Proportionalitätskonstanten a. f ( x ) ax x R = = a x x

19 .19 Präsenzübung Handelt es sich bei folgenden Beispielen um eine je mehr desto mehr -Zuordnung? Ist sie auch proportional? Wasservolumen Wassergeld (monatlich 1, Grundgebühr; 1 m³ kostet 1, ) Anzahl der Flaschen Weinvolumen (Abfüllen von Wein in gleich große Flaschen) Gewicht Porto (Paket) Gefahrene Kilometer Erstattungsbetrag (0,0 für jeden gefahrenden Kilometer) Seitenlänge Flächeninhalt (Quadrat) Kantenlänge Volumen (Würfel)

20 Anwendung: Dreisatz Dr. Jürgen Roth.0 Beispiel: Dorit hat ihre Freundinnen zum Mittagessen eingeladen und will ihr Lieblingsessen kochen. Wie viel Sechskorn muss sie für 7 Personen abwiegen? Dorit überlegt: Das Rezept legt für jede Person die gleiche Menge einer Zutat zugrunde. Also gehört z.b. zur doppelten Personenzahl die doppelte Menge der Zutaten. Folglich ist die Zuordnung Anzahl der Personen Sechskorngewicht proportional.

21 .1 Anwendung: Dreisatz Beispiel: Dorit rechnet in drei Schritten: Personen benötigen 10 g 1 Person benötigt 10 g : = g 7 Personen benötigen g 7 = g Ergebnis: Für 7 Personen werden g Sechskorn benötigt. Bemerkung: Das funktioniert auch für umgekehrt proportionalen Zusammenhängen, bei denen y proportional zu 1/x ist.

22 . Exkurs: Abbildung Achtung (!) Proportionale (!) werden in der linearen Algebra als lineare Abbildungen bezeichnet! Definition (lineare Algebra): Seien V und W Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper K. Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung, wenn für alle x, y V und a K gilt: f ist homogen, d. h. a f(x) = f(a x) f ist additiv, d. h. f(x + y) = f(x) + f(y) Bemerkung: Nur proportionale sind lineare Abbildungen. Unsere linearen würde man in der linearen Algebra als affine Abbildungen bezeichnen.

23 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program, Gleichungen und Gleichungssysteme. Gleichungen Dr. Jürgen Roth.

24 Nullstellen einer linearen Funktion Dr. Jürgen Roth. Satz: Eine lineare Funktion f : R R, x ax + b mit a, b R hat Beweis: für a = 0 und b = 0 unendlich viele Nullstellen, für a = 0 und b 0 keine Nullstelle, für a 0 genau eine Nullstelle. Mit a = 0 und b = 0 gilt f(x) = 0 x + 0 = 0. Damit ist jedes x R eine Nullstelle von f. Mit a = 0 und b 0 gilt f(x) = 0 x + b = b. Damit ergibt sich für jedes x R f(x) = b 0. Mit a 0 führt der Ansatz f(x) = 0 zur Gleichung ax + b = 0, die durch Äquivalenzumformungen gelöst werden kann: b x = a Folglich besitzt f genau eine Nullstelle, die direkt aus den Koeffizienten des Funktionsterms abgelesen werden kann. #

25 Geradengleichung Dr. Jürgen Roth. Punkt-Steigungs-Form Von einer Gerade ist nur die Steigung m bekannt und die Tatsache, dass der Punkt P(x p y p ) auf der Geraden liegt. Gesucht: Gleichung der zugehörigen linearen Funktion. Ansatz: y = mx + b (*) Einsetzen der Koordinaten von P liefert: y = mx b p p + b = y p mx p Einsetzen in (*) liefert: ( ) y = mx + y p mx p y = mx mx p + y p ( x x p ) y p y = m + Dies ist die sogenannte Punkt-Steigungs-Form der Funktionsgleichung.

26 Geradengleichung Dr. Jürgen Roth.6 Zwei-Punkte-Form Von einer Geraden ist nur bekannt, dass die Punkte P(x p y p ) und Q(x q y q ) auf der Geraden liegt. (x p x q ) Gesucht: Gleichung der zugehörigen linearen Funktion. Ansatz: y = ax + b ( ) Einsetzen der Koordinaten von P liefert: y = ax b (*) p p + Einsetzen der Koordinaten von P liefert: y = ax b (**) q q + Auflösen von (*) nach b liefert: b y p ax = p ( ) Einsetzen in (**) liefert: y = ax + y ax q yq y p = a q yq y a = x x q q ( p p ) ( x x ) Einsetzen von ( ) in ( ) liefert: y = ax + y p ax p y = a x x p + y Einsetzen von (Δ) liefert die Zwei-Punkte-Form: y y q p p p p (Δ) ( ) p ( x xp ) y p q p y = + x x

27 .7 Präsenzübung Bestimmen Sie die Nullstellen folgender linearer : f : R R, x x + g : R R, x x h : R R, x Geradengleichungen Von einer linearen Funktion f ist nur bekannt, das der Graph die Steigung besitzt und der Punkt P( ) auf dem Graph der Funktion liegt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Von einer linearen Funktion g ist nur bekannt, das die Punkte A( ) und B( 6) auf dem Graph der Funktion liegen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

28 .8 Gleichung mit zwei Unbekannten Bemerkung: Für eine lineare Gleichung ax + by = c mit a, b, c R sowie zwei Unbekannten x und y besteht die Lösungsmenge aus geordneten Paaren (x y) R R. Beispiel: x + y = Lösungsmenge: L = R R y = x + ( x y ) Betrachtet man die Paare als Punkt-Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene, dann bilden die Punkte dieser Menge eine Gerade.

29 Gleichung mit zwei Unbekannten Dr. Jürgen Roth.9 Bemerkung: Für lineare Gleichung ax + by = c mit a, b, c, x, y R lassen sich bzgl. der Lösungsmenge im Wesentlichen drei Fälle unterscheiden: a c 1. Fall: a 0 und b 0 L = ( x y ) R R y = x + b b Die Lösungsmenge ist der Graph a c der linearen Funktion R R, x a x +.. Fall: a 0 und b 0 Die Lösungsmenge ist der Graph c der Konstanten Funktion.. Fall: a 0 und b 0 b b L = ( x y ) R R R R,x a b L = ( x y ) R R c y = b c x = a Die Lösungsmenge ist eine Parallele zur y-achse mit der Gleichung, aber keine Funktionsgraph! x = c a

30 .0 Funktion lineare Gleichung Satz: Der Graph einer linearen Funktion f : R R, x mx + t mit m, t R ist gleichzeitig die Lösungsmenge einer linearen Gleichung zweier Variablen ax + by = c mit a, b, c R. Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung ax + by = c mit a, b, c R ist nur dann der Graph einer linearen Funktion, wenn b 0 ist. Präsenzübung: Machen Sie sich die Aussagen der vorhergehenden Folie klar, indem Sie für die Variablen a, b und c jeweils Elemente der Menge {0,,, } einsetzen. Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit der beiden Aussagen des obigen Satzes.

31 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program, Gleichungen und Gleichungssysteme. Gleichungssysteme Dr. Jürgen Roth.1

32 . Günstigster Handy-Tarif Tarif 1: Geringe Grundgebühr Monatliche Grundgebühr g 1 : 1,00 Preis pro Einheit, Minutenpreis m 1 : 0,1 Telefoneinheiten (Minuten) x Monatliche Kosten: k 1 (x) = m 1 x + g 1 Tarif : Geringer Minutenpreis Monatliche Grundgebühr g :,0 Preis pro Einheit, Minutenpreis m : 0,0 Telefoneinheiten (Minuten) x Monatliche Kosten: k (x) = m x + g Ab wie vielen Telefoneinheiten ist Tarif günstiger?

33 . Günstigster Handy-Tarif

34 Günstigster Handy-Tarif Dr. Jürgen Roth. Gesucht ist zunächst ein Paar (x y), das die beiden Gleichungen k 1 : y = 0,1x + 1 (I) k : y = 0,0x +, (II) gleichzeitig erfüllt, also eine Lösung für dieses lineare Gleichungssystem darstellt. Lösungsverfahren: Aus der Schule kennen Sie drei Lösungsverfahren für solche linearen Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen (Unbekannten): Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Einsetzungsverfahren Ziel: Dabei soll jeweils eine Variable eliminiert werden, um zu einer Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen, die einfach gelöst werden kann (vgl..).

35 Günstigster Handy-Tarif Dr. Jürgen Roth. (I) y = 0,1x + 1 (II) y = 0,0x +, Gleichsetzungsverfahren Gleichsetzen von (I) und (II) liefert: 0,1 + 1 = 0,0x +, 0,0x + 0,1x = 1, 10 x = 1 x ( 1) Einsetzen in (II) liefert: y = 0,0 1 +, = 0,7 +, =, Die Lösung ist das geordnete Paar (1,) Additionsverfahren Subtraktion der Gleichung (II) von der Gleichung (I), also (I) (II), liefert: 0 = 0,1x 1, + 1, 0,1x = 1, 10 x = 1 Einsetzen in (II) liefert: y = 0,0 1 +, = 0,7 +, =, Die Lösung ist das geordnete Paar (1,)

36 Günstigster Handy-Tarif Dr. Jürgen Roth.6 (I) y = 0,1x + 1 (II) y = 0,0x +, Einsetzungsverfahren 1 0,0 Auflösen der Gleichung (II) nach x liefert: y = 0,0x +,, y, = 0, 0x :0, 0 ( y, ) = x Einsetzen in (I) liefert: 0,1 y = y, 0,0 y = y 7, + 1 ( ) + 1 y = y 6, y + 6, 6, = y :, = y Einsetzen in (II) liefert:, = 0,0x +,, 0,7 = 0,0x :0, 0 1 = x Die Lösung ist das geordnete Paar (1,)

37 Präsenzübung Dr. Jürgen Roth.7 Textaufgabe: Eine sehr alte Textaufgabe aus Mesopotamien (ca. 000 v. Chr.) lautet: Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten, Länge und Breite addiert macht 10 Handbreiten. Bestimmen Sie die Länge und Breite (des Tisches) in Handbreiten. Man wird dazu zunächst zwei Gleichungen aufstellen: Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten: Länge und Breite addiert macht 10 Handbreiten: Lösen Sie dieses Gleichungssystem mit einem der drei aus der Schule bekannten Verfahren. 1 ( I) x + y = 7 ( II) x + y = 10

38 .8 Lösungen linearer Gleichungssysteme Satz: Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem: a 1 x + b 1 y = c 1 a x + b y = c Seine Lösungsmenge ist entweder leer, ein geordnetes Zahlenpaar (x y) oder eine unendliche Menge von Zahlenpaaren. Bemerkung: Graphisch interpretiert entsprechen diese drei Fälle genau den möglichen Lagebeziehungen der beiden durch a 1 x + b 1 y = c 1 und a x + b y = c gegebenen Geraden.

39 .9 Lösungen linearer Gleichungssysteme Die Lösungsmenge ist leer, wenn die Geraden parallel sind.

40 .0 Lösungen linearer Gleichungssysteme Die Lösungsmenge ist ein geordnetes Paar (ein Punkt), wenn die Geraden sich schneiden.

41 .1 Lösungen linearer Gleichungssysteme Die Lösungsmenge ist unendliche Menge von geordneten Zahlenpaaren (alle Punkte der Geraden), wenn die Geraden identisch sind.

42 . Exkurs: Algebra Lösbarkeit und ggf. Lösung von linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Unbekannten In der Vorlesung zur linearen Algebra, lernt man mit Hilfe des Matrizen-Kalküls Verfahren kennen, die es erlauben die Frage der Lösbarkeit von Gleichungssystemen in mehreren Unbekannten zu klären und ggf. deren Lösungen zu bestimmen.

43 . Anwendung: Regula falsi Nullstelle(n) einer Funktion f bestimmen Gleichung f(x) = 0 lösen. Für viele Gleichungen nicht durch algebraische Umformungen möglich. Gangbarer Weg: Näherungsverfahren, z. B. regula falsi Idee der regula falsi : Ungefähre Lage der Nullstelle x 0 bestimmen (z. B. über den Funktionsgraph) Gerade durch zwei Punkte A(a f(a)) und B(b f(b)) des Funktionsgraphen zeichnen, die links und rechts von der gesuchten Nullstelle liegen. (a < x 0 < b) Die x-koordinate x s des Schnittpunkts S dieser Geraden mit der x-achse ist ein Näherungswert für die Nullstelle x 0.

44 . Regula falsi

45 . Regula falsi

46 .6 Regula falsi

47 .7 Regula falsi

48 .8 Regula falsi

49 .9 Regula falsi Bestimmung von x s : Anhand der Steigungsdreiecke ergibt sich: f ( b) f ( a) 0 f ( a = ) b a x a rotes Steigungsdreieck s blaues Steigungsdreieck Auflösen nach x s ergibt eine erste Näherung für x 0 : b a x x a f ( ) 0 f ( b) f ( a) a s =

50 Regula falsi Dr. Jürgen Roth.0 Voraussetzungen f ist eine Funktion die im Intervall [a, b] genau eine Nullstelle x o (und keine Sprungstellen) besitzt. Z. B. am Funktionsgraph feststellbar. f(a) und f(b) haben verschiedene Vorzeichen. Gilt genau dann wenn f(a) f(b) < 0. Folgerungen Die Gerade durch die Punkte A(a f(a)) und B(b f(b)) schneidet die x-achse im Punkt S(x S 0). x S ist ein Näherungswert für die Nullstelle x o. b a x xs = a f ( f ( b) f ( a) Ist die Näherung nicht gut genug, wird das Verfahren für das Intervall unter den Teilintervalle [a, x S ] und [x S, b] wiederholt, in dem die Nullstelle x o liegt. a ) 0 Die Nullstelle x o liegt in dem Teilintervall, für das die Funktionswerte an den Intervallgrenzen verschiedene Vorzeichen haben. Überprüfen: f(a) f(x S ) < 0 oder f(x S ) f(b) < 0

51 .1 Regula falsi

52 . Regula falsi

53 . Regula falsi

54 . Regula falsi

55 . Regula falsi

56 .6 Regula falsi

57 .7 Regula falsi

58 .8 Regula falsi

59 .9 Regula falsi

60 .60 Regula falsi

61 .61 Regula falsi

62 .6 Regula falsi

63 .6 Regula falsi

64 .6 Regula falsi

65 .6 Regula falsi

66 .66 Regula falsi

67 .67 Regula falsi

68 Regula falsi Dr. Jürgen Roth.68 1 Beispiel: f : R R, x a x x + 8 Eine Nullstelle liegt im Intervall [;], weil f dort keine Sprungstellen hat und f() f()<0 ist. Berechnung von x s : x0 x s b a = a f ( a) f ( b) f ( a) = f () f () f () f ( ) ( ) 0,6 > 0 f f () > 0 Diese Nullstelle liegt also im Intervall ;. 1 8 x + x x 1 1 = = + = [ ] 1

69 Regula falsi Dr. Jürgen Roth.69 1 Beispiel: f : R R, x a x x + 8 Eine Nullstelle liegt im Intervall [ ] ;, weil f dort keine Sprungstellen hat und f f < ist. Berechnung von x s : x0 x s b a = a f ( a) f ( b) f ( a) = f ( f () f ( ) f ( ) ( ) 0 (,8) 0, 00 ),8 x Diese Nullstelle liegt im Intervall [,8; ]. Für ein genaueres Ergebnis wird das Verfahren für dieses Intervall wiederholt 8 x + x 1

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