DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

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1 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Diese Gleichung kann aber auch Ableitungen niedrigerer Ordnung enthalten, sowie die unabhängige Variable x. Die Gleichung ist dabei entweder in der impliziten Form f(x; y; y';...; y (n) )= 0 z.b. x+yy'=0 oder, falls die Gleichung nach y (n) auflösbar ist, in der expliziten Form y (n) = f(x; y; y';...; y (n- 1) ) z.b. y'= 2x darstellbar. Ordnung Die Ordnung einer gewöhnlichen Differentialgleichung wird durch die Ordnung der höchsten in ihr auftretenden Ableitung bestimmt. Lösung einer Differentialgleichung Eine Funktion y = y(x) heisst eine Lösung der Differentialgleichung, wenn sie mit ihren Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfüllt. Dabei wird noch zwischen der allgemeinen Lösung und der speziellen oder partikulären Lösung unterschieden: 1. Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung enthält noch n voneinander unabhängige Paramater (Integrationskonstanten). 2. Eine spezielle oder partikuläre Lösung wird aus der allgemeinen Lösung gewonnen, indem man aufgrund zusätzlicher Bedingungen den n Parametern feste Werte zuweist. Anfangs- und Randwertproblem Bei einem Anfangswertproblem werden der Lösungsfunktion y = y(x) insgesamt n Werte vorgeschrieben; nämlich der Funktionswert, sowie die Werte der ersten n-1 Ableitungen an der Stelle x 0 : y(x 0 ), y'(x 0 ), y''(x 0 ),..., y (n-1) (x 0 ). Bei einem Randwertproblem werden der gesuchten speziellen Lösung an n verschiedenen Stellen x 1, x 2, x 3,..., x n der Reihe nach die Funktionswerte y(x 1 ), y(x 2 ),...y(x n ) vorgeschrieben.

2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG Geometrische Betrachtung Die Differentialgleichung y'= f(x;y) besitzt die Eigenschaft, dass durch jeden Punkt P 0 (x 0 ;y 0 ) genau eine Lösungskurve verlauft. Die Steigung der Lösungskurve in P 0 kann direkt aus der Funktionsgleichung berechnet werden: m=y'(x0)= f(x0;y0). Dadurch wird jedem Punkt der Funktion ein Richtungs- oder Steigungswert zugeordnet und kann im Koordinatensystem als Linienelement der Tangente dargestellt werden. Die Gesamtheit der Linienelemente bildet das Richtungsfeld. Unter einer Isokline versteht man die Verbindungslinie aller Punkte, welche die gleiche Steigung besitzen. Eine Näherung für die Lösungskurve findet man, indem man eine Kurve zeichnet, die in ihrem Schnittpunkt mit den Isoklinen den gleichen Anstieg besitzen. Beispiel: x+yy'=0

3 Trennung der Variablen Eine Differentialgleichung vom Typ y'= f(x)*g(y) oder!" = f(x)*g(y) lässt sich folgendermassen umschreiben:!"!(!) =f(x) dx Die linke Seite der Gleichung enthält nur noch die Variable y und deren Differential dy, die rechte Seite dagegen nur noch die Variable x und deren Differenzial dx. Damit wurden die Variablen getrennt und es kann auf beiden Seiten integriert werden:!"!(!) = f(x) dx Nun liegt eine Lösung in der impliziten Form F1(y)=F2(x)+C vor und es kann nach y aufgelöst werden. Somit erhält man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung in der expliziten Form. Beispiel: y'=y Trennen der Variablen: dy dy = y => dx y = dx Aus der Beidseitigen Integration erhält man: ln y = x + C Nach dem umformen nach y resultiert die allgemeine Lösung: y = C e!!"

4 Substitution mit Differentialgleichungen vom Typ y'= f(ax+by+c) Solche Differentialgleichungen lassen sich durch lineare Substitution u=ax+by+c lösen. Durch die Differentiation dieser Gleichung nach x erhalten wir: u'=a+by' Beispiel: y'=2x-y u= 2x- y und u'=2- y' Nun setzen wir für y und y' die entsprechenden werte ein und wir erhalten die neue Differentialgleichung: 2- u'=u Durch die Trennung der Variablen erhalten wir: Durch beidseitige Integration erhalten wir: Nach dem Auflösen nach u resultiert: du u 2 = dx ln u 2 = x + C u = C e!! + 2 Die Rücksubstitution ergibt die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: y = 2x C e!! 2

5 Substitution mit Differentialgleichung vom Typ y = f( y x ) Solche Differentialgleichungen lassen sich durch lineare Substitution u = y x dh. y = x u lösen. Wir differenzieren nach x und erhalten: y! = u + x u Danach analog weiterfahren wie im vorherigen Unterkapitel: 1. Durchführung der Substitution 2. Trennen der Variablen 3. Integration der beiden Terme 4. Rücksubstitution und auflösen nach y LÖSEN VON LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG Eine Differentialgleichung 1.Ordnung heisst linear, wenn sie in der Form y! + f x y = g(x) ist. Die Funktion g(x) wird als Störfunktion bezeichnet. Fehlt diese Funktion (g(x)=0), so handelt es sich um eine lineare homogene Differentialgleichung, ansonsten ist es eine inhomogene Differentialgleichung. Will man eine lineare inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung lösen, so muss zuerst die homogene Gleichung gelöst werden, man setzt die Störfunktion gleich Null. Integration der homogenen linearen Differentialgleichung Die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung ist: y = C e!!!"

6 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Eine solche Differentialgleichung lässt sich mit zwei Methoden lösen. Variation der Konstanten Zunächst muss einmal die homogene lineare Differentialgleichung gelöst werden. Dies führt zur allgemeinen Lösung : y = C e!!!" Nun wird die Integrationskonstante C durch eine unbekannte Funktion C(x) ersetzt. Bei der Differentiation der Lösung erhalten wir: y! = C! x e!!!" C x f x e!!!" Durch einsetzten der gefundenen Funktionsterme für y und y' in die inhomogene Differentialgleichung und durch weiteres vereinfachen erhalten wir: Durch Integration erhalten wir: C! x = g x e!!!" C x = g x e!!!" dx + C Diesen Ausdruck wird jetzt bei der homogenen Gleichung eingesetzt und wir erhalten die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung: Aufsuchen einer partikulären Lösung y = g x e!!!" dx + C e!!!" Die allgemeine Lösung für eine inhomogene lineare Differentialgleichung lässt sich aus der Lösung der homogenen Gleichung y0 sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung yp zusammensetzen: Für y 0 erhalten wir : y=y0+yp y0= C e!!!"

7 Die partikuläre Lösung lässt mit Hilfe eines geeigneten Lösungsansatzes finden. Beispiel: y'- (tan x)*y=2*sin x Für y 0 finden wir: y0=!!"#! Für die partikuläre Lösung wählt man den Lösungsansatz: yp= A cos x Denn so enthalten beide Summanden auf der linken Seite der Differentialgleichung einen Sinus, wenn man für y und y' den Ansatz bzw. die Differentiation des Ansatzes in die differentialgleichung einsetzt: yp'- (tan x)*yp=2*sin x wird zu - A*sin x- A*sin x =2*sin x => A=1 Nun finden wir die allgemeine Lösung: y=! cos x!"#! Lineare Differntialgleichung 1.Ordnung mit konstanten Koeffizienten Liegt eine Differentialgleichung vom Typ y'+ay=g(x) lässt sich die homogene Lösung durch y0= C e!!" finden. Die inhomogene Differentialgleichung wird entweder durch Varation der Konstanten oder durch das Aufsuchen einer partikulären Lösung gelöst, wobei der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung nach der untenstehendentabelle erfolgt:

8 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2.ORDNUNG HOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN Ansatz: Ableitungen:

9 Diese Gleichung wird erfüllt genau dann, wenn Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung. LöSUNG: Fall: sind reell (zwei reelle Lösungen). sind Lösungen, und damit auch ihre Summe:

10 BEISPIEL Lösung von Der Ansatz Gleichung führt zur charakteristischen mit den Nullstellen allgemeine Lösung: Fall: ist reell (doppelte Nullstelle) Zweite Lösung:

11 Zeigen: ist Lösung Es gilt aber: Eingesetzt: und ALLGEMEINE LöSUNG:

12 BEISPIEL Lösung von charakteristische Gleichung: allgemeine Lösung: Fall: sind komplex Lösungen: Reelle Lösungen:

13 ALLGEMEINE LöSUNG: mit BEISPIEL charakteristische Gleichung:

14 allgemeine Lösung: INHOMOGENE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN Tabelle: Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ in Abhängigkeit vom Typ der Störfunktion g(x) Störfunktion g(x) Lösungsansatz Polynomfunktion vom Grade n Polynom vom Grade n Exponentialfunktion Sinusfunktion oder Kosinusfunktion oder Linearkombination von beiden Parameter: Koeffizienten des Polynomes 1. c ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: A 2. c ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: A 3. c ist eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: A 1. ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung oder

15 Parameter: A, B bzw. C, 2. ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung oder Parameter: A, B bzw. C, 1. ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung oder ( sei Polynomfunktion vom Grad n) Polynome vom Grad n Parameter: Koeffizienten der Polynome und 2. ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung Polynome vom Grad n Parameter: Koeffizienten der Polynome und Beispiele: Gesucht ist die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL wobei für die Störfunktion im Folgenden verschiedene Funktionstypen vorgegeben werden. Zunächst wird die zugehörige homogene DGL gelöst. Sie besitzt die charakteristische Gleichung

16 mit den reellen Lösungen und Dies führt zu der Fundamentalbasis und damit zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung Nun werden verschiedene Störfunktionen vorgegeben und mit Hilfe der oben stehenden Tabelle kann eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung ermittelt werden. Störfunktion g(x) Lösungsansatz Begründung/Anmerkung Parameter: Parameter: ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: ist eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung Parameter: zu 1.: Wir gehen mit dem Ansatz in die DGL:

17 Die Glieder werden noch nach fallenden Potenzen geordnet: Durch Koeffizientenvergleich folgt weiter: Dieses gestaffelte lineare Gleichungssystem wird durch Damit ist gelöst. und die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL besitzt die Form mit zu 2.: Lösung: mit zu 3.: Lösung: mit zu 4.:

18 Mit dem Lösungsansatz folgt durch Einsetzen in die DGL: Somit ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL und die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet mit zu 5.: Wir gehen mit dem Lösungsansatz in die DGL: Nach Division durch und Ordnen der Glieder folgt weiter: Ein Koeffizienten Vergleich auf beiden Seiten dieser Gleichung führt zu dem gestaffelten linearen Gleichungssystem

19 mit der eindeutig bestimmten Lösung Somit ist eine partikuläre Lösung und mit die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL. zu 6.: Mit dem Lösungsansatz folgt durch Einsetzen in die inhomogene DGL: Wir ordnen nun die Glieder nach Sinus und Kosinus Funktionen: Durch Koeffizienten Vergleich folgt weiter: Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung Somit ist Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL lautet daher: mit

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