Ü b u n g s b l a t t 11

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1 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte Finde alle isoelastischen Funktionen, d.h., bestimme die allgemeine Form der Funktionen f(x, die die Eigenschaft haben, dass die Elastizität konstant ist. ɛ f,x (x = f (x x f(x Setzen wir die Elastizität gleich einer Konstanten ɛ, so ergibt sich eine Differentialgleichung für f: Mit f(x, f (x = dx ɛ f,x (x = f (x x f(x = ɛ f (x f(x = ɛ x. lassen sich die Variablen sofort trennen: dx ɛ x ɛ x dx ɛ x dx ln( y = ɛ ln( x + c ln( y = ln( x ɛ + c y = e ln( x ɛ + c c x ɛ ±e c c e ln( x ɛ mit einer beliebigen Konstanten c. Damit ist die allgemeinste Form einer isoelastischen Funktion f(x = c x ɛ, wobei ɛ die konstante Elastizität ist. Aufgabe 9*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte a Bestimme die allgemeine Lösung der DGL y x y = 0. b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(1 = 1. a Separation: y x y = 0 dx = x y y = x dx y = x dx 1 x + c x + c. Hierbei wurde die Integrationskonstante als c eingeführt, damit das Ergebnis hübscher aussieht.

2 b Anpassen der Konstanten c an die Anfangsbedingung: y(1 = 1 + c y(1 = c 1 + c = y(1 c = y(1 1. Für y(1 = 1 ergibt sich c = 4, also ist die spezielle Lösung zu dieser Anfangsbedingung y(x = x 4 = 4 x. Aufgabe 9*: (Differentialgleichungen, Variation der Konstanten. 10 Bonuspunkte a Bestimme die allgemeine Lösung der DGL y x x 5. b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(1 = 1. a Wir brauchen zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y = x y. Wir benutzen direkt die Lösungsformel aus Beispiel 6.16 der Vorlesung: y h (x = c e F (x, wobei F (x irgendeine Stammfunktion von x ist, also z.b. F (x = x. Die homogene Lösung ist damit y h (x = c e x. Nun Variation der Konstanten. Ansatz für die inhomogene DGL: In die DGL y x x 5 eingesetzt ergibt sich y(x = c(x e x. c (x e x + c(x x e x x c(x e x = x 5 c (x = x 5 e x c(x = x 5 e x dx Es verbleibt, die Stammfunktion von x 5 e x zu finden. Substitution z = x, dz = x dx: x 5 e x dx = x 5 e z dz x = ( x e z dz = z e z dz. Partielle Integration: z e z dz = z f g f Rücksubstitution z = x c(x = : e z g 1 f e z dz = z e z e z + c. g x 5 e x dx = z e z e z = x e x e x + c.

3 Die allgemeine Lösung der DGL y x x 5 ist damit ( y(x = c(x e x = x e x e x + c e x = x + c e x mit einer beliebigen Konstanten c. b Anpassen der Anfangsbedingung: y(1 = 1 + c e 1 = 1 c e 1 = 5 c 5 e 1. Die spezielle Lösung zu dieser Anfangsbedingung ist damit y(x = x + 5 e 1 e x = x + 5 e x 1 = x + 5 e x 1. Aufgabe 94*: (Differentialgleichungen, 10 Bonuspunkte a Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y (x + y(x = e x. b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(0 = 1. a Löse zunächst die homogene DGL durch Separation: + y(x = 0 = y = dx dx dx y dx ln( y = x + c y = e x+ c ±e c e x c e x. c Variation der Konstanten: y(x = c(x e x eingesetzt in y (x + x: y (x + y(x = c (x e x + c(x ( e x + y(x = e x } {{ } 0 c (x e x = e x c (x = e x e x = e x c(x = e x dx = 1 e x + c 1. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit ( 1 y(x = c(x e x = e x + c 1 e x = 1 ex + c 1 e x (mit einer beliebigen Konstanten c 1. b Anpassen der freien Konstanten an die Anfangsbedingung: y(0 = 1 e0 + c 1 e 0 = 1 c 1 = 1 1 =. Die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(0 = 1 ist damit y(x = 1 ex + e x

4 Kontrolle: y (x + y(x = 1 ex + ( e x + ( 1 ex + e x = e x, y(0 = 1 e0 + e 0 = 1. (ok Aufgabe 95*: (Differentialgleichungen, 10 Bonuspunkte a Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y (x cos(x y(x = sin(x. sin(x ( π b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung 0. a Löse zunächst die homogene DGL durch Separation: dx cos(x sin(x 0 dx = cos(x sin(x y cos(x sin(x dx cos(x sin(x dx. Mit der Substitution z = sin(x, dz = cos(x dx ergibt sich 1 ln( y = z dz = ln( z + c = ln( sin(x + c y = eln( sin(x + c = e ln( sin(x e c = sin(x e c ±e c sin(x c sin(x. c Variation der Konstanten: y(x = c(x sin(x eingesetzt in y (x cos(x sin(x sin(x: y (x cos(x sin(x c (x sin(x + c(x cos(x cos(x sin(x c(x sin(x (! = sin(x c (x sin(x = sin(x c (x = 1 c(x = x + c 1. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit y(x = c(x sin(x = (x + c 1 sin(x (mit einer beliebigen Konstanten c 1. b Anpassen der freien Konstanten an die Anfangsbedingung: ( π ( π ( π + c 1 sin = π + c 1 = 0 c 1 = π. Die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y( π = 0 ist damit ( y(x = x π sin(x. Kontrolle: y (x cos(x (x sin(x y(x = sin(x + π ( π ( π π ( π sin = 0 (OK. cos(x cos(x ( sin(x x π sin(x = sin(x,

5 Aufgabe 96*: (lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung, 0 Bonuspunkte Bestimme die Lösung der Differentialgleichung y (x y (x + 4 y (x 1 y(x = sin(x + cos( x zur Anfangsbedingung y(0 = y (0 = y (0 = 0. Das charakteristische Polynom λ λ + 4 λ 1 = (λ (λ + 4 hat die einfachen Nullstellen λ 1 =, λ = i, λ = i. Die allgemeine homogene Lösung ist damit y hom (x = c 1 e x + c e i x + c e i x = C 1 e x + C sin( x + C cos( x. Für die spezielle Lösung der inhomogenen DGL wird der Ansatz y(x = a sin(x + b cos(x + c x sin( x + d x cos( x gemacht (beachte Resonanz für den Term cos( x. Einsetzen in die inhomogene DGL liefert y (x y (x + 4 y (x 1 = sin(x + cos( x = ( a 9 b cos(x (9 a + b sin(x + (1 d 8 c sin( x (8 d + 1 c cos( x. Vergleich mit der rechten Seite sin(x + cos( x liefert a 9 b = 0, 9 a b = 1, 1 d 8 c = 0, 8 d 1 c = 1 a = 1 10, b = 1 0, c = 5, d = 1 6. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit y(x = C 1 e x + C sin( x + C cos( x 1 10 sin(x 1 0 cos(x 5 sin( x 1 cos( x. 6 Anpassen der Anfangsbedingungen: y(0 = C 1 + C 1 0 = 0, y (0 = C = 0, y (0 = 9 C 1 4 C = 0. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems für C 1, C, C ist (z.b. per MuPAD: also C 1 = , C = 1 676, C = 4 507, y(x = e x sin( x + cos( x sin(x 1 0 cos(x sin( x. 5

6 Aufgabe 97*: (Differentialgleichungen, Bonuspunkte a Betrachte die homogene lineare DGL zweiter Ordnung y (x + a 1 (x y (x + a 0 (x y(x = 0. Seien y 1 und y zwei Lösungen. Zeige, dass die Wronski-Determinante W = y 1 y y y 1 die lineare DGL erster Ordnung W (x = a 1 (x W (x erfüllt. b Eine Lösung y 1 der DGL (Schrödinger-Gleichung y (x + u(x y(x = 0 (mit einer vorgegebenen Funktion u(x sei bekannt. Benutze das obige Ergebnis für die Wronski-Determinante, um eine DGL 1-ter Ordnung für eine zweite Lösung y herzuleiten. Drücke y durch y 1 aus (eine Integration ist nötig. c Eine erste Lösung y 1 von y = y/x ist x. Finde mittels b eine davon linear unabhängige zweite Lösung. a Durch Einsetzen der DGL y = a 1 y a 0 y ergibt sich W = (y 1 y y y 1 = y 1 y y y 1 = y 1 ( a 1 y a 0 y y ( a 1 y 1 a 0 y 1 = a 1 (y 1 y y y 1 = a 1 W. b Die Lösung der DGL W = a 1 W für die Wronski-Determinante ergibt sich durch Separation der Variablen zu dw W = a 1(x dx ln( W ln( W (x 0 = W (x = W (x 0 e x a1(ξ dξ x0 x x0 a 1 (ξ dξ (Die Betragszeichen können entfallen, da W (x nicht das Vorzeichen wechseln kann und das selbe Vorzeichen wie W (x 0 haben muss. Für die DGL y + u 0 folgt mit a 1 (x = 0: W (x = const =: c. Einsetzen von W = y 1 y y y 1 liefert bei gegebenem y 1 eine DGL erster Ordnung für y : Nach Division durch y 1 erhält man y 1 y y y 1 = c. d dx y = y y 1 y 1 y y 1 y1 = c y1 x dξ y (x = c y 1 (x y1 (ξ.

7 c Aus der obigen Formel für y folgt mit y 1 (x = x : x y (x = c x dξ ( ξ 4 = c x 1 1 x + c 1 = c Damit ist aus einer ersten Lösung y 1 (x = x die allgemeine Lösung mit beliebigen Konstanten C 1, C konstruiert. y(x = C 1 x + C x C 1 1 x + c c 1 x. C

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