Ü b u n g s b l a t t 11
|
|
- Julian Frei
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte Finde alle isoelastischen Funktionen, d.h., bestimme die allgemeine Form der Funktionen f(x, die die Eigenschaft haben, dass die Elastizität konstant ist. ɛ f,x (x = f (x x f(x Setzen wir die Elastizität gleich einer Konstanten ɛ, so ergibt sich eine Differentialgleichung für f: Mit f(x, f (x = dx ɛ f,x (x = f (x x f(x = ɛ f (x f(x = ɛ x. lassen sich die Variablen sofort trennen: dx ɛ x ɛ x dx ɛ x dx ln( y = ɛ ln( x + c ln( y = ln( x ɛ + c y = e ln( x ɛ + c c x ɛ ±e c c e ln( x ɛ mit einer beliebigen Konstanten c. Damit ist die allgemeinste Form einer isoelastischen Funktion f(x = c x ɛ, wobei ɛ die konstante Elastizität ist. Aufgabe 9*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte a Bestimme die allgemeine Lösung der DGL y x y = 0. b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(1 = 1. a Separation: y x y = 0 dx = x y y = x dx y = x dx 1 x + c x + c. Hierbei wurde die Integrationskonstante als c eingeführt, damit das Ergebnis hübscher aussieht.
2 b Anpassen der Konstanten c an die Anfangsbedingung: y(1 = 1 + c y(1 = c 1 + c = y(1 c = y(1 1. Für y(1 = 1 ergibt sich c = 4, also ist die spezielle Lösung zu dieser Anfangsbedingung y(x = x 4 = 4 x. Aufgabe 9*: (Differentialgleichungen, Variation der Konstanten. 10 Bonuspunkte a Bestimme die allgemeine Lösung der DGL y x x 5. b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(1 = 1. a Wir brauchen zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y = x y. Wir benutzen direkt die Lösungsformel aus Beispiel 6.16 der Vorlesung: y h (x = c e F (x, wobei F (x irgendeine Stammfunktion von x ist, also z.b. F (x = x. Die homogene Lösung ist damit y h (x = c e x. Nun Variation der Konstanten. Ansatz für die inhomogene DGL: In die DGL y x x 5 eingesetzt ergibt sich y(x = c(x e x. c (x e x + c(x x e x x c(x e x = x 5 c (x = x 5 e x c(x = x 5 e x dx Es verbleibt, die Stammfunktion von x 5 e x zu finden. Substitution z = x, dz = x dx: x 5 e x dx = x 5 e z dz x = ( x e z dz = z e z dz. Partielle Integration: z e z dz = z f g f Rücksubstitution z = x c(x = : e z g 1 f e z dz = z e z e z + c. g x 5 e x dx = z e z e z = x e x e x + c.
3 Die allgemeine Lösung der DGL y x x 5 ist damit ( y(x = c(x e x = x e x e x + c e x = x + c e x mit einer beliebigen Konstanten c. b Anpassen der Anfangsbedingung: y(1 = 1 + c e 1 = 1 c e 1 = 5 c 5 e 1. Die spezielle Lösung zu dieser Anfangsbedingung ist damit y(x = x + 5 e 1 e x = x + 5 e x 1 = x + 5 e x 1. Aufgabe 94*: (Differentialgleichungen, 10 Bonuspunkte a Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y (x + y(x = e x. b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(0 = 1. a Löse zunächst die homogene DGL durch Separation: + y(x = 0 = y = dx dx dx y dx ln( y = x + c y = e x+ c ±e c e x c e x. c Variation der Konstanten: y(x = c(x e x eingesetzt in y (x + x: y (x + y(x = c (x e x + c(x ( e x + y(x = e x } {{ } 0 c (x e x = e x c (x = e x e x = e x c(x = e x dx = 1 e x + c 1. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit ( 1 y(x = c(x e x = e x + c 1 e x = 1 ex + c 1 e x (mit einer beliebigen Konstanten c 1. b Anpassen der freien Konstanten an die Anfangsbedingung: y(0 = 1 e0 + c 1 e 0 = 1 c 1 = 1 1 =. Die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y(0 = 1 ist damit y(x = 1 ex + e x
4 Kontrolle: y (x + y(x = 1 ex + ( e x + ( 1 ex + e x = e x, y(0 = 1 e0 + e 0 = 1. (ok Aufgabe 95*: (Differentialgleichungen, 10 Bonuspunkte a Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y (x cos(x y(x = sin(x. sin(x ( π b Finde die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung 0. a Löse zunächst die homogene DGL durch Separation: dx cos(x sin(x 0 dx = cos(x sin(x y cos(x sin(x dx cos(x sin(x dx. Mit der Substitution z = sin(x, dz = cos(x dx ergibt sich 1 ln( y = z dz = ln( z + c = ln( sin(x + c y = eln( sin(x + c = e ln( sin(x e c = sin(x e c ±e c sin(x c sin(x. c Variation der Konstanten: y(x = c(x sin(x eingesetzt in y (x cos(x sin(x sin(x: y (x cos(x sin(x c (x sin(x + c(x cos(x cos(x sin(x c(x sin(x (! = sin(x c (x sin(x = sin(x c (x = 1 c(x = x + c 1. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit y(x = c(x sin(x = (x + c 1 sin(x (mit einer beliebigen Konstanten c 1. b Anpassen der freien Konstanten an die Anfangsbedingung: ( π ( π ( π + c 1 sin = π + c 1 = 0 c 1 = π. Die spezielle Lösung zur Anfangsbedingung y( π = 0 ist damit ( y(x = x π sin(x. Kontrolle: y (x cos(x (x sin(x y(x = sin(x + π ( π ( π π ( π sin = 0 (OK. cos(x cos(x ( sin(x x π sin(x = sin(x,
5 Aufgabe 96*: (lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung, 0 Bonuspunkte Bestimme die Lösung der Differentialgleichung y (x y (x + 4 y (x 1 y(x = sin(x + cos( x zur Anfangsbedingung y(0 = y (0 = y (0 = 0. Das charakteristische Polynom λ λ + 4 λ 1 = (λ (λ + 4 hat die einfachen Nullstellen λ 1 =, λ = i, λ = i. Die allgemeine homogene Lösung ist damit y hom (x = c 1 e x + c e i x + c e i x = C 1 e x + C sin( x + C cos( x. Für die spezielle Lösung der inhomogenen DGL wird der Ansatz y(x = a sin(x + b cos(x + c x sin( x + d x cos( x gemacht (beachte Resonanz für den Term cos( x. Einsetzen in die inhomogene DGL liefert y (x y (x + 4 y (x 1 = sin(x + cos( x = ( a 9 b cos(x (9 a + b sin(x + (1 d 8 c sin( x (8 d + 1 c cos( x. Vergleich mit der rechten Seite sin(x + cos( x liefert a 9 b = 0, 9 a b = 1, 1 d 8 c = 0, 8 d 1 c = 1 a = 1 10, b = 1 0, c = 5, d = 1 6. Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist damit y(x = C 1 e x + C sin( x + C cos( x 1 10 sin(x 1 0 cos(x 5 sin( x 1 cos( x. 6 Anpassen der Anfangsbedingungen: y(0 = C 1 + C 1 0 = 0, y (0 = C = 0, y (0 = 9 C 1 4 C = 0. Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems für C 1, C, C ist (z.b. per MuPAD: also C 1 = , C = 1 676, C = 4 507, y(x = e x sin( x + cos( x sin(x 1 0 cos(x sin( x. 5
6 Aufgabe 97*: (Differentialgleichungen, Bonuspunkte a Betrachte die homogene lineare DGL zweiter Ordnung y (x + a 1 (x y (x + a 0 (x y(x = 0. Seien y 1 und y zwei Lösungen. Zeige, dass die Wronski-Determinante W = y 1 y y y 1 die lineare DGL erster Ordnung W (x = a 1 (x W (x erfüllt. b Eine Lösung y 1 der DGL (Schrödinger-Gleichung y (x + u(x y(x = 0 (mit einer vorgegebenen Funktion u(x sei bekannt. Benutze das obige Ergebnis für die Wronski-Determinante, um eine DGL 1-ter Ordnung für eine zweite Lösung y herzuleiten. Drücke y durch y 1 aus (eine Integration ist nötig. c Eine erste Lösung y 1 von y = y/x ist x. Finde mittels b eine davon linear unabhängige zweite Lösung. a Durch Einsetzen der DGL y = a 1 y a 0 y ergibt sich W = (y 1 y y y 1 = y 1 y y y 1 = y 1 ( a 1 y a 0 y y ( a 1 y 1 a 0 y 1 = a 1 (y 1 y y y 1 = a 1 W. b Die Lösung der DGL W = a 1 W für die Wronski-Determinante ergibt sich durch Separation der Variablen zu dw W = a 1(x dx ln( W ln( W (x 0 = W (x = W (x 0 e x a1(ξ dξ x0 x x0 a 1 (ξ dξ (Die Betragszeichen können entfallen, da W (x nicht das Vorzeichen wechseln kann und das selbe Vorzeichen wie W (x 0 haben muss. Für die DGL y + u 0 folgt mit a 1 (x = 0: W (x = const =: c. Einsetzen von W = y 1 y y y 1 liefert bei gegebenem y 1 eine DGL erster Ordnung für y : Nach Division durch y 1 erhält man y 1 y y y 1 = c. d dx y = y y 1 y 1 y y 1 y1 = c y1 x dξ y (x = c y 1 (x y1 (ξ.
7 c Aus der obigen Formel für y folgt mit y 1 (x = x : x y (x = c x dξ ( ξ 4 = c x 1 1 x + c 1 = c Damit ist aus einer ersten Lösung y 1 (x = x die allgemeine Lösung mit beliebigen Konstanten C 1, C konstruiert. y(x = C 1 x + C x C 1 1 x + c c 1 x. C
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrUniversität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrLineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
Mehr8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung
Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
MehrEntladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
MehrElemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen
Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
MehrEinfache Differentialgleichungen
Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrKernfach Mathematik Thema: Analysis
Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrKlassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
MehrMATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar?
MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN DR. ROGER ROBYR Die Aufgaben sollten alle ohne Unterlagen und ohne programmierbare oder graphikfähige Rechner gelöst werden können. Lösung. ) Gegeben sind die Mengen
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)
MehrMathematische Methoden in den Ingenieurwissenschaften 2. Übungsblatt
Prof. Dr. T. Apel J. Mihael Mathematishe Methoden in den Ingenieurwissenshaften. Übungsblatt Wintertrimester 5 Aufgabe 4 : (Variationsrehnung Extremalen Bestimmen Sie die Extremalen der folgenden Variationsprobleme
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrRekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)
Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrHauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg
Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrBevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable
MehrKapitel 15: Differentialgleichungen
FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrKorrelation (II) Korrelation und Kausalität
Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen
MehrHans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen
Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrMan kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall
4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
MehrDAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein
DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal
MehrSkalare Differentialgleichungen
Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen
MehrGleichungen und Ungleichungen
Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
Mehr( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der
ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
Mehr6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum
6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte
MehrFit in Mathe. Juni 2014 Klassenstufe 9. Lineare Funktionen
Thema Musterlösungen Juni 0 Klassenstufe 9 Lineare Funktionen a) Vervollständige die Tabelle mit den Funktionswerten: x 6 8 0 6 0 x 5 6 7 8 9 0 b) Gib die Funktionsgleichung an x 6 8 0 6 0 8 x,5,75,5 0,5-0,5
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrDie Näherung durch die Sekante durch die Punkte A und C ist schlechter, da der Punkt C weiter von A entfernt liegt.
LÖSUNGEN TEIL 1 Arbeitszeit: 50 min Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung. Begründen Sie, warum die Steigung der Sekante durch die Punkte A(0 2) und C(3 11) eine weniger gute Näherung für die Tangentensteigung
MehrKlausur Mathematik 2
Mathematik für Ökonomen WS 2014/15 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 17.02.2015, 12:30-14:30 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-
MehrErfolg im Mathe-Abi. H. Gruber, R. Neumann. Prüfungsaufgaben Hessen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Prüfungsaufgaben Hessen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen - plus Aufgaben für GTR und CAS Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Ganzrationale
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
MehrRente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen
5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei
MehrSerie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der
MehrÜbungsaufgaben Tilgungsrechnung
1 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Übungsaufgaben Tilgungsrechnung Überarbeitungsstand: 1.März 2016 Die grundlegenden Ideen der folgenden Aufgaben beruhen auf
MehrNichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen
Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrPhysik 4, Übung 8, Prof. Förster
Physik 4, Übung 8, Prof. Förster Christoph Hansen Emailkontakt Dieser Text ist unter dieser Creative Commons Lizenz veröffentlicht. Ich erhebe keinen Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit. Falls
MehrWürfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.
040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
Mehr6 Wechselstrom-Schaltungen
für Maschinenbau und Mechatronik Carl Hanser Verlag München 6 Wechselstrom-Schaltungen Aufgabe 6.1 Durch ein Grundeintor C = 0,47 µf an der Sinusspannung U = 42 V fließt ein Sinusstrom mit dem Effektivwert
Mehr7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe : Gegeben sei die Differentialgleichung 7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen y x) 2 x y x) + 5 x 2 y x) 5 x yx) = 0 für x > 0. Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrLösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:
Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom
MehrWachstum 2. Michael Dröttboom 1 LernWerkstatt-Selm.de
1. Herr Meier bekommt nach 3 Jahren Geldanlage 25.000. Er hatte 22.500 angelegt. Wie hoch war der Zinssatz? 2. Herr Meiers Vorfahren haben bei der Gründung Roms (753. V. Chr.) 1 Sesterze auf die Bank gebracht
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrMonatliche Grundgebühr: 5,00 Zeitabhängige Nutzung: Feiertags/Sonntags: 0,04 /min
Aufgabe 1: Wortvorschriften Gib zu den Wortvorschriften je eine Funktionsgleichung an: a) Jeder Zahl wird das Doppelte zugeordnet b) Jeder Zahl wird das um 6 verminderte Dreifache zugeordnet c) Jeder Zahl
MehrStochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008
Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
MehrInformationsblatt Induktionsbeweis
Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
MehrÜbung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy
Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Dr. Raimund Horn a Dipl. Chem. Barbara Bliss b Dipl. Phys. Lars Lasogga c a Fritz Haber Institut der Max Planck Gesellschaft
MehrMethoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen
Rekursionsgleichungen... Slide 1 Methoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen Bisher wurde Expandieren der Rekursion + Raten der Gesetzmäßigkeit benutzt, um einfache Rekursionsgleichungen zu lösen. Zum
MehrAbschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1
B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,
MehrLinearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben
Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt
MehrBestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
Mehru + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrSatz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich
Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes
MehrTEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge
TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Erste Fassung März 2013 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium
MehrNullserie zur Prüfungsvorbereitung
Nullserie zur Prüfungsvorbereitung Die folgenden Hilfsmittel und Bedingungen sind an der Prüfung zu beachten. Erlaubte Hilfsmittel Beliebiger Taschenrechner (Der Einsatz von Lösungs- und Hilfsprogrammen
MehrKap. 8: Speziell gewählte Kurven
Stefan Lucks 8: Spezielle Kurven 82 Verschl. mit Elliptischen Kurven Kap. 8: Speziell gewählte Kurven Zur Erinnerung: Für beliebige El. Kurven kann man den Algorithmus von Schoof benutzen, um die Anzahl
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
Mehr