Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich"

Transkript

1 Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und t 1, t 2,...,t n D(F )istf A (t 1, t 2,...,t n )=f (t 1, t 2,...,t n ). Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich A(t) =t. Ein Herbrand-Modell von F ist eine Herbrand-Struktur für F,die gleichzeitig ein Modell von F ist. Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik: Satz Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar, wenn F ein Herbrand-Modell besitzt. 241

2 Plan des Beweises π : D(F ) U A t t A t A 1 = ta 2 t 1 t 2 t A 4 t 4 t A 3 t 3 A π(d(f )) B =(D(F ), I B ) A A = y 1... y n : F } {{ } =F A (π(d(f ))) = y 1... y n : F B = y 1... y n : F 242

3 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Beweis: Falls F ein Herbrand-Modell hat, ist F natürlich erfüllbar. Sei nun F erfüllbar und sei A =(U A, I A ) ein Modell von F. Falls in F keine Konstante vorkommt, wählen wir uns eine neue Konstante a und ein beliebiges Element m U A aus und erweitern A durch a A = m (A ist dann immer noch ein Modell von F ). Wir definieren nun eine Herbrand-Struktur B =(D(F ), I B ): Seien f ein k-stelliges Funktionssymbole aus F und t 1,...,t k D(F ). Um eine Herbrand-Struktur zu konstruieren setzen wir f B (t 1,...,t k )=f (t 1,...,t k ) Sei P ein k-stellige Relationssymbol aus F und seien t 1,...,t k D(F ). Dann setze (t 1,...,t k ) P B : (t A 1,...,t A k ) PA. 243

4 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Behauptung 1: Ist G eine quantorenfreie Aussage, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G B = G. Diese Behauptung wird induktiv über den Aufbau von G gezeigt. G ist atomar, d.h. G = P(t 1,...,t k )für ein Relationssymbol P und variablenfreie Terme t 1,...,t k. (beachte: G ist eine Aussage, d.h.g enthält keine freien Variablen). A(G) =1 gdw. (t A 1,...,tA k ) PA gdw. (t 1,...,t n ) P B gdw. (t B 1,...,tB k ) PB gdw. B(G) =1 G = H. A(G) =1gdw. A(H) =0gdw. B(H) =0gdw. B(G) =1 244

5 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell G = G 1 G 2. A(G) =1 gdw. A(G 1 )=1undA(G 2 )=1 gdw. B(G 1 )=1undB(G 2 )=1 gdw. B(G) =1 G = G 1 G 2.völlig analog. Damit ist die Behauptung 1 bewiesen. Behauptung 1: Ist G eine quantorenfreie Aussage, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G B = G. 245

6 Intermezzo: Beh. 1 gilt nur für quantorenfreie Aussagen Betrachte die Formel F = x :(E(x, x) x = a). Ein Modell für F : A mit U A = {a A, m} und E A = {(m, m)}. Das konstruierte Herbrand-Modell B: U B = D(F )={a} und E B =. Betrachte nun die Formel G = x : E(x, x). Dann gilt B(G) =1undA(G) = 0. Für allgemeine Formeln in Skolemform (also u.u. mit Quantoren) können wir also Behauptung 1 nicht zeigen, sondern höchstens die folgende Abschwächung: Behauptung 2: Ist G eine Aussage in Skolemform, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G = B = G. 246

7 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Behauptung 2: Ist G eine Aussage in Skolemform, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G = B = G. (hieraus folgt dann B = F,daF die Bedingung der Behauptung erfüllt und wir A = F haben) Diese Behauptung wird induktiv über die Anzahl n der Quantoren in G bewiesen. Beachte: Da G in Skolemform ist, ist G von der Form y 1 y n : H, wobei H keine Quantoren enthält. Induktionsanfang: n = 0: Aus A(G) = 1 folgt B(G) = 1 nach Behauptung

8 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Induktionsschritt: Sei G = x : G. Aus A( x : G ) = 1 folgt für alle d U A gilt A [x/d] (G )=1. Wegen {A(t) t D(F )} U A folgt für alle t D(F ) gilt A [x/a(t)] (G )=1. Damit ergibt sich für alle t D(F ) gilt A(G [x/t]) =

9 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Wir haben für alle t D(F ) gilt A(G [x/t]) = 1. Die Terme t D(F )sindvariablenfrei.alsoistg [x/t] eine Aussage. Sie ist wieder in Skolemform und hat nur n 1Quantoren.Nachder Induktionsvoraussetzung erhalten wir und damit für alle t D(F ) gilt B(G [x/t]) = 1 für alle t D(F ) gilt B [x/b(t)] (G )=B [x/t] (G )=1. Dies besagt aber B(G) =B( x : G ) = 1. Damit ist Behauptung 2 und damit der Satz bewiesen. 249

10 Erfüllbarkeit und Herbrand-Modelle damit haben wir gezeigt: Satz Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar, wenn F ein Herbrand-Modell besitzt. 250

11 Ein Abstecher: Der Satz von Löwenheim und Skolem Eine Menge A ist abzählbar, wenna endlich ist oder wenn es eine Bijektion N A gibt. beachte: Das Universum D(F )einerherbrand-strukturistabzählbar. Satz von Löwenheim und Skolem (1915) Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik besitzt ein abzählbares Modell (d.h. ein Modell mit abzählbarer Grundmenge). Leopold Löwenheim Thoralf Skolem ( ) ( ) 251

12 Beweis des Satzes von Löwenheim und Skolem Satz von Löwenheim und Skolem Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik besitzt ein abzählbares Modell (d.h. ein Modell mit abzählbarer Grundmenge). Beweis: Sei F erfüllbare Formel der Prädikatenlogik. Sei F die erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform, die im Satz auf Folie 231 berechnet wird. Dann ist also auch F erfüllbar. Nach dem Satz auf Folie 241 hat F ein Herbrand-Modell A. Im Beweis des Satzes auf Folie 231 ist insbesondere gezeigt, daß jedes Modell von F auch ein Modell von F ist. Also hat F ein abzählbares Modell (da jedes Herbrand-Modell abzählbar ist). 252

13 Die Herbrand-Expansion Sei F = y 1 y 2... y n : F Aussage in Skolemform. Ziel: Konstruktion einer Menge aussagenlogischer Formeln, die genau dann erfüllbar sind, wenn F ein Herbrand-Modell hat. Die Herbrand-Expansion von F ist die Menge der Aussagen E(F )={F [y 1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ] t 1, t 2,...,t n D(F )} Die Formeln von E(F )entstehenalsoausf,indemdie(variablenfreien) Terme aus D(F )injedermöglichen Weise in F substituiert werden. Wir betrachten die Herbrand-Expansion von F im folgenden als eine Menge von aussagenlogischen Formeln. Die atomaren Formeln sind hierbei von der Gestalt P(t 1,...,t n ), wobei P ein in F vorkommendes Prädikatensymbol ist und t 1,...,t n D(F ). 253

14 Die Herbrand-Expansion Beispiel: F = x y :(P(a, x) R(f (y))). Das Herbrand-Universum von F ist D(F )={a, f (a), f (f (a)),...}. Die Herbrand-Expansion von F ist damit E(F )={P(a, f m (a)) R(f (f n (a))) m, n 0} Damit ergeben sich als atomare Formeln P(a, f m (a)) für m 0undR(f n (a)) für n 1 Die Belegung B mit B(P(a, f m (a))) = 1 für m 0 und B(R(f n (a))) = 0 für n 1 erfüllt offenbar E(F ) im aussagenlogischen Sinn: B(G) =1für alle G E(F ). Auch die Formel F = x y :(P(a, x) R(f (y))) ist erfüllbar. Wie der folgende Satz zeigt, ist dies kein Zufall. 254

15 Satz von Gödel-Herbrand-Skolem Satz von Gödel-Herbrand-Skolem Für jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfüllbar genau dann, wenn die Formelmenge E(F ) (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar ist. Beweis: Es genügt zu zeigen, daß F = y 1 y 2 y n : F genau dann ein Herbrand-Modell besitzt, wenn E(F )erfüllbar ist: A ist ein Herbrand-Modell für F gdw. für alle t 1, t 2,...,t n D(F ) gilt A [y1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ](F )=1 gdw. für alle t 1, t 2,...,t n D(F ) gilt A(F [y 1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ]) = 1 gdw. für alle G E(F ) gilt A(G) =1 gdw. A ist ein Modell für E(F )(im prädikatenlogischen Sinne) gdw. die Belegung B mit B(P(t 1,...,t n )) = 1 (t 1,...,t n ) P A ist ein Modell von E(F ) (im aussagenlogischen Sinne) 255

16 Satz von Herbrand Satz von Herbrand Eine Aussage F in Skolemform ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge von E(F ) gibt, die (im aussagenlogischen Sinn) unerfüllbar ist. Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von Gödel-Herbrand-Skolem und des Endlichkeitssatzes der Aussagenlogik (Folie 149). Jacques Herbrand ( ) 256

17 Algorithmus von Gilmore Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei F 1, F 2, F 3,... eine Aufzählung von E(F ). Algorithmus von Gilmore Eingabe: F n := 0; repeat n := n + 1; until (F 1 F 2... F n )istunerfüllbar; (dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik, z.b. Wahrheitstafeln, getestet werden) Gib unerfüllbar aus und stoppe. 257

18 Algorithmus von Gilmore Aus dem Satz von Herbrand folgt: Satz Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform. Dann gilt: Wenn die Eingabeformel F unerfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus von Gilmore nach endlicher Zeit mit dem Output unerfüllbar. Wenn die Eingabeformel F erfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus von Gilmore nicht, d.h.er läuft unendlich lange. Man sagt auch: Das Unerfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln ist semi-entscheidbar (mehr dazu in der Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität ) 258

19 Ausblick: Berechenbarkeit und Komplexität Dort werden wir sehen: Es gibt keinen Algorithmus, der als Eingabe eine prädikatenlogische Aussage bekommt, und folgende Eigenschaften hat: Wenn F erfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus nach endlicher Zeit mit dem Output erfüllbar. Wenn F unerfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus nach endlicher Zeit mit dem Output unerfüllbar. Man sagt auch: Das (Un)erfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln ist nicht entscheidbar. 259

20 Resolution in der Prädikatenlogik Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis aber unbrauchbar. Daher ist unser Programm der nächsten Stunden: Wie sieht Resolution in der Prädikatenlogik aus? 260

21 Wiederholung: Resolution in der Aussagenlogik Resolutionsschritt: Mini-Beispiel: {L 1,...,L n, A} {L 1,...,L m, A} {L 1,...,L n, L 1,...,L m} { A, B} {A} {B} { B} Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn die leere Klausel abgeleitet werden kann. 261

22 Anpassung des Algorithmus von Gilmore Algorithmus von Gilmore: Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei {F 1, F 2, F 3,...} eine Aufzählung von E(F ). Eingabe: F n := 0; repeat n := n + 1; until (F 1 F 2... F n )istunerfüllbar; (dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik, z.b. Wahrheitstafeln oder Resolution, getestet werden) Gib unerfüllbar aus und stoppe. 262

23 Die Resolutionshülle Res(F )(Wiederholung) Definition Sei F eine Menge von Klauseln. Dann ist Res(F )=F {R R ist Resolvente zweier Klauseln in F }. Außerdem setzen wir Res 0 (F )=F Res n+1 (F )=Res(Res n (F )) für n 0 Res (F )= n 0 Res n (F ). Res (F )wirdauchalsdieresolutionshülle von F bezeichnet. 263

24 Grundresolutionsalgorithmus F sei in Klauselform, d.h. F = y 1 y 2 y n : F, wobei F in KNF ist. Sei F 1, F 2, F 3,... eine Aufzählung der Herbrand-Expansion von F. Wir betrachten F als eine Menge von Klauseln, dann ist auch jedes F i eine Menge von Klauseln. Eingabe: eine Aussage F in Klauselform (d.h. F in Skolemform, F in KNF) i := 0; M := ; repeat i := i + 1; M := M F i ; M := Res (M) until M Gib unerfüllbar aus und stoppe. Warum der Name Grundresolution? Im Gegensatz zu späteren Verfahren werden Terme ohne Variable (= Grundterme ) substituiert, um die Formeln der Herbrand-Expansion zu erhalten. 264

25 Grundresolutionssatz Den Grundresolutionsalgorithmus kann man auch in folgenden Grundresolutionssatz umformulieren: Grundresolutionssatz Eine Aussage in Klauselform F = y 1... y k : F ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine Folge von Klauseln K 1,...,K n gibt mit der Eigenschaft: K n ist die leere Klausel Für i =1,...,n gilt: K i ist eine Grundinstanz einer Klausel K F,d.h. K i = K[y 1 /t 1 ]...[y k /t k ]mitt i D(F ) oder K i ist (aussagenlogische) Resolvente zweier Klauseln K a, K b mit a, b < i 265

Wiederholung: Resolution in der Aussagenlo. Resolution in der Prädikatenlogik. Definition von Res(F) (Wiederholung)

Wiederholung: Resolution in der Aussagenlo. Resolution in der Prädikatenlogik. Definition von Res(F) (Wiederholung) Resolution in der Prädikatenlogik Wiederholung: Resolution in der Aussagenlo Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis aber unbrauchbar. Daher ist unser Programm der nächsten Stunden:

Mehr

Herbrand-Universum. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Herbrand-Universum. Herbrand-Universum

Herbrand-Universum. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Herbrand-Universum. Herbrand-Universum Herbrand-Universum Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Motivation: Um die Erfüllbarkeit/Unerfüllbarkeit einer prädikatenlogischen

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle

Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung

Mehr

Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle

Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung

Mehr

Erfüllbarkeitstests. Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl.

Erfüllbarkeitstests. Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Erfüllbarkeitstests Im folgenden: Ein sehr effizienter Erfüllbarkeitstest für eine spezielle Klasse von Formeln in KNF, sogenannte Hornformeln (vgl. Grundlagen und diskrete Strukturen ) Ein für Formeln

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:

Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise: Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 5.4 Prädikatenlogik mit Gleichheit Resolution 192 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Resolution

Formale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Resolution Formale Grundlagen der Informatik 3 Kapitel 4 Prädikatenlogik Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. November 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Eine besondere Formel

Mehr

Ablauf. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution. Eine besondere Formel. Eine besondere Formel

Ablauf. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution. Eine besondere Formel. Eine besondere Formel Ablauf Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Juni 2015 Wir werden heute die Themen aus den Kapitel 2.3, 2.4 und 2.5 aus

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Resolution Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 21 Prädikatenlogische Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 30. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/41 Ablauf Unendliche

Mehr

1 Aussagenlogische Formeln

1 Aussagenlogische Formeln 1 Aussagenlogische Formeln Aufgabe 1.1 Transformieren Sie die Formel in disjunktive Normalform (DNF). ((:A! :B) ^ D)! ((A _ C) $ (:B ^ D)) Lösung 1.1 Schrittweise Transformation: Schritt 1: ((:A! :B) ^

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 23. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/25 Motivation Die ist eine Erweiterung

Mehr

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1 Prädikatenlogik 1. Syntax und Semantik Man kann die Prädikatenlogik unter einem syntaktischen und einem semantischen Gesichtspunkt sehen. Bei der Behandlung syntaktischer Aspekte macht man sich Gedanken

Mehr

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften

Mehr

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen

Mehr

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4

Mehr

Sogar Strukturen mit unendlichem Universum müssen betrachtet werden:

Sogar Strukturen mit unendlichem Universum müssen betrachtet werden: 3.4 Unentscheidbarkeit In der Aussagenlogik gibt es für jede Formel eine endliche Menge von Belegungen. In Prädikatenlogik Beschränkung auf endliche Menge von Strukturen nicht möglich. Sogar Strukturen

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Normalformen Atome, Literale, Klauseln Konjunktive

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale

Mehr

Normalform. 2.1 Äquivalenz und Folgerung. 2.2 Die pränexe Normalform

Normalform. 2.1 Äquivalenz und Folgerung. 2.2 Die pränexe Normalform 2 Normalformen 2.1 Äquivalenz und Folgerung Definition 2.1 Äquivalenz, Folgerung). Seien ϕ, ψ FO[σ]. a) ϕ und ψ heißen äquivalent kurz: ϕ ψ, bzw. ϕ = ψ), wenn für alle zu ϕ und ψ äquivalent passenden σ-interpretationen

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Vorlesung Logik SoSe 2014

Vorlesung Logik SoSe 2014 Vorlesung Logik SoSe 2014 Prof.Dr. Jacobo Torán Mo 12 14, H20 Übungen: Simon Straub 1 Logik Logik ist ein Versuch zur Formalisierung und Mechanisierung des menschlischen Schließens. In der formalen Logik

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

Resolutionsalgorithmus

Resolutionsalgorithmus 112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren:

Resolutionskalkül. wird t als eine Menge K t von Klauseln geschrieben, welche die einzelnen Maxterme repräsentieren: Resolutionskalkül Ein Kalkül ist eine Kollektion von syntaktischen Umformungsregeln, die unter gegebenen Voraussetzungen aus bereits vorhandenen Formeln neue Formeln erzeugen. Der Resolutionskalkül besteht

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Motivation Die ist eine Erweiterung

Mehr

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren)

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren) Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken klassische Aussagenlogik klassische Prädikatenlogik: Wiederholung Syntax, Semantik Normalformen: bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung)

Mehr

Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe

Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme Formeln Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, 3.... Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3...

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Aufgabe - Fortsetzung

Aufgabe - Fortsetzung Aufgabe - Fortsetzung NF: Nicht-Formel F: Formel A: Aussage x :( y : Q(x, y) R(x, y)) z :(Q(z, x) R(y, z)) y :(R(x, y) Q(x, z)) x :( P(x) P(f (a))) P(x) x : P(x) x y :((P(y) Q(x, y)) P(x)) x x : Q(x, x)

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 18: Logik Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/35 Überblick Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe Theorien und

Mehr

Prädikatenlogische Entscheidbarkeitsprobleme

Prädikatenlogische Entscheidbarkeitsprobleme Prädikatenlogische Entscheidbarkeitsprobleme Erfüllbarkeitsproblem: Gegeben: prädikatenlogischer Ausdruck A über einer Signatur S Frage: Ist A erfüllbar? Gültigkeitsproblem: Gegeben: prädikatenlogischer

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Die ist eine Erweiterung

Mehr

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Institut für Informatik Sommersemester 2001 Universität Zürich 9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Reinhard Riedl (riedl@ifi.unizh.ch) Nadine Korolnik (korolnik@ifi.unizh.ch)

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische

Mehr

Wissensbasierte Systeme

Wissensbasierte Systeme WBS4 Slide 1 Wissensbasierte Systeme Vorlesung 4 vom 03.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel WBS4 Slide 2 Wissensbasierte Systeme 1. Motivation 2. Prinzipien und Anwendungen 3. Logische Grundlagen 4. Suchstrategien

Mehr

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität

Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Korrelation (II) Korrelation und Kausalität Situation: Seien X, Y zwei metrisch skalierte Merkmale mit Ausprägungen (x 1, x 2,..., x n ) bzw. (y 1, y 2,..., y n ). D.h. für jede i = 1, 2,..., n bezeichnen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Fixpunktsemantik logischer Programme Pascal Hitzler Juli 1997 Kurzuberblick im Rahmen der Vorlesung Einfuhrung in Prolog von T. Cornell im Sommersemester 1997 an der Universitat Tubingen. Beweise sind

Mehr

Klausur für Studiengänge INF und IST

Klausur für Studiengänge INF und IST Familienname: Matrikelnummer: Studiengang: (bitte ankreuzen) INF IST MED Vorname: Email-Adresse: Immatrikulationsjahr: Klausur für Studiengänge INF und IST sowie Leistungsschein für Studiengang Medieninformatik

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Resolution (Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Resolution (Idee) Resolution (Idee)

Resolution (Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Resolution (Idee) Resolution (Idee) (Motivation) Vorlesung Logik Sommersemester 0 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests, die zumindest in vielen Fällen gutartiges

Mehr

Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen

Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume & Dr. Sander Bruggink Barbara König Logik 1 (Motivation) Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests,

Mehr

Widerspruchsbasiertes Kalkül. Präinterpretation. Variablenzuweisung. Interpretation

Widerspruchsbasiertes Kalkül. Präinterpretation. Variablenzuweisung. Interpretation Widerspruchsbasiertes Kalkül Ziel: Zeige dass gilt: x 1 x s (B 1 B n ) Mittel: Negiere so dass: B 1 B n Resultate: Widerspruch Variablenbindungen [y/5.6.17.22.nil] für sort(17.22.6.5.nil,y) Präinterpretation

Mehr

FORMALE SYSTEME. 23. Vorlesung: Logisches Schließen. TU Dresden, 15. Januar Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme

FORMALE SYSTEME. 23. Vorlesung: Logisches Schließen. TU Dresden, 15. Januar Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme FORMALE SYSTEME 23. Vorlesung: Logisches Schließen Markus Krötzsch Professur für Wissensbasierte Systeme TU Dresden, 15. Januar 2018 Rückblick Markus Krötzsch, 15. Januar 2018 Formale Systeme Folie 2 von

Mehr

Prädikatenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe

Prädikatenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe Prädikatenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Normalformen und Grenzen der Prädikatenlogik 1. Stufe 3 Teil 3: Modellierung und Beweise 4 Teil 4: Substitution, Unifikation und Resolution

Mehr

Resolution für die Aussagenlogik

Resolution für die Aussagenlogik Resolution für die Aussagenlogik Der Resolutionskakül ist ein Beweiskalkül, der auf Klauselmengen, d.h. Formeln in KNF arbeitet und nur eine Schlußregel besitzt. Der Resolution liegt die folgende Vorstellung

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Martin Kreuzer Stefan Kühling Logik für Informatiker Higher Education München Harlow Amsterdam Madrid Boston San Francisco Don Mills Mexico City Sydney a part of Pearson plc worldwide 4 PRÄDIKATENLOGIK

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch

Syntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei

Mehr

Logikprogrammierung. gehalten von Prof Dr. Jürgen Giesl im Sommersemester 2006 an der RWTH Aachen

Logikprogrammierung. gehalten von Prof Dr. Jürgen Giesl im Sommersemester 2006 an der RWTH Aachen Logikprogrammierung gehalten von Prof Dr. Jürgen Giesl im Sommersemester 2006 an der RWTH Aachen eine studentische Mitschrift von Florian Heller florian@heller-web.net Diese Mitschrift erhebt keinen Anspruch

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

6.1 Syntax und Semantik von Constraint-Logikprogrammen

6.1 Syntax und Semantik von Constraint-Logikprogrammen Kapitel 6 Logikprogrammierung mit Constraints Nachdem wir nun sowohl die reine Logikprogrammierung als auch ihre Implementierung in der Sprache Prolog betrachtet haben, wollen wir uns zum Schluss mit einer

Mehr

Prolog basiert auf Prädikatenlogik

Prolog basiert auf Prädikatenlogik Software-Technologie Software-Systeme sind sehr komplex. Im Idealfall erfolgt die Programmierung problemorientiert, während die notwendige Übertragung in ausführbare Programme automatisch erfolgt. Prolog-Philosophie:

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Logische und funktionale Programmierung

Logische und funktionale Programmierung Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 06.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax (Formeln) Semantik Wertebelegungen/Valuationen/Modelle

Mehr

Problem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten

Problem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten 2.6 Verfeinerung der Resolution Problem der Resolution: Kombinatorische Explosion Ziel: Einschränkung der Möglichkeiten Resolutions-Strategien: heuristische Regeln für die Auswahl der Resolventen Resolutions-Restriktionen:

Mehr

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN

PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN PROSEMINAR ONLINE ALGORITHMEN im Wintersemester 2000/2001 Prof. Dr. Rolf Klein, Dr. Elmar Langetepe, Dipl. Inform. Thomas Kamphans (Betreuer) Vortrag vom 15.11.2000 von Jan Schmitt Thema : Finden eines

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Ralf Möller, TUHH. Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem. Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik

Ralf Möller, TUHH. Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem. Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik Ralf Möller, TUHH Beim vorigen Mal: Heute: Prädikatenlogik: Algorithmus für Erfüllbarkeitsproblem Lernziele: Beweisverfahren für Prädikatenlogik Danksagung Bildmaterial: S. Russell, P. Norvig, Artificial

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013

Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013 Übung Theoretische Grundlagen Nachtrag zur Vorlesung Dirk Achenbach 21.11.2013 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory of the

Mehr

Logik Grundvorlesung WS 17/18 Folien Teil 2: Prädikatenlogik

Logik Grundvorlesung WS 17/18 Folien Teil 2: Prädikatenlogik Logik Grundvorlesung WS 17/18 Folien Teil 2: Prädikatenlogik Gerhard Brewka Institut für Informatik Universität Leipzig brewka@informatik.uni-leipzig.de G. Brewka (Leipzig) WS 17/18 1 / 43 Motivation Aussagenlogik:

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Lehrstuhl für Softwaretechnik und Programmiersprachen Professor Dr. Michael Leuschel Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012 Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Disclaimer: Bei Folgendem

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen Berechenbarkeit und Komlexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.uni-linz.ac.at Research Institute for Symbolic Comutation (RISC) Johannes Keler University,

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 9 25. Juli 2011 Einführung in die Theoretische Informatik

Mehr

Aufgabe 1: MC (10 Punkte) wahr 1P, falsch 0P, keine Ahnung 0.5P. Jede Struktur hat mindestens eine Substruktur

Aufgabe 1: MC (10 Punkte) wahr 1P, falsch 0P, keine Ahnung 0.5P. Jede Struktur hat mindestens eine Substruktur Aufgabe 1: MC (10 Punkte) wahr 1P, falsch 0P, keine Ahnung 0.5P Jede Struktur hat mindestens eine Substruktur JA Jeder Isomorphismus ist ein Homomorphismus JEIN? jeder bijektive Homomorphismus ist ein

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Grundlagen der Logik

Grundlagen der Logik Grundlagen der Logik Denken Menschen logisch? Selektionsaufgabe nach Watson (1966): Gegeben sind vier Karten von denen jede auf der einen Seite mit einem Buchstaben, auf der anderen Seite mit einer Zahl

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 21.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Determinierte endliche Automaten (DEAs) Indeterminierte

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr