Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Satz. Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich"

Transkript

1 Herbrand-Strukturen und Herbrand-Modelle Sei F eine Aussage in Skolemform. Dann heißt jede zu F passende Struktur A =(U A, I A )eineherbrand-struktur für F, falls folgendes gilt: 1 U A = D(F ), 2 für jedes in F vorkommende n-stellige Funktionssymbol f und t 1, t 2,...,t n D(F )istf A (t 1, t 2,...,t n )=f (t 1, t 2,...,t n ). Für jede Herbrand-Struktur A für F und alle t D(F ) gilt offensichtlich A(t) =t. Ein Herbrand-Modell von F ist eine Herbrand-Struktur für F,die gleichzeitig ein Modell von F ist. Der fundamentale Satz der Prädikatenlogik: Satz Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar, wenn F ein Herbrand-Modell besitzt. 241

2 Plan des Beweises π : D(F ) U A t t A t A 1 = ta 2 t 1 t 2 t A 4 t 4 t A 3 t 3 A π(d(f )) B =(D(F ), I B ) A A = y 1... y n : F } {{ } =F A (π(d(f ))) = y 1... y n : F B = y 1... y n : F 242

3 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Beweis: Falls F ein Herbrand-Modell hat, ist F natürlich erfüllbar. Sei nun F erfüllbar und sei A =(U A, I A ) ein Modell von F. Falls in F keine Konstante vorkommt, wählen wir uns eine neue Konstante a und ein beliebiges Element m U A aus und erweitern A durch a A = m (A ist dann immer noch ein Modell von F ). Wir definieren nun eine Herbrand-Struktur B =(D(F ), I B ): Seien f ein k-stelliges Funktionssymbole aus F und t 1,...,t k D(F ). Um eine Herbrand-Struktur zu konstruieren setzen wir f B (t 1,...,t k )=f (t 1,...,t k ) Sei P ein k-stellige Relationssymbol aus F und seien t 1,...,t k D(F ). Dann setze (t 1,...,t k ) P B : (t A 1,...,t A k ) PA. 243

4 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Behauptung 1: Ist G eine quantorenfreie Aussage, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G B = G. Diese Behauptung wird induktiv über den Aufbau von G gezeigt. G ist atomar, d.h. G = P(t 1,...,t k )für ein Relationssymbol P und variablenfreie Terme t 1,...,t k. (beachte: G ist eine Aussage, d.h.g enthält keine freien Variablen). A(G) =1 gdw. (t A 1,...,tA k ) PA gdw. (t 1,...,t n ) P B gdw. (t B 1,...,tB k ) PB gdw. B(G) =1 G = H. A(G) =1gdw. A(H) =0gdw. B(H) =0gdw. B(G) =1 244

5 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell G = G 1 G 2. A(G) =1 gdw. A(G 1 )=1undA(G 2 )=1 gdw. B(G 1 )=1undB(G 2 )=1 gdw. B(G) =1 G = G 1 G 2.völlig analog. Damit ist die Behauptung 1 bewiesen. Behauptung 1: Ist G eine quantorenfreie Aussage, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G B = G. 245

6 Intermezzo: Beh. 1 gilt nur für quantorenfreie Aussagen Betrachte die Formel F = x :(E(x, x) x = a). Ein Modell für F : A mit U A = {a A, m} und E A = {(m, m)}. Das konstruierte Herbrand-Modell B: U B = D(F )={a} und E B =. Betrachte nun die Formel G = x : E(x, x). Dann gilt B(G) =1undA(G) = 0. Für allgemeine Formeln in Skolemform (also u.u. mit Quantoren) können wir also Behauptung 1 nicht zeigen, sondern höchstens die folgende Abschwächung: Behauptung 2: Ist G eine Aussage in Skolemform, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G = B = G. 246

7 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Behauptung 2: Ist G eine Aussage in Skolemform, die nur Symbole aus F verwendet, so gilt A = G = B = G. (hieraus folgt dann B = F,daF die Bedingung der Behauptung erfüllt und wir A = F haben) Diese Behauptung wird induktiv über die Anzahl n der Quantoren in G bewiesen. Beachte: Da G in Skolemform ist, ist G von der Form y 1 y n : H, wobei H keine Quantoren enthält. Induktionsanfang: n = 0: Aus A(G) = 1 folgt B(G) = 1 nach Behauptung

8 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Induktionsschritt: Sei G = x : G. Aus A( x : G ) = 1 folgt für alle d U A gilt A [x/d] (G )=1. Wegen {A(t) t D(F )} U A folgt für alle t D(F ) gilt A [x/a(t)] (G )=1. Damit ergibt sich für alle t D(F ) gilt A(G [x/t]) =

9 F erfüllbar gdw. F hat ein Herbrand-Modell Wir haben für alle t D(F ) gilt A(G [x/t]) = 1. Die Terme t D(F )sindvariablenfrei.alsoistg [x/t] eine Aussage. Sie ist wieder in Skolemform und hat nur n 1Quantoren.Nachder Induktionsvoraussetzung erhalten wir und damit für alle t D(F ) gilt B(G [x/t]) = 1 für alle t D(F ) gilt B [x/b(t)] (G )=B [x/t] (G )=1. Dies besagt aber B(G) =B( x : G ) = 1. Damit ist Behauptung 2 und damit der Satz bewiesen. 249

10 Erfüllbarkeit und Herbrand-Modelle damit haben wir gezeigt: Satz Sei F eine Aussage in Skolemform. F ist genau dann erfüllbar, wenn F ein Herbrand-Modell besitzt. 250

11 Ein Abstecher: Der Satz von Löwenheim und Skolem Eine Menge A ist abzählbar, wenna endlich ist oder wenn es eine Bijektion N A gibt. beachte: Das Universum D(F )einerherbrand-strukturistabzählbar. Satz von Löwenheim und Skolem (1915) Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik besitzt ein abzählbares Modell (d.h. ein Modell mit abzählbarer Grundmenge). Leopold Löwenheim Thoralf Skolem ( ) ( ) 251

12 Beweis des Satzes von Löwenheim und Skolem Satz von Löwenheim und Skolem Jede erfüllbare Formel der Prädikatenlogik besitzt ein abzählbares Modell (d.h. ein Modell mit abzählbarer Grundmenge). Beweis: Sei F erfüllbare Formel der Prädikatenlogik. Sei F die erfüllbarkeitsäquivalente Formel in Skolemform, die im Satz auf Folie 231 berechnet wird. Dann ist also auch F erfüllbar. Nach dem Satz auf Folie 241 hat F ein Herbrand-Modell A. Im Beweis des Satzes auf Folie 231 ist insbesondere gezeigt, daß jedes Modell von F auch ein Modell von F ist. Also hat F ein abzählbares Modell (da jedes Herbrand-Modell abzählbar ist). 252

13 Die Herbrand-Expansion Sei F = y 1 y 2... y n : F Aussage in Skolemform. Ziel: Konstruktion einer Menge aussagenlogischer Formeln, die genau dann erfüllbar sind, wenn F ein Herbrand-Modell hat. Die Herbrand-Expansion von F ist die Menge der Aussagen E(F )={F [y 1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ] t 1, t 2,...,t n D(F )} Die Formeln von E(F )entstehenalsoausf,indemdie(variablenfreien) Terme aus D(F )injedermöglichen Weise in F substituiert werden. Wir betrachten die Herbrand-Expansion von F im folgenden als eine Menge von aussagenlogischen Formeln. Die atomaren Formeln sind hierbei von der Gestalt P(t 1,...,t n ), wobei P ein in F vorkommendes Prädikatensymbol ist und t 1,...,t n D(F ). 253

14 Die Herbrand-Expansion Beispiel: F = x y :(P(a, x) R(f (y))). Das Herbrand-Universum von F ist D(F )={a, f (a), f (f (a)),...}. Die Herbrand-Expansion von F ist damit E(F )={P(a, f m (a)) R(f (f n (a))) m, n 0} Damit ergeben sich als atomare Formeln P(a, f m (a)) für m 0undR(f n (a)) für n 1 Die Belegung B mit B(P(a, f m (a))) = 1 für m 0 und B(R(f n (a))) = 0 für n 1 erfüllt offenbar E(F ) im aussagenlogischen Sinn: B(G) =1für alle G E(F ). Auch die Formel F = x y :(P(a, x) R(f (y))) ist erfüllbar. Wie der folgende Satz zeigt, ist dies kein Zufall. 254

15 Satz von Gödel-Herbrand-Skolem Satz von Gödel-Herbrand-Skolem Für jede Aussage F in Skolemform gilt: F ist erfüllbar genau dann, wenn die Formelmenge E(F ) (im aussagenlogischen Sinn) erfüllbar ist. Beweis: Es genügt zu zeigen, daß F = y 1 y 2 y n : F genau dann ein Herbrand-Modell besitzt, wenn E(F )erfüllbar ist: A ist ein Herbrand-Modell für F gdw. für alle t 1, t 2,...,t n D(F ) gilt A [y1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ](F )=1 gdw. für alle t 1, t 2,...,t n D(F ) gilt A(F [y 1 /t 1 ][y 2 /t 2 ]...[y n /t n ]) = 1 gdw. für alle G E(F ) gilt A(G) =1 gdw. A ist ein Modell für E(F )(im prädikatenlogischen Sinne) gdw. die Belegung B mit B(P(t 1,...,t n )) = 1 (t 1,...,t n ) P A ist ein Modell von E(F ) (im aussagenlogischen Sinne) 255

16 Satz von Herbrand Satz von Herbrand Eine Aussage F in Skolemform ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge von E(F ) gibt, die (im aussagenlogischen Sinn) unerfüllbar ist. Beweis: Ummittelbare Folge des Satzes von Gödel-Herbrand-Skolem und des Endlichkeitssatzes der Aussagenlogik (Folie 149). Jacques Herbrand ( ) 256

17 Algorithmus von Gilmore Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei F 1, F 2, F 3,... eine Aufzählung von E(F ). Algorithmus von Gilmore Eingabe: F n := 0; repeat n := n + 1; until (F 1 F 2... F n )istunerfüllbar; (dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik, z.b. Wahrheitstafeln, getestet werden) Gib unerfüllbar aus und stoppe. 257

18 Algorithmus von Gilmore Aus dem Satz von Herbrand folgt: Satz Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform. Dann gilt: Wenn die Eingabeformel F unerfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus von Gilmore nach endlicher Zeit mit dem Output unerfüllbar. Wenn die Eingabeformel F erfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus von Gilmore nicht, d.h.er läuft unendlich lange. Man sagt auch: Das Unerfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln ist semi-entscheidbar (mehr dazu in der Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität ) 258

19 Ausblick: Berechenbarkeit und Komplexität Dort werden wir sehen: Es gibt keinen Algorithmus, der als Eingabe eine prädikatenlogische Aussage bekommt, und folgende Eigenschaften hat: Wenn F erfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus nach endlicher Zeit mit dem Output erfüllbar. Wenn F unerfüllbar ist, dann terminiert der Algorithmus nach endlicher Zeit mit dem Output unerfüllbar. Man sagt auch: Das (Un)erfüllbarkeitsproblem für prädikatenlogische Formeln ist nicht entscheidbar. 259

20 Resolution in der Prädikatenlogik Der Algorithmus von Gilmore funktioniert zwar, ist in der Praxis aber unbrauchbar. Daher ist unser Programm der nächsten Stunden: Wie sieht Resolution in der Prädikatenlogik aus? 260

21 Wiederholung: Resolution in der Aussagenlogik Resolutionsschritt: Mini-Beispiel: {L 1,...,L n, A} {L 1,...,L m, A} {L 1,...,L n, L 1,...,L m} { A, B} {A} {B} { B} Eine Klauselmenge ist unerfüllbar genau dann, wenn die leere Klausel abgeleitet werden kann. 261

22 Anpassung des Algorithmus von Gilmore Algorithmus von Gilmore: Sei F eine prädikatenlogische Aussage in Skolemform und sei {F 1, F 2, F 3,...} eine Aufzählung von E(F ). Eingabe: F n := 0; repeat n := n + 1; until (F 1 F 2... F n )istunerfüllbar; (dies kann mit Mitteln der Aussagenlogik, z.b. Wahrheitstafeln oder Resolution, getestet werden) Gib unerfüllbar aus und stoppe. 262

23 Die Resolutionshülle Res(F )(Wiederholung) Definition Sei F eine Menge von Klauseln. Dann ist Res(F )=F {R R ist Resolvente zweier Klauseln in F }. Außerdem setzen wir Res 0 (F )=F Res n+1 (F )=Res(Res n (F )) für n 0 Res (F )= n 0 Res n (F ). Res (F )wirdauchalsdieresolutionshülle von F bezeichnet. 263

24 Grundresolutionsalgorithmus F sei in Klauselform, d.h. F = y 1 y 2 y n : F, wobei F in KNF ist. Sei F 1, F 2, F 3,... eine Aufzählung der Herbrand-Expansion von F. Wir betrachten F als eine Menge von Klauseln, dann ist auch jedes F i eine Menge von Klauseln. Eingabe: eine Aussage F in Klauselform (d.h. F in Skolemform, F in KNF) i := 0; M := ; repeat i := i + 1; M := M F i ; M := Res (M) until M Gib unerfüllbar aus und stoppe. Warum der Name Grundresolution? Im Gegensatz zu späteren Verfahren werden Terme ohne Variable (= Grundterme ) substituiert, um die Formeln der Herbrand-Expansion zu erhalten. 264

25 Grundresolutionssatz Den Grundresolutionsalgorithmus kann man auch in folgenden Grundresolutionssatz umformulieren: Grundresolutionssatz Eine Aussage in Klauselform F = y 1... y k : F ist genau dann unerfüllbar, wenn es eine Folge von Klauseln K 1,...,K n gibt mit der Eigenschaft: K n ist die leere Klausel Für i =1,...,n gilt: K i ist eine Grundinstanz einer Klausel K F,d.h. K i = K[y 1 /t 1 ]...[y k /t k ]mitt i D(F ) oder K i ist (aussagenlogische) Resolvente zweier Klauseln K a, K b mit a, b < i 265

Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle

Modellierungsmethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle smethoden der Informatik Kapitel 2: Logikkalküle Prädikatenlogik 1. Stufe Norbert Fuhr Gudrun Fischer 29.11.2005 Organisatorisches Organisatorisches Klausur Termin: 20.2.2006, 13-15 Uhr, Audimax Anmeldung

Mehr

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz

Grundlagen der Künstlichen Intelligenz Grundlagen der Künstlichen Intelligenz 27. Aussagenlogik: Logisches Schliessen und Resolution Malte Helmert Universität Basel 28. April 2014 Aussagenlogik: Überblick Kapitelüberblick Aussagenlogik: 26.

Mehr

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4

Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt 4 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter H. Schmitt David Farago, Christoph Scheben, Mattias Ulbrich Formale Systeme, WS 2012/2013 Lösungen zu Übungsblatt

Mehr

Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise:

Beispiel. Bsp.: Betrachte Schlussweise in: (3) folgt aus (1) und (2), siehe z.b. Resolutionsregel. was ist mit folgender Schlußweise: Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 5.4 Prädikatenlogik mit Gleichheit Resolution 192 Beispiel Bsp.: Betrachte Schlussweise in: 1 Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. R N

Mehr

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1

Terme. Dann ist auch f(t 1. Terme. Dann ist P (t 1 Prädikatenlogik 1. Syntax und Semantik Man kann die Prädikatenlogik unter einem syntaktischen und einem semantischen Gesichtspunkt sehen. Bei der Behandlung syntaktischer Aspekte macht man sich Gedanken

Mehr

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle.

Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik. Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien. Endliche Modelle. Universität Koblenz-Landau, Abteilung Koblenz FB 4 Informatik Seminar Entscheidungsverfahren für logische Theorien Tobias Hebel Koblenz, am 18.02.2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung... 3 2 Grundlagen...

Mehr

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie

Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Logik Vorlesung 10: Herbrand-Theorie Andreas Maletti 9. Januar 2015 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften

Mehr

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution

Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale

Mehr

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik

Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Wissensbasierte Systeme 7. Prädikatenlogik Syntax und Semantik, Normalformen, Herbrandexpansion Michael Beetz Plan-based Robot Control 1 Inhalt 7.1 Motivation 7.2 Syntax und Semantik 7.3 Normalformen 7.4

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 19 & Die ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Sie hat eine größere Ausdrucksstärke und erlaub eine feinere Differenzierung. Ferner sind Beziehungen/Relationen

Mehr

Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe

Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme. Formeln. Freie und gebundene Variablen, Aussagen. Aufgabe Syntax der Prädikatenlogik: Variablen, Terme Formeln Eine Variable hat die Form x i mit i = 1, 2, 3.... Ein Prädikatensymbol hat die Form Pi k und ein Funktionssymbol hat die Form fi k mit i = 1, 2, 3...

Mehr

Resolutionsalgorithmus

Resolutionsalgorithmus 112 Resolutionskalkül Mit dem Begriff Kalkül bezeichnet man eine Menge von syntaktischen Umformungsregeln, mit denen man semantische Eigenschaften der Eingabeformel herleiten kann. Für den Resolutionskalkül:

Mehr

Aufgabe - Fortsetzung

Aufgabe - Fortsetzung Aufgabe - Fortsetzung NF: Nicht-Formel F: Formel A: Aussage x :( y : Q(x, y) R(x, y)) z :(Q(z, x) R(y, z)) y :(R(x, y) Q(x, z)) x :( P(x) P(f (a))) P(x) x : P(x) x y :((P(y) Q(x, y)) P(x)) x x : Q(x, x)

Mehr

Ersetzbarkeitstheorem

Ersetzbarkeitstheorem Ersetzbarkeitstheorem Die Abgeschlossenheit läßt sich auch folgendermaßen formulieren: Ersetzbarkeitstheorem Seien F und G Formeln mit F G. SeienH und H Formeln, so daß H aus H hervorgeht, indem ein Vorkommen

Mehr

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel

Motivation. Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17. Syntax & Semantik. Motivation - Beispiel. Motivation - Beispiel Motivation Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 17 & Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. & 7. Juni 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/43 Die ist eine Erweiterung

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 13. Prädikatenlogik Der Satz von Herbrand Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Semantische Bäume Eine klassische

Mehr

1 Aussagenlogische Formeln

1 Aussagenlogische Formeln 1 Aussagenlogische Formeln Aufgabe 1.1 Transformieren Sie die Formel in disjunktive Normalform (DNF). ((:A! :B) ^ D)! ((A _ C) $ (:B ^ D)) Lösung 1.1 Schrittweise Transformation: Schritt 1: ((:A! :B) ^

Mehr

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren)

Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken. bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung) Klausel (Menge von Klauseln, Notation ohne Quantoren) Was bisher geschah Wissensrepräsentation und -verarbeitung in Logiken klassische Aussagenlogik klassische Prädikatenlogik: Wiederholung Syntax, Semantik Normalformen: bereinigt Pränex Skolem ( -Eliminierung)

Mehr

Logikprogrammierung. gehalten von Prof Dr. Jürgen Giesl im Sommersemester 2006 an der RWTH Aachen

Logikprogrammierung. gehalten von Prof Dr. Jürgen Giesl im Sommersemester 2006 an der RWTH Aachen Logikprogrammierung gehalten von Prof Dr. Jürgen Giesl im Sommersemester 2006 an der RWTH Aachen eine studentische Mitschrift von Florian Heller florian@heller-web.net Diese Mitschrift erhebt keinen Anspruch

Mehr

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser

Informatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen

Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Vorlesung Logik Wintersemester 2012/13 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume & Dr. Sander Bruggink Barbara König Logik 1 (Motivation) Wir benötigen Algorithmen für Erfüllbarkeitstests,

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 6 14.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Wissensbasierte Systeme

Wissensbasierte Systeme WBS4 Slide 1 Wissensbasierte Systeme Vorlesung 4 vom 03.11.2004 Sebastian Iwanowski FH Wedel WBS4 Slide 2 Wissensbasierte Systeme 1. Motivation 2. Prinzipien und Anwendungen 3. Logische Grundlagen 4. Suchstrategien

Mehr

Klausur für Studiengänge INF und IST

Klausur für Studiengänge INF und IST Familienname: Matrikelnummer: Studiengang: (bitte ankreuzen) INF IST MED Vorname: Email-Adresse: Immatrikulationsjahr: Klausur für Studiengänge INF und IST sowie Leistungsschein für Studiengang Medieninformatik

Mehr

Logische und funktionale Programmierung

Logische und funktionale Programmierung Logische und funktionale Programmierung Vorlesung 2: Prädikatenkalkül erster Stufe Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. Oktober 2016 1/38 DIE INTERPRETATION

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

Hilbert-Kalkül (Einführung)

Hilbert-Kalkül (Einführung) Hilbert-Kalkül (Einführung) Es gibt viele verschiedene Kalküle, mit denen sich durch syntaktische Umformungen zeigen läßt, ob eine Formel gültig bzw. unerfüllbar ist. Zwei Gruppen von Kalkülen: Kalküle

Mehr

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de

Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier. Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de Diskrete Strukturen und Logik WiSe 2007/08 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Diskrete Strukturen und Logik Gesamtübersicht Organisatorisches Einführung Logik & Mengenlehre

Mehr

Normalformen der Prädikatenlogik

Normalformen der Prädikatenlogik Normalformen der Prädikatenlogik prädikatenlogische Ausdrücke können in äquivalente Ausdrücke umgeformt werden Beispiel "X (mensch(x) Æ sterblich(x)) "X (ÿ mensch(x) sterblich(x)) "X (ÿ (mensch(x) Ÿ ÿ

Mehr

Tableaukalkül für Aussagenlogik

Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableaukalkül für Aussagenlogik Tableau: Test einer Formel auf Widersprüchlichkeit Fallunterscheidung baumförmig organisiert Keine Normalisierung, d.h. alle Formeln sind erlaubt Struktur der Formel wird

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

wichtiger, effizient zu behandelnder Spezialfall (benannt nach Alfred Horn)

wichtiger, effizient zu behandelnder Spezialfall (benannt nach Alfred Horn) 2.4 Hornformeln wichtiger, effizient zu behandelnder Spezialfall (benannt nach Alfred Horn) Def.: (Hornformel) Eine Formel F ist eine Hornformel, falls F in KNF ist und jedes Konjunktionsglied (also jede

Mehr

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik

9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Institut für Informatik Sommersemester 2001 Universität Zürich 9. Übung Formale Grundlagen der Informatik Norbert E. Fuchs (fuchs@ifi.unizh.ch) Reinhard Riedl (riedl@ifi.unizh.ch) Nadine Korolnik (korolnik@ifi.unizh.ch)

Mehr

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik

Logik-Grundlagen. Syntax der Prädikatenlogik Logik-Grundlagen X 1 :...: X k : ( A 1 A 2... A m B 1 B 2... B n ) Logische und funktionale Programmierung - Universität Potsdam - M. Thomas - Prädikatenlogik III.1 Syntax der Prädikatenlogik Prädikat:

Mehr

Fixpunktsemantik logischer Programme Pascal Hitzler Juli 1997 Kurzuberblick im Rahmen der Vorlesung Einfuhrung in Prolog von T. Cornell im Sommersemester 1997 an der Universitat Tubingen. Beweise sind

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 6. Formale Sprachen und Grammatiken Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 17. März 2014 Einführung Beispiel: Aussagenlogische Formeln Aus dem Logikteil: Definition (Syntax

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

6.1 Syntax und Semantik von Constraint-Logikprogrammen

6.1 Syntax und Semantik von Constraint-Logikprogrammen Kapitel 6 Logikprogrammierung mit Constraints Nachdem wir nun sowohl die reine Logikprogrammierung als auch ihre Implementierung in der Sprache Prolog betrachtet haben, wollen wir uns zum Schluss mit einer

Mehr

Prof. Dr. sc. Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Winter-Semester 2003/04. Wissensrepräsentation: Resolution (im PK1)

Prof. Dr. sc. Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Winter-Semester 2003/04. Wissensrepräsentation: Resolution (im PK1) Einführung in die KI Prof. Dr. sc. Hans-Dieter Burkhard Vorlesung Wissensrepräsentation: Resolution (im PK1) 2. Resolution Vorbild für Formalismus : exakt, präzise, (theoretisch) beherrscht Aufbau: Zeichen

Mehr

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen

Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen Vor(schau)kurs für Studienanfänger Mathematik: Aussagen und Mengen 09.10.2014 Herzlich Willkommen zum 2. Teil des Vorschaukurses für Mathematik! Organisatorisches Der Vorkurs besteht aus sechs Blöcken

Mehr

4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik

4.1 Motivation. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 4.1 Motivation. 4.2 Syntax der Prädikatenlogik. 4.3 Semantik der Prädikatenlogik Theorie der Informatik 3. März 2014 4. Prädikatenlogik I Theorie der Informatik 4. Prädikatenlogik I 4.1 Motivation Malte Helmert Gabriele Röger 4.2 Syntax der Prädikatenlogik Universität Basel 3. März

Mehr

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik

Der Sequenzenkalkül. Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül für die Prädikatenlogik Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 4.6 Prädikatenlogik ohne Gleichheit Der Sequenzenkalkül 138 Der Sequenzenkalkül Charakterisierung der logischen Schlussfolgerung: Sequenzenkalkül

Mehr

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem

8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8 Der Kompaktheitssatz und der Satz von Löwenheim und Skolem 8.1 Der Kompaktheitssatz Kompaktheitssatz Endlichkeitssatz Der Kompaktheitssatz ist auch unter dem Namen Endlichkeitssatz bekannt. Unter Verwendung

Mehr

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes)

Terme stehen für Namen von Objekten des Diskursbereichs (Subjekte, Objekte des natürlichsprachlichen Satzes) Prädikatenlogik Man kann den natürlichsprachlichen Satz Die Sonne scheint. in der Prädikatenlogik beispielsweise als logisches Atom scheint(sonne) darstellen. In der Sprache der Prädikatenlogik werden

Mehr

Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen

Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Barbara König Logik 1 Motivation: Wir beschäftigen uns nun im folgenden mit der, die gegenüber

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 3 30.04.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Letztes Mal Aussagenlogik Syntax: welche Formeln? Semantik:

Mehr

Logische Folgerung. Definition 2.11

Logische Folgerung. Definition 2.11 Logische Folgerung Definition 2.11 Sei 2A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogischer Formeln aus A. heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I ( ) =1für jedes Modell

Mehr

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln

Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem

Mehr

Hat KAI also die Uhr gestohlen oder nicht? (Mit Begründung, natürlich!) 1

Hat KAI also die Uhr gestohlen oder nicht? (Mit Begründung, natürlich!) 1 INTA - Lösungshinweise zum Übungsblatt 3, Version 1.0α. Aufgabe 13 (Meta-Logik, die Zweite). Nachdem sie erfolgreich den Zauberer identifiziert haben (hatten sie doch, oder?), werden sie kurzzeitig als

Mehr

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation

5.1 Inferenz. Theorie der Informatik. Theorie der Informatik. 5.1 Inferenz. 5.2 Resolutionskalkül. 5.3 Zusammenfassung. Inferenz: Motivation Theorie der Informatik 9. März 2015 5. Aussagenlogik III Theorie der Informatik 5. Aussagenlogik III 5.1 Inferenz Malte Helmert Gabriele Röger 5.2 Resolutionskalkül Universität Basel 9. März 2015 5.3 Zusammenfassung

Mehr

Beweisen mit Semantischen Tableaux

Beweisen mit Semantischen Tableaux Beweisen mit Semantischen Tableaux Semantische Tableaux geben ein Beweisverfahren, mit dem ähnlich wie mit Resolution eine Formel dadurch bewiesen wird, dass ihre Negation als widersprüchlich abgeleitet

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

Prolog basiert auf Prädikatenlogik

Prolog basiert auf Prädikatenlogik Software-Technologie Software-Systeme sind sehr komplex. Im Idealfall erfolgt die Programmierung problemorientiert, während die notwendige Übertragung in ausführbare Programme automatisch erfolgt. Prolog-Philosophie:

Mehr

Unvollständigkeit der Arithmetik

Unvollständigkeit der Arithmetik Unvollständigkeit der Arithmetik Slide 1 Unvollständigkeit der Arithmetik Hans U. Simon (RUB) Email: simon@lmi.rub.de Homepage: http://www.ruhr-uni-bochum.de/lmi Unvollständigkeit der Arithmetik Slide

Mehr

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst)

Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Binäre Suchbäume (binary search trees, kurz: bst) Datenstruktur zum Speichern einer endlichen Menge M von Zahlen. Genauer: Binärbaum T mit n := M Knoten Jeder Knoten v von T ist mit einer Zahl m v M markiert.

Mehr

Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution

Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Künstliche Intelligenz Logische Agenten & Resolution Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Inferenz-Algorithmus Wie könnte ein

Mehr

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik

Aussagenlogik Prädikatenlogik erster Stufe. Logik. Logik Grundzeichen Aussagenlogik Aussagenvariablen P, Q, R,... Junktoren nicht und oder Runde Klammern (, ) Formeln Aussagenlogik Formeln sind spezielle Zeichenreihen aus Grundzeichen, und zwar 1 Jede Aussagenvariable

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge

Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012. Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Lehrstuhl für Softwaretechnik und Programmiersprachen Professor Dr. Michael Leuschel Grundlagen der Theoretischen Informatik - Sommersemester 2012 Übungsblatt 1: Lösungsvorschläge Disclaimer: Bei Folgendem

Mehr

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen

Zusammenfassung. Satz. 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke (in den Variablen x 1,..., x n ) 2 Seien f : B n B, g : B n B ihre Booleschen Funktionen Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Einführung in die Theoretische Informatik Woche 6 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Satz 1 Seien F, G Boolesche Ausdrücke

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur

Formeln. Signatur. aussagenlogische Formeln: Aussagenlogische Signatur Signatur Formeln Am Beispiel der Aussagenlogik erklären wir schrittweise wichtige Elemente eines logischen Systems. Zunächst benötigt ein logisches System ein Vokabular, d.h. eine Menge von Namen, die

Mehr

Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7

Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7 Einiges zu Resolutionen anhand der Aufgaben 6 und 7 Es gibt eine Fülle von verschiedenen Resolutionen. Die bis jetzt behandelten möchte ich hier noch ein Mal kurz erläutern. Ferner möchte ich noch auf

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik - das Quiz zur Vorlesung Teil I - Grundzüge der Logik In der Logik geht es um... (A) die Formen korrekten Folgerns (B) die Unterscheidung von wahr und falsch (C) das Finden von

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Vorlesung Logik für Informatiker 6. Aussagenlogik Resolution Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Der aussagenlogische Resolutionkalkül Wesentliche

Mehr

Referat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen

Referat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen Kapitel 1: rekursive Mengen 1 rekursive Mengen 1.1 Definition 1.1.1 informal Eine Menge heißt rekursiv oder entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion berechenbar ist. 1.1.2 formal Eine Menge A

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen

Mehr

3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C

3. Prädikatenlogik. Im Sinne der Aussagenlogik sind das verschiedene Sätze, repräsentiert etwa durch A, B, C. Natürlich gilt nicht: A B = C 3. Prädikatenlogik 3.1 Motivation In der Aussagenlogik interessiert Struktur der Sätze nur, insofern sie durch "und", "oder", "wenn... dann", "nicht", "genau dann... wenn" entsteht. Für viele logische

Mehr

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit

Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel: 3.3 Aussagenlogik Erfüllbarkeit 44 Erfüllbarkeit und Allgemeingültigkeit Def.: eine Formel ϕ heißt erfüllbar, wennesein I gibt, so dass I = ϕ

Mehr

Kapitel 7 Dr. Jérôme Kunegis. Logische Kalküle. WeST Web Science & Technologies

Kapitel 7 Dr. Jérôme Kunegis. Logische Kalküle. WeST Web Science & Technologies Kapitel 7 Dr. Jérôme Kunegis Logische Kalküle WeST Web Science & Technologies Lernziele Grundideen des Domain-Relationenkalküls (DRK) und des Tupel-Relationenkalküls (TRK) Relationale Datenbank als Formelmenge

Mehr

Normalformen boolescher Funktionen

Normalformen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion

Mehr

Bisher. Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur

Bisher. Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur Bisher Wiederholung NFA Modellierung durch NFA Kripke-Struktur Model-Checking Modell beschrieben durch Kripke-Struktur A Spezifikation ϕ in einer Temporallogik Verifikation: Nachweis, dass die Struktur

Mehr

Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen

Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Einführung in die Logik - 4 Aussagenlogische Widerlegungsverfahren zum Nachweis logischer Eigenschaften und Beziehungen Widerlegungsverfahren zum Aufwärmen: Bestimmung von Tautologien mittels Quick Falsification

Mehr

1 Prädikatenlogik. 1.1 Signaturen und Strukturen

1 Prädikatenlogik. 1.1 Signaturen und Strukturen 1 Prädikatenlogik Die Constraint-logische Programmierung basiert auf der Prädikatenlogik: Constraints sind prädikatenlogische Formeln und logische Sprachen wie prolog machen einen Ausschnitt der Prädikatenlogik

Mehr

Einführung in die Logik

Einführung in die Logik Einführung in die Logik Klaus Madlener und Roland Meyer 24. April 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagenlogik 1 1.1 Syntax................................. 1 1.2 Semantik............................... 3 1.3

Mehr

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen Berechenbarkeit und Komlexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.uni-linz.ac.at Research Institute for Symbolic Comutation (RISC) Johannes Keler University,

Mehr

Mächtigkeit von WHILE-Programmen

Mächtigkeit von WHILE-Programmen Mächtigkeit von WHILE-Programmen Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 26. November 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010. Prof. Dr. Bernhard Beckert. 18. Februar 2010

Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik WS 2009/2010. Prof. Dr. Bernhard Beckert. 18. Februar 2010 Klausur Formale Systeme Fakultät für Informatik Name: Mustermann Vorname: Peter Matrikel-Nr.: 0000000 Klausur-ID: 0000 WS 2009/2010 Prof. Dr. Bernhard Beckert 18. Februar 2010 A1 (15) A2 (10) A3 (10) A4

Mehr

Logik für Informatiker

Logik für Informatiker Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil 5 8.05.2012 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge

Mehr

De Morgan sche Regeln

De Morgan sche Regeln De Morgan sche Regeln Durch Auswerten der Wahrheitswertetabelle stellen wir fest, dass allgemeingültig ist; ebenso (p q) p q (p q) p q. Diese beiden Tautologien werden als die De Morgan schen Regeln bezeichnet,

Mehr

Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1. Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen

Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1. Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen Logik & Semantik 7. Vorlesung Prädikatenlogik 1 Syntax der Prädikatenlogik Semantik der Prädikatenlogik: Grundbegriffe (Variablen-)Substitutionen 1 Definition eines logischen Systems: Generelles Schema

Mehr

Pratts Primzahlzertifikate

Pratts Primzahlzertifikate Pratts Primzahlzertifikate Markus Englert 16.04.2009 Technische Universität München Fakultät für Informatik Proseminar: Perlen der Informatik 2 SoSe 2009 Leiter: Prof. Dr. Nipkow 1 Primzahltest Ein Primzahltest

Mehr

Prädikatenlogik: Grundlagen

Prädikatenlogik: Grundlagen Prädikatenlogik: Grundlagen Vorversion der Folien des Kap. 9! Stand 15.05.2007 Im Verlauf der Vorlesungen zu diesem Kapitel werden Änderungen und Ergänzungen erfolgen. Sie sollten daher sorgfältig auf

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Inormatik Sebastian Ianoski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.1: Aussagenlogik FH Wedel Pro. Dr. Sebastian Ianoski GTI21 Folie

Mehr

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4

Syntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4 Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)

Mehr

Logik Vorlesung 6: Resolution

Logik Vorlesung 6: Resolution Logik Vorlesung 6: Resolution Andreas Maletti 28. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen Weitere Eigenschaften

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 14.12.2004

Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 14.12.2004 Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 14.12.2004 In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, wie man die einzelnen Zahlenbereiche aufbaut. Uns fehlen nur noch die reellen Zahlen (siehe

Mehr

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln

Kapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht

Mehr

Objekte in einer gewissen Beziehung zueinander stehen, eine Eigenschaft für alle Objekte gilt, es ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft gibt.

Objekte in einer gewissen Beziehung zueinander stehen, eine Eigenschaft für alle Objekte gilt, es ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft gibt. 3. Prädikatenlogik Gegenüber der Aussagenlogik wird die Sprache der Prädikatenlogik (Predicate Logic) so erweitert, daß gewisse Formen von Aussagen, die in der Aussagenlogik nicht möglich sind, ausgedrückt

Mehr

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme

Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Zusammenfassung des Stoffes zur Vorlesung Formale Systeme Max Kramer 13. Februar 2009 Diese Zusammenfassung entstand als persönliche Vorbereitung auf die Klausur zur Vorlesung Formale Systeme von Prof.

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Substitution. Unifikation. Komposition der Substitution. Ausführung der Substitution

Substitution. Unifikation. Komposition der Substitution. Ausführung der Substitution Substitution Unifikation Ziel eines Widerspruchsbeweis: Widerspruch ja/nein Variablenbindung im Falle eines Widerspruchs Eine Substitution θ ist eine endliche Menge der Form {v 1 /t 1 v n /t n }, wobei

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski GTI22 Folie 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 2: Logik, Teil 2.2: Prädikatenlogik FH Wedel Prof. Dr. Sebastian Iwanowski

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Einheit 1 Mathematische Methodik 1. Problemlösen 2. Beweistechniken 3. Wichtige Grundbegriffe Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Welche Begriffe sind zum Verständnis

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Semantik von Formeln und Sequenzen

Semantik von Formeln und Sequenzen Semantik von Formeln und Sequenzen 33 Grundidee der Verwendung von Logik im Software Entwurf Syntax: Menge von Formeln = Axiome Ax K ist beweisbar Formel ϕ beschreiben Korrektkeit Vollständigkeit beschreibt

Mehr